Ejemplo con las dos primeras preguntas del tema 9

Ejemplo con las dos primeras preguntas del tema 9
9.1. Distribución normal bidimensional.
Un vector aleatorio ( ; ) sigue una distribución normal bidimensional, o
bivariante, si su función de densidad conjunta es igual a
f ( x; i ) 

1
2 1 2 1  
2
e

1
2 1  2

 x    2
 x  1  y   2
1

  2  

 1   2
  1 


  y2
  
  2



2



siendo el campo de variación de las variables aleatorias unidimensionales  y  el eje
real, - < x <  y - < y < .
La expresión
2
 x    2
 x  1  y   2   y   2  
1

  2  

  
 
Q( x; y )  

2 1   2   1 
  1   2    2  

1

es la forma cuadrática del exponente de la función y es conveniente expresarla
matricialmente
Q( x; y )  x  1
1


 12 1   2
y   2 



2
  1 2 1  








 1 2 1     x  1 
 X    RX   .
1
  x   2 

 22 1   2 


2


La matriz R de la forma cuadrática Q(x;y) y, por tanto ésta, es definida no
negativa. Esto supone que puede ser definida positiva o semidefinida positiva.
Establecer esta distinción es fundamental a la hora de analizar la distribución normal
bidimensional, pues, en el primer caso, conduce a una distribución normal no singular y
en el segundo sí, ya que aquí, al poder ser Q(x;y) = 0, implica que una variable aleatoria
es función lineal de la otra.
9.2. Distribución normal bidimensional no singular.
9.2.1. Significado estadístico de las constantes de la forma cuadrática.
La función de densidad conjunta, y su forma cuadrática Q(x;y), dependen de
cinco parámetros: 1, 2, 1, 2, ; el significado estadístico lo determinamos mediante
la función característica conjunta de (;) cuya expresión es
 t1; t 2   e
i   1 t1   2 t 2  

1 2 2 2 2
t1  1  t 2  2  2  1 2 t1t 2
2

Por las propiedades de la función característica sabemos que (t1;0) es la función
característica de la distribución marginal de la variable aleatoria , y que (0;t2) lo es de
la variable . Haciendo alternativamente en (t1;t2), t2 = 0 y t1 = 0, tenemos,
respectivamente,
 t1;0 
1
i1t1  t12 12
2
e
 0; t 2 
1
i 2 t 2  t 22 22
2
e
La primera función característica corresponde a una variable normal
unidimensional con media 1 y desviación típica 1, N(1;1), y la segunda a una
normal con media 2 y desviación típica 2, N(2;2), obteniéndose por consiguiente las
dos funciones de densidad marginal.
9.2.2. Las distribuciones marginales.
Las distribuciones marginales son aquellas derivadas de una bidimensional
cuyas funciones de densidad son:
f1 ( x ) 
f 2 ( y) 
1
 1 2
1
 2 2
1  x  1 

 
2   1 
e
2
1  y2
 
2 
e  2



2
El parámetro  es el coeficiente de correlación lineal de las variables  y . Para
comprobarlo recurrimos a la propiedad de la función característica que permite obtener
los momentos con respecto al origen:
1   h  k  t1; t 2 
 hk 


i h  k   h t1 k t 2  t  t  0
1
2
La covarianza de las variables aleatorias, cov(;), es igual a 11-12, y el
momento mixto 11 es, según la expresión deducida de la función característica,
1   2 t1; t 2 
11  

i 2  t1t 2  t  t  0
1
2
Hallamos, en primer lugar, la derivada de la función característica conjunta
respecto a t1
i 1t1   2 t 2  t12 12  t 22 22  2  1 2 t1t 2 
 t1; t 2 
2
2
 iu1  t1 1  1 2t 2 e
t1


1
y la segunda derivada con respecto a t2
i 1t1   2 t 2  t12 12  t 22 22  2  1 2 t1t 2 
 2 t1; t 2 
2
   1 2 e

t1t 2
1


i1  t1 12

  1 2 t 2 i 2  t 2 22

  1 2 t1  e
i   1 t1   2 t 2  

1 2 2 2 2
t1  1  t 2  2  2  1 2 t1t 2
2
Si particularizamos la segunda derivada para t1 = t2 = 0 queda
  2 t ; t 
1 2
 i 2  1 2  i 2 1 2


 t1t 2  t  t  0
0
2
por tanto,
11 = 12 + 12
y
cov(;) = 12 + 12 - 12 = 12
siendo  el coeficiente de correlación lineal de las variables  y . El campo de
variación del coeficiente de correlación es el intervalo [-1;1], sin embargo cuando, como
en lo que llevamos visto, la matriz R es no singular se verifica que |R|  0, es decir,
 12 22   2 12 22  0
y esta desigualdad se cumple si y sólo si 2 < 1, o || < 1, lo que conduce a que el campo
admisible de variación de , cuando R es definida positiva, no sea el intervalo cerrado
[-1,1] sino el abierto (-1;1), en otras palabras, el coeficiente de correlación no puede ser
|| = 1, pues de tomar uno de estos valores la matriz R deja de ser definitiva positiva.
Si invertimos la matriz R y la denominamos , R-1 = , resulta igual a
 2
 1
 1 2
cov ; 
1 2   V  



V   
 22  cov ; 
denominándose  matriz de covarianzas siendo, por tanto, R = -1.

9.2.3. Distribuciones condicionales.
La función de densidad condicional de  dado , f(y/x), es

1
f x; y  2 1 2 1  

f1 x 
f y / x 
e
2

1
2 1  2

 x    2
 x   1  y   2
1

  2  

  1 
  1   2

1
 1 2
1  x  1 

 
2   1 
e
2
operando llegamos a la expresión del exponente


1
2 1  2



1

1

 x    2
 x   1  y   2
1

  2  


  1 
  1   2
2 1  2
  y2
  
  2



2
2
1  x  1 
 
 
 2   1 
2

  x  1   y   2
  
  
   1    2

  
 

  2  x  1  1  y   2  

 
 1 2


2
2 1  2
2

1

2 22 1  2

 

2
 x  1  ,
 y    2  
1
 
 
por lo cual la función de densidad condicional de  dado  es
f y / x 
1
 2 1   2 2

1
2
2
e 2 2 1  
 

2
 x  1 
 y    2  
1
 
 
función de densidad de una variable aleatoria normal



N  2   2 x  1 ; 2 1   2 
1


La esperanza de esta distribución condicional

E /   x   2   2 x  1 
1
recibe el nombre de regresión de /
2
  y2
  
  2



2



De forma análoga obtenemos la función de densidad condicional de  respecto a
, f(x/y)
f x / y  
1

1
 1 1   2 2
2
2
e 2 1 1  
 

1
 y   2 
 x   1  
2
 
 
2
que es



N  1   1  y   2 ; 1 1   2 
2


La esperanza de esta distribución condicional /

E /   y   1   1  y   2 
2
es la regresión de / .
Hemos visto que si una variable aleatoria sigue la distribución normal
bidimensional, sus distribuciones marginales y condicionales son normales
unidimensionales, no siendo necesariamente cierto el recíproco, es decir, si dos
variables son normales, su distribución conjunta no tiene por qué serlo.
EJEMPLO
Tenemos la función de densidad conjunta bidimensional
f ( x; y ) 

1
12 0,6
e
1
x 1
2
 4 2,4
y  2

 2,4 9 
1
 x 1 
 y  2


La matriz de la forma cuadrática es la matriz -1.
De la forma cuadrática deducimos los valores de las medias, varianzas,
covarianzas y coeficiente de correlación:
1  1;
 2  2;

 12  4;
cov ; 
 1 2
 22  9;

cov ;   2,4;
2,4
 0,4
23
Distribuciones marginales: la variable  es N(-1;2) y  N(2;3).
Distribuciones condicionales:
-
De /


N 0,6x  2,5;3 0,84 .
-
De /
2

N  0,4 y  2,3;2 0,84 .
3

9.2.4. Independencia.
Si las variables aleatorias  y  son independientes, el coeficiente de correlación
lineal es nulo,  = 0, convirtiéndose la función de densidad conjunta en
f x; y  
1
2 1 2
e
2
1  x   1   y   2
  
 
2   1    2




2



que no es otra cosa que el producto de las funciones de densidad marginales. Esta
conclusión no es sino el cumplimiento de la condición de independencia de dos
variables aleatorias continuas,
f(x;y) = f1(x)  f2(y)
Mientras que siempre que dos variables aleatorias son independientes, su coeficiente de
correlación es cero, por serlo la covarianza, el recíproco no es cierto salvo cuando la
distribución conjunta de las dos variables es normal.
Si las variables aleatorias  y  son N(0;1) e independientes, por la
independencia el coeficiente de correlación es nulo ( = 0), y la función de densidad
conjunta de la variable aleatoria bidimensional ( ; ) tiene por expresión
x2  y2
1
2
f x; y 
e



2
siendo la matriz R de la forma cuadrática correspondiente y su inversa 
1 0
1 0
R
; 


0 1
0 1
9.2.5. Propiedades de la distribución normal bidimensional (Teoremas)
TEOREMA
Si una variable aleatoria es normal bidemensional y se define una variable
 = a + b, esta nueva variable es normal unidimensional. Para demostrarlo
calculamos la función característica de 
  
 E e    

  t   E e it  E e i a  b t 
i a  b t  i a1  b 2 t  i a1  b 2 t



 e i a1  b 2 t E e ia   1 t  b   2 t  
e
i a1  b 2 t


1
 t 2 a 2 12  b 2 22  2 ab 1 2
e 2


1
i a1  b 2 t  t 2 a 2 12  b 2 22  2 ab 1 2
2
e

resultando la función característica de una distribución normal unidimensional
N  a1  b 2 ;

a 2 12  b 2 22  2ab1 2 

EJEMPLO
Partiendo de la función de densidad conjunta del ejemplo de la página 465
definimos la variable aleatoria  = -  + 2. Su función de densidad, unidimensional, es
N 5;
30,4 , ya que


E   a1  b 2   1 1  2  2  5
V    a 2 12  2abcov ;   b 2 22 
 a 2 12  2ab1 2  b 2 22  30,4
TEOREMA
Consideremos n variables aleatorias, 1, 2, ..., n, independientes N(j;j).
Definimos dos variables  y , combinaciones lineales de las primeras,

n
 a j j ;
j 1

n
 b j j
j 1
no siendo todas las constantes aj y bj iguales a cero. La función de densidad conjunta de
las nuevas variables es normal bidimensional.
Hallamos, primero, las esperanzas de las nuevas variables  y 
 n

n
 j 1

i 1
 
n
  E   E   a j j    a j E  j   a j  j
j 1
n
  E    b j  j
j 1
y a continuación, las varianzas
 n



 2  V   a j j    a 2j V  j    a 2j  2j
j 1
j 1
j 1
n
n
n
 2   b 2j  2j
j 1
recordemos que las variables j son independientes.
Por último, hallamos la covarianza de  y 

cov ;    E   E  





  E  




n
n
 n
 n

 E   a j j   a j  j    b j  j   b j  j  
j 1
j 1
 j 1
  j 1

 n
 n

 E    j   j a j    j   j b j  
  j 1
 j 1



n n
 n

2
 E    j   j a j b j     j   j  k   k a j bk  
j 1 k 1
 j 1

jk







n




n
n



  a j b j  j   j 2    a j bk E  j   j  k   k 
j 1
j 1 k 1
jk
la esperanza del doble producto es nula por ser las variables j y k independientes,
resultando
n
cov ;     a j b j 2j
j 1
EJEMPLO
Tenemos tres variables aleatorias independientes 1 ditribuidas N(i;i) y
definimos dos nuevas variables  y  cuya función de densidad conjunta calculamos.
Las variables son:
 = 1 + 22 + 33
 = -1 + 42 - 53
E[] = 11 + 22 + 33 = 14
E[] = -11 + 42 - 53 = -8
V() = 11 + 44 + 99 = 98
V() = 11 + 164 + 259 = 290
cov (;) = -11 + 84 - 159 = -104
 = -0,617
La expresión de la función de densidad conjunta resulta
1
 98 104   u 14 
v 8 
 

 104 298   v 18 
u 14

1
f (u; v ) 
e 1, 2386
265,336
1
A continuación expresamos la función de densidad conjunta de dos maneras
distintas, forma en que pueden presentarse
  u 14 
 u 14   v  8
 1, 234 
 
 0 ,8074  
  98 
 98   290

2
1
f ( u; v ) 
e
265,336
f (u; v )  0,0012e 0 , 000088 149 u
2
  v 8
  
  290
104 uv  49 v 2 3340 u  672 v  20692
9.3. Distribución normal bidimensional singular.
Fin del ejemplo




2


