Santalo-buffon

PROBABILIDADES GEOMÉTRICAS Y GEOMETRÍA INTEGRAL
Agustí Reventós Tarrida
1. Medida de puntos. El problema de la aguja de Buffon.
El origen de las probabilidades geométricas se encuentra en el llamado problema de la
aguja de Buffon.
El Conde de Buffon era un francés que se llamaba Georges Louis Leclerc, que vivió de
1707 a 1788 y fue nombrado Conde por Luis XV. Fue un gran naturalista y escribió
una Historia Natural de 36 volúmenes. Ingresó en la Academia de Ciencias de París el
1734, como cultivador de la mecánica racional.
El año 1777, en el volumen IV del “Suplemento a la Historia Natural” incluyó un
trabajo titulado “Essai d'Arithmetique Morale”. En éste artículo Buffon trata de adaptar
la matemática al estudio de la realidad del hombre, procurando medir dentro de lo que
cabe, sus emociones, temores y esperanzas. Para ello necesita escoger una unidad de
medida de las emociones, a la cual poder referir cuantitativamente cualquier otra
emoción. Coge como unidad el “temor a la muerte”, que la puede considerar a la vez
medida de temor y esperanza sin más que cambiarla de signo.
Al considerar las pasiones del hombre, Buffon señala la del juego como la más
extendida y perniciosa. Se refiere a los juegos de azar con dinero. Como conoce
resultados de Teoría de Probabilidades, que había sido introducida por J.Bernouilli en
1713, relaciona el azar con los números y ve como éstos influyen así en el
comportamiento de las personas. Por éste motivo habla de aritmética moral.
Posteriormente reivindica la geometría como una herramienta eficaz en el cálculo de
probabilidades. Dice:
“El análisis ha sido el único instrumento que hasta la fecha
de hoy se ha utilizado en la ciencia de las probabilidades, como
si la geometría no fuese adecuada para éstos fines, cuando en
realidad basta un poco de atención para observar que la ventaja
del análisis sobre la geometría es tan solo accidental, y que el
azar es tan propio de la geometría como del análisis.”
También añade:
“Para poner la geometría en posesión de sus
derechos sobre la ciencia del azar, basta con inventar juegos que
se basen en la extensión y en sus relaciones.”
A continuación introduce su famoso problema de la aguja. Se considera que con este
problema nace la teoría de las probabilidades geométricas. Concretamente dice:
“Supongamos el plano dividido por rectas horizontales separadas entre ellas una
distancia a, y lancemos sobre él una aguja de longitud l, con l<a. ¿Cuál es la
probabilidad de que la aguja corte alguna de las rectas?”
Se trata claramente de un juego de azar en el que no podemos aplicar la típica fórmula
de
casos favorables
p
casos posibles
ya que no podemos “contar” estos casos (hay infinitas posibilidades), sino que es
necesario “medirlos”. Pasamos de la aritmética a la geometría.
La primera dificultad es poder describir la posición en que ha caído la aguja. Par ello,
llamemos x a la distancia entre el centro de la aguja y la primera recta horizontal que se
encuentra por encima de éste punto, y llamemos  al ángulo entre esta semirecta
vertical y la aguja, medido desde la vertical. Si vamos hacia la derecha será positivo y si
vamos hacia la izquierda será negativo.
Para evitar que una misma posición de la aguja se pueda representar por dos ángulos
   
restringiremos los valores de  al intervalo  , .
 2 2 
De ésta manera tenemos tantas posiciones posibles de la aguja como parejas  x,   con
0  x a y 

 

. Corresponde al “número” de casos posibles, pero, como
2
2
hemos dicho antes no los podemos contar y lo que haremos será “medirlos”.
Representemos los valores de x y  en un sistema de ejes cartesianos y digamos que la
medida de los casos posibles es el área de la región que determinan.
Así pues
mcasos posibles  a
donde ponemos m por medida.
De manera parecida podemos contar, es decir medir, los casos favorables.
Para ello fijemos un ángulo  y vayamos desplazando verticalmente la aguja
manteniéndola siempre formando un ángulo con la vertical.
Vemos que si
l
0  x  cos
2
la aguja corta la recta horizontal superior, y que si
l
a  cos  x  a
2
la aguja corta la recta horizontal inferior de la banda.
Así pues
l
cos y el ejex  0
2
l
 área entre la gráfica de
x  a  cos y el ejex  a.
2
mcasos favorables  área ent re la gráfica dex 
Como estas dos áreas son iguales tenemos


l
2
mcasos favorables  2   cosd  lsin 2  l1 1 2l.
2 2
2
Así pues, la probabilidad de corte buscada es
mcasos favorables 2l
p

.
mcasos posibles
a
Una característica extraordinaria de este resultado es que nos permite obtener buenas
aproximaciones del número  simplemente lanzando repetidamente la aguja sobre el
plano. En efecto, la probabilidad es una buena aproximación de la frecuencia con que un
suceso se produce, más buena como más grande sea el numero de lanzamientos.
El 1901, Lazaroni lanzó la aguja 34080 veces y obtuvo
simular por ordenador.
 =3,1415929. Hoy se puede
Métodos de teoría de probabilidad permiten decir que las mejores estimaciones de  se
obtienen cuando l=a, y también nos permiten decir, con una probabilidad muy alta que
se puede especificar, cuantos lanzamientos se han de hacer para obtener el valor de 
con un número determinado de cifras decimales exactas.
Es muy importante resaltar, aunque no desarrollemos aquí el tema, que la elección de
las coordenadas  x,   se ha hecho para tener una medida invariante por movimientos.
No podemos tomar dos parámetros arbitrarios. El poder tener distintas medidas, llevó
en los orígenes de la teoría a paradojas, cómo las de Bertrand, que hicieron dudar en su
momento de los métodos de las probabilidades geométricas.
2. Medida de rectas. Fórmula de Crofton.
Ahora ya hemos visto que el área nos sirve para contar el “número” de puntos de un
conjunto. La pregunta ahora es: “¿podemos contar el número de rectas?”. Por ejemplo,
cuantas rectas cortan un segmento dado? O, cuantas rectas cortan una circunferencia
dada? Para responder a estas preguntas haremos lo siguiente:
Para cada recta del plano consideraremos dos cantidades p,  definidas de la siguiente
manera:
p  dist ancia de la rect a al origen de coordenadas
  ángulo ent re el eje de las
x y la perpendicular a la rect a en el origen
Consideraremos  medido desde la parte positiva del eje de las x hasta la perpendicular
por el origen en sentido anti-horario.
De esta manera tenemos tantas rectas en el plano como parejas p,  con
0  p  , 0    2 . Hay un pequeño problema con p=0 pero que no afecta al
razonamiento posterior.
Esta interpretación nos permite responder ya las preguntas antes consideradas,
concretamente vamos a calcular “cuantas rectas cortan un segmento de longitud l”.
Empezaremos estudiando el caso más sencillo en que este segmento está situado sobre
el eje de las x con origen (0,0) y extremo (l,0). Es decir
Segmento x,0;0  x  l
Es fácil ver que una recta p,  corta al segmento dado si
0  p  l cos
0 
 3
2
,
2
   2 .
El área determinada por la gráfica de la función p  l cos  entre éstos límites nos
medirá la “cantidad” de rectas que cortan al segmento.

2
mrectas que cort an
   2 l cosd  3 l cos d 
0
2


 2  l cosd  2l sin  02  2l
2
0
Obtenemos así un resultado realmente remarcable: “La medida de rectas que cortan un
segmento de longitud l es 2l”.
Si en lugar de tener un segmento tenemos la figura formada por dos segmentos
consecutivos, la medida de rectas que cortan esta figura será la medida de las rectas que
cortan al primer segmento más la medida de las rectas que cortan el segundo segmento.
Pero, atención, porque de esta manera hay rectas que las estaremos contando dos veces,
las rectas que cortan los dos segmentos a la vez.
Lo mismo sucede si la figura está formada por la unión de diversos segmentos, es decir,
para cualquier poligonal. Cada recta puede cortar diversas veces a la poligonal.
Por tanto, si sumamos las medidas de las rectas que cortan cada segmento de la
poligonal, lo que obtendremos es que “la medida de rectas que cortan una poligonal,
contadas cada una de ellas tantas veces como la corte, es igual a dos veces la longitud de
ésta poligonal”.
De manera general, con un proceso de paso al límite, y debido a que toda curva
(suficientemente buena) se puede aproximar por una poligonal tenemos el resultado
conocido como fórmula de Crofton, que dice
 n p, dpd   2l
donde la integral está extendida a aquellos p,  tales que la recta correspondiente
corta una curva dada C, de longitud l, y n p,   es el número de cortes de la recta p, 
con la curva. Se lee como antes diciendo que “la medida de rectas que cortan una
curva, contadas cada una de ellas tantas veces como la corte, es igual a dos veces la
longitud de esta curva”.
Esta fórmula se aplica con éxito a calcular longitudes de curvas complicadas, como por
ejemplo la longitud de moléculas de ADN, sin más que contar el número de cortes de
ésta curva con una rejilla formada por rectas horizontales, verticales y inclinadas
que representa una aproximación de la integral.
Como antes, la elección de las coordenadas p,  no es casual y se debe a buscar una
manera de medir invariante por movimientos.