DISEÑO A FLEXIÓN DE UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA Se

DISEÑO A FLEXIÓN DE UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA
Se detallará a continuación distintos procedimientos para diseñar una viga, que no
necesariamente representan la forma correcta de diseñar vigas, pero que mostrarán algunos
resultados interesantes y sobre todo, una forma de pensar al momento de analizar las secciones,
sus propiedades, y los resultados obtenidos.
La viga a diseñar es la siguiente, una viga simplemente apoyada de 6[m] de luz, sometida
a carga viva y carga muerta:
, donde:
qD = 1 [T/m]
qL = 2 [T/m]
La sección de la viga se ha definido de la siguiente manera, una sección rectangular con
las siguientes medidas:
Utilizando los factores de mayoración de la norma, podemos obtener la carga de diseño:
qU = 1,2· qD + 1,6· qL
qU = 1,2· 1 + 1,6· 2
qU = 4,4 [T/m]
Y del diagrama de momentos de la viga simplemente apoyada, obtenemos el momento
de diseño:
MU = qU· L2/8
MU = 19,8 [Tm]
A.) Diseño Sin Acero A Compresión
En este punto se diseñará la viga sin refuerzo longitudinal superior, o en caso de que lo
hubiera, no se considerará la su aporte.
Controlar Momento Nominal (Imponer Mn = Mu/Φ)
La forma usual de diseño es obtener un área de acero con la cual se obtenga la
resistencia requerida, o sea, Mn ≥ Mu/Φ. Esto se logra condicionando las 2 ecuaciones de
equilibrio de la sección (momento y axial) al momento deseado M n, y considerando que no hay
fuerza axial resultante (flexión pura), considerando también las ecuaciones de compatibilidad
geométrica. El análisis de la sección es el siguiente:
Del dibujo, desconocemos: c, a, εs, As, Cc y Ts. Por compatibilidad geométrica (secciones
planas), podemos obtener relaciones entre c y εs:
, asumiendo la distribución rectangular de esfuerzos propuesta por la norma, obtenemos a
(β1 = 0,85 para fc’ ≤ 280 [kgf/cm2]):
a = β1· c = 0,85· c
Cc y la tensión Ts se obtienen directamente de:
Por lo que nos quedan solamente 2 incógnitas, As y c.
Finalmente, del equilibrio de la sección, se obtienen las 2 ecuaciones básicas de flexión y
fuerza axial, y las restringimos a las condiciones de diseño (N = 0, M = Mn), y tenemos un sistema
de ecuaciones para obtener As y la fibra neutra c:
Suponiendo que el acero está fluido:
Y reemplazando en la ecuación del momento, y obligando a que el momento nominal
cumpla con la resistencia requerida (suponiendo Φ = 0,9):
Reordenando y evaluando:
1535,3125· c2 – 162562,5· c + 2200000 = 0
Despejando la ecuación cuadrática, se obtiene:
c = 15,9299cm
, de lo que se obtiene:
As = 13,7016cm2
εs = 0,00547463333
Φ = 0,9
Calculando el momento nominal:
Mn = 22 [Tm] = Mu/Φ
Se comprueba entonces que el acero está fluido (sino tendríamos que suponer lo
contrario y volver a despejar las ecuaciones con los términos correspondientes), y que Φ = 0,9 ya
que εs > 0,005 (falla en tracción), sino, debería recomenzar con el nuevo factor (o tomar alguna
consideración).
Sin embargo el área calculada no necesariamente se puede obtener con fierros, por lo
que se debe intentar encontrar una combinación de fierros lo más ajustada posible
(sobredimensionando) para no variar mucho los valores anteriores, aunque se debe recalcular de
todas formas para comprobar. Se escoge en este caso poner 3 fierros de 16mm y 1 fierro de
32mm (3Φ16+Φ32). Se recalcula:
As = 14,0743cm2
De la ecuación de igualdad de fuerzas se despeja el eje neutro (suponiendo acero fluido):
c = 16,3632cm
Y de la compatibilidad geométrica:
εs = 0,00525022
Φ = 0,9
, con lo que se corrobora el factor de reducción Φ y se concluye el diseño. El momento
nominal final sería:
Mn = 22,48956 [Tm]
Y se comprueba la hipótesis de diseño:
Mn = 22,48956 [Tm] ≥ Mu/Φ = 22 [Tm]
FU = Mn/Mu = 1,135836 (factor de utilización)
Controlar Deformación del Acero (Imponer εs = 0,004)
A veces se busca, además de lograr la resistencia requerida a flexión, lograr que el
elemento tenga una capacidad de curvatura adecuada (capacidad de deformación,
ductilidad), lo cual de alguna forma se puede ver en la deformación unitaria del acero. Si bien se
define la falla en tracción (falla dúctil) con una deformación del acero sobre el 0,005, la norma
propone obtener una deformación sobre el 0,004.
Teniendo la deformación del acero como dato (y ya no el momento nominal requerido),
el eje neutro queda definido por geometría:
c = 19,28571429cm
De la ecuación equilibrio de fuerza axial, y como el acero está fluido, utilizamos la
ecuación correspondiente y obtenemos el área de acero:
As = 16,588cm2
, y con el acero y la fibra neutra definidos, podemos obtener el momento nominal:
Mn = 25,6409 [Tm]
Para una deformación del acero de εs = 0,004, el factor de reducción de resistencia
correspondiente es:
Φ = 0,81666
Y podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida:
Mn = 25,6409 [Tm] ≥ Mu/Φ = 24,2449 [Tm]
FU = Mn/Mu = 1,295 (factor de utilización)
Sin embargo, tenemos que restringir el área de acero a una combinación de fierros (un
poco menor, para cumplir con la limitación εs ≥ 0,004), intentando no alejarse mucho de la
calculada. Se escoge armar la viga a flexión con 4 fierros de 22mm y 1 fierro de 16mm. Podría
escogerse una combinación distinta, a criterio del calculista. Se recalcula:
As = 16,3363cm2
De la ecuación de igualdad de fuerzas se despeja el eje neutro (suponiendo acero fluido):
c = 18,99307cm
Y de la compatibilidad geométrica:
εs = 0,0041078562 ≥ 0,004
Mn = 25,33717 [Tm] (nótese que disminuyó, ya que disminuimos el área de acero)
Para la deformación del acero obtenida, el factor de reducción de resistencia
correspondiente es:
Φ = 0,8256546843
Y podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida:
Mn = 25,33717 [Tm] ≥ Mu/Φ = 23,98097 [Tm]
FU = Mn/Mu = 1,279655 (factor de utilización)
Controlar Deformación del Acero (Imponer εs = 0,005)
Como la falla en tracción está definida con un estiramiento del acero superior al 0,005, a
veces se intenta diseñar la viga para que suceda esto. El procedimiento de cálculo es análogo al
anterior.
Teniendo la deformación del acero como dato (y ya no el momento nominal requerido),
el eje neutro queda definido por geometría:
c = 16,875cm
De la ecuación equilibrio de fuerza axial, y como el acero está fluido, utilizamos la
ecuación correspondiente y obtenemos el área de acero:
As = 14,514509cm2
, y con el acero y la fibra neutra definidos, podemos obtener el momento nominal:
Mn = 23,06038 [Tm]
Para una deformación del acero de εs = 0,005, el factor de reducción de resistencia
correspondiente es:
Φ = 0,9
Y podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida:
Mn = 23,06038 [Tm] ≥ Mu/Φ = 22 [Tm]
FU = Mn/Mu = 1,16466 (factor de utilización)
Sin embargo, al igual que en los casos anteriores, debemos elegir una combinación de
fierros que nos den un área parecida a la que requerimos para cumplir con las condiciones
impuestas (un poco menor, para cumplir con la limitación εs ≥ 0,005), intentando no alejarse
mucho de la calculada. Se arma la viga a flexión con 2 fierros de 25mm y 4 fierro2 de 12mm, y se
recalcula:
As = 14,3414cm2
De la ecuación de igualdad de fuerzas se despeja el eje neutro (suponiendo acero fluido):
c = 16,67374cm
Y de la compatibilidad geométrica:
εs = 0,00509656 ≥ 0,005
Mn = 22,83686 [Tm] (nuevamente disminuyó, ya que disminuimos el área de acero calculada)
Para la deformación del acero obtenida, el factor de reducción de resistencia
correspondiente es:
Φ = 0,9
Y podemos comprobar que la resistencia nominal cumple con la requerida:
Mn = 22,83686 [Tm] ≥ Mu/Φ = 22 [Tm]
FU = Mn/Mu = 1,153377 (factor de utilización)
Resumiendo los 3 casos expuestos:
Diseño
Condición Impuesta
As [cm2]
c [cm]
Mn = Mu/Φ
14,0743
16,3632
εs = 0,004
16,3363
18,99307 0,0041079 25,33717 1,279655
εs = 0,005
14,3414
16,67374 0,0050966 22,83686 1,153377
εs
Mn [Tm]
FU
0,0052502 22,48956 1,135836
Para esta sección era posible lograr la deformación del acero recomendada por la
norma, εs = 0,004, con un factor de seguridad adecuado, sin embargo, para otras condiciones
puede que esto sea imposible de lograr.
B.) Diseño Con Fierro A Compresión
En el caso de que consideremos el aporte del acero en compresión (o diseñemos con él),
tenemos ahora 2 factores para controlar, As y As’. Por lo que ahora podemos controlar o imponer
2 condiciones a las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio. Si sólo quisiera controlar el
momento, me quedaría una variable dependiente de la otra, y el problema no tendría solución,
a menos que tomara alguna hipótesis que me de un dato (tomar armadura superior mínima,
etc…). También podría fijar las áreas de acero y variar las propiedades de los materias, o las
dimensiones de la sección por ejemplo, sin embargo, normalmente estas vienen previamente
definidas por la arquitectura de la obra.
Controlar Momento Nominal Y Deformación Del Acero (Imponer Mn = Mu/Φ y εs = 0,004)
En este caso tenemos una condición geométrica (que finalmente influye en los esfuerzos)
y una condición de fuerzas (o de resistencias). En la geometría, imponemos la deformación del
acero requerida:
c = 19,28571429cm
, y de la compatibilidad de deformaciones por secciones planas:
εs’ = 0,00222
Ahora, de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas:
, podemos establecer un sistema de ecuaciones en función de ambas áreas de acero, ya
que los demás valores son conocidos:
Y así imponemos ambas condiciones, εs = 0,004 obteniendo una fibra neutra c, y Mn =
Mu/Φ imponiéndolo en la ecuación de equilibrio de momentos de la sección. Reemplazando y
reordenando, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones (usando Φ = 0,81666 para εs = 0,004):
-4200· As + 4200· As’ = -69669,64287
84000· As + 84000· As’ = 2424489,796 – 1170698,82
En forma matricial (simplificando por fsy = 4200 [kgf/cm2]):
, y despejando, se obtiene:
As = 15,75704663cm2
As’ = -0,83096358cm2
El área de acero a compresión resultó negativa, por lo cual podemos concluir que no
necesita acero en compresión para lograr las condiciones deseadas. Este resultado era
esperable, ya que en la primera parte comprobamos que, utilizando solamente acero
traccionado, se lograba obtener la deformación deseada del acero y cumplir con los
requerimientos de resistencia. Nótese también que:
As – As’ = 15,757047cm2 + 0,8309636 cm2 = 16,588 cm2
Al sumar las áreas resultantes, la comprimida negativa pues resta a la tracción, se obtiene
el área que se requería sin considerar el acero comprimido. Este resultado también es lógico,
pues:
, se puede asimilar a un diseño sin considerar armadura comprimida, aunque la ecuación
de momentos pierde sentido, pues ambas áreas no necesariamente tienen el mismo brazo
respecto del centro de gravedad de la sección.
Finalmente, esta sección, con las dimensiones dadas, y con las cargas impuestas y los
factores considerados, no requiere de acero a compresión (o alguna otra solución) para lograr la
resistencia requerida y una deformación del acero adecuada.