Distribución binomial o de Bernoulli

Distribución binomial o de Bernoulli
Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito)
y su contrario
.
2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a
otra. Se representa por p.
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
Variable aleatoria binomial
Para un experimento que sigue el modelo binomial se define la variable aleatoria X que
expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. A esa variable
se la denomina variable aleatoria binomial.
La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar
los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Ejemplo:Lanzamos una moneda 10 veces. El experimento se ajusta al modelo
binomial. La variable aleatoria “número de caras” es una variable aleaoria binomial que
puede tomar los valores 0,1,2,3,4,….,10.
Distribución binomial
Un experimento que se ajusta al modelo binomial se suele representar por B(n, p),
donde n es el número de pruebas de que consta el experimento y p es la probabilidad
del suceso A (éxito).La probabilidad de
es 1− p, y la representamos por q.
Función de probabilidad de una variable aleatoria
binomial
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada
función de la distribución de Bernoulli, es:
n es el número de pruebas. k es el número de éxitos.
q es la probabilidad de fracaso.
p es la probabilidad de éxito.
Ejemplo:La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el
80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n=4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.2)
2.¿Y al menos 2?
Media y varianza de la distribución binomial
Media
Varianza
Desviación típica
Ejemplo :La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso
es p 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el
número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
Ejemplo :Supongamos el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de
cuatro monedas trucadas con triple de probabilidad de obtener cara que cruz.
Consideramos el suceso A= {obtener cara} con el siguiente espacio muestral.
1ª moneda 2ª moneda
3ª moneda
4ªmoneda
Resultado
nª caras
C
CCCC
4c
x
c
cccx
ccxc
3c
3c
x
ccxx
2c
c
cxcc
3c
x
cxcx
2c
c
cxxc
2c
x
c
cxxx
xccc
1c
3c
x
c
xccx
xcxc
2c
2c
x
c
xcxx
xxcc
1c
2c
x
c
xxcx
xxxc
1c
1c
x
xxxx
0c
c
c
x
c
c
x
x
c
c
x
x
c
x
x
Definimos la variable X = nº de caras obtenido en cada lanzamiento.
El lanzamiento de cuatro monedas:
- El experimento consiste en cuatro lanzamientos iguales n= 4
- Cada lanzamiento sólo tiene dos resultados posibles: A= obtener cara y A c= no
obtener cara = obtener cruz.
- La probabilidad p de obtener cara no varía de una moneda a otra: p= 0,75, y por
tanto q = 1-p= 0,25 tampoco.
- El resultado de cada lanzamiento es independiente de los resultados obtenidos en
los lanzamientos anteriores.
Por tanto, se trata de un experimento binomial y X es una V. a. discreta que sigue una
distribución B(4, 0,75) y por lo tanto su función de probabilidad es
 4
f ( x)  P( X  x)   .0,75x. 0,254  x con
 x
X= 0, 1, 2 , 3 y 4 viene dada en la tabla:
xi
0
1
2
3
4
f(xi)=pi
 4 0,750 0, 254
0
 4 0,7510, 253
1
 4 0,752 0, 252
2
 4 0,7530, 251
3
 4 0,754 0, 250
4
El número de caras que por término medio esperamos obtener es:
E[X] = µ = n . p = 4 . 0,75 = 3 caras con una desviación de
v[ X ]    npq  4.0,75.0,25  0,8660
Ejercicios de distribución binomial
En cada uno de los siguientes ejercicios indica porqué el
experimento descrito sigue el modelo binomial y resuelve la
cuestión que se plantea.
1Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras
que cruces.
2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan
de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30
años, vivan:
1. Las cinco personas.
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
3Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
4La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces
¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la
probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
5En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se
anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y
la desviación típica.
Considera las siguientes situaciones.
A.-En una urna tenemos 6 bolas marcadas con el número +1, seis bolas con el número 0
y 5 bolas con el número -1. Extraemos tres bolas al azar sin reemplazamiento y
contamos el número de bolas con signo positivo.
B.-2 de los 12 jugadores de un equipo de baloncesto han tomado sustancias prohibidas.
Al finalizar el encuentro se seleccionan a tres al azar para hacer un control antidopaje.
¿Por qué no siguen el modelo binomial?