GUIA DE CLASE Nº 1

UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
ASIGNATURA
: ESTADISTICA APLICADA I
PROFESORES
: ILMER CONDOR
PERIODO ACADEMICO : 2005 – I
GUIA DE CLASE Nº 1
VARIABLES ALEATORIAS
Definición
Supongamos que se realiza un experimento ξ y que  es el Espacio Muestral formado por el
conjunto de todos los resultados del experimento. Diremos que X es una Variable Aleatoria si
a cada elemento s del espacio muestral le hace corresponder un número x = X(s) del nuevo
espacio X llamado Espacio Rango de X, el cual se define como el conjunto de todos los
valores posibles de la variable X.

X
X
s
x=X(s)
Responda a las siguientes preguntas:
a) Cómo se define un Espacio Muestral?
b) Cómo se define el Espacio Rango de X?
c) Los valores que toma la variable X son valores numéricos?
Ejemplos de variable aleatoria:
Para cada uno de los siguientes ejemplos describa el Espacio rango de la variable que se define.
1. Sea 1 el experimento que consiste en lanzar al aire una moneda tres veces. Sea X la variable
aleatoria definida como el número de caras obtenidas.
X = { 0, 1, 2, 3 }
2. Sea 2 el experimento que consiste en lanzar al aire dos dados. Sea X la variable definida
como el número de caras pares obtenidos.
X =
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3. Sea 3 el experimento que consiste en extraer una muestra de 5 productos de un lote de 100
productos en donde el 10% de ellos son defectuosos. Se define a X como el número de
productos defectuosos obtenidos en la muestra.
X =
4. Sea 4 el experimento que consiste en formar un comité de 3 miembros de un grupo de 5
varones y 4 damas. Se define a X como el número de damas que puede conformar el comité.
X =
5. Sea 5 el experimento que consiste en lanzar una moneda hasta que salga cara. Sea X el
número de lanzamientos que debe realizarse hasta obtener cara por primera vez. Sea Y la
variable definida como el número de lanzamientos que debe realizarse hasta obtener 3 caras
por primera vez.
X =
6. Sea 6 el experimento en el cual una nave de combate dispara proyectiles contra un puente.
El puente queda realmente inutilizado si tres proyectiles dan en el blanco. Sea X el número
de proyectiles que debe dispararse hasta que el puente quede realmente inutilizado.
X =
7. Sea 7 el experimento en el cual una nave de combate lanza proyectiles a una vía férrea. Esta
quedará destruida, si el proyectil cae a lo más, a 30 metros de la vía. Se define a X como la
distancia desde el punto de impacto del proyectil y la vía férrea. Qué valores debe tomar X
para destruir a la vía férrea?
X =
8. Sea 8 el experimento que consiste en observar el tiempo que un cliente tarda en ser
atendido por un cajero automático. Se define a X como dicho tiempo.
X =
9. Sea 9 el experimento que consiste en registrar el precio del dólar (en soles) durante una
semana. Sea X la variable definida como el valor del dólar en un día cualquiera.
X =
10. Sea 10 el experimento que consiste en descargar un archivo desde una página de Internet.
Sea X el tiempo que tarda en ser descargado el archivo.
X =
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Tipos de variable aleatoria:
Una variable aleatoria puede ser Discreta o Continua.
Definición de variable Discreta:
Una variable aleatoria es Discreta si su espacio rango es un conjunto finito o numerablemente
infinito (esto es, si sus elementos se pueden enumerar).
Definición de variable Continua:
Una variable aleatoria es Continua si su espacio rango es un conjunto infinito; es decir, si sus
elementos no pueden ser enumerados, en cuyo caso sólo se puede describir mediante un
intervalo (abierto o cerrado).
Ejemplo 2
Identifique el tipo de variable aleatoria (D, C) en cada uno de los ejemplos anteriores.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ejemplo 3
Identifique las siguientes variables aleatorias DISCRETA o CONTINUA y determine el rango
en cada caso.
Variable
Número de alumnos ausentes en el primer día de
clase
Precio de venta de un departamento
Tiempo que tarda un cliente en el supermercado
Número de operaciones diarias que realiza un agente
de bolsa
Número de disparos realizados hasta dar en el blanco
Tiempo que transcurre hasta que falle una PC
Número de clientes con saldo deudor en CC que hay
en un banco, en cierto momento
Funcionamiento de un banco: Tiempo en minutos,
entre llegadas de clientes
Llenar una lata de bebida: Cantidad de onzas
Auditar 50 devoluciones de impuestos: Nro. De
devoluciones con errores
Pesar un embarque de producción: Cantidad de libras
Tipo
Rango
De todo lo anterior,
El espacio rango de una variable discreta puede ser representado por un conjunto tal que
X = { x1, x2, x3, ..., xk }
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El espacio rango de una variable continua se puede expresar por un intervalo ( a , b ) tal que
X = ( a , b ) = {x / a ≤ x ≤ b }
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Definición de función de probabilidad de una variable aleatoria
Sea Ω es espacio muestral asociado a un experimento. Sea X una variable aleatoria discreta con
X su espacio rango. Diremos que p(xi ) es la función de probabilidad de X si
i)
ii)
p(xi ) ≥ 0  xi  X
0 ≤ p(xi ) ≤ 1
i 
iii)
 p( x )
 1
i
i 1
Esto es, x1 + x2 + x3 + ... + x = 1
Nota 1:
Toda función p(xi ) de cualquier variable aleatoria discreta deberá satisfacer las tres condiciones
para ser una función de probabilidad de la variable.
Nota 2:
Una función de probabilidad se conoce también como función de cuantía
Nota 3:
El par ordenado (xi , p(xi ) ) constituye la Distribución de probabilidad de X y se representa por
X
X1
p(xi
)
p(x1 )
X2
p( x2 )
X3
.........
Xn
p( x3 )
.........
p( xn)
Nota 4: Interpretación probabilística de p(xi ):
p(xi ) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xi. Esto significa que
p(xi ) = P( X = xi )
Otro sí:
Si se lanza una moneda tres veces y se define a X como el número de caras que se obtiene, p(2)
representa la probabilidad de que X tome 2; es decir, la probabilidad de obtener dos caras, lo
que se representa por: p(2) = P( X = 2 ).
A continuación veremos algunos ejemplos de funciones de variable aleatoria discreta.
Ejemplo 3
Un negocio de computadoras que atiende pedidos por correo, tiene 6 líneas telefónicas.
Denotemos por X el número de líneas en uso, en un momento determinado.
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Supongamos que la distribución de probabilidades de X viene dada por
X
p(x)
0
0.10
1
0.15
2
0.20
3
0.25
4
0.20
5
0.06
6
0.04
Para cada uno de los siguientes incisos defina el evento correspondiente y luego calcule la
probabilidad del mismo:
a) A lo más, tres líneas están en uso
Sea A el evento definido como: A: “A lo más, tres líneas están en uso”
Según esto, A = { X / X ≤ 3 }; es decir, A = { 0, 1, 2, 3 }
Luego
P(A ) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
De donde P(A) = 0.10 + 0.15 + 0.20 + 0.25 = 0.70
b) Menos de tres líneas están en uso.
Sea A el evento definido como: “Menos de tres líneas están en uso”
Según esto, A = { X / X < 3 }; es decir, A = { 0, 1, 2 }
Luego
P(A ) = PX < 3) = p(0) + p(1) + p(2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = ............
De donde P(A) = P(X < 3 ) = 0.10 + 0.15 + 0.20 = 0.45
c) Por lo menos tres líneas están en uso.
Si definimos a B como: “Por lo menos tres líneas están en uso” entonces B = {3, 4, 5, 6}
Luego P(B) = P(X ≥ 3) = 0.25 + 0.20 + 0.06 + 0.04 = 0.55
Nota:
Observe que, si usamos eventos complementarios, P(X≥ 3) = 1 – P(X < 3 ) = 1 – 0.45 = 0.55
d) Están en uso, entre 2 y 5 líneas, incluso.
Cómo definirías un cierto evento C para este problema?. C: ....................................................
P(C) = P(.......................) = .................................................
e) No están en uso entre 2 y 4 líneas, inclusive.
Si N: “No están en uso entre 2 y 4 líneas” entonces N = {..............................}
Cómo defines a un cierto evento R que sea complementario a N? N: ......................................
Encuentre P(N) usando P(M): ..................................................................................................
f) Por lo menos cuatro líneas no están en uso
Define al evento A de acuerdo a la pregunta.
Ahora define al evento B como complemento de A: ..........................................
Encuentra P(A) usando P(B): ..........................................................................
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Gráfico de la función de probabilidad
La gráfica de la función de probabilidad de una variable aleatoria se representa por
p(x3)
p(x2)
p(x1)
x1
x2
x3
g) Obtenga un gráfico de barras para esta distribución. Luego abra el archivo VaDiscreta.xls,
haciendo clic en la etiqueta de hoja Gráfico01.
Usando los datos de esta hoja responda a las siguientes preguntas:
- Cuál es el valor más probable de X?
- Cuál es el valor menos probable de X?
Use el Minitab para ingresar esta distribución y construya un gráfico similar. Para ello use la
siguiente secuencia:
- En Excel seleccione el rango A3:B10; copie
- Ejecute el Minitab
- Haciendo clic en la etiqueta gris de la columna 1, pegue lo copiado
- Use: <Graph> - <Scatter plot> - Seleccione <Simple> - <Ok>
- En <Y variables> ingrese C2 y en <X variables> ingrese C1
- Clic en <Data view> - <Data display> Haga clic en <Symbols> y <Project line>
- <Ok> - <Ok>
Pregunta: Compare los gráficos de Excel y Minitab. ¿Son iguales? Qué haría en
Minitab para obtener histogramas, como en Excel?. Para ello use lo siguiente:
- <Graph> - <Bar chart>. En <bars represent> seleccione <Values from a table> <Simple> - <Ok> . En <Graph variables> ingrese C2. En <Categorical
variables> ingrese C1 - <Ok>. Si desea puede usar otras opciones adicionales.
Ejemplo 4
Un contratista es requerido por el departamento de planeación de una ciudad para que remita 1,
2, 3, 4, ó 5 formatos para solicitar permiso de construcción. Sea X el número de formatos
requeridas por el siguiente solicitante. Se sabe que la distribución de probabilidad de X está
definido por p(x) = Kx; para X = 1, 2, 3, 4, 5.
a) ¿Cuál es el valor de K?
Como la suma de los p(xi) debe ser igual a 1, entonces: K(1) + K(2) + ...+ K(5) = 1. K = ......
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten por lo menos tres formas?
Define al evento R según la pregunta. R: .................................................
P(R) = P(X ..........) = .................................................
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten entre 2 y 4 formas, inclusive?
Cómo defines el evento W para esta pregunta? W: ...................................... P(W) = ...........
d) ¿Podría ser p(x) = x²/50 una función de probabilidad para x = 1, 2, 3, 4, 5? ¿Por qué?
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Ejercicio 1
Un técnico da servicio a máquinas de correspondencia en cierta ciudad. Dependiendo de la
avería, el servicio puede durar 1, 2, 3 ó 4 horas. Las distintas averías se presentan según la
x
siguiente distribución de probabilidad: p ( x )  , x = 1, 2, 3, 4. Siendo X el número de horas
10
de servicio.
a) Obtenga un gráfico para la distribución de probabilidad de X
b) Cuál es la probabilidad de que un servicio tarde a lo más 3 horas?
c) Se acaba de recibir una solicitud de servicio, pero no se conoce el tipo de avería. Son las
3:00 pm. Por lo general, los técnicos de servicio salen a las 5:00 pm. ¿Cuál es la
probabilidad de que un técnico deba trabajar horas extras para arreglar dicha máquina, hoy?
Ejemplo 5
La siguiente figura representa la gráfica de la función de probabilidad de la variable aleatoria X.
15/30
9/30
5/30
1/30
0
1
2
3
a) Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X
b) Cuál es la probabilidad de que X supere a 1?
Solución
a) Según la gráfica, p(0) = .......... p(1) = ........ p(2) = ...........
Con esta información complete la siguiente tabla
p(3) = ............
X
p(x)
b) Que X supere a 1 significa X > 1; luego P(X > 1) = ...................
Ejemplo 6
Una caja contiene 3 fichas de color rojo y una ficha de color blanco. Un experimento aleatorio
consiste en extraer fichas al azar una por una hasta que aparezca la ficha de color blanco, en
cuyo caso se termina de extraer las fichas. Determine la distribución de probabilidad del número
de intentos que debe realizarse
a) sin reposición
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b) con reposición
Solución
Sea B el evento: Extraer la ficha de color blanco.
Sea R el evento: Extraer la ficha de color rojo.
Sea X: El número de intentos hasta ..............
Según esto, los valores de X: .......................
P(B) = ..........
P(R) = .........
a) La primera ficha extraída puede ser blanca o roja.
Si la primera es blanca, termina. Si la primera es roja, se retira la ficha extraída y se extrae
otra. Si la segunda extraída es blanca, termina; si es roja, se retira y se extrae de nuevo. La
secuencia de eventos que se producen hasta que salga una ficha blanca y sus respectivas
probabilidades se muestran en el siguiente esquema:
B
RB
1
4
3 1
4 3
RRB
3 2 1
4 3 2
RRRB
3 2 1 1
4 3 2 1
Nota:
Tome en cuenta que las probabilidades han cambiado por cuanto el espacio muestral
disminuye de elementos en cada intento.
b) En este caso, puesto que después de cada intento se devuelve la ficha, entonces P(B) = ¼ y
P(R) = ¾, son constantes.
El esquema siguiente describe el experimento de este caso
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
...
3/4
3/4
3/4
3/4
3/4
Y los eventos que se generan son:
B
RB
RRB RRRB, RRRRB, ........
Con las probabilidades siguientes:
¼
(¾) ¼ (¾ )² (1/4) (¾) 31/4 (¾) 4 ¼
De manera que en el x – avo intento, tendremos ( ¾) x-1 ¼ por ello, la función de
probabilidad viene dada por p(x) = P(X = x) = ( ¾) x-1 ¼
Ejercicio 2
Un banco tiene tres cajeros automáticos ubicados en un centro comercial. En un día dado, el
primer cajero tiene una avería, con una probabilidad de 0.05, el segundo, con una probabilidad
de 0.10 y el tercero, con una probabilidad igual a 0.15. Obtener la distribución de probabilidad
de la variable aleatoria: Número de cajeros que tienen averías, durante este período.
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Ejercicio 3
Un encuestador realiza entrevistas en el campo, para una encuesta preelectoral. Para realizar una
entrevista tiene que realizar varios intentos independientes, ya que en este tipo de encuestas se
dan muchos rechazos. Si la probabilidad de lograr una entrevista en cada intento es 70%,
determine la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, definida como el número
de intentos hasta lograr una entrevista.
Nota:
En la hoja Grafico02 del archivo VaDiscretas.xls se encuentra la solución para este
ejercicio. Modifique la probabilidad de éxito y/o número de intentos. En cada caso
debe eliminar el gráfico antes de hacer otra prueba.
Ejercicio 4
Se venden 500 boletos de una rifa que consiste de un premio de $200; 4 premios de $50 y 10
premios de $5. Si cada boleto cuesta $1, y Ud. adquiere un boleto, construya la función de
probabilidad de la utilidad que pueda obtener.
Ejercicio 5
Un juego de dados consiste en lanzar dos dados. El jugador gana si la suma de las caras es igual
a 7 ú 11. Pierde si la suma es 2, 3 ó 4. En los otros casos continúa jugando hasta ganar o perder.
Si el juego termina cuando gana o pierde por primera vez,
a) Obtenga la distribución de probabilidad de la variable X: Suma de puntos en los dos dados
del primer lanzamiento.
b) Si definimos a Y como el número de veces que el jugador lanza los dos dados, hasta que
gane o pierda el juego, por primera vez, encuentre la distribución de probabilidad de Y.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador gane el juego recién en el tercer lanzamiento?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador pierda el juego recién en el tercer lanzamiento?
Ejercicio 6
La Oficina de Transporte del Ministerio de Industria y Transporte aseguró, hace poco, que cada
uno de los licitadores recibió igual consideración en la concesión de dos contratos para la
construcción de carreteras y que, de hecho, los dos beneficiarios de los contratos se
seleccionaron al azar de entre los cinco licitadores. Tres de ellos eran conglomerados de grandes
empresas constructoras y dos eran contratistas pequeños.
a) Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X definida como “Número
de contratos que logran las grandes empresas constructoras”.
b) Obtenga una gráfica de la distribución anterior
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Ejercicio 7
Un grupo de inversionistas extranjeros está interesado en desarrollar una tecnología de alta
densidad para televisores, y entrar al mercado de la electrónica. Una preocupación primordial de
los inversionistas es la tasa de unidades defectuosas en su línea de chips para computadora. Sea
X, el número de unidades defectuosas producidas por esta línea, durante un día normal, con una
función de probabilidad definida por
X
p(x)
0
0.40
1
0.30
2
0.15
3
0.10
4
0.05
a) Cuál es la probabilidad de que se produzca durante el día, al menos 3 unidades defectuosas?
b) En un día normal se produjo menos de 3 unidades defectuosas; ¿cuál es la probabilidad de
que en ese día se produzca exactamente un defectuoso?
Ejercicio 8
Para cada una de las siguientes funciones determine la constante K de tal forma que p(x)
satisfaga las condiciones de una función de probabilidad para la v.a. X
x
a) p( x)  , x = 1, 2, 3, 4
b) p(x) = Kx, x = 1, 2, 3, ..., 10, 11, 12
K
x
1
c) p( x)  K   , x = 0, 1, 2, …
 5
d) p( x)  K ( x  1)² , x=1, 2, 3
Ejercicio 9
En un lote de 8 artículos hay dos defectuosos. Del lote se toma una muestra de cuatro artículos
al azar y sin sustitución. Sea X el número de artículos defectuosos de la muestra. Determine la
función de probabilidad de X
Ejercicio 10
Durante el curso de un día, una máquina produce tres artículos, cuya calidad individual, definida
como defectuoso o no defectuoso, se determina al final del día. Sea X la v.a. definida como el
número de unidades defectuosas. Suponga que cada punto del espacio muestral tiene igual
probabilidad. Determinar la función de probabilidad de X.
Ejercicio 11
En el problema anterior, suponga que un artículo defectuoso representa una pérdida de S./ 250 y
uno bueno, de S./ 1000. Sea X la variable aleatoria que representa la utilidad total diaria.
Suponiendo que cada punto del espacio muestral tiene igual probabilidad, hallar la distribución
de probabilidad de X.
Ejercicio 12
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Se venden 1000 números para un sorteo en el que hay un premio mayor de S./ 5000; cuatro de
S./ 1000 y cinco premios de S./ 100. Si se define a X como el Beneficio neto al comprar un
número, encuentre la distribución de probabilidad de X.
Ejercicio 13
En un lote grande de artículos, el 10% son defectuosos. Se escogen al azar cuatro artículos.
Escriba la función de probabilidad de la variable aleatoria X, definida como el número de
artículos defectuosos entre los cuatro escogidos.
Ejercicio 14
Dos cañones tiran al blanco, alternativamente, hasta obtener el primer impacto por uno de los
cañones. La probabilidad de impacto por el primer cañón es igual a 0.30, mientras que con el
segundo es 0.70. Comienza a tirar el primer cañón. Hallar la función de cuantía de X e Y,
definido como el número de proyectiles lanzados por los cañones primero y segundo,
respectivamente, hasta dar en el blanco.
Ejercicio 15
Se lanza una serie de cohetes hasta que el primer lanzamiento exitoso tenga lugar. Si esto no
ocurre en 5 ensayos, el experimento se detiene y se inspecciona el equipo. Supóngase que hay
una probabilidad constante de 0.8 de tener un lanzamiento exitoso y que los ensayos son
independientes. Además, el costo del primer lanzamiento es K dólares, mientras que los
lanzamientos que siguen cuestan K/3 dólares. Cada vez que hay un lanzamiento exitoso, se
obtiene cierta cantidad de información que puede interpretarse como una ganancia financiera de
C dólares. Si X es el costo neto del experimento, hallar la distribución de probabilidad de X.
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