Modelo de distribución espacial de la población

MODELO ECONÓMICO
DE LA DISTRIBUCIÓN
ESPACIAL DE LA
POBLACIÓN
YOANE FONTES CABRERA
ANÁLISIS DINÁMICO
JUNIO 2004
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN....................................................3
HIPÓTESIS A ESTUDIAR......................................3
FORMULACIÓN MATEMÁTICA.........................3
SOLUCIÓN CON EL MATHEMATICA................4
ESTABILIDAD......................................................17
BIBLIOGRAFÍA....................................................20
2
YOANE FONTES CABRERA
INTRODUCCIÓN
Supongamos que consideramos la población de cierto país dividida
en dos grandes sectores: Rural y urbano. La población en cada uno de estos
sectores cambia no sólo debido a la evolución en el tamaño de la población
global sino debido a la migración de personas entre ambos núcleos.
Para denotar lo que es un espacio rural y uno urbano, depende de
delimitaciones arbitrarias, basadas en tamaños de los municipios, el número
de habitantes, la existencia de industrias y de otra diversidad de servicios.
Urbano: poblaciones con más de 50.000 habitantes, los cuales
cuentan con luz, agua, teléfono, escuelas y servicios médicos.
Semirrurales: poblaciones que tienen entre 2.500-50.000 habitantes
y no tienen los servicios que tienen los otros. Se dedican principalmente a
actividades del sector primario.
HIPÓTESIS A ESTUDIAR
Fenómeno migratorio de una zona a otra.
¿Llega a desaparecer la población rural? ¿Y la urbana?
¿Se regresa a las zonas rurales?
FORMULACIÓN MATEMÁTICA.
Rt+1= α Rt + (1-β) Ut
Ut+1 = (1-α) Rt + β Ut
t→ tiempo medido en años.
Rt→ millones de habitantes en la zona rural.
Ut→ millones de habitantes en la zona urbana.
α→ porcentaje de población que permanece en la zona rural.
β→ porcentaje de población que permanece en la zona urbana.
3
YOANE FONTES CABRERA
SOLUCIÓN CON EL MATHEMATICA
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HH LH LL@
D
L>
<< DiscreteMath`RSolve`
? RSolve
RSolve eqn, a, n solves a recurrence equation for the function
a, with independent variable n. RSolve eqn1, eqn2, ... ,
a1, a2, ... , n solves a list of recurrence equations.
RSolve r t + 1 Š a r t + 1 - b u t , u t + 1 Š 1 - a r t + b u t ,
r t ,u t ,t
1
r t ®
- 2+a + b
-
1+ b
-
1+ b -
1+ - 1 + a + b
1
u t ®
-
-
-
2+a + b
- -
-
1+ a + b
t
C 2
1+ a
1+ a - - 1+ a +b
t
+b
t
+a
1+ a + b
-
t
C 1 -
,
-
1+ - 1+a + b
-
1+ a +b
t
t
C 1 +
C 2
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H H LH LL@
D
L
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DHLHH LL@
D
Comprobamos si la solución es correcta.
r t_ =
1
- 2+a + b
-1+b-
-1+b
- 1+ a +b
t
+ a -1+ a +b
- 1+ - 1 + a + b
t
C 2
- 1 + - 1+ a + b
t
C 1 +
t
C 1 -
u t_ =
1
- 2+a + b
- - 1+a
-1+a -
- 1+ a +b
t
+ b -1+ a +b
- 1+b - - 1+a + b t+ a - 1+a + b t C 1 - - 1+ b
t
C 2
- 1 + - 1+ a + b t C 2
- 2+ a + b
4
YOANE FONTES CABRERA
HLHH LL@
DHH LH LL@
D
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D
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D
H
L
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D


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DHL@
D@
D


1- a
- 1+ - 1+a + b t C 1 + - 1+a - - 1+a + b t+ b - 1+a + b t C 2
- 2+ a + b
r t+ 1 Š a r t + 1 - b u t
Simplify
u t+ 1 Š
Simplify
1- a r t +bu t
True
True
1º Suponemos que en cada zona la población que permanece
es un 50% de la misma, y como condiciones iniciales
suponemos: R[0]=5, U[0]=1.
a = 0.5
b = 0.5
0.5
0.5
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D @ D<
A
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8 @< D
Clear r, u
RSolve r t + 1 Š a r t + 1 - b u t , u t + 1 Š 1 - a r t + b u t ,
r 0 Š 5, u 0 == 1 , r t , u t , t
r t ® 3. 1.1+t + 2. If t == 0, 1, 0 , u t ® 3. 1.t - 2. If t == 0, 1, 0
Para ver la evolución de la población rural.
Table 3.` 1.`1+t + 2.` If t == 0, 1, 0 , t, 0, 5
5., 3., 3., 3., 3., 3.
m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True
5
4.5
4
3.5
2
5
3
4
5
6
YOANE FONTES CABRERA
…Graphics …
Para el año 2 ya se concentra en el 3 y ahí sigue, no varía.
@
@
D
8
<
D
8 @< D
Para ver la evolución de la población urbana.
Table 3.` 1.`t - 2.` If t == 0, 1, 0 , t, 0, 5
1., 3., 3., 3., 3., 3.
m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True
3
2.5
2
1.5
2
3
4
5
6
…Graphics …
@D
Si juntamos las dos gráficas anteriores.
Show m1, m2
5
4
3
2
2
…Graphics …
6
3
4
5
6
YOANE FONTES CABRERA
2º Supongamos que varía el porcentaje de población que
permanece en cada zona, siendo ahora de un 25%, la misma
para ambas zonas.
@
D
@
D
Clear a , b
Clear r, u
a = 0.25
b = 0.25
0.25
0.25
@
8
@
D
@
D
H
L
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D
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D
H
L
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D
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DHL @
DHL <
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H
L
8
<
D
8 @ D <
RSolve r t + 1 Š a r t + 1 - b u t , u t + 1 Š 1 - a r t + b u t ,
r 0 Š 5, u 0 Š 1 , r t , u t , t
r t ® 2. - 0.5
t
t
+ 3. 1. , u t
® - 2. - 0.5
t
t
+ 3. 1.
Para ver gráficamente la población rural.
Table 2.` - 0.5`
t
t
+ 3.` 1.` , t, 0, 7
5., 2., 3.5, 2.75, 3.125, 2.9375, 3.03125, 2.98438
m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
3
…Graphics …
7
4
5
6
7
8
YOANE FONTES CABRERA
@
H
L
8
<
D
8
<
@ D
Para ver que pasó con la población urbana.
Table - 2.` - 0.5` t + 3.` 1.`t, t, 0, 7
1., 4., 2.5, 3.25, 2.875, 3.0625, 2.96875, 3.01563
m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True
4
3.5
3
2.5
2
1.5
2
3
…Graphics …
@
4
5
6
7
8
D
Veamos la población de ambas zonas en el mismo gráfico.
Show m1, m2, Axes ® False
…Graphics …
8
YOANE FONTES CABRERA
3º Se empieza una vuelta a zonas rurales desabitadas, este
regreso se produce por incentivos que dan diferentes
instituciones para el repoblamiento de dichas zonas, veamos
que pasa, suponemos que nadie permanece fijo en la zona
rural y además su población para el año 0 es 0, R[0]=0.
@
D
@
D
Clear a , b
Clear r, u
a= 0
b = 0.5
0
0.5
@
8
@
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@
D
H
L
@
D
@
D
H
L
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D
H
L
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D HL <
@
H
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8
<
D
8 @ <D
RSolve
r t+ 1 Š a r t + 1 - b u t , u t+ 1 Š 1 - a r t + b u t ,
r 0 Š 0, u 0 == 10 , r t , u t
r t ® - 3.33333 - 0.5
u t ® 3.33333 - 0.5
t
t
+
+
,t
t
3.33333 1. ,
t
6.66667 1.
Gráficamente para la población rural.
Table - 3.333333333333333` - 0.5`
t
t
+ 3.333333333333333` 1.` ,
t, 1, 5
5., 2.5, 3.75, 3.125, 3.4375
m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True
5
4.5
4
3.5
2
3
4
5
2.5
…Graphics …
9
YOANE FONTES CABRERA
@
H
L
8
<
D
8 @ <D
Y para la población urbana.
Table 3.333333333333333` - 0.5`
t
t
+ 6.666666666666666` 1.` ,
t, 1, 5
5., 7.5, 6.25, 6.875, 6.5625
m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True
7.5
7
6.5
6
5.5
2
3
4
5
…Graphics …
@D
La evolución de ambas es la siguiente.
Show m1, m2
7
6
5
4
2
3
4
5
…Graphics …
@
H
L
8 <D
La evolución en el tiempo para la población rural es la
siguiente.
Table - 3.333333333333333` - 0.5`
t
t, 0, 7
10
t
+ 3.333333333333333` 1.` ,
YOANE FONTES CABRERA
8 @ D <
0., 5., 2.5, 3.75, 3.125, 3.4375, 3.28125, 3.35937
m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True
5
4
3
2
1
2
3
…Graphics …
4
5
6
7
8
@
H
L
8
<
D
8 @ D <
Y para la población urbana.
Table 3.333333333333333` - 0.5`
t
t, 0, 7
10., 5., 7.5, 6.25, 6.875, 6.5625, 6.71875, 6.64062
m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True
10
9
8
7
6
2
3
…Graphics …
11
4
5
6
t
+ 6.666666666666666` 1.` ,
7
8
YOANE FONTES CABRERA
@
D
Las dos juntas.
Show m1, m2, Axes ® False
…Graphics …
4º Con la misma población fija en cada zona, pero cambiamos
lo que sucede en el año 1, que la población urbana desaparece
a consecuencia de la delincuencia, se siembra el miedo en las
ciudades.
@
D
@
8
@
D
@
D
H
L
@
D
@
D
H
L
@
D
@
D
@
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@
D
<
8
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D
@
D
<
D
88@
D
H
L
@
D HL <
@
H
L
8
<
D
8 @ D <
Clear r, u
RSolve
r t+ 1 Š a r t + 1 - b u t , u t+ 1 Š 1 - a r t + b u t ,
r 1 Š 5, u 1 == 0 , r t , u t , t
t
t
r t ® - 6.66667 - 0.5 + 1.66667 1. ,
u t ® 6.66667 - 0.5
t
+
t
3.33333 1.
Gráficamente la población rural.
Table - 6.666666666666666` - 0.5`
t
t
+ 1.6666666666666665` 1.` ,
t, 1, 8
5., 0., 2.5, 1.25, 1.875, 1.5625, 1.71875, 1.64062
m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True
12
YOANE FONTES CABRERA
5
4
3
2
1
2
3
…Graphics …
4
5
6
7
8
@
H
L
8
<
D
8 @ D <
Y gráficamente para la población urbana.
Table 6.666666666666666` - 0.5`
t
t, 1, 8
0., 5., 2.5, 3.75, 3.125, 3.4375, 3.28125, 3.35937
m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True
5
4
3
2
1
2
3
…Graphics …
@
4
5
6
7
8
D
La evolución de ambas es la siguiente.
Show m1, m2, Axes ® False
13
t
+ 3.333333333333333` 1.` ,
YOANE FONTES CABRERA
…Graphics …
5º Si el porcentaje de permanencia es mayor en la zona rural
(75%) que en la urbana (25%), para el año 5 en el cual la
población urbana vuelve a quedarse despoblada, R[5]= 10,
U[5]=0.
@
D
@
D
Clear r, u
Clear a , b
a = 0.75
b = 0.25
0.75
0.25
@
8
@
D
@
D
H
L
@
D
@
D
H
L
@
D
@
D
@
D
@
D
<
8
@
D
@
D
<
D
8@
D @ D@
D@ D
<
A
@
D
8
<
E
8 @ < 8<D
RSolve
r t+ 1 Š a r t + 1 - b u t , u t+ 1 Š 1 - a r t + b u t ,
r 5 Š 10, u 5 == 0 , r t , u t
- 5+t
r t ® 7.5 1.
,t
- 6+t
+ 2.5 If t == 5, 1, 0 , u t ® 2.5 If t ³ 6, 1.
,0
Gráficamente la población rural.
Table 7.5` 1.`- 5+t + 2.5` If t == 5, 1, 0 , t, 0, 5
7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 10.
ListPlot %, PlotJoined ® True, PlotRange ® 0, 12
14
YOANE FONTES CABRERA
12
10
8
6
4
2
2
3
4
5
6
…Graphics …
A
@
D
8
<
E
8 @ < 8<D
Y gráficamente la evolución en el tiempo de la población rural.
Table 7.5` 1.`- 5+t + 2.5` If t == 5, 1, 0 , t, 0, 7
7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 10., 7.5, 7.5
m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True, PlotRange ® 0, 12
12
10
8
6
4
2
2
3
4
5
6
7
8
…Graphics …
A
A
E
8
<
E
8 @<D
Para la población urbana.
Table 2.5` If t ³ 6, 1.`- 6+t, 0 , t, 0, 7
0, 0, 0, 0, 0, 0, 2.5, 2.5
m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True
15
YOANE FONTES CABRERA
2.5
2
1.5
1
0.5
2
3
…Graphics …
4
5
6
7
8
@D
Ambas poblaciones juntas.
Show m1, m2
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
…Graphics …
16
YOANE FONTES CABRERA
Estabilidad
<< DiscreteMath`RSolve`
@D
8 <8 <
D@
? RSolve
RSolve eqn, a, n
solves a recurrence equation
for the function a, with independent variable
n.
RSolve
eqn1, eqn2, ... ,
a1, a2, ... ,
@
8
@
D
@
D
H
L
@
D
@
D
H
L
@
D
@
D
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8
@
D
@
D
<
D
::@
D H
H H LH LL@
D
n
solves a list of recurrence equations.
Resolvemos el sistema.
RSolve r t + 1 Š a r t + 1 - b u t ,
u t+ 1 Š
1- a r t +bu t
, r t ,u t
,t
H
L
H
H
L
L
@
D
L
@
D
H
H
L
H
H
L
L
@
D
H H LH LL@
D
L>
>
r t ®
1
- 2+a + b
- 1+ b
u t ®
- 1+ b -
- 1+
1
- 2+a + b
- 1+ a -
- 1+a + b
-
- 1+ a
- 1+ a +b
t
+ b
t
- 1+ a + b
t
C 2
- 1+
- 1+ a + b
+ a
t
C 1 -
,
- 1+a + b
- 1+ a +b
t
t
C 1 +
C 2
@
D
@
D
@
D
@
D
@
D
Como a partir de la solución genera que nos da no podemos
saber si hay o no estabilidad, resolvemos lo siguiente:
r t+ 1 = r t
@
D
@
8
H
L
H
L
<
D
:8 <8 <: >
>
u t+ 1
=u t
r t
u t
Solve
r Š a * r + 1 - b * u, u Š
u ® 0, r ® 0 , b ® 1, r ® 0 , a ®
A
J N
E
1- a * r+ b* u
r - u+ u b
r
Calculamos los autovalores:
a - l 1- b
Det
1- a b- l
17
YOANE FONTES CABRERA
-
1+ a +b - a l - b l +l
2
Le damos los siguientes valores a α y a β:
a = 1
b = 0.5
1
0.5
A
8 <8 <
@
D
Solve - 1 + a + b - a l - b l + l
l ®
2
Š 0, l
E
0.5 , l ® 1.
Al existir un λ< 1, podemos afirmar que hay convergencia, es
decir, las poblaciones en un punto se unen y se comportarán
igual.
Probemos con otros valores para α y β.
Clear a , b
a = 0.5
b = 0.5
A
8
8 <8 <
<
0.5
0.5
Solve - 1 + a + b - a l - b l + l
l ®
@
D
0. , l ® 1.
2
Š 0, l
E
Clear a , b
a= 0
b = 0.75
0
0.75
18
YOANE FONTES CABRERA
A
E
8@
<8
<
D
Solve - 1 + a + b - a l - b l + l
l ® -
2
Š 0, l
0.25 , l ® 1.
Clear a , b
a = 0.25
b = 0.25
A
E
8 <8 <
0.25
0.25
Solve - 1 + a + b - a l - b l + l
l ® -
2
Š 0, l
0.5 , l ® 1.
Mirando los resultados para estos diferentes valores, podemos
afirmar que es asintótica, y al no existir parte imaginaria
afirmar que es asintótica sin oscilaciones.
19
YOANE FONTES CABRERA
BIBLIOGRAFÍA.
www.google.es
Análisis discreto de Economía y Empresa, Concepción González, Javier
Barrios.
www.tareasya.com
20
YOANE FONTES CABRERA