Unitat_7.pdf

·
Matemàtiques 1
28
U NITAT DIDÀCTICA 7
ANALÍTICA. PROBLEMES
GEOMETRIA
Pàgina 162
■ m(6, 4)
m 10 + 2 , 3 + 5
2
2
Solució gràfica.
a) m´(7, 4)
b) m˝(5, 3)
a +b a +b
El punt mitjà de AB serà m 1 1 , 2 2 .
2
2
(
)
(
■
t
–2
–1
(x, y) (– 4, 6) (–1, 5)
)
0
1
2
3
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)
(11, 1)
Solució gràfica.
y = –1 x + 14
3
3
Pàgina 163
■ d(P, r) = 1; d(P, s) = 8; d(Q, r) = 5 =
= d(Q, s)
PQ = 5
a) P´Q´ = 13
b) P˝Q˝ = 5
→
d(A, B) = |AB | = √(b1 – a1)2 + (b2 – a2)2
Pàgina 165
→
→
1. MN = (–9, –6)
NM = (9, 6)
2. P, Q i R estan alineats.
3. k = –5
3
Pàgina 166
(
)
4. a) m = 11 , 4
b) P´(13, –11)
2
c) Q´(–2, 19)
d) A (5, 5)
e) B(4, 7)
Pàgina 168
5. a) x = –3 + 4t
t
(x, y)
–2
–1
(11, 21) (–7, 14)
b) x = 5 + 2t
y = 7 – 7t
0
1
2
3
(–3, 7)
(1, 0)
(5, –7)
(9, –14)
y = 2 + 2t
t
–2
–1
0
1
2
3
(x, y)
(1, –2)
(3, 0)
(5, 2)
(7, 4)
(9, 6)
(11, 8)
AFINS
I
MÈTRICS
6. a) x = 5 – 5t
y = –2 + 6t
b) x = 3
y = 7 – 7t
c) x = 7t
y=0
d) x = 1 + 2t
y = 1 + 2t
7. k = 10
Pàgina 169
8. α = 10° 18´ 17,4˝
⎧ x = 5 – 2t
9. a) r : ⎨
⎩y = 7 + t
⎧x
⎩y
b) r´: ⎨
= 3t
= 4t
Pàgina 170
10. r1 i r2 es tallen en un punt P(2, 1)
r2 = r3 (són la mateixa recta).
Són paral·leles. r3 // r4.
Pàgina 171
⎧ x = 3t
11. r: ⎨
⎩ y = 8/3 + 5t
12. r: 2x + 3y – 7 = 0
Pàgina 173
13. r: y = 3x – 5 → EQUACIÓ EXPLÍCITA
r: 3x – y – 5 = 0 → EQUACIÓ IMPLÍCITA
14. a) x + 2y – 15 = 0
b) 3x + y – 7 = 0
c) y = 1
d) x = –2
15. A(0, 4)
B (1, 1)
m = –3
Efectivament, és la de la recta y = –3x + 4.
16. s: y = –1 x + 3
r: y = 2 x + 2
2
3
t: y = 1
Pàgina 175
17. a) Són la mateixa recta.
b) Les rectes es tallen en un punt.
(x, y) = (–2, 7)
18. a) Són paral·leles.
b) Les rectes es tallen en un punt.
·
GEOMETRIA
(
(x, y) = 4 , 4
3 3
ANALÍTICA.
)
I
MÈTRICS
⎧x
⎩y
=0
⇒ x=0
=t
⎧ x = –1 – 5t
25. a) r´: ⎨
⎩ y = –3 + t
⎧x
⎩y
b) r˝: ⎨
20. a) dist(r, Q) =
= –2 + t
= 5 + 5t
26. a) L’equació implícita és 2x – 3y – 11 =
=0
b) L’equació implícita és x – y – 4 = 0
c) La recta paral·lela seria y + 3 = 0
d) La recta perpendicular és y + 3 = 0
27. y = 2 x – 2 ⇒ EQUACIÓ EXPLÍCITA
3
2x – 3y – 6 = 0 ⇒ EQUACIÓ IMPLÍCITA
28. 3x – 4y + 8 = 0
⎧ x = –3 + 2t
⎧x = 5 – t
29. a) ⎨
b) ⎨
⎩y = 1
⎩ y = –2 + 2t
d) dist(P, Q) = 13
2
√13
b) dist(Q, r) = 20
√29
c) dist(Q, r) = 26
√40
7
6
d) dist(Q, r) =
13
11
36
√
⎧x
⎩y
= 1 + 2t
⎧ x = –3 + 4t
d) s: ⎨
⎩ y = 2 – 6t
= 3 – 3t
30. B = (8, –7)
31. P´(5, 2)
32. D(2, 6)
33. P(2, 2)
34. k = –11
5
35. a) El punt de tall és (–3, –1)
b) El punt de tall és (2, –1)
c) El punt de tall és 2, – 1
2
c) s: ⎨
Pàgina 181
21. ⎧ x = –3 + 4t
⎨
⎩y = 7 – t
t
–2
–1
1
2
3
(x, y)
(–11, 9)
(–7, 8)
(1, 6)
(5, 5)
(9, 4)
⎧x
⎩y
= –6t
= 5 + 7t
r: 7x + 6y – 30 = 0
⎧x = 3
b) r: ⎨
⎩ y = 2 + 4t
x = 3 → recta paral·lela a l’eix Y
⎧ x = 8t
c) r: ⎨
⇒ r: y = 0 → eix X
⎩y = 0
⎧x = t
⎧x = 7
23. a) r: ⎨
; b) ⎨
⎩ y = 2t
⎩y = t
⎧x = t
⎧ x = –3t
c) ⎨
; d) ⎨
⎩ y = 6/3 = 2
⎩y = t
22. a) r : ⎨
⎧x
⎩y
AFINS
Eix Y: ⎨
Pàgina 176
19. a) dist(P, Q) = √85
b) dist(P, Q) = 5
c) dist(P, Q) = √145
24. Eix X: ⎨
PROBLEMES
=t
⇒ y=0
=0
(
Pàgina 182
36. r1: No hi pertany
r2: No hi pertany
r3: Sí que hi pertany
r4: Pertany a la recta r4.
37. a) k = –1
b) k = 0
38. a) dis(P, Q) = √32
b) dis(P, Q) = √50
c) dis(P, Q) = √160
39. k = –2
)
c) k = 5
2
Matemàtiques 1
29
·
Matemàtiques 1
30
GEOMETRIA
40. a1 = –1
ANALÍTICA.
PROBLEMES
a2 = –5
L’exercici té dues solucions possibles.
41. a) dist(P, r) = 4√5
5
b) dist(P, r) = 21
4
c) dist(P, r) = 9
2
42. a) dist(0, r) = 12
b) dist(0, r) = 9
5
2
c) dist(0, r) = 3
d) dist(0, r) = 0
43. dist(A, B) = 5 √5
2
44. a) dis OB = √40
b) dis(A, r) = 10
√10
c) a = 10
45. Resultat coincident amb el desenvolupament.
A = 12,5
46. A = 25
47. dist(r, r´) = 9√5
10
48. c1 = 10
c2 = –10
Les dues rectes solució seran dues rectes
paral·leles:
49. 2 = a
50. a) α = 45°
b) α = 90°
c) α = 45°
d) α = 63° 26´ 5,82˝
51. α = 56° 18´ 35,8˝
52. α = 26° 33´ 54,2˝
53. n = – √3
54. m = 3
n=4
Pàgina 183
55. t: y = – 1 (x + 3) + 2
2
s : És una recta paral·lela a l’eix de les y: x = 2
p: y = 2x + 2
r: y = – 3
2
56. k = –3
57. a) hB: 5x – 7y – 18 = 0
AFINS
I
MÈTRICS
b) mB: 6x – 18y – 12 = 0
c) z: 5x – 7y – 6 = 0
58. y = 1 + 3 x – 3
2
2
59. P 1 , 2
Q 8, 3
3
3
17
60. P
,0
3
61. Resultat coincident amb el desenvolupament.
62. P´ –4 , 8
5 5
63. AABCD = 71
2
64. Àrea = 46
5
→
65. La longitud de la mitjana és: |BM | =
(
( )
( )
(
)
( )
)
= √65
2 →
hB = |BP | = 3,528
66. P(8, 8)
67. Dues possibilitats:
⎧ P1(3 √10 – 8, 6 √10 – 16)
⎨
⎩ P2(–3 √10 – 8, –6 √10 , –16)
68.
( 18 , 158 )
( 54 , 34 )
⎧
⎪ P1
⎪
⎨
⎪
⎪ P2
⎩
69. c1 = 9
c2 = –21
70. C –5 , 3
3
Àrea ≈ 14,17
71. Hi ha dues possibles solucions:
t1: y = –3 x + 9
t 2: y = 2 x – 6
2
2
3
3
72. k1 = 50
k2 = –2
73. Solució gràfica.
r, s ) = 60° 15´ 18,4˝
(r, t ) = 34° 30´ 30,7˝
(
⵩
⵩
)
·
GEOMETRIA
ANALÍTICA.
PROBLEMES
⵩
(s, t ) = 85° 14´ 11˝
^
74. A = 29° 44´ 41,6˝
89.
^
B = 46° 13´ 7,9˝
^
C = 104° 2´ 10,5˝
90.
Pàgina 184
75. y = 1,73x + 2
76. y = 3x + 5
y = –1 x + 5
2
3
6
77. P1(–6, –6)
P2(2, –2)
78. y = 2 + –27 (x + 2) i
100
–37
y=2+
(x + 2)
10
79. r: x – y + 1 = 0
s 1: x – y + 7 = 0
s 2: x – 5 = 0
80. P´ = (3, –3)
81. A(0, –3)
C(–2, 1)
Àrea = 20
82. R 21 , 103
S 1 , –37 .
11 11
22 22
83. A 16 , 8
5 5
84. a) R(–6, 0)
S(2, –4)
b) α = 71º 33´
α = 108º 26´
85. A(0, 2)
B 10 , –4
D 8 , 10
3 3
3 3
86. P1(–15, 0), P2 3 , 0
7
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
( )
87. Doncs hi ha dos triangles, OPQ 1 i
OPQ2, en què:
Q1 13 , 3 i Q2 –11 , –3
2
2
(
) (
)
88. Resultat coincident amb el desenvolupament.
Àrea total = 9
2
91.
92.
93.
AFINS
I
MÈTRICS
→
→
|AB | + |CD |
· h = 21
2
2
–18 , –9
7
7
m= 3
4
r: x = –1
s: 5x + 3y – 10 = 0
2x + 3y + 5 = 0
(
)
Pàgina 185
94. Resultat coincident amb el desenvolupament.
95. Resultat coincident amb el desenvolupament.
96. a) La recta creua pel punt (0, 0).
b) És una recta paral·lela a l’eix OX.
c) És una recta paral·lela a l’eix OY.
97. Resultat coincident amb el desenvolupament.
98. Resultat coincident amb el desenvolupament.
99. • Si Ax0 + By0 + C = 0 ⇒ coincideixen; però això significarà que (x0, y0) ∈ r,
cosa que és falsa. Per tant, r ≠ s.
• Si Ax0 + By0 ≠ –C ⇒ r // s. Ara bé, com que
(x0, y0) ∉ r ⇒ Ax0 + By0 + C ≠ 0 ⇒
⇒ Ax0 + By0 ≠ –C
Per tant, r // s.
Per tant, t és la recta perpendicular a r que
passa pel punt (x0, y0).
100. mt = 2mr (el pendent es duplica)
m
ms = r (el pendent es redueix a la meitat)
2
mn = mr (el pendent no varia)
101. Resultat coincident amb el desenvolupament.
102. C(–1, 4)
B(1, 1)
D(–4, 2)
• La longitud de la diagonal serà:
→
→
|AC | = |BD | = √26
103. Hi ha dues solucions.
Matemàtiques 1
31
·
Matemàtiques 1
32
GEOMETRIA
ANALÍTICA.
C1(8, 4)
C2(0, 6)
D1(7, 0)
D2(–1, 2)
→
104. Perímetre = 4|AC | = 16 √2
Els vèrtexs B i D són:
(–1 – 2 √3 , 2 √3 ) i (–1 + 2 √3 , –2 √3 )
105. Dues solucions:
r1: y = –2x + 18 i r2: y = –2x – 18
106. a) D1(1, 2)
C1(5, 6)
1
3
5
C2 , 7
b) D2 ,
2 2
2 2
( )
( )
PROBLEMES
AFINS
(
107. C 12 , 4
5 5
I
MÈTRICS
)
108. a) a(x – 3) + b(y + 2) = 0
b) y = –2 + 7 (x – 3)
4
c) y = –2 – 1 (x – 3)
2
d) y = –2 – 5 (x – 3)
12
109. (1, –2).