UNIDAD 3 TEORIA DE PROBABILIDADES

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UNIDAD 3
TEORIA DE PROBABILIDADES
EL INTERÉS DE LA ESTADÍSTICA VA MÁS ALLÁ DE LA MERA DESCRIPCIÓN
DE LAS OBSERVACIONES.
Los fenómenos pueden ser determinísticos (que se pueden predecir por ecuaciones
matemáticas) o aleatorios (que no pueden predecirse exactamente).
En estadística se manejan datos aleatorios; en ellos no es posible efectuar predicciones
exactas mediante el uso de modelos matemáticos, pero al ser estudiados un gran número de
veces bajo condiciones semejantes se encuentra que los resultados presentan cierta
regularidad. Por lo tanto, nunca vamos a estar seguros de lo que vaya a pasar, pero con
base en la información del pasado podemos predecir con fundamentos.
El concepto de probabilidad ocupa un lugar importante en el proceso de toma de
decisiones bajo incertidumbre, no importa si el problema es enfrentado en el campo de los
negocios, de la ingeniería, en las ciencias sociales o simplemente en nuestras vidas diarias.
En muy pocas situaciones de toma de decisiones la información perfecta está disponible todos los factores u hechos necesarios-; la mayoría de las decisiones se toman encarando la
incertidumbre.
Precisamente, el objetivo de la teoría de probabilidades es poder hacer predicciones y tener
un elemento más de juicio en la toma de decisiones (si pronostico qué tan probable es que
ocurra algo, puedo determinar si tomo el riesgo o no).
Con la teoría de probabilidades se pueden construir modelos que describen adecuadamente
la regularidad de los resultados aleatorios, de tal forma que se puedan hacer predicciones.
1. CONCEPTOS BÁSICOS
a. Qué es?: Es la medición de la incertidumbre acerca de la ocurrencia de determinada
situación. Puede tomar un valor entre 0 y 1 (0 si es imposible y 1 si es seguro).
Si un experimento puede tener como resultado cualquiera de N diferentes resultados
igualmente probables y si exactamente n de esos resultados corresponden al evento A,
entonces:
P( A)  n
N
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La probabilidad de que no ocurra es: q = 1 – p
Una probabilidad también puede expresarse como p/q (p:q o de p a q). Aparte de su valor
en apuestas, esta manera de expresarla permite especificar una probabilidad pequeña (cerca
de cero) o una probabilidad grande (cerca de uno) usando números enteros grandes (1.000
a 1 o un millón a uno) para expresar probabilidades pequeñas (o probabilidades grandes)
con el objetivo de hacer las diferencias relativas visibles.
Dicho de otra manera, la probabilidad clásica de que un evento ocurra se calcula
dividiendo el número de resultados favorables entre el número de posibles resultados.
El enfoque anterior supone que los resultados experimentales son equiprobables; eso es
razonable si el caso es completamente aleatorio, pero tiene muchos problemas cuando
intentamos aplicarlo a los problemas de decisión menos ordenados que encontramos en la
realidad. Por eso, en general, lo mejor es calcular la probabilidad experimentalmente,
determinando la frecuencia con que algo ha sucedido en el pasado y mediante esa cifra
predecir la probabilidad de que vuelva a suceder en el futuro; por eso, la probabilidad de
un resultado puede interpretarse como el valor límite de la proporción de veces que el
resultado aparece en n repeticiones del experimento aleatorio, a medida que n crece sin
cota alguna.
Si n tiende a infinito, se da una estabilización de la frecuencia relativa (tiende a un límite
fijo). Por ejemplo, al lanzar un dado, es imposible que un valor determinado resulte en 1/6
de las observaciones; tampoco significa que si hacemos 600 observaciones, vamos a
obtener 100 de cada especie; pero si se repite muchas veces, en promedio, los 6 resultados
posibles se presentarán con frecuencias prácticamente iguales. Si esto no sucede, debemos
sospechar que otro factor está interviniendo en lo que observamos.
Las probabilidades que se usan en el análisis de decisiones pueden también provenir de
juicios subjetivos, es decir, puede ser definida por el grado de creencia en la ocurrencia del
resultado; por ello, personas distintas pueden asignar distintas probabilidades a un mismo
fenómeno. Para aplicar este método se puede usar cualquier dato disponible o la
experiencia e intuición de la persona que evalúa.
Cuando se asigna una probabilidad se está expresando un resultado del cual no se
tiene seguridad, pero con base en la información del pasado o a partir de una
comprensión de la estructura del experimento puede tenerse algún grado de
confianza en la validez de la información.
b. Experimento: Cualquier proceso que genere resultados bien definidos, lo cual quiere
decir que en cualquier repetición única del experimento ocurrirá uno y sólo uno de los
resultados experimentales posibles. En estadística, la noción de experimento es distinta de
la noción en ciencias físicas; en éstas, por lo general, un experimento se lleva a cabo en un
laboratorio o en un ambiente controlado, para aprender acerca de un hecho científico y
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cuando se repiten los experimentos bajo condiciones idénticas se espera obtener el mismo
resultado. En los experimentos estadísticos, los resultados están determinados por el azar y
aunque el experimento se repita exactamente en la misma forma, puede obtenerse un
resultado completamente distinto.
c. Espacio muestral (S): Conjunto de todos los datos posibles de un experimento
estadístico.
d. Punto muestral: Cada resultado de un espacio muestral. Se pueden especificar por un
diagrama de árbol, que es un dispositivo gráfico útil para visualizar un experimento de
varias etapas y enumerar los resultados experimentales.
La enumeración de puntos muestrales puede hacerse mediante un diagrama de árbol, que
es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, cada uno de los
cuales tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
EJEMPLO 3.1.
Considere el experimento de lanzar sucesivamente dos monedas. Describa el espacio
muestral
C
C
S
C,C
C,S
C
S,C
S
S,S
S
S  (C, C ),(C, S ),(S , C ),(S , S )
EJEMPLO 3.2.
De todos los bits transmitidos por un canal de transmisión digital 10% se reciben con error.
Describa el espacio muestral del experimento que consiste en evaluar los últimos 4 bits
transmitidos.
Solución:
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Si denotamos con E un bit erróneo y con C un bit sin error, el espacio muestral estará
constituido por los siguientes puntos muestrales:
S = {CCCC, CCCE, CCEC, CECC, ECCC, CCEE, CEEC, EECC, ECCE, CECE, ECEC,
EEEC, EECE, ECEE, CEEE, EEEE}
e. Evento o suceso (E): Subconjunto del espacio muestral (colección de puntos
muestrales). Un evento es el elemento básico al cual se puede aplicar la probabilidad; un
evento sucede o no sucede.
Por ejemplo, dado el espacio muestral S = {t/t≥0} donde t es la vida en años de un
componente eléctrico, entonces el evento A de que el componente se dañe antes del final
del décimo año es A = {t/0≤t<10}
Con los eventos se pueden efectuar las operaciones comunes de conjuntos (intersección,
unión y complemento) para describir cualquier caso en términos de eventos simples.
f. Evento aleatorio: Se dice que un evento es aleatorio cuando no se tiene certeza de si
ocurrirá o no en el momento de la observación.
Independientemente de la forma que se utilice para asignar una probabilidad, se deben
satisfacer dos requisitos básicos:
(1) 0  P( E)  1
(2) P(S) = 1, lo que implica que la suma de todas las probabilidades de resultados
experimentales debe ser 1. Por lo tanto, si un espacio muestral tiene k resultados
experimentales:
P( E1 )  P( E2 )  ......... P( Ek )  1
2. CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES
La capacidad de identificar y contar los puntos muestrales de un experimento es un paso
importante para comprender lo que puede suceder con él.
Las técnicas de conteo son aquellos métodos que son usados para enumerar eventos
difíciles de cuantificar.
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Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el
aditivo, los cuales se definen a continuación:
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO: Si un experimento se puede describir como una
sucesión de k etapas, en las que hay n1 resultados posibles en la primera etapa, n2 en la
segunda, etc., la cantidad total de resultados experimentales es igual a n1*n2*....*nk.
Esto es, la cantidad de resultados del experimento es el producto de las cantidades de
resultados posibles en cada etapa.
EJEMPLO 3.3.
Calcular cuantos números telefónicos que consten de 6 dígitos es posible diseñar si se
deben cumplir las siguientes condiciones:
a) El cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos.
b) El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos.
Solución:
a) 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900000 números telefónicos
b) 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136080 números telefónicos
PRINCIPIO ADITIVO: Si se desea llevar a cabo una actividad que tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de ellas puede hacerse de M maneras, la
segunda alternativa puede hacerse de N formas… y la última de las alternativas puede
hacerse de W formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de M + N + .........+
W formas.
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando
del aditivo?
Es muy simple: Cuando se trata de una sola actividad que debe ser llevada a cabo en
una serie de pasos, se hace uso del principio multiplicativo y si la actividad a
desarrollar tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio
aditivo.
Frecuentemente el interés recae en un espacio muestral que contiene como elementos a
todas las posibles ordenaciones o arreglos de un grupo de objetos.
Un arreglo puede distinguirse de otro por:
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1. Número de elementos.
2. Clase o naturaleza de los elementos.
3. Orden de los mismos.
Según estos criterios, pueden presentarse variaciones, permutaciones y combinaciones.
VARIACIONES: Agrupación de n elementos en grupos de r. Implica ordenación de los
elementos (importa el orden).
a) Sin repetición: Todos los elementos son distinguibles.
V( n, r ) 
n!
(n  r )!
EJEMPLO 3.4.
¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar si no se puede repetir ninguna cifra?
Solución:
El primer dígito puede ser cualquiera, excepto el cero y los tres restantes pueden elegirse
de V(9,3) formas; por lo tanto:
Cantidad de números = 9 *
9!
 4536
6!
b) Con repetición: Cuando los elementos se pueden repetir indefinidamente.
V ´´(n, r )  nr
( r puede ser mayor o menor que n)
EJEMPLO 3.5.
¿De cuántas maneras puede caer una lotería de 4 cifras que no tiene serie?
Solución:
Cantidad de números = 104 = 10000
PERMUTACIONES: Es un caso especial de las variaciones que se da cuando n = r.
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a) Todos los elementos diferentes:
Pn  n!
EJEMPLO 3.6.
Un proceso de manufactura está formado por 10 operaciones.
a) Si estas pueden efectuarse en cualquier orden ¿cuántas secuencias de producción
distintas son posibles?
b) Cinco de ellas deben terminarse antes de que pueda darse inicio a las otras cinco;
dentro de cada conjunto de cinco, las operaciones pueden efectuarse en cualquier
orden. ¿Cuál es el número de secuencias de operaciones distintas posible?
Solución:
a) 10! = 3628800
b) 5! * 5! = 14400
b) No todos son distinguibles: Si hay a elementos de una clase, b de otra y c de una
tercera:
n!
Pn 
a!b!c!
EJEMPLO 3.7.
Una pieza se etiqueta mediante la impresión de 4 líneas delgadas, 3 líneas medianas y 2
líneas gruesas. Si cada ordenamiento de las 9 líneas representa una etiqueta diferente,
¿cuántas etiquetas distintas pueden generarse con este esquema?
Solución:
9!
 1260 etiquetas
4!3!2!
Nota: Las calculadoras no hacen diferenciación entre variaciones y permutaciones. Las
variaciones son denominadas nPr
COMBINACIONES: Implica selección de los elementos sin importar el orden.
n
 n
n!
Cr    
 r  (n  r )!r!
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EJEMPLO 3.8.
Una tarjeta de circuito impreso tiene 8 posiciones diferentes en las que puede colocarse un
componente. Si se colocan 5 componentes idénticos sobre la tarjeta, ¿cuántos diseños
distintos pueden obtenerse?
Solución:
Número de diseños posibles =
8!
 56
5!*3!
EJEMPLO 3.9.
En una empresa se formará un comité de planeación a largo plazo con el encargo de
desarrollar un plan quinquenal estratégico para que la empresa ingrese al mercado de un
nuevo producto. El presidente ha identificado a 7 gerentes hombres capacitados como
candidatos para el comité y a 5 mujeres igualmente capacitadas, ¿de cuántas maneras se
puede formar el comité de tres miembros
a) si se exige que haya por lo menos una mujer en él?
b) si Natalia, una de las gerentes, tiene que estar en el comité?
Solución:
a) Podría suceder que en el comité haya sólo una mujer, o dos o tres. El número total de
posibles selecciones es:
 5   7   5  7   5 
  *           185
 1   2   2  1   3 
El problema también podría enfocarse como la resta entre todos los casos posibles
( 12 C3 ) y los casos en que los tres seleccionados sean hombres ( 7C3 ), así:
12  7 
      185
 3   3
b) En ese caso quedarían únicamente 11 personas seleccionables y dos cupos disponibles;
por lo tanto, el número de formas posibles:
11
   55
2
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3. REGLAS DE PROBABILIDAD
Es posible expresar gráficamente la relación entre eventos y el espacio muestral
correspondiente por medio de diagramas de Venn (espacio muestral con un espacio
cerrado –rectángulo- y los eventos con círculos).
EJEMPLO 3.10.
De los 95 estudiantes del nivel III de Administración y Negocios Internacionales de la
I.U.E. se encontró que 78 cursan Estadística, 65 Mercados, 69 Matemáticas III, 45 cursan
las 3 materias, 17 Estadística y Mercados pero no Matemáticas III, 15 Estadística y
Matemáticas III pero no Mercados y 3 Mercados y Matemáticas III pero no Estadística.
¿Cuál es la probabilidad de que uno de esos estudiantes no esté en ninguno de los 3 cursos?
Solución:
P(no curse ninguno) = 8/95 = 0.084
a) Eventos mutuamente excluyentes: Dos o más sucesos son considerados
mutuamente excluyentes si éstos no pueden ocurrir simultáneamente; es decir, la
ocurrencia de uno cualquiera de ellos excluye la ocurrencia de los otros. Dos eventos
mutuamente excluyentes no tienen elementos en común, lo que implica que:
P (A ∩ B) = 0
P (A U B) = P(A) + P(B)
b. Eventos no excluyentes: Si es posible que ambos ocurran simultáneamente.
En este caso:
P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P (A ∩ B) es diferente de 0.
P(A U B U C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
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EJEMPLO 3.11.
Se considera el caso de un pequeña ensambladora con 50 empleados. Se espera que cada
trabajador termine a tiempo sus labores, además de que el producto armado pase una
inspección final. A veces, algunos de los trabajadores no pueden cumplir con los
estándares de desempeño porque terminan su trabajo tarde y/o arman productos
defectuosos. Al terminar un período de evaluación de desempeño, el gerente de producción
vio que 5 de los 50 trabajadores habían terminado tarde su trabajo, que 6 de los 50 habían
armado productos defectuosos y que 2 habían terminado el trabajo tarde y también habían
armado productos defectuosos. Si se falla por lo menos en uno de los estándares de
desempeño, al empleado le pasan un memo. ¿Cuál es la probabilidad de que le pasen un
memo a un trabajador por estas causas?
Solución:
P(T) = 5/50
P(D) = 6/50
P(T  D) = 2/50
P(T  D) = P(T) + P(D) - P(T  D)
= 0.1 + 0.12 – 0.04
= 0.18
c. Probabilidad marginal, condicional y conjunta:

Probabilidad marginal es la probabilidad de un evento simple [P(A), P(B)]

Probabilidad conjunta es la probabilidad de que varios eventos ocurran
simultáneamente. Se denota como P(A∩B) o P(AB).
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
La probabilidad condicional se denota por P(B\A), lo cual indica la probabilidad de
que un evento B ocurra cuando ya se sabe que ocurrió el evento A. De la misma
forma P(A\B) indica la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B.
Las anteriores definiciones han sido expresadas para el caso de dos eventos, pero las
mismas ideas pueden aplicarse para cualquier número de eventos.
La probabilidad condicional de B dado que ocurrió A se define como:
P( B / A) 
P( A  B)
P( A)
y la probabilidad condicional de A dado que ocurrió B se define como:
P( A / B) 
P( A  B)
P( B)
Lo anterior implica que P(A∩B) = P(A)*P(B\A) o P(A∩B) = P(B)*P(A\B)
La noción de probabilidad condicional proporciona la capacidad de reevaluar la idea de
probabilidad de un evento a la luz de la información adicional.
EJEMPLO 3.12.
La siguiente tabla presenta la historia de 940 semiconductores de cierto proceso de
fabricación.
Contaminación
alta
No
Sí
Está en el centro del instrumento de
deposición electrónica
No
Sí
514
68
112
246
Suponga que se elige al azar un semiconductor.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la oblea esté en el centro del instrumento de deposición
electrónica y contenga un alto nivel de contaminación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la oblea esté en el centro del instrumento de deposición
electrónica o contenga un alto nivel de contaminación?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la oblea no esté en el centro del instrumento de
deposición electrónica y tampoco contenga altos niveles de contaminación?
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d) ¿Cuál es la probabilidad de que una oblea no tenga altos niveles de contaminación si se
sabe que está en el centro del instrumento de deposición electrónica?
e) ¿Que proporción de los altamente contaminados está en el centro de dicho instrumento?
Solución:
Sea A el evento en que la oblea tiene altos niveles de contaminación.
Sea B el evento en que la oblea está en el centro de un instrumento de deposición
electrónica.
a) P(A∩B) = 246/940
b) P (A U B) = P(A) + P(B) + P(A∩B)
= 358/940 + 314/940 –246/940
= 426/940
[o lo que es lo mismo: P (A U B) = (68 + 112 + 246)/940]
c) P(X) = 1 - P (A U B) = 514/940 (o directamente de la tabla)
d) P( A / B)  68/314 = 0.2166
e) P(B\A) = 246/358 = 0.6872
EJEMPLO 3.13.
El 80% de las empresas pequeñas del sector de alimentos no están preparadas para un
tratado de libre comercio con USA, al igual que el 63% de las empresas medianas y 30%
de las grandes.
El 80% de las empresas del sector son pequeñas, el 15% son medianas y el resto grandes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una empresa no esté preparada para el TLC y sea
pequeña?
b) ¿Qué porcentaje de las empresas están preparadas?
c) Si una empresa no está preparada para el TLC, ¿cuál es la probabilidad de que sea
pequeña?
d) Si una empresa es pequeña, ¿cuál es la probabilidad de que esté preparada?
Solución:
a) P(no ∩ P) = p(P) * p(no\P) = 0.8 * 0.8 = 0.64
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b) p(sí) = p(P)*P(sí\P) + p(M)*p(sí\M) + p(G)*p(sí\G)
= 0.8*0.2 + 0.15*0.37 + 0.05*0.7 = 0.2505
c) p(P\no) =
p( P  no) p( P) * p(no / P) 0.8 * 0.8


 0.8539
p(no)
1  0.2505
0.7495
d) p(sí\P) = 1 – p(no\P) = 1 – 0.8 = 0.2
Nota: Si se considera más fácil, este tipo de problemas puede resolverse mediante
porcentajes, así:
Nivel de
preparación
Total
No
Sí
Pequeña (P)
64
16
80
Tamaño
Mediana (M)
9.45
5.55
15
Grande (G)
1.5
3.5
5
Total
74.95
25.05
100
P(P ∩ no) = 64/100 = 0.64
P (sí) = 25.05%
P (P\no) = 64/74.95 = 0.854
P(sí\P) = 16/80 = 0.2
EJEMPLO 3.14.
Un lote de 100 circuitos integrados contiene 10 defectuosos. Se eligen dos al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en ser seleccionado sea defectuoso?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea defectuoso dado que el primero es
defectuoso?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean no defectuosos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero sea defectuoso y el segundo sea bueno?
Solución:
a) P(D1) = 10/100 = 0.1
b) P(D2\D1) = 9/99 = 0.091
c) P(B1 ∩ B2) = 90/100 * 89/99 =
0.809
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d) P(D1 ∩ B2) = 10/100 * 90/99 = 0.091
EJEMPLO 3.15.
Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se sacan 3 bolas al azar,
determinar la probabilidad de que a) todas sean rojas, b) todas sean blancas, c) 2 sean rojas
y 1 blanca, d) al menos 1 sea blanca, e) una sea de cada color, f) salgan en orden roja,
blanca y azul.
Solución:
a) P(R1R2R3) = P(R1)*P(R2\R1)*P(R3\R1R2) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0.0491
8
 
3
ó P(R1R2R3) =    0.0491
 20
 
3
 3
 
3
b) P(B1B2B3) =    0.000877
 20
 
3
17
 
3
d) P(0B) =    0.5965
 20
 
3
 8  3 
  
2 1
c) P(2R,1B) =     0.07368
 20
 
3
 8  3  9 
   
1 1 1
e) P(1 de c/color) =      0.1895
 20
 
3
f) P(R,B,A en orden) =8/20 * 3/19 * 9/18
= 0.03158
d. Independencia estadística: Dos eventos son independientes si la ocurrencia o no
de A no afecta para nada la probabilidad de ocurrencia de B.
En este caso:
P(A\B) = P(A)
y P(B\A) = P(B)
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Es decir, la ocurrencia de B no tiene impacto en la probabilidad de ocurrencia de A, o
viceversa.
Eso implica que, si dos eventos son independientes: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Es importante notar que los términos independiente y mutuamente excluyentes no
significan lo mismo. Si A y B son independientes y el evento A ocurre, el resultado de B
no se verá afectado, es decir, podrá ocurrir o no; no obstante, si A y B son mutuamente
excluyentes y el evento A ocurre, es seguro que el evento B no ocurrirá.
EJEMPLO 3.16.
Una gran empresa ha realizado un análisis cuidadoso de una promoción de precios que está
bajo prueba en este momento. Un 20% de las personas en una gran muestra de individuos
en el mercado de prueba están enterados de la promoción y han realizado una compra.
Además, el 80% está enterado de la promoción y, antes de ella, 25% de las personas de la
muestra compraban el producto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre, dado que está enterada de la
promoción?
b) ¿Son independientes los eventos “compró” y “enterado de la promoción de precios”?
c) ¿Recomendaría usted que la empresa introdujera esta promoción a nivel nacional?
Solución:
Sea:
C: Compra
a) P(C\S) =
S: Sabe de la promoción
P( S  C ) 0.2

 0.25
P( S )
0.8
b) Sí son independientes porque P(C\S) sigue siendo igual a P(C) antes de la promoción.
c) Por lo anterior, no sería recomendable introducir la promoción.
EJEMPLO 3.17.
El siguiente circuito trabaja sólo si existe una trayectoria de dispositivos en
funcionamiento, de a hasta b. La probabilidad de que cada dispositivo funcione aparece en
la figura. Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente. ¿Cuál es la
probabilidad de que el circuito trabaje?
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0,9
0,95
a
0,9
0,99
b
0,95
0,9
Solución:
P(trabaje)  (1  0.13 )(1  0.052 )(0.99)  0.987
EJERCICIO 3.18.
Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 bolas negras; otra contiene 3 bolas blancas y 5
bolas negras. Si se saca una bola de cada bolsa, hallar la probabilidad de que:
a) Ambas sean blancas.
b) Ambas sean negras.
c) Una sea blanca y la otra negra.
Solución:
a) P(B1B2) = 4/6 * 3/8 = 0.25
b) P(N1N2) = 2/6 * 5/8 = 0.2083
c) P(1B,1N) = P(B1N2) + P(N1B2) = 4/6 * 5/8 + 2/6 * 3/8 = 0.5417
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4. TEOREMA DE BAYES
Una parte importante del análisis de probabilidades es la actualización cuando se adquiere
información adicional. Generalmente el análisis se comienza con estimados iniciales
(probabilidades a priori) a los eventos específicos de interés; posteriormente, con base en
otras fuentes –como por ejemplo una muestra o un informe-, se obtiene información
adicional y con ella se modifican los valores de las probabilidades previas (probabilidades
a posteriori). El teorema de Bayes proporciona un método para calcular esas
probabilidades.
Dicho teorema sólo puede utilizarse cuando los eventos para los cuales se desea aplicar las
probabilidades a posteriori son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, es
decir, la unión de esos eventos es todo el espacio muestral.
La manera más simple e ilustrativa para describir esas probabilidades es un diagrama de
árbol, en el cual se muestran primero las probabilidades a priori y estas se subdividen en
los condicionales.
El Teorema de Bayes puede expresarse así:
Si tenemos un conjunto de posibles sucesos Ai (A1 ... An) mutuamente excluyentes (no
pueden ocurrir dos de ellos a la vez) y exhaustivos (constituyen todas las posibles
situaciones en un caso, o sea P(A1)+P(A2)+...+P(An)=1) y B es un suceso que puede
producirse en cualquiera de las tres situaciones, entonces:
Lo anterior es representado gráficamente en la siguiente figura: El cuadrado corresponde a
todas las situaciones posibles en un caso específico, que en este caso pueden dividirse en
tres: A1, A2, A3. El suceso B se puede producir en cualquiera de las tres situaciones.
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Como las categorías son mutuamente excluyentes:
P( A1 / B) 
P( B / A1 ) * P( A1 )
P( B / A1 ) P( A1 )  P( B / A2 ) P( A2 )  ....... P( B / Ak ) P( Ak )
Lo anterior constituye el famoso Teorema de Bayes. Para cualquiera de las otras
situaciones (A2, A3) la fórmula es similar.
EJEMPLO 3.19.
Un productor de videograbadoras compra un microchip particular, llamado LS-24, a tres
proveedores: Hall Electronics, Schuller Sales y Crawford Components. 30% de los chips
los compra al primer proveedor, 20% al segundo de ellos y lo restante al último. El
fabricante tiene largas historias sobre los tres proveedores y sabe que el 3% de los chips
LS-24 de Hall Electronics son defectuosos, 5% de los de Schuller Sales salen defectuosos
y 4% de los chips comprados a Crawford Components salen defectuosos.
Cuando los chips llegan a la fábrica los ponen directamente en una caja, sin
inspeccionarlos o identificarlos según el proveedor. Un trabajador toma un microchip para
19
instalarlo en una videograbadora y encuentra que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad
de que el proveedor haya sido Sculler Sales?
Solución:
La probabilidad que quiere determinarse puede describirse como P(A2\D).
Como el récord de calidad de Schuller es el peor de los tres proveedores, se puede suponer
que P(A2\D) es mayor que P(A2); para calcular qué tanto se aplica el Teorema de Bayes:
P( A2 / D) 
P( A2 ) P( D / A2 )
P( A1 ) P( D / A1 )  P( A2 ) P( D / A2 )  P( A3 ) P( D / A3 )
P( A2 / D) 
(0.2)(0.05)
 0.2564
(0.3)(0.03)  (0.2)(0.05)  (0.5)(0.04)
Esto es razonable porque el récord de calidad de Schuller no es tan bueno como el de los
otros proveedores; dicho de otra manera, como se tiene la información adicional de que el
LS-24 está defectuoso, la posibilidad de que haya sido producido por Schuller aumenta en
más de 5%.
La probabilidad a posteriori muestra también los cambios en las posibilidades de que la
pieza haya sido fabricada por otros proveedores; por ejemplo, se puede encontrar que la
probabilidad de que la pieza defectuosa haya sido fabricada por Hall Electronics se reduce
de una probabilidad a priori de 0.3 a una probabilidad a posteriori de 0.2308.
EJEMPLO 3.20.
Una planta recibe reguladores de voltaje de 2 proveedores B1 y B2; el 75% de los
reguladores se los compra a B1 y el resto a B2. El % de reguladores defectuosos que se
reciben de B1 es 8% y el de B2 es 10%.
a) Determinar la probabilidad de que un regulador funcione de acuerdo con las
especificaciones.
b) Suponga que cuando se reciben los reguladores se almacenan de tal manera que no
puede distinguirse el proveedor. ¿Cuál es la probabilidad de que un regulador haya sido
vendido por B2 si se sabe que funciona mal?
Solución:
a)
P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2)
20
= P(B1)*P(A\B1) + P(B2)*P(A\B2)
= 0.75 *0.92 + 0.25 *0.90 = 0.915
b) P(B2\D) = P(B2) * P(D\B2) / P(D)
= 0.25 *0.1/ 0.085
= 0.2941
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una planta recibe reguladores de voltaje de dos diferentes proveedores A y B; el 75% de
los reguladores se los compra a A y el resto a B. El porcentaje de reguladores
defectuosos que se reciben de A es 8% y el de B es 10%.
a) Determine la probabilidad de que un regulador funcione bien.
b) Si se saca uno al azar y es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que venga de B?
2. En determinada empresa, el 25% de los láseres de semiconductor se utilizan para
operaciones de respaldo de discos magnéticos y los restantes se emplean para
almacenamiento de información.
La probabilidad de que la vida útil de los láseres utilizados para respaldo sea mayor de
5 años es 0.95 y la de que la vida útil de los utilizados para información supere los 5
años es de 0.995.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) en dicha empresa un láser se emplee para respaldar información y dure más de 5
años?
b) el láser no se utilice para respaldar información y dure más de 5 años?
c) la vida útil del láser sea mayor de 5 años?
d) si un láser falla antes de 5 años, se haya empleado para respaldar información?
3. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de 3 distintos fabricantes: A, B
y C. El 50% del total se compra a A, mientras que a B y a C se le compra un 25% a
cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos si provienen de A es 1%, si proviene de
B es 3% y si proviene de C es 4%. Si los circuitos se almacenan en la planta sin
importar cuál fue el proveedor:
a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un
circuito defectuoso.
b) Si el circuito no está defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vendido
por B?
21
4. En el proceso de fabricación de cinta magnética la máquina 1 produce el 250% de
artículos que produce la máquina 2; el 5% de los artículos que produce la máquina 1
son defectuosos, en cambio la máquina 2 produce sólo un 1.5% de artículos
defectuosos.
a) Si se junta en un solo lote la producción diaria de las 2 máquinas y se toma una
muestra aleatoria de 8 artículos, halle la probabilidad de que contenga 3
defectuosos.
b) Si se selecciona un artículo y éste tiene algún defecto de producción, qué
probabilidad hay de que haya sido producido por 1?
5. Una secretaria tiene disponibles 2 líneas telefónicas. La primera la utiliza el doble del
tiempo que la segunda; la línea 1 está desocupada el 77% de las veces que la secretaria
pretende utilizarla, mientras que la línea 2 está ocupada el 60% de las veces que ella
quiere usarla.
a) Si al querer usar una línea, ésta está ocupada, ¿Qué probabilidad hay de que haya
tratado de utilizar la línea 1?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en 5 intentos consecutivos (en cualquiera de las 2
líneas), la línea empleada esté desocupada por lo menos 3 veces?
6. Un número binario está formado por n dígitos. La probabilidad de que aparezca un
dígito incorrecto es p y los errores en dígitos diferentes son independientes uno de otro.
a) ¿Cuál es la probabilidad de formar un número incorrecto? (Un número es
incorrecto si contiene por lo menos un dígito incorrecto).
b) Si el número contiene 5 dígitos y la probabilidad de que un dígito sea incorrecto es
0.05,
- ¿Cuál es la probabilidad de formar un número correcto?
- ¿Cuál es la probabilidad de formar un número que tenga 3 dígitos incorrectos?
7. En el análisis de laboratorio de muestras de un proceso electrónico, se analizan al día 5
muestras de éste. Además cada día se analiza 2 veces una muestra de control para
verificar la calibración de los instrumentos de laboratorio.
a) ¿Cuál es el número diario de posibles secuencias de muestras del proceso y de
control distintas? Suponga que las 5 muestras del proceso se consideran idénticas,
al igual que las 2 muestras de control.
b) ¿Cuál es el número de secuencias distintas de muestras del proceso y de control, si
se considera que las 5 muestras del proceso son distintas y las 2 de control son
idénticas?
c) Para la misma situación del inciso b, ¿Cuántas secuencias son posibles si la primera
prueba del día debe ser una muestra de control?
8. En una fábrica se utilizan 3 máquinas para producir el mismo artículo. A produce 350
artículos diarios, B produce 250 diarios y C 500 diarios. La probabilidad de que un
22
artículo sea defectuoso si es producido por A es 0.015. que sea defectuoso si es
producido por B es 0.02 y 0.05 es la probabilidad de que sea defectuoso si es producido
por C.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto seleccionado al azar no sea
defectuoso?
b) Si se sabe que ese producto elegido aleatoriamente es defectuoso, ¿Cuál es la
probabilidad de que haya sido producido por C?
9. La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen los requerimientos del
cliente. Del lote se eligen al azar 3 partes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras sean defectuosas y la tercera no lo
sea?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean defectuosas?
10. El 1% de los microcircuitos producidos en una fábrica se encuentran defectuosos si el
proceso de fabricación está bajo control; si el proceso está fuera de control se produce
un 20% de unidades defectuosas.
La probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control es 0.95. Si se escoge
aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de
que el proceso esté fuera de control?
11. El software para detectar fraudes en las tarjetas telefónicas utilizadas por los
consumidores, registra todos los días el número de áreas metropolitanas donde se
originan todas las llamadas. Se sabe que el 1% de todos los usuarios legítimos hacen al
día llamadas que se originan en dos o más áreas metropolitanas. Sin embargo, el 30%
de los usuarios fraudulentos hacen al día llamadas desde dos o más áreas
metropolitanas. La proporción de usuarios fraudulentos es 0.01%. Si el mismo usuario
hace en un día dos o más llamadas desde dos o más áreas metropolitanas, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea un usuario fraudulento?
12. El 7% de las operaciones de lectura en un sistema de almacenamiento de cinta
magnética se ven atenuadas por una alineación oblicua, el 12% de ellas son atenuadas
por una alineación descentrada y las restantes se realizan correctamente. La
probabilidad de un error en la lectura por una alineación descentrada es 0.05, por una
alineación oblicua es 0.03 y no hay posibilidad de error si la alineación es correcta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se presente un error?
b) Si no se presenta error en la lectura, ¿Qué probabilidad hay de que se haya hecho
una alineación descentrada?
13. Una planta recibe únicamente microcircuitos provenientes de los fabricantes X, Y y Z.
A X le compra el doble de lo que le compra a Y y a éste el doble de Z. Prefiere
comprarle a X porque el 99.5% de los microcircuitos que él le vende son de excelente
calidad, mientras que para Y y Z esas cantidades son respectivamente 92 y 85%.
23
a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un
circuito que no sea de excelente calidad.
b) Si un circuito es de excelente calidad, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
vendido por Y?
14. En un proceso se tienen únicamente 2 máquinas. La máquina 1 produce 4 veces el
número de artículos que produce la máquina 2; el 2% de los artículos de la máquina 1
son defectuosos, pero la máquina 2 produce sólo un 1% de defectuosos. Si se junta en un
solo lote la producción diaria y se toma una muestra de 8 artículos, ¿cuál es la
probabilidad de que salga máximo uno defectuoso?
15. Una forma de incrementar la probabilidad de operación de un sistema (confiabilidad del
sistema), es mediante la introducción de una copia de los componentes en una
configuración paralela. La NASA desea una probabilidad no menor de 0.99999 de que el
transbordador espacial entre en órbita alrededor de la tierra con éxito. ¿Cuántos motores
cohete deben configurarse en paralelo para alcanzar esta confiabilidad de operación, si se
sabe que la probabilidad de que cualquiera de los motores funcione adecuadamente es de
0.95? Suponga que los motores funcionan de manera independiente entre sí.
16. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de 3 distintos fabricantes X, Y y
Z. A Y y Z les compra por partes iguales, mientras que a X le compra el doble que a cada
uno de los otros. El porcentaje de circuitos defectuosos para X, Y y Z es 5, 10 y 12%
respectivamente. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quien fue el
proveedor:
a) Determinar la probabilidad de que un circuito sea defectuoso.
b) Si un circuito no está defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido
vendido por Y?
17. El sistema de cómputo de una universidad ha dejado de dar servicio porque necesita
reparaciones. Las suspensiones del servicio previas han sido causadas por fallas de
hardware, fallas de software o fallas de alimentación (electrónicas). El sistema ha tenido
que suspender el servicio el 73% de las veces que ha experimentado problemas de
hardware, 12% de las veces que ha tenido problemas de software y 88% de las veces
cuando el problema es electrónico. Los ingenieros de mantenimiento han determinado
que las probabilidades de los problemas de hardware, software y alimentación son 0.01,
0.05 y 0.02, respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se suspenda el servicio?
b) Si en este momento está suspendido el servicio, ¿cuál es la probabilidad de que se
deba a una falla de hardware?
18. De acuerdo con la experiencia de un profesor de estadística, los estudiantes que
normalmente desarrollan los ejercicios propuestos tienen una probabilidad de 0.95 de
aprobar el curso, pero quienes no los hacen tienen una probabilidad de 0.15 de aprobarlo.
El profesor estima que el 20% de los estudiantes hacen los ejercicios propuestos.
24
a) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ese curso?
b) Si un estudiante reprobó el curso, ¿cuál es la probabilidad de que haya cumplido con
la realización de los ejercicios propuestos?
19. Un proceso de fabricación puede estar ajustado o desajustado. Cuando está ajustado
produce un 1% de piezas defectuosas y cuando está desajustado un 10%. La probabilidad
de desajuste es 0.3.
a) Si se toma una pieza al azar y resulta buena, ¿cuál es la probabilidad de que el
proceso esté ajustado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea defectuosa?
20. Determinada práctica de laboratorio puede hacerse por los procedimientos X, Y o Z. El
procedimiento X es el más engorroso y costoso, pero si usted lo realiza, puede estar
seguro de obtener resultados adecuados; con el procedimiento Y se obtienen resultados
adecuados el 90% de las veces y con el procedimiento Z se obtienen resultados
adecuados el k% de las veces.
Si usted hizo la práctica y obtuvo resultados inadecuados, ¿cuál es la probabilidad de
haber utilizado el procedimiento Z?
Nota: Suponga que el procedimiento X se emplea A veces; el Y, B veces y el Z, C veces.
21. La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se mantiene seco durante el
período de garantía, es 1%. Si el conector se humedece, la probabilidad de falla durante
el período de garantía es 5%. Si el 90% de los conectores se mantienen secos y el 10% se
humedece, ¿qué proporción de conectores fallará durante el período de garantía?
22. En una fábrica se emplean dos máquinas M1 y M2 para la manufactura de tornillos.
Suponga que cada tornillo puede clasificarse únicamente como “bueno” o “malo”. M1
produce n1 cajas de tornillos por día, de los cuales p1% son malos, mientras que las
cantidades correspondientes para M2 son n2 y p2. De la producción total de ambas
máquinas para determinado día elegimos al azar una caja y de ella extraemos un tornillo
que después de observado resulta malo. ¿Cuál es la probabilidad de que hayamos elegido
una caja fabricada por M1?
23. La alineación entre la cinta magnética y la cabeza de un sistema de almacenamiento en
cinta magnética afecta el desempeño del sistema. El 10% de las operaciones de lectura se
ven atenuadas por una alineación oblicua, el 5% de ellas son atenuadas por una
alineación descentrada y las demás operaciones de lectura se realizan de manera correcta.
La probabilidad de un error en la lectura por una alineación oblicua es 0.01, por una
alineación descentrada es 0.02 y por una alineación correcta es 0.001.
a) Si se presenta un error en la lectura, ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a una
alineación oblicua?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se presente error?
25
24. La producción diaria de 1500 chips contiene 80 que no satisfacen los requerimientos del
cliente. Del lote se eligen al azar 3.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 2 primeros sean defectuosos y el tercero no lo
sea?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 sean buenos?
25. Un mecanismo eléctrico que tiene 2 interruptores deja de funcionar cuando ambos no
operan correctamente. El funcionamiento, adecuado o no, de cada interruptor es
independiente del otro y para cada uno la probabilidad de funcionar es 0.93. Encuentre la
probabilidad de que el mecanismo no funcione, desechando las causas que no provengan
de los interruptores.
26. En la prueba de la tarjeta de un circuito impreso en la que se utiliza un patrón de prueba
aleatorio, un arreglo de 10 bits tiene la misma probabilidad de ser uno o cero. Suponga
que los bits son independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean uno?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean cero?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 bits sean uno y los otros sean cero?
27. Un lote de 500 circuitos integrados contiene 5 defectuosos. Si se toman 2 al azar
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo circuito sea defectuoso si el primero lo
fue?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean defectuosos?
28. La probabilidad de que un circuito integrado expuesto a altos niveles de contaminación
durante la manufactura falle es 0.1, 0.01 es la probabilidad de que falle si es sometido a
niveles de contaminación medios y 0.001 es la probabilidad de que falle si está expuesto
a bajos niveles de contaminación. En una corrida de producción particular, el 20% de los
circuitos está expuesto a altos niveles de contaminación, el 30% a niveles medios y el
resto a bajos niveles. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un equipo que hace uso de
esos circuitos?
29. Un sistema consta de los componentes A y B. Todo el sistema funciona el 50% del
tiempo con A y B trabajando. El componente A falla el 15% del tiempo estando B
trabajando; el componente B falla el 5% del tiempo estando A operando. ¿Son los
componentes A y B estadísticamente independientes?
30. Una planta recibe reguladores de voltaje de dos diferentes proveedores; el 65% de los
reguladores se los compra a A y el resto a B. El porcentaje de reguladores defectuosos
que se reciben de A es 6% y el de B es 10%. Determine la probabilidad de que funcione
un regulador de acuerdo con las especificaciones.
31. El 2.5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el
proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso está fuera de control se
26
produce un 28% de unidades defectuosas. La probabilidad de que el proceso esté bajo
control es 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa,
¿cuál es la probabilidad de que el proceso esté bajo control?
32. Una cadena de tiendas de video vende tres marcas diferentes de DVD. De sus ventas de
DVD, 50% son de la marca 1 (la menos costosa), 30% son de la marca 2 y el resto de la
marca 3. Cada fabricante ofrece un año de garantía en partes y mano de obra. Se sabe
que el 25% de los DVD de la marca 1 requieren trabajos de reparación en garantía, en
tanto que los porcentajes correspondientes a las marcas 2 y 3 son 20 y 10%,
respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado
un DVD de la marca 1 que necesita reparación mientras está en garantía?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar tenga un DVD
que necesite reparación mientras esté en garantía?
c) Si un cliente regresa a la tienda con un DVD que necesita trabajo en el período de
garantía, ¿cuál es la probabilidad de que sea un DVD de la marca 1?
33. Dos bombas conectadas en paralelo fallan independientemente una de la otra en un día
dado. La probabilidad de que sólo la bomba más vieja falle es 0.1 y la probabilidad de
que sólo la bomba menos vieja falle es 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema
de bombeo falle en un día dado? (eso sucede si ambas bombas fallan)
34. Una compañía compra refacciones a M distribuidores y desea ordenar n pedidos. Se
hacen los pedidos de tal manera que cada distribuidor tiene las mismas posibilidades de
surtir cualquiera de los pedidos y que no existe ninguna restricción con respecto al
número de pedidos que se pueden ordenar con cualquier vendedor. Encuentre la
probabilidad de que un distribuidor en particular tenga exactamente k pedidos.
35. Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puede
colocarse un componente. Si se van a colocar 4 componentes distintos sobre la tarjeta,
¿cuál es el número de diseños diferentes posibles?
36. Una caja que contiene 50 unidades incluye 3 defectuosas. Se toma una muestra de 6.
a) ¿Cuántas muestras distintas de ese tamaño contienen dos piezas defectuosas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de 6 donde ninguna pieza sea
defectuosa?
37. Una firma de consultoría de computadores ha licitado en tres proyectos. Sea Ai=
proyecto i otorgado, para i = 1,2,3; suponga que P(A1) = .22, P(A2) =.25, P(A3)
=.28, P(A1A2) =.11, P(A1A3) =.05, P(A2A3) =.07, P(A1A2A3) =.01
a) ¿Por qué P(A1) + P(A2) + P(A3)  1?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un proyecto le sea otorgado?
c) Calcular e interpretar P(A1  A2)  A3
27
38. Una compañía utiliza tres líneas de producción diferentes –A1, A2 y A3- para fabricar
un componente en particular. De los fabricados por la línea A1 5% necesitan reproceso,
en tanto que el 8% de los producidos por A2 necesitan reproceso, al igual que 10% de
los de A3. La mitad de todos los componentes es producido por la línea A1, en tanto
que 30% son producidos por A2. Si un componente seleccionado al azar necesita
reprocesarse, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la línea A3?
39. Una máquina robótica de inserción contiene 10 componentes primarios. La
probabilidad de que cualquier componente falle durante el período de garantía es 0.01.
Suponga que los componentes fallan de manera independiente y que la máquina falla
cuando alguno de sus componentes falla. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina
falle durante el período de garantía?
40. La combinación en la bóveda de un banco consta de tres ruedas, cada una con 30
posiciones. Para poder abrir la bóveda con la combinación las tres ruedas deben estar
en la posición correcta.
¿Cuál es la posibilidad de que, si se selecciona al azar una posición en cada rueda, se
pueda abrir la bóveda?
41. El circuito siguiente trabaja si, y sólo si, existe una trayectoria de dispositivos en
funcionamiento de izquierda a derecha. Suponga que los dispositivos fallan de manera
independiente. En la figura siguiente se indica la probabilidad de falla de cada uno de
ellos; ¿cuál es la probabilidad de que el circuito trabaje?
0,01
0,01
0,1
0,1
0,1
42. Una fábrica que produce varilla de combustible nuclear debe sacar radiografías de cada
varilla e inspeccionarla antes de embarcarla. Uno de los inspectores ha notado que por
cada 1000 varillas que revisa 10 tienen fallas en el interior, 8 presentan fallas en la
envoltura y 5 tienen ambos tipos de defectos. En su informe trimestral debe incluir la
probabilidad de fallas de las varillas. ¿Cuál será esa probabilidad?
43. El 49% de las exportaciones antioqueñas tienen como destino Estados Unidos, 20% va
a países cercanos de Suramérica, 16% a Europa y el resto a otros países. El 45% de lo
que se exporta a Estados Unidos hace parte del sector agropecuario, al igual que 38%
de lo que se exporta a países cercanos, 60% de lo que se exporta a Europa y 50% de lo
que se exporta a otros países.
28
a) ¿Qué proporción de las exportaciones antioqueñas es de productos agropecuarios?
b) Si una exportación es de productos que no son agropecuarios, ¿cuál es la
probabilidad de que sea a Europa?
44. La empresa de telemercadeo XYZ ha encontrado que el 10% de los clientes potenciales
que ellos llaman, finalmente realizan la compra. Sin embargo, durante la primera
llamada muchos clientes piden que los vuelvan a llamar después. Estadísticas de los
últimos días han mostrado que de 30 personas que hicieron la compra, 12 habían
pedido que los llamaran después; de los 270 que no compraron, 46 habían pedido que
los llamaran después.
a) Si alguien pide que lo llamen después, ¿se justifica hacerlo? Responda basándose
en la probabilidad de ese hecho.
b) ¿Qué porcentaje de los que no pidieron que los llamaran después realizaron la
compra?
45. En una encuesta entre los estudiantes de Administración de la universidad se
obtuvieron los datos siguientes acerca del principal motivo del estudiante para solicitar
su ingreso.
Horario
Diurno
Mixto
Calidad
64
16
Motivo de la solicitud
Costo
Otros
156
105
45
36
a) Haga comentarios sobre el motivo principal para solicitar ingreso a la universidad.
b) Si un alumno es de horario mixto, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad sea el
motivo principal para haber elegido la universidad?
c) Si un estudiante de administración eligió la universidad por costo, ¿cuál es la
probabilidad de que sea de horario diurno?
d) Sea A el evento en que el alumno es de horario diurno y sea B el evento en que el
alumno menciona que la calidad de la universidad fue el principal motivo de su
solicitud. ¿Son independientes los eventos A y B?
46. a) ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números
1,1,1,2,3,3,3,3?
b) ¿Cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?,
c) ¿Cuántas de esas claves empiezan por el número dos y terminan por el número tres?
47. De entre 5 ingenieros de sistemas y 7 ingenieros electrónicos hay que constituir una
delegación de 2 ingenieros de sistemas y 3 electrónicos. ¿De cuántas formas podrá
hacerse si
a) todos son elegibles?
b) un ingeniero electrónico particular ha de estar en la comisión?
c) dos ingenieros de sistemas concretos tienen prohibido pertenecer a la comisión?
29
48. Una encuesta sobre las prestaciones a 254 ejecutivos de corporaciones indicó que a 195
se les dio celular, a 152 se les paga membresía a un club y a 110 se les daba ambas
cosas como una prestación asociada con su puesto.
a) Calcule la probabilidad de que uno de esos ejecutivos tenga al menos una de las dos
concesiones.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de esos ejecutivos no tenga alguna de las
concesiones?
49. El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores eléctricos y cinco
diferentes interruptores de arranque. ¿De cuantas maneras pueden seleccionarse dos
motores y dos conmutadores para un experimento de una antena de rastreo?
50. Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles
respuestas, de las cuales solo una es correcta, a) ¿en cuantas formas diferentes puede
un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta?. b) ¿en cuantas formas puede
un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas
incorrectas?
51. Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica al policía
que el número de matrícula del automóvil tenía las letras DUH seguidas por tres
dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Sí el testigo no puede recordar los otros
dos dígitos, pero está seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el número
máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía.
52. En una competencia de ciclismo participan A, B y C, A tiene el doble de posibilidades
de ganar que B y B el doble que C.
a) Determine la probabilidad de que gane B
b) Determine la probabilidad de que gane A o B.
53. En un lote de producción se tienen 150 artículos, de los cuales 30 son del tipo A, 60
del tipo B y 60 del tipo C, de los que el 15% de los productos del tipo A, 20% de los
productos del tipo B y 5% de los productos del tipo C, no cumplen con las
especificaciones, si se selecciona un producto de este lote al azar.
a) Determine la probabilidad de que el producto seleccionado no cumpla con las
especificaciones
b) Si el producto seleccionado no cumple con las especificaciones, ¿cuál es la
probabilidad de que sea un producto del tipo B?
c) ¿cuál es la probabilidad de que un producto cumpla con las especificaciones y sea
del tipo B?
30
54. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la
producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y
1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona
un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que
el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado
resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en
la máquina C?
55. Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81
y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es de 0.18. ¿Cuál es la
probabilidad de que un sistema con alta fidelidad, tenga alta selectividad?
56. En una planta electrónica, se sabe por experiencia que la probabilidad de que un
obrero de nuevo ingreso que haya asistido al programa de capacitación de la
compañía, cumpla la cuota de producción es de 0.86 y que la probabilidad
correspondiente de un obrero de nuevo ingreso que no ha asistido a dicho curso de
capacitación es de 0.35. Si 80% de la totalidad de los obreros de nuevo ingreso
asisten al curso de capacitación, ¿qué probabilidad existe de que un trabajador de
nuevo ingreso cumpla la cuota de producción?
57. Una multinacional realiza operaciones en 3 mercados diferentes: americano,
europeo y asiático. El 20% de las operaciones corresponden al mercado americano y
en el europeo y asiático realiza el mismo porcentaje de operaciones. Se sabe que el
10, 15 y 5% de las operaciones en los mercados americano, europeo y asiático,
respectivamente, sufre retrasos en los pagos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se produzcan retrasos en los pagos de las
operaciones que realiza la multinacional?
b) Calcule la probabilidad de que las operaciones en las que se producen retrasos
sean realizadas en el mercado europeo.
c) Si se toma una operación al azar, ¿qué probabilidad hay de que no tenga retraso y
corresponda al mercado americano?
RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS
1. a) 0.915
b) 0.294
2. a) 0.2375
b) 0.74625
c) 0.98375
d) 0.7692
3. a) 0.0225
b) 0.2481
4. a) 0.00292
b) 0.893
5. a) 0.4343
b) 0.7598
6. a) 1 –qn
b) 0.7738 y 0.00113
7. a) 21
b) 2520
c) 720
8. a) 0.968
b) 0.7092
31
9. a) 0.0032
b) 0.00019
10. 0.5128
25. 0.1351
42. 0.013
26. a) y b) (0.5)10
c) 0.2461
43. a) 0.4675 b) 0.12
11. 0.003
12. a) 0.0081
b) 0.1149
44. a) sí
27. a) 4/499
b) 0.00008
45. b) 0.165
c) 0.776
d) no
28. 0.0235
13. a) 0.047
b) 0.277
29. No
14. 0.992
30. 0.926
15. 4
31. 0.5066
16. a) 0.08
b) 0.245
32. a) 0.125
b) 0.205
c) 0.61
17. a) 0.031
b) 0.235
b) 0.074
46. a) 280
b) 15
c) 20
47. a) 350
b) 150
c) 105
48. a) 0.933
b) 0.067
33. 0.005
49. 280
34.
18. a) 0.31
b) 0.014
19. a) 0.72
b) 0.037
20.
c(1  k / 100)
0.1B  (1  k / 100)c
21. 0.014
n1 p1
22.
n1 p1  n2 p 2
23. a) 0.351
b) 0.9972
24. a) 0.0027
b) 0.8483
 M 1 
(1 / M ) * 

 M 
k
35. 1680
36. a) 535095
b) 0.6757
37. a) 0.53
b) 0.75
38. 0.29
39. 0.0956
40. 1/27000
41. 0.98803
nk
n
Ck
50. a) 1024
b) 243
51. 72
52. a) 0.28571
b) 0.857
53. a) 0.14
b) 0.5714
c) 0.32
54. a) 0.1167
b) 0.3193
55. 0.222
56. 0.758
57. a) 0.9 b) 0.6 c) 0.18
32