DISTRIBUCION LOGNORMAL DE DOS PARAMETROS

1
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGIA
El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda
de Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayúscula y un valor
especifico de ella por minúscula.
Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a
 x  b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a,b). Si
conocemos la probabilidad P(a  x  b) para todos los valores de a y b, se dice que
conocemos la Distribución de Probabilidades de la variable x.
Si x es un número dado y consideramos la probabilidad P(X  x):
F(x)= P(X  x):
y llamamos F(x) la función de distribución acumulada
Ejemplo
Se tienen las probabilidades de que haya 1, 2, 3, ... etc, días nublados por semana en un
determinado lugar, con ellos calcule la distribución de probabilidades
P(x)
0.05
0.15
0.25
0.20
0.15
0.10
0.08
0.02
1.0
0.30
1.20
0.25
1.00
0.20
0.80
F(x)
f(x)
x
0
1
2
3
4
5
6
7
Total
0.15
0.60
0.10
0.40
0.05
0.20
0.00
F(x)
0.05
0.20
0.45
0.65
0.80
0.90
0.98
1.00
0.00
0
1
2
3
4
5
# dias nublados
6
7
0
2
4
6
8
# dias nublados
Si se tiene una variable aleatoria continua, la figura presenta el histograma de 85 años de
registro de caudales de crecientes (máximos instantáneos) en el río Magdalena, agrupados
en 9 intervalos de clase.
1
P(x)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.10
0.10
0.15
0.10
0.05
1.00
0.25
1.20
0.20
1.00
F(x)
0.05
0.15
0.30
0.50
0.60
0.70
0.85
0.95
1.00
0.80
0.15
F(x)
f(x)
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
0.10
0.60
0.40
0.05
0.20
0.00
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Qmáx instántaneo *10² (m³/s)
2
4
6
8
10
Qmáx instántaneo *10² (m³/s)
Cuando el número de observaciones se incrementa, el tamaño de los intervalos decrece y se
puede tener algo sí
0.35
1.20
0.30
1.00
0.80
0.20
F(x)
f(x)
0.25
0.15
0.60
0.40
0.10
0.20
0.05
0.00
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
Qmáx instántaneo *10² (m³/s)
9
10
0
5
10
15
Qmáx instántaneo *10² (m³/s)
donde f(x) es la llamada función de densidad de probabilidades y tiene las siguientes
características
i)



f ( x)dx  1
2
ii)
iii)
b
P(a  x  b)   f ( x)dx
a

b
b
f ( x)dx  0
Lo que implica que las probabilidades se definen solo como AREAS bajo la función de
densidad de probabilidad (FDP) entre límites finitos.
1.1
MOMENTOS DE LAS DISTRIBUCIONES
Las propiedades de las distribuciones pueden ser definidas completamente en términos de
los momentos. Los momentos en estadística son similares a los momentos en física
(rotación respecto al origen)

M r   x r f ( x)dx para la variable continua

n
M r   x r f ( x) para la variable discreta
j 1
o respecto a la media (eje de rotación diferente al origen)

M r   ( x   ) r f ( x)dx para la variable continua

n
M r   ( x   ) r f ( x) para la variable discreta
j 1
1.2
PARÁMETROS ESTADISTICOS
Los estadísticos extraen información de una muestra, indicando las características de la
población. Los principales estadísticos son los momentos de primer, segundo y tercer orden
correspondiente a la media, varianza, y asimetría respectivamente.
1.2.1 Media :
es el valor esperado de la variable misma . Primer momento respecto a la origen. Muestra
la tendencia central de la distribución

   x f ( x)dx

el valor estimado de la media a partir de la muestra es
1 n
x   xi
n i 1
3
1.2.2 Varianza ²:
mide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media.

 2   ( x   ) 2 f ( x)dx

el valor estimado de la varianza a partir de la muestra es
1 n
s2 
( xi  x) 2

n  1 i 1
en el cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar que la estadística de la muestra no
sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el
valor verdadero. Las unidades de la varianza son la media al cuadrado, la desviación
estándar  es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones que la media
y simplemente es la raíz cuadrada de la varianza, se estima por s. El significado de la
desviación estándar se ilustra en la siguiente figura
1.00
f(x)
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0
2
4
6
8
10
x
0.50
1.00
1.30
2.00
Efectos de la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación
estándar.
Coeficiente de variación Cv 
estimado es Cv 

es una medida adimensional de la variabilidad su

s
x
4
1.2.3 Coeficiente de asimetría 
la distribución de los valores de una distribución alrededor de la media se mide por la
asimetría. Se obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media, dividiéndolo por el
cubo de la desviación estándar para que sea adimensional.

E[(x   )3 ]   ( x   )3 f ( x)dx

tercer momento respecto a la media
 
1

3
E `[( x   ) 3 ]
n
Un estimativo del coeficiente de asimetría está dado por Cs 
n ( x  x) 3
i 1
(n  1)(n  2) * s 3
Ejemplo
Encontrar el valor medio de la precipitación si se tiene
Intervalo (mm)
100
110
120
130
140
150
160
Xi medio
110
120
130
140
150
160
170
105
115
125
135
145
155
165
Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
10
0.1
16
0.16
9
0.09
10
0.1
20
0.2
15
0.15
20
0.2
Total=100
2
x f(x)
10.5
18.4
11.25
13.5
29
23.25
33
x = 138.9
ANALISIS DE FRECUENCIA
El análisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el comportamiento
futuro de los caudales en un sitio de interés, a partir de la información histórica de caudales.
Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del
caudal asociado a un período de retorno. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad
de la serie histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades
seleccionada. Cuando se pretende realizar extrapolaciones, período de retorno mayor que la
longitud de la serie disponible, el error relativo asociado a la distribución de probabilidades
utilizada es más importante, mientras que en interpolaciones la incertidumbre está asociada
principalmente a la calidad de los datos a modelar; en ambos casos la incertidumbre es alta
dependiendo de la cantidad de datos disponibles (Ashkar, et al. 1994). La extrapolación de
frecuencias extremas en una distribución empírica de crecientes es extremadamente
riesgosa (Garcon, 1994).
5
Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribución de probabilidades
no es una función fácilmente invertibles se requiere conocer la variación de la variable
respecto a la media. Chow en 1951 propusó determinar esta variación a partir de un factor
de frecuencia KT que puede ser expresado:
X T    KT
y se puede estimar a partir de los datos
X T  x  KT s
Para una distribución dada, puede determinarse una relación entre K y el período de retorno
Tr. Esta relación puede expresarse en términos matemáticos o por medio del uso de una
tabla.
El análisis de frecuencia consiste en determinar los parámetros de las distribuciones de
probabilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un
período de retorno dado.
A continuación se describen las principales distribuciones de probabilidad utilizadas en
hidrología, la forma de estimar sus parámetros, el factor de frecuencia y los límites de
confianza. Estos últimos son indicadores de que tanta incertidumbre se tiene con las
extrapolaciones, puesto que determinar el rango de valores donde realmente estaría la
variables, si el rango es muy grande la incertidumbre es muy alta y si es pequeño, por el
contrario, habrá mucha confianza en el valor estimado.
3
3.1
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS
DISTRIBUCION NORMAL
La distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana, también
conocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces no se ajusta a los datos
hidrológicos tiene amplia aplicación por ejemplo a los datos transformados que siguen la
distribución normal.
3.1.1 Función de densidad:
La función de densidad está dada por
f ( x) 
1
 2
exp
1 ( x   ) 2
2 2
  x  
6
Los dos parámetros de la distribución son la media  y desviación estándar  para los
cuales x (media) y s (desviación estándar) son derivados de los datos.
3.1.2 Estimación de parámetros:
x
1 n
 xi
n i 1
 1

s
( xi  x) 2 

 n  1 i 1

n
1
2
3.1.3 Factor de frecuencia:
1. Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como
KT 
xT  

este factor es el mismo de la variable normal estándar KT  F 1 (1  Tr1 )
3.1.4 Limites de confianza:
X Tr  t(1 ) Se
donde  es el nivel de probabilidad t(1 ) es el cuantil de la distribución normal
estandarizada para una probabilidad acumulada de 1- y Se es el error estándar
3.2
DISTRIBUCION LOGNORMAL DE DOS PARAMETROS
Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que X se
distribuye normalmente.
Esta distribución es muy usada para el calculo de valores extremos por ejemplo Qmax,
Qmínimos, Pmax, Pmínima (excelentes resultados en Antioquia). Tiene la ventaja que X>0
y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría positiva ya que al sacar logaritmos
se reducen en mayor proporción los datos mayores que los menores.
7
Limitaciones: tiene solamente dos parámetros, y requiere que los logaritmos de la variables
estén centrados en la media
3.2.1 Función de densidad:
f ( x) 
1
x 2
exp
1 ( y   y )
2  y2
x0
y = ln x
donde, y : media de los logaritmos de la población (parámetro escalar), estimado y
y : Desviación estándar de los logaritmos de la población, estimado sy.
3.2.2 Estimación de parámetros:
y
1 n
 ln(xi )
n i 1
1
 1 n
2
sy  
(ln(xi )  y ) 2 

 n  1 i 1

3.2.3 Factor de frecuencia:
Puede trabajarse en el campo original y en el campo transformado.
2. Campo transformado: Si se trabaja en el campo transformado se trabaja con la media y
la desviación estándar de los logaritmos, así:
Ln(XTr) = xTr+KSy
de donde,
XTr = eln (xTr)
con K con variable normal estandarizada para el Tr dado, xy media de los logaritmos y Sy
es la desviación estándar de los logaritmos.
3. Campo original: Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como
8
1

ExpKT * ( Ln(1  Cv 2 )) 2

Kt 
Cv
 ln(1  Cv 2 ) 
  1
 
2


s
es el coeficiente de
x
variación, x media de los datos originales y s desviación estándar de los datos originales.
K es la variable normal estandarizada para el Tr dado, Cv 
3.2.4 Limites de confianza:
En el campo transformado.
Ln( X Tr )  t(1 ) ST
Se 
( S y )
n
1
 K 2 2
  1  T 
2 

en donde, n numero de datos, Se error estándar, KT variable normal estandarizada.
EJEMPLO: En un río se tienen 30 años de registros de Qmáximos instantáneos anuales
con x= 15 m3/s, S = 5 m3/s (media y desviación estándar para los datos originales).
xy=2.655, sy = 0.324 (media y desviación estándar de los datos transformados). Encontrar el
caudal para un periodo de retorno de 100 años y los limites de confianza para un  = 5%.
Calcular la probabilidad de que un caudal de 42.5 m3/s no sea igualado o excedido P(Q
4.25).
Solución:
n=30
x= 15 m3/s
s = 5 m3/s
xy=2.655
sy = 0.324
En el campo original
1

 ln(1  Cv 2 )  
2
2
ExpK * ( Ln(1  Cv ))  
 1
2



Kt 
Cv
9
Cv 
s
= 5/15 = 0.33
x
K = F-1(1-1/Tr) = F-1(1-1/100) = F-1(0.99)
de la tabla de la normal se obtiene KT=2.33
1

Exp2.33* ( Ln(1  0.332 )) 2

KT 
0.33
 ln(1  0.332 ) 
  1
 
2


KT = 3.06
QTr = 15 + 5 * 3.028
QTr = 30.14 m3/s
En el campo transformado se tiene que:
LnQTr100 = 2.655 + 2.33*0.324
LnQTr100 = 3.40992
QTr100 = Exp (3.40992)
Q Tr100 = 30.26 m3/s
Limites de confianza
Ln (QTr)  t(1-) Se
Se 
1
( S y )
 K 2 2
  1  T 
2 
n

1
 2.332  2
  1 

2 

 = 1.93
Se 
193
.  0.324
30
 011
.
t(1-) = t(0.95) = 1.645 (Leído de la tabla de la normal)
10
Ln(30.28)  (1.645 ) (0.11)
3.41  0.18095
[3.22905
3.59095]
[e3.22905
e3.59095]
[25.26
36.29]
Intervalos de confianza para QTr100
b) Calcular la probabilidad de que un caudal de 45 m3/s no se igualado o excedido P(Q
4.25).
Ln(42.5) = 3.75
t = (3.75 - 2.655)/0.324
F(3.38) = 0.9996 Leído de la tabla de la normal
P(Q 4.25) = 99.9%
3.3
DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I
Una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es
la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para
representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos).
3.3.1 Función de densidad:
f ( x) 
  (x   )
  ( x   ) 
exp
 exp





 
1
En donde  y  son los parámetros de la distribución.

 ( x   ) 
F ( x)   f ( x)dx  exp exp 

 


11
3.3.2 Estimación de parámetros

6

s
  x  0.5772
donde x
y s son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra.
3.3.3 Factor de frecuencia:
KT  

  Tr  
6

 
0.5772 ln ln
 
  Tr  1  

Donde Tr es el periodo de retorno. Para la distribución Gumbel se tiene que el caudal para
un período de retorno de 2.33 años es igual a la media de los caudales máximos.
3.3.4 Limites de confianza
Xt  t(1-) Se
Se 
 s
n
1
  [1  1.1396KT  1.1KT 2 ] 2
KT es el factor de frecuencia y t(1-) es la variable normal estandarizada para una
probabilidad de no excedencia de 1-.
EJEMPLO: Para el ejemplo anterior encontrar el Q de 100 años de periodo de retorno y
los intervalos de confianza. x= 15 m3/s, s = 5 m3/s
QTr100 = x + KT s
KT  
6

0.577 ln[ln100 ln(99)]
KT = 3.14
12
QTr100 = 15 + 3.14*5
QTr100 = 30.7 m3/s
Intervalos de confianza
t(1-) = t(0.95) = 1.645 (Leído de la tabla de la normal)
  [1  11396
.
(314
. )  11
. (314
. ) ]
2
1
2
 = 3.93
Se 
(3.93)  (5)
30
Se  3.58 m 3 / s
Xt  t(1-) Se
30.7 m3/s  (1.64) (3.58)
[24.83 m3/s
3.4
36.58 m3/s]
Intervalo de confianza para QTr100
DISTRIBUCION GAMA DE TRES PARAMETROS O PEARSON TIPO 3
Esta distribución ha sido una de las mas utilizadas en hidrología. Como la mayoría de las
variables hidrológicas son sesgadas, la función Gamma se utiliza para ajustar la distribución
de frecuencia de variables tales como crecientes máximas anuales, Caudales mínimos,
Volúmenes de flujo anuales y estacionales, valores de precipitaciones extremas y
volúmenes de lluvia de corta duración. La función de distribución Gamma tiene dos o tres
parámetros.
3.4.1 Función de densidad:
1  x  xˆ0 
f ( x) 


     
 1
 x  xˆ0 
exp 

 

donde,
x0  x   para   0
  x  x0 para   0
13
 y  son los parámetros de escala y forma, respectivamente , y x0 es el parámetro de
localización.
3.4.2 Estimación de parámetros:
2
 2 
;
 Cs 
ˆ  
ˆ  s
Cs
;
2
xˆ0  x  ˆ
Cs es el coeficiente de asimetría, x
muestra respectivamente.
y s son la media y la desviación estándar de la
3.4.3 Factor de frecuencia:
2
3
4
Cs 1 3
 Cs 
 Cs 
 Cs  1  Cs 
 ( z  6 z )   ( z 2  1)   z    
6 3
 6 
 6 
 6  3 6 
donde z es la variable normal estandarizada
5
K  z  ( z 2  1)
Este valor de K se encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la muestra.
3.4.4 Intervalos de confianza:
Xt  t(1-) Se
Se 
 S
n
Donde S es la desviación estándar de la muestra, n es el número de datos y  se encuentra
tabulado en función de Cs y Tr.
EJEMPLO: Se tiene una estación con 30 años de registros de caudales máximos
instantáneos con Media de 4144 pie3/s y desviación estándar de 3311 pie3/s. Si el
coeficiente de asimetría de los caudales es de 1.981 pie3/s cual es caudal para un periodo de
retorno de 100 años y su intervalo de confianza.
QTr100 = X+ SK
K es F(1.981, 100)
de tablas se obtiene K=3.595
(1.9,100) = 3.553
14
(2.0,100) = 3.605
QTr100 = 4144+ (3.595) (3311)
QTr100 = 16050 pie3/s
Intervalos de confianza
Xt  t(1-) Se
Se 
 S
n
 = F(1.981,100)
Se 
de tablas se obtiene  =8.4922
(1.9,100) = 8.2196
(2.0,100) = 8.5562
( 3311)  (8.4922)
30
Se = 5133.56 pie3/s
t(1-) = t(0.95) = 1.645 (Leído de la tabla de la normal)
16050  (5133.56) (1.645)
[7605.29 pie3/s
3.5
24494.71pie3/s]
Intervalos de confianza para QTr100
DISTRIBUCION LOG GAMMA O LOGPEARSON DE 3 PARAMETROS
Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se ajustan a una distribución Pearson tipo
III, se dice que la variable aleatoria X se ajusta a una distribución Log Pearson Tipo III.
Esta distribución es ampliamente usada en el mundo para el análisis de frecuencia de
Caudales máximos. Esta se trabaja igual que para la Pearson Tipo III pero con Xy y Sy
como la media y desviación estándar de los logaritmos de la variable original X.
3.5.1 Función de densidad:
1
 ln(x)  y0 
f ( x) 


x     


 1
 ln(x)  y0 
exp 




15
donde,
y0  y   para   0
  y  y0 para   0
 y  son los parámetros de escala y forma, respectivamente , y y0 es el parámetro de
localización.
3.5.2 Estimación de parámetros:
2
 2 
;
 Cs 
ˆ  
ˆ  s y
Cs
;
2
xˆ0  x y  ˆ
Cs es el coeficiente de asimetría, , x y
y s y son la media y la desviación estándar de los
logaritmos de la muestra respectivamente.
3.5.3 Factor de frecuencia:
ln(YTr )  xy  K  s y
2
3
4
Cs 1
 Cs 
 Cs 
 Cs  1  Cs 
K  z  ( z  1)  ( z 3  6 z )   ( z 2  1)   z    
6 3
 6 
 6 
 6  3 6 
donde z es la variable normal estandarizada
5
2
Este valor de K se encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la muestra.
3.5.4 Intervalos de confianza:
Xt  t(1-) Se
Se 
 Sy
n
Donde Sy es la desviación estándar de los logaritmos de la muestra, n es el número de datos
y  se encuentra tabulado en función de Cs y Tr.
16
4
AJUSTE DE DISTRIBUCIONES
Para la modelación de caudales máximos se utilizan, entre otras, las distribuciones Log Normal, Gumbel y Log-Gumbel principalmente. Para seleccionar la distribución de
probabilidades de la serie histórica se deben tener en cuenta algunas consideraciones.

Cuando en la serie histórica se observan “outliers1” es necesario verificar la
sensibilidad del ajuste debido a la presencia de estos, (Ashkar, et al. 1994)

Para el ajuste a las distribuciones Log-Normal, Log-Gumbel y Log-Pearson se
requiere transformar la variable al campo logarítmico para modelarla, con lo que se
disminuye la varianza muestral, pero también se filtran las variaciones reales de los
datos.

Las distribuciones de dos parámetros fijan el valor del coeficiente de asimetría, lo
que en algunos casos puede no ser recomendable. La distribución Log - Normal de
dos parámetros sólo es recomendable sí el coeficiente de asimetría es cercano a
cero. Las distribuciones Gumbel y Log - Gumbel son recomendables si el
coeficiente de asimetría de los eventos registrados es cercano a 1.13

Para ajustar distribuciones de tres parámetros (Log Normal III, Log Pearson) se
requiere estimar el coeficiente de asimetría de la distribución; para ello es necesario
disponer de una serie con longitud de registros larga, mayor de 50 años, (Kite,
1988). Las distribuciones de dos parámetros son usualmente preferidas cuando se
dispone de pocos datos, porque reducen la varianza de la muestra, (Ashkar, et al.
1994).

Para seleccionar la distribución de probabilidades adecuada se debe tratar de utilizar
información adicional del proceso hidrológico que permita identificar la forma en
que se distribuye la variable. Usualmente es muy difícil determinar las propiedades
físicas de los procesos hidrológicos para identificar el tipo de distribución de
probabilidad que es aplicable.

Kite (1988) y Mamdouh (1993) afirman que no existe consistencia sobre cual es la
distribución que mejor se ajusta a los caudales máximos y recomiendan seleccionar
el mejor ajuste a criterio del modelador con la prueba de ajuste gráfico o basado en
el comportamiento de las pruebas estadísticas de bondad del ajuste (por ejemplo Chi
Cuadrado, Smirnov-Kolmogorov, Cramer-Von Mises) en las que se calcula un
estimador y se compara con un valor tabulado para determinar si el ajuste es
adecuado o no. En la prueba de ajuste gráfica se dibujan los valores registrados en
la serie contra la distribución teórica de probabilidades y de manera visual
(subjetiva) se determina si el ajuste es adecuado o no.
1
Aunque no existe una definición generalmente aceptada, se puede entender como valores extremos, muy
superiores a los demás registrados (Ashkar, et al. 1994).
17
Cuando la información es adecuada el análisis de frecuencia es la metodología más
recomendable para la evaluación de eventos extremos, ya que la estimación depende
solamente de los caudales máximos anuales que han ocurrido en la cuenca y no da cuenta
de los procesos de transformación de la precipitación en escorrentía. Obviamente tiene
algunas limitaciones relacionadas con el comportamiento de la serie histórica y con el
tamaño y calidad de los datos de la muestra.

Cuando se presenten cambios o tendencias en la serie histórica se deben utilizar
técnicas estadísticas que permitan removerlos para poder realizar el análisis de
frecuencias (Kite, 1988; Mamdouh, 1993; Ashkar, et al. 1994).

La selección inadecuada de la distribución de probabilidades de la serie histórica
arrojará resultados de confiabilidad dudosa, (Ashkar, et al. 1994).

El tamaño de la muestra influye directamente en la confiabilidad de los resultados,
así a mayor período de retorno del estimativo mayor longitud de registros necesaria
para mejor confiabilidad en los resultados.
El ajuste a distribuciones se puede hacer de dos técnicas, con el factor de frecuencia como
se refirió en el numeral 2 o hallando la distribución empírica de los datos muestrales, por el
método de Plotting Position.
4.1
Plotting Position
Trabaja con la probabilidad de excedencia asignada a cada valor de la muestra. Se han
propuesto numerosos métodos empíricos. Si n es el total de valores y m es el rango de un
valor en una lista ordenada de mayor a menor (m=1 para el valor máximo) la probabilidad
de excedencia se puede obtener por medio de las siguientes expresiones
California
P
m
n
Weibull
P
m
n 1
Hazen
P
2m  1
2n
La expresión más utilizada es la Weibull. Con las anteriores expresiones se halla lo que se
conoce como la distribución empírica de una muestra, esta luego se puede ajustar a una de
las distribuciones teóricas presentadas anteriormente. Los resultados pueden ser dibujados
en el papel de probabilidad; este es diseñado para que los datos se ajusten a una línea recta y
se puedan comparar los datos muestrales con la distribución teórica (línea recta).
18
4.2
Pruebas de Ajuste
Para determinar que tan adecuado es el ajuste de los datos a una distribución de
probabilidades se han propuesto una serie de pruebas estadísticas que determinan si es
adecuado el ajuste. Estos son análisis estadísticos y como tal se deben entender, es decir,
no se puede ignorar el significado físico de los ajustes.
4.2.1 Prueba Smirnov Kolmogorov
El estadístico Smirnov Kolmogorov D considera la desviación de la función de distribución
de probabilidades de la muestra P(x) de la función de probabilidades teórica, escogida Po(x)
tal que Dn  max(P( x)  Po( x)) .
La prueba requiere que el valor Dn calculado con la expresión anterior sea menor que el
valor tabulado Dn para un nivel de probabilidad requerido.
Esta prueba es fácil de realizar y comprende las siguientes etapas:
 El estadístico Dn es la máxima diferencia entre la función de distribución
acumulada de la muestra y la función de distribución acumulada teórica escogida.
 Se fija el nivel de probabilidad , valores de 0.05 y 0.01 son los más usuales.
 El valor crítico D de la prueba debe ser obtenido de tablas en función de  y n.
 Si el valor calculado Dn es mayor que el D, la distribución escogida se debe
rechazar.
4.2.2 Prueba Chi Cuadrado
Una medida de las discrepancia entre las frecuencias observadas (fo) y las frecuencias
calculadas (fc) por medio de una distribución teórica esta dada por el estadístico χ²
k
( fo  fc )2
2
en donde  f o   f c
 
fc
i 1
si el estadístico χ²=0 significa que lae distribuciones teórica y empírica ajustan exactamente,
mientras que si el estadístico χ²>0, ellas difieren. La distribución del estadístico χ² se puede
asimilar a una distribución Chi-cuadrado con (k-n-1) grados de libertad, donde k es el
número de intervalos y n es el número de los parámetros de la distribución teórica. La
función χ² se encuentra tabulada. Supongase que una hipótesis Ho es aceptar que una
distribución empírica se ajusta a una distribución Normal. Si el valor calculado de χ² por la
ecuación anterior es mayor que algún valor crítico de χ², con niveles de significancia  de
0.05 y 0.01 (el nivel de confianza es 1-) se puede decir que las frecuencias observadas
difieren significativamente de las frecuencias esperadas (o calculadas) y entonces la
hipótesis Ho se rechaza, si ocurre lo contrario entonces se acepta.
19
20