Recursividad 2

Tema VII. Recursividad.
Recursividad. Concepto. Recursividad directa e
indirecta. Recursividad versus iteración.
Recursividad infinita. Ejemplos de problemas de
recursividad. Ventajas y desventajas.
Mgter. Oscar Adolfo Vallejos
FaCENA - UNNE
Recursividad
Premisas
• Las definiciones recursivas suelen responder a funciones que
se definen en base a un caso menor de sí mismas. Pero la
recursividad en programación tiene otras implicaciones.
• Substancial diferencia entre una función matemática y un
función programada.
• La recursividad en programación, aunque está permitida en
prácticamente todos los lenguajes modernos, no es una
herramienta demasiado útil en un entorno productivo.
• ¿Cuándo debo utilizar entonces recursividad?
Recursividad
Introducción
• El concepto de recursión aparece en varias situaciones de la vida
cotidiana, aunque en muchas no sabemos que estamos en
presencia de este concepto, por ejemplo, sacar fotocopias de
fotocopias, tomar una fotografía a otra fotografía.
• La recursión como herramienta de programación permite definir un
objeto (por ejemplo una estructura de datos - en términos de si
mismo. Un caso concreto de recursión ya visto en apartados
anteriores son las listas circulares, en donde una lista se llama a si
misma.
• Un ejemplo clásico en matemática es el factorial de un número,
potencia o la serie de Fibonacci.
Recursividad
Concepto
•
Un programa o subprograma que se llama a si mismo se dice que es recursivo.
•
El concepto de recursividad está ligado, en los lenguajes de programación, al
concepto de procedimiento o función. Un procedimiento o función es recursivo
cuando durante una invocación a él puede ser invocado a su vez él mismo.
•
La recursividad es una de las formas de control más importantes en la
programación. Los procedimientos recursivos son la forma más natural de
representación de muchos algoritmos.
•
Un razonamiento recursivo tiene dos partes: la base y la regla recursiva de
construcción. La base no es recursiva y es el punto tanto de partida como de
terminación de la definición.
Recursividad
Concepto
Entonces:
Base: La secuenciación, iteración condicional y selección son estructuras válidas
de control que pueden ser consideradas como enunciados.
Regla recursiva: Las estructuras de control que se pueden formar combinando de
manera válida la secuenciación iteración condicional y selección también son
válidos.
Un conjunto de objetos está definido recursivamente siempre que:
(B) algunos elementos del conjunto se especifican explícitamente
(R) el resto de los elementos del conjunto se definen en términos de los lementos
ya definidos, donde
(B) se llama base
(R) se llama cláusula recursiva
Recursividad
Concepto
Observaciones:
1. El procedimiento se llama a si mismo
2. El problema se resuelve, resolviendo el mismo problema pero de tamaño
menor
3. La manera en la cual el tamaño del problema disminuye asegura que el caso
base eventualmente se alcanzará.
Aplicaciones
La recursividad es un método poderoso usado en inteligencia artificial, su poder
es que algunos conceptos complejos pueden expresarse en una forma simple.
Las fórmulas recursivas pueden aplicarse a situaciones tales como prueba de
teoremas, solución de problemas combinatorios, algunos acertijos, etc.
Recursividad como técnica de Programación
• Una Técnica de programación que tiene su origen en
ciertos cálculos matemáticos.
• Consiste en describir los cálculos (o acciones) de una
manera autoalusiva (resolver problemas
describiéndoles en términos de ejemplares mas
sencillos de si mismos.
• Esta técnica puede entenderse como un caso
particular de programación estructurada.
Un ejemplo de referencia
Consideremos el cálculo del factorial de un entero positivo n que se define de
la siguiente forma:
Como, a su vez,
tenemos que n! se puede definir en términos de (n - 1)!, para
n > 0, así:
siendo por definición 0! = 1, lo que permite terminar correctamente los cálculos.
Por ejemplo, al calcular el factorial de 3:
Por lo tanto, si n es distinto de cero tendremos
que calcular el factorial de n - 1, y si es cero el
factorial es directamente 1:
La definición anterior podemos escribirla en Diagrama de Flujo,
Pseudo y su correspondiente codificación en Pascal …
Al ejecutarlo sobre el argumento 4, se produce
la cadena de llamadas sucesivas a
Fac(4), Fac(3), Fac (2), Fac(1) y a Fac(0), así:
En resumen
Los subprogramas recursivos se caracterizan por la posibilidad de
invocarse así mismos.
Debe existir al menos un valor del parámetro sobre el que se hace la
recursión, llamado caso base, que no provoca un nuevo cálculo
recursivo, con lo que finaliza y puede obtenerse la solución; en el
ejemplo del factorial, es el cero.
Si este valor no existe, el cálculo no termina. Los restantes se llaman
casos recurrentes, y son aquéllos para los que sí se produce un nuevo
cálculo recursivo; en el ejemplo, se trata de los valores positivos 1, 2,
3. . .
En las sucesivas llamadas recursivas los argumentos deben aproximarse a
los casos base,
Esquema de llamadas de Fac
El proceso de ejecución de un subprograma recursivo consiste en una cadena
de generación de llamadas (suspendiéndose los restantes cálculos) y
reanudación de los mismos al término de la ejecución de las llamadas
Para comprender mejor el funcionamiento de un subprograma
recursivo, recordemos el proceso de llamada a un subprograma
cualquiera:
• Se reserva el espacio en memoria necesario para almacenar los
parámetros y los demás objetos locales del subprograma.
• Se reciben los parámetros y se cede la ejecución de instrucciones al
subprograma, que comienza a ejecutarse.
• Al terminar éste, se libera el espacio reservado, los identificadores
locales dejan de tener vigencia y pasa a ejecutarse la instrucción
siguiente a la de llamada.
En el caso de un subprograma recursivo, cada llamada genera un nuevo ejemplar del
subprograma con sus correspondiente objetos locales. Podemos imaginar cada
ejemplar como una copia del subprograma en ejecución.
•
El subprograma comienza a ejecutarse normalmente y, al llegar a la llamada, se
reserva espacio para una nueva copia de sus objetos locales y parámetros. Estos
datos particulares de cada ejemplar generado se agrupan en la llamada tabla de
activación del subprograma.
•
El nuevo ejemplar del subprograma pasa a ejecutarse sobre su tabla de activación,
que se amontona sobre las de las llamadas recursivas anteriores formando la
llamada pila recursiva.
•
Este proceso termina cuando un ejemplar no genera más llamadas recursivas por
consistir sus argumentos en casos básicos.
•
Entonces, se libera el espacio reservado para la tabla de activación de ese ejemplar,
reanudándose las instrucciones del subprograma anterior sobre la tabla penúltima.
•
Este proceso de retorno finaliza con la llamada inicial.
Recursión Directa e Indirecta
Directa: El subprograma se llama directamente
a si mismo.
Recursión Directa e Indirecta
Indirecta: Un programa llama a otro subprograma y este a su vez al primero El
subprograma A llama al B y este a su vez llama al primero A, es decir que
luego de tantas llamadas el control regresa al subprograma A. Otro caso de
recursión indirecta es el caso b) de la figura, que muestra como un
subprograma llama a otro y este a un tercero y una vez ejecutado el
subprograma vuelve a donde fue llamado. En el ejemplo de la figura el
programa A llama al B y este al C; cuando finaliza la ejecución C vuelve a
donde fue llamado B y este a su vez al subprograma A – programa inicio.
En toda definición
recursiva de un
problema se debe
establecer un estado
básico. Es decir un
estado en el cual la
solución no se presente
de manera recursiva,
sino directamente.
Además la entrada
(datos) del problema
debe ir acercándose al
estado básico.
¿Cómo funciona la recursividad?
4!=4*3!
1!=1*0!=1*1
3!=3*2!
2!=2*1!
Recursividad Infinita
Recursividad Infinita
• Es muy importante que toda función recursiva
tenga un caso en el que no se llame a sí misma, o
las llamadas serían infinitas y el programa no
tendría fin.
• Por eso, siempre una función recursiva tiene una
condición inicial en la que no debe llamarse a sí
misma.
Funcionamiento Interno del Ej. Factorial
Funcionamiento Interno del Ej. Factorial
Cuando esta función es invocada, por ejemplo, para hallar el factorial
del número 3, se crean en la memoria de la computadora las
siguientes instancias:
y al finalizar comienza el retorno a la invocación anterior efectuándose las acciones que
habían quedado pendientes.:
Ejemplo 2: Serie de Fobonaci
Ejemplo 3: Torres de Hanoi
Un problema típico a resolver con recursión es el de las Torres de
Hanoi, ya que al aplicar esta herramienta el problema se simplifica
enormemente. Las Torres de Hanói es un rompecabezas o juego
matemático inventado en 1883 por el matemático francés Éduard
Lucas
Consiste en tres varillas verticales y un número indeterminado de discos que
determinarán la complejidad de la solución. No hay dos discos iguales, están
colocados de mayor a menor en la primera varilla ascendentemente, y no se
puede colocar ningún disco mayor sobre uno menor a él en ningún
momento..
Llamaremos A, B y C a cada una de las agujas sin importar el orden
siempre que se mantengan los nombres.
Consideremos inicialmente dos discos en A que queremos pasar a B
utilizando C como auxiliar. Las operaciones por realizar son
sencillas:
• Ahora supongamos que tenemos tres discos en A y queremos
pasarlos a B.
• Haciendo algunos tanteos descubrimos que hay que pasar los dos
discos superiores de A a C, mover el último disco de A a B y por
último pasar los dos discos de C a B. Ya conocemos cómo pasar dos
discos de A a B usando C como auxiliar, para pasarlos de A a C
usaremos B como varilla auxiliar y para pasarlos de C a B usaremos
A como auxiliar:
En general, Pasar n discos de A a B, consiste en
efectuar las siguientes operaciones
siendo 1 el caso base, que consiste en mover simplemente un disco sin generar llamada
recursiva. Ahora apreciamos claramente la naturaleza recursiva de proceso, pues para
pasar n discos es preciso pasar n-1 discos (dos veces), para n-1 habrá que pasar n-2
(también dos veces) y así sucesivamente.
Corrección de subprogramas recursivos
En este apartado presentaremos los conceptos y técnicas necesarias para la
verificación (o derivación) de subprogramas recursivos.
En este sentido, la pauta viene dada por la consideración de que un subprograma
recursivo no es más que un caso particular de subprograma en el que
aparecen llamadas a sí mismo. Esta peculiaridad hace que tengamos que
recurrir a alguna herramienta matemática, de aplicación no demasiado
complicada en la mayoría de los casos, que encontraremos en este libro.
El proceso de análisis de la corrección de subprogramas recursivos puede ser
dividido, a nuestro entender, en dos partes: una primera, en la que
consideraremos los pasos de la verificación comunes con los subprogramas
no recursivos, y una segunda con los pasos en los que se aplican técnicas
específicas de verificación de la recursión.
En resumen, para demostrar la corrección de un subprograma recursivo
hemos de comprobar:
•
La corrección del caso base.
•
La corrección de los casos recurrentes. Para ello, se supone la de las
llamadas subsidiarias, como ocurre en el paso inductivo con la hipótesis
de inducción.
•
Que las llamadas recursivas se hacen de manera que los parámetros se
acercan al caso base; por ejemplo, en el cálculo del factorial, en las
sucesivas llamadas los parámetros son n; n - 1;…., que desembocan en el
caso base 0, siempre que n > 0, lo cual se exige en la condición previa de la
función.
Recursión mutua
• Cuando un subprograma llama a otro y éste a su vez
al primero, se produce lo que se denomina recursión
mutua o cruzada, que consiste en que un
subprograma provoque una llamada a sí mismo,
indirectamente, a través de otro u otros
subprogramas.
• En estos casos, se presenta un problema para definir
los subprogramas, porque uno de ellos tendrá que
ser definido antes del otro, y la llamada que haga al
segundo se hace a un identificador desconocido,
contraviniendo la norma de Pascal por la que un
identificador tiene que ser declarado antes de usarlo.
Recursividad versus iteración
Si un subprograma se llama a si mismo se repite su ejecución un cierto
numero de veces.
Los procesos recursivos suelen ocupar más memoria y tardar un poquito más
que los iterativos porque cuando el compilador llama a una subrutina
guarda todas las variables locales.
En consecuencia, ¿Cuáles son las razones para elegir la recursión?
La razón fundamental es que existen numerosos problemas complejos que
poseen naturaleza recursiva y, en consecuencia, son más fáciles de
implementar con algoritmos de este tipo. Sin embargo, en condiciones
críticas de tiempo y de memoria, es decir, cuando el consumo de tiempo y
memoria sean decisivos o concluyentes para la resolución del problema, la
solución a elegir debe ser, normalmente la iterativa.
Recursividad versus iteración
La recursividad y la iteración (ejecución en bucle) están muy relacionadas,
cualquier acción que pueda realizarse con la recursividad puede realizarse
con iteración y viceversa. Normalmente, un cálculo determinado se prestará
a una técnica u otra, sólo necesita elegir el enfoque más natural o con el que
se sienta más cómodo.
Tanto la iteración como la recursión se basan en una estructura de control:
- la iteración utiliza una estructura repetitiva
- la recursión utiliza una estructura de selección.
La iteración y la recursión implican ambas repetición:
- la iteración utiliza explícitamente una estructura repetitiva
- la recursión consume la repetición mediante llamadas repetidas.
La iteración y la recursión implican cada una un test mientras que la recursión
termina cuando se reconoce un caso base o la condición de salida se alcanza.
Recursividad versus iteración
Ventajas y desventajas
Ventajas de la Recursión
Soluciones simples, claras
Soluciones elegantes.
Soluciones a problemas complejos.
Desventajas de la Recursión: INEFICIENCIA
Sobrecarga asociada con las llamadas a subalgoritmos
• Una simple llamada puede generar un gran numero de llamadas recursivas.
(Fact(n) genera n llamadas recursivas)
• ¿La claridad compensa la sobrecarga?
• El valor de la recursividad reside en el hecho de que se puede usar para resolver
problemas sin fácil solución iterativa.
- La ineficiencia inherente de algunos algoritmos recursivos.
La recursividad se debe usar cuando sea realmente necesaria, es decir, cuando no exista
una solución iterativa simple.
BIBLIOGRAFIA. Especifica:
•
Fundamentos de programación. Algoritmos, estructuras de datos y objetos; Luis Joyanes
Aguilar; 2003; Editorial: MCGRAW-HILL. ISBN: 8448136642.
•
ALGORITMOS, DATOS Y PROGRAMAS con aplicaciones en Pascal, Delphi y Visual Da Vinci.
De Guisti. Armando. 2001. editorial: Prentice Hall. ISBN: 987-9460-64-2
•
ANALISIS Y DISEÑO DE ALGORITMOS: UN ENFOQUE TEORICO PRACTICO. Dr. Jose I. Pelaez.
2003. Editorial: UMA. ISBN: 84-7496-971-9.
•
PROGRAMACIÓN; Castor F. Herrmann,María E. Valesani.; 2001; Editorial: MOGLIA
S.R.L..ISBN: 9874338326.
•
ESTRUCTURA DE DATOS; Cairó y Guardati; 2002; Editorial: MCGRAW-HILL. ISBN:
9701035348.
BIBLIOGRAFIA. General
W. I. Salmon. Introducción a la computación con Turbo Pascal. Addison-Wesley Iberoamericana, 1993.
J. Castro, F. Cucker, F. Messeguer, A. Rubio, Ll. Solano, y B. Valles. Curso de programación. McGraw-Hill, 1993.
Se ofrecen buenos enfoques de la programación con subprogramas. El primero de ellos introduce los subprogramas antes incluso
que las instrucciones estructuradas. El segundo ofrece una concreción de los conceptos de programación modular
explicados en los lenguajes C y Modula-2.
S. Alagíc y M.A. Arbib. The design of well-structured and correct programs. Springer Verlag, 1978.
Es una referencia obligada entre los libros orientados hacia la verificación con un enfoque formal.
R. S. Pressman. Ingeniería del Software. Un enfoque práctico. McGraw-Hill, 2005.
Algunos de los conceptos contenidos en el tema provienen de la ingeniería del software.
S. Wiedenbeck. Learning recursion as a concept and as a programming technique. Communications of the ACM, 1988.
G. Ford. A framework for teaching recursion. SIGCSE Bulletin of the ACM, 14(2):32{39, July 1982.
La recursión es un concepto difícil de explicar y comprender, que se presenta frecuentemente relacionándolo con la iteración, a
partir de ejemplos que admiten versiones iterativas y recursivas similares.
L. Rºade y R. D. Nelson. Adventures with your computer. Penguin Books Ltd., Middlesex, Gran Breta~na, 1988.
Puede leerse la historia completa sobre las torres de Hanoi y los grandes logros del famoso matemático francés E. Lucas, entre
otros muchos temas matemáticos, que se presentan con una pequeña introducción histórica.
G. G. Early y D. F. Stanat. Chinese rings and recursion. SIGCSE Bulletin of the ACM, 17(4), 1985.
Existe un problema similar al de las Torres de Hanoi, llamado de los anillos chinos, cuya solución está desarrollada en [ES85] y en
[Dew85b]
En internet …
• http://exa.unne.edu.ar/informatica/programacion1/
public_html/
• http://web.austral.edu.ar/austral-admisionesGradoingenieriaInformatica.asp
• http://www.cepec.edu.ar/informatica.html?gclid=C
Mj29-q_i6QCFdhA2godpQ0oHA
• http://www.frgp.utn.edu.ar/carreras/tssi/index.php
• http://www.mitecnologico.com/Main/RecursividadPr
ogramacion
Ejecución de Soluciones a problemas recursivos
implementados en Pascal
• Función Factorial
• Serie de Fibonacci
• Torres de Hanoi