dossier estiu.pdf

TRIGONOMETRIA
1.- Demostra les següents identitats trigonomètriques:
a)
b)
2.- Troba les raons trigonomètriques de 50º, sense calculadora, sabent que tg25º=0,47.
3.- Transforma en productes
a) 1 − 𝑠𝑖𝑛𝛼
b) 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
4.- Dues estacions A i B, situades en costats oposats d’una muntanya, es veuen des d’una
tercera estació C. Es coneixen les distàncies AC=11,5 Km i BC=9,4 Km, i l’angle C=59º.
Trobeu la distancia entre a A i B.
5.- Dos observadors en una plana, separats per una distancia de 5 km, troben que els angles
d’elevació d’un globus situat en el mateix pla vertical que ells son de 55º i 58º,
respectivament. Trobeu la distancia del globus a cadascun dels observadors i l’altura a què
està el globus.
6.- A partir del triangle següent:
Resoleu els triangles:
a) 𝛼= 33°, β=72º, c= 10 cm.
b) a = 6,5 cm, b = 5,1 cm i c= 2 cm.
c) a = 3,4 cm, b = 2,4 cm i 𝛾= 80°.
TRIGONOMETRIA. VECTORS. RECTES EN EL PLA
1. Les longituds dels costats d’un triangle són 8cm, 11cm i 13cm. Calcula el valor del sinus
de l’angle més petit d’aquest triangle.
2. Donats els punts Q(3,2) i R(-1,5), determina les coordenades (x,y) del punt P per tal que
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝑄𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 .
es verifiqui la igualdat 3𝑃𝑄
1
3. Demostra que el vector 𝑢
⃗ = |𝑣⃗| 𝑣 és unitari. Si 𝑣 = (5, −12), troba el vector unitari 𝑢
⃗ que té la
mateixa direcció i el maeix sentit que que el vector 𝑣 .
4. Els vertexs d’un triangle estan situats en els punts A(1,2), B(3,4) i C(7,-4).
a) Demostra que el triangle és rectangle en el vertex A.
b) Comprova que els costats del triangle verifiquen el teorema de Pitàgores.
c) Troba les coordenades del biacentre del triangle.
5. Donats els vectors 𝑝=(3,-4) i 𝑞=(2,1) calcula:
a) El seu producte escalar.
b) L’angle que formen.
c) Troba el vector de mòdul 2 que sigui ortogonalal vector 𝑝.
6. Determina l’equació general de cadascuna de les rectes següents:
a) La recta r de pedent m=-2 que conté el punt P (1,-4).
b) La recta s que passa pels punts A(4,-3) i B(1,2)
𝑥
𝑦
c) La recta t l’equació canònica de la qual és 2 + 3 = 1.
d) La recta u que passa pel punt Q(-3,5) i és paral.lela a la recta 4x-3y+17=0.
7. Donades les rectes x-2ay=1 i x+3y=8 calcula el valor de a perquè siguin:
a) Paral.leles.
b) Perpendiculars.
NOMBRES COMPLEXOS. FUNCIONS
1. Escriu en forma polar i trigonomètrica, els conjugats i els oposats de:
a) 4+4i
b)-2- 2i
2. Calcula la següent operació, donant el resultat en forma polar:
3. Realitza les sigüents operacions:
a)
b)
c)
(en forma polar)
(amb el Binomi de Newton)
4. Calcula totes les arrels de la següent equació:
x 5 +32=0
5. Calcula el domini de les següents funcions:
a) f(x)= 2x5 - 6x3+8x2-2
b)
c)
d)
e)
f)
6. Donades les funcions f i g calcula g◦f i f◦g.
7. Esbrina la funció inversa:
a)
b)
NOMBRES COMPLEXOS. FUNCIONS. EQUACIONS EXPONENCIALS.
1.- Escriu en forma polar i trigonomètr ica, el conj ugat i l’invers de 1- √3𝑖.
𝑥+3𝑖
2.- Troba ’’ x ’’ per a que el quocient 3+2𝑖
a) sugui imaginari pur;
b) sigui real.
3.- Calcula el domini de les següents funcions:
a)
b)
4.- Donades les funcions:
3𝑥 − 2
𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1
𝑥+3
Calcula:
a) f◦g
b) f-1
5.- Resol les següents equacions:
a) 2𝑥 ∙ 2𝑥−1 ∙ 2𝑥+1 = 64
b)9𝑥 − 4 ∙ 3𝑥 + 3 = 0
c) 53𝑥−1 = 17 (aplicant logaritmes)
6.- Calcula x en cadascuna d’aquestes igualtats:
a) log 3 𝑥 = −1
b)log 𝑥 63 = −3
2
c)ln 𝑥 = − 3
d) log √7 𝑥 = −2
e) log 1 √216
7
6
EQUACIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES.
1. Resol les següents equacions:
1−𝑥
1
a) √3 √3√3√3 = (3)
b) 54𝑥 − 3 · 52𝑥 − 10 = 0
c) 7𝑥 + 7𝑥+1 + 7𝑥+2 = 2793
d) 2log x- 4 log 2 = 3log x
e) ln 2 + ln (11 – x2)=2 ln (5 – x)
f) 73x+2 = 140
2. En una entidat bancària es depositen 15025 € al 3% d’interés compost anual. Quin és
el benefici que s’obtindrà al cap de cinc anys?
3. Representa gràficament les funcions:
a) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 2
b) 𝑓(𝑥) = 3 cos 𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 1
Per cada una de les funcions especifica el domini el recorregut i el peíode.
𝜋
4. El período de la funció 𝑓(𝑥) = sin 𝑘𝜋 é𝑠 2 . Calcula k.
5. Resol aquestes equacions trigonomètriques.
a) 2 cos 𝑥 + 1 = 0
b) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = cos 2𝑥 + 1
c) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = −1
d) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 2
6. Comprova que la igualtat és una identitat:
1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
LÍMITS I DERIVADES
1. Calcula els limits a l’infinit de les funcions següents:
a) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 6 + 𝑥 5 + 3𝑥 − 1
b)
c)
2𝑥 5 +5𝑥 3 −4
𝑥 3 −2
𝑓(𝑥) =
7𝑥−3
2𝑥 3 −𝑥
𝑓(𝑥) =
2. Donada la funció 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 −4𝑥 2 +3𝑥
𝑥 2 +𝑥−2
calcula f(x) quan x tendeix a 1.
3. Classifica les discontinuïtats de cada funció per al valor de x que s’indica:
a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−3
en x = 3.
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 < −1
en x = -1
2
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1
b) 𝑓(𝑥) = {
4. Aplica la definició per calcular la derivada de la funció següent en x= -3:
𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥
5. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 4)2 és creixent o
decreixent en x=3,5.
6. Les equacions trigonomètriques següents tenen solució immediata. Expressa, en cada
cas, totes les solucions:
a) tg 𝑥 = −√3
b) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = −1
c) sec 𝑥 = 2