La Enseñanza de la Matemática

DIDACTICA II- PROFESORA DERIARD
APUNTE 1- RESUMEN EXTRAIDO DE CUADERNOS DE CLASE UNQUI 2003
La Enseñanza de la Matemática
1.1 Introducción
Los múltiples debates instalados en torno a la enseñanza y al aprendizaje
de la Matemática han dado lugar a numerosos trabajos a lo largo del tiempo.
Sin embargo, es en las últimas décadas, que estas cuestiones se han
instalado con mayor fuerza.
En efecto, si bien se puede trazar la historia de la enseñanza de la matemática
en el mundo a lo largo de varios siglos, las comunidades de investigación
vinculadas a esta problemática, tienen una historia corta. A partir de
los años setenta comenzó la eclosión de la Didáctica de la Matemática con
el surgimiento de tales grupos y la creación de una identidad propia por parte
de la comunidad internacional de investigadores en esta línea.
La visión de esta ciencia que presentamos en esta catedra es evolutiva.
En tal sentido comenzaremos presentando una versión actual de algunas
teorías y nociones básicas formuladas inicialmente por sus autores.
Posteriormente, se desarrollarán cada una de estas teorías con mayor
profundidad, analizando sintéticamente su desarrollo.
Elegimos abordar una aproximación a la problemática de la enseñanza de la
matemática analizando la evolución de la misma y explicitando los supuestos
de los distintos marcos teóricos desde los cuales es posible estudiarla.
Seleccionamos luego uno de estos marcos y anotamos algunas reflexiones
epistemológicas para mostrar la constitución de la Didáctica de la Matemática
como una disciplina con un espacio de problemas propio, métodos de
investigación específicos, y capacidad de producir resultados. Dicha
constitución se origina en los numerosos estudios realizados teniendo en
cuenta dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas, para comprender la
complejidad de las interacciones en el sistema didáctico.
1.2 Presentación de la Problemática
1.2.1 Educación Matemática y Didáctica de la Matemática
El carácter reciente del campo de investigación de la Didáctica de la
Matemática,
y el hecho de que los fenómenos que estudia sean también de interés para
otras ciencias y tecnologías, hace que se puedan distinguir diversas
concepciones sobre la naturaleza epistemológica de las investigaciones en
enseñanza y aprendizaje de la Matemática. Estas concepciones cubren un
espectro que va desde aquellas que ven en la Didáctica de la Matemática una
disciplina científica específica, hasta aquellas que la reducen a un mero
apéndice técnico de las Ciencias de la Educación, considerándola como una
"ciencia aplicada". Según esta última, los principios teóricos generales del área
vienen dados por otras ciencias básicas, especialmente la Psicología,
Pedagogía, Sociología, Epistemología, y la Didáctica específica de las
Matemáticas debe aplicar estos principios al caso particular de las nociones y
destrezas matemáticas.
Respecto de esta posición, la concepción denominada “Didáctica de la
Matemática” principalmente en los países europeos continentales, se posicionó
críticamente, apoyándose en la idea de que las teorías psico-pedagógicas,
como el conductismo, constructivismo , teorías del desarrollo , etc , aplicadas a
la enseñanza y al aprendizaje de contenidos específicos son insuficientes para
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analizar la complejidad de los hechos didácticos. Esta posición es fuertemente
apoyada desde principios de los años 70, por Guy Brousseau, Yves Chevallard
y Gerard Vergnaud , entre otros investigadores. Los citados autores consideran
crucial el papel jugado por el saber en los procesos de enseñanza y
aprendizaje, señalando que resulta necesario construir teorías de carácter
fundamental específicas del contenido, que expliquen el funcionamiento del
sistema desde la perspectiva del saber puesto en juego en un campo de
investigación teórica autónoma, aunque no independiente de otras áreas del
conocimiento, sino en diálogo con las mismas.
Como describen Godino J. y Batanero C.(1998) en la comunidad internacional
de investigadores se asignan significados distintos a las expresiones
"Didáctica de la/s Matemática/s" y "Educación Matemática", las cuales suelen
considerarse usualmente como sinónimos.
Así, la Didáctica de la Matemática puede caracterizarse como la disciplina
científica interesada por la investigación, que trata de comprender el
funcionamiento de la enseñanza de las matemáticas en su conjunto, así como
el de los sistemas didácticos específicos (profesor, estudiantes y conocimiento)
y particularmente comprometida con la elaboración de teorías. También podría
considerarse como la disciplina que asume la responsabilidad de adaptar y
articular las contribuciones de otras disciplinas interesadas en la enseñanza y
el aprendizaje de la matemática. En una de las descripciones realizadas por
Brousseau la Didáctica de la Matemática aparece como:
“la ciencia que se interesa por la producción y la comunicación de los
conocimientos matemáticos en lo que esta producción y esta comunicación
tiene de específico de estos conocimientos. La Didáctica de las Matemáticas
estudia la manera en que estos se crean, comunican y emplean para satisfacer
las necesidades de los hombres que viven en sociedad,y más particularmente
de:
 por una parte, las operaciones esenciales de la difusión de los
conocimientos (Teoría de situaciones didácticas),las condiciones
de su existencia y de su difusión (la ecología de los saberes) y las
transformaciones que esta difusión produce,tanto sobre estos conocimientos
(Transposición didáctica) como sobre sus utilizadores (aprendizajes,relación
con el saber).
 por otra parte, las instituciones y las actividades que tienen por
objeto facilitar estas operaciones”.
Brousseau, G., (1991)
La Educación Matemática, por su parte, incluiría la acción práctica reflexiva
sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y la
tecnología didáctica que se propone poner a punto materiales y recursos,
usando los conocimientos científicos disponibles.
El mundo de la acción práctica es el territorio propio del profesor (del
enseñante),
el cual tiene a su cargo uno o varios grupos de estudiantes a los cuales trata de
enseñar matemáticas y la investigación aplicada es prescriptiva, ya que está
más comprometida con la elaboración de dispositivos, la producción de
manuales escolares, materiales didácticos, etc.
En este mundo de la práctica en muchas ocasiones se necesitan soluciones
inmediatas que, no siempre puede ofrecer la investigación científica.
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La complejidad de los problemas educativos podría equipararse, en general, a
la de otros campos de la actividad humana con mayor tradición, para los cuales
no existen aun soluciones a todos los problemas (por ejemplo, la economía o la
medicina). En consecuencia, la tecnología didáctica tiene que operar en
muchas ocasiones basándose en el buen parecer, la experiencia, el sentido
común de sus actores.
Así entendida, la Educación Matemática puede ser comprendida como
"investigación para la acción” y la Didáctica de la Matemática como
equivalente a "investigación para el conocimiento" (Bartolini Bussi, 1994,
citado por Godino y Batanero, 1998 ).
Tanto la Didáctica de la matemática como la Educación matemática se
interesan
por un mismo objeto -el funcionamiento de los sistemas didácticos-,
e incluso tienen una finalidad última común: mejorar la enseñanza y el
aprendizaje de la Matemática. Pero la perspectiva temporal, los objetivos, los
recursos disponibles, sus reglas de funcionamiento y las restricciones a que
están sometidos, son intrínsecamente distintos.
En síntesis, la Didáctica de la Matemática podría describirse como la disciplina
científica y el campo de investigación cuyo fin es identificar, caracterizar,
y comprender los fenómenos y procesos que condicionan la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas e influir en el sistema de enseñanza.
Así, como destaca Jean Portugais (1995), el proyecto de la Didáctica de la
Matemática incluye dos polos de actividades: la de teorización de los
fenómenos
de enseñanza y aprendizaje a partir de sus Teorías fundadoras Teoría
de las situaciones didácticas de Guy Brousseau, Teoría de la transposición
didáctica de Yves Chevallard y Teoría de los Campos conceptuales de Gérad
Vergnaud y la de influir en el sistema de enseñanza a partir de la Ingeniería
Didáctica propuesta por Michele Artigue.
La Educación Matemática es descripta por Godino como un sistema social
complejo y heterogéneo que incluye teoría, desarrollo y práctica relativa
a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
En esta catedra adoptamos la perspectiva de la Didáctica de la Matemática.
1.2.2 Matemática y sociedad
Para abordar desde este texto la problemática de la enseñanza de la
matemática
creemos oportuno reflexionar sobre porqué se enseña matemática en la
escuela, valiéndonos de los aportes de especialistas en Didáctica de la
Matemática.
Al respecto, Chevallard, Gascón y Bosch. (1997) señalan:
" Podríamos pensar que cada uno de nosotros, tomado individualmente puede
vivir sin necesidad de matemáticas o, por lo menos sin muchas de las
matemáticas que se estudian en la escuela obligtoria. Pero esta creencia sólo
se da, porque de hecho no vivimos solos sino en sociedad: en una sociedad
que funciona a base de matemáticas y en la que hay gente capaz de hacer de
ma -temático para cubrir las necesidades de los demás, incluso cuando estos
no reconocen sus propias necesidades matemáticas.
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El hecho de que se enseñe matemática en la escuela responde a una
necesidad a la vez individual y social: cada uno de nosotros debe saber un
poco de matemática para poder resolver o por lo menos reconocer, los
problemas con los que se encuentra mientras convive con los demás.Todos
juntos hemos de mantener el combustible matemático que hace funcionar
nuestra sociedad y debemos ser capaces de recurrir a los matemáticos cuando
se presenta la ocasión.
La presencia de la matemática en la escuela es una consecuencia de su
presencia en la sociedad y, por lo tanto, las necesidades matemáticas que
surgen en la escuela deberían estar subordinadas a las necesidades
matemáticas de la vida en sociedad."
Sabemos que la matemática es útil para los individuos como actores sociales
y económicos, que es necesaria en la formación de numerosas especialidades
y reconocemos su valor instrumental en el aprendizaje de otras
disciplinas, pero pensamos que el principal interés de la enseñanza de la
matemática en la escuela es el de favorecer el acceso de los alumnos a una
forma de cultura, denominada cultura matemática, que no responde
únicamente
a necesidades externas.
Roland Charnay(1996) reflexiona:
“¿En qué se reconoce la cultura matemática de un individuo
¿En la cantidad de matemática qué conoce: conceptos, teoremas,
resultados,etc.? ¿En el hecho de que vincule esos conocimientos con
determinados tipos de problemas internos o externos a la matemática
que los legitiman,representando su origen o su gran fecundidad?
¿En estar al tanto de los ‘acontecimientos matemáticos que jalonaron la historia
de las civilizaciones? ¿En su capacidadpara plantear y resolver problemas?
¿En su capacidad para probar lo que afirma por medio de razonamientos
particulares?
¿En las representaciones que tiene de lo que son los objetos matemáticos y la
actividad matemática?
Todo a la vez, pues no podría haber actividad matemática sin conocimientos
precisos ni cultura matemática sin una verdaderaactividad ‘matematizante’ y sin
reflexión sobre los resortes y las herramientas específicas de que esta
disciplina dispone” Charnay (1996)
1.2.3 Actividad matemática y actividad matemática escolar
Caracterizaremos brevemente a la actividad matemática y al proceso de
estudio
de la matemática, siguiendo a Chev a l l a r d , Gascón y Bosch (1997), c o m o
el trabajo de modelización encaminado a resolver problemas pert e n e c i e n t
es
tanto a objetos o procedimientos propios de la matemática (intramatemáticos)
como a objetos o fenómenos ajenos a la matemática (extramatemáticos).
La actividad de crear matemática nueva se presenta, en sentido estricto,
como una actividad reservada para los investigadores en matemática pero
en sentido más amplio, podría decirse que todo aquél que hace matemática
participa de alguna manera en un trabajo creador.
En efecto, quien utiliza matemáticas conocidas muy a menudo tendrá que
modificar ligeramente el modelo matemático para adecuarlo a su problema,
lo cual le permite enunciar y abordar problemas nuevos.
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Análogamente, el que enseña se ve llevado a reformular los conocimientos
que enseña en función de los tipos de problemas que sus alumnos deben
aprender a resolver.
Por último, también podemos decir que el que aprende matemática crea
matemáticas nuevas. Basta en efecto con relativizar el adjetivo de nuevas:
los alumnos no crearán conocimientos nuevos para la humanidad, pero podrán
crear matemáticas nuevas para ellos en cuanto alumnos. Cuando un
alumno demuestra que la suma de dos números impares consecutivos es un
múltiplo de 4, acaba de crear un teorema nuevo para él.
Acceder a una noción o conjunto de nociones matemáticas significa "entrar" en
ellas, y esta entrada se realiza a través del estudio. El proceso de estudio de la
matemática puede estar dirigido a utilizarla, a aprenderla o a crear matemática
nueva. Así, enseñar y aprender matemática son aspectos particulares de la
actividad matemática, por lo tanto se puede ser estudiante de determinada
cuestión sin ser necesariamente alumno. Las personas se convierten en
estudiantes cada vez que se enfrentan a una cuestión cuya respuesta no es
evidente y deciden hacer algo para resolverla. Este aspecto del trabajo
matemático, que en general es asociado casi exclusivamente con la actividad
matemática escolar, es muy conocido por los propios matemáticos, así como
por los "usuarios" habituales de matemáticas (el físico, el biólogo o el
economista). Se presenta cuando alguien se encuentra ante un problema de
matemática que no puede resolver por falta de instrumentos apropiados.
Los estudiantes, como ya dijimos, pueden ser investigadores de matemática,
biólogos, químicos, economistas, músicos o pintores que estudian cuestiones
matemáticas para utilizar las respuestas en su trabajo. También puede
tratarse, claro está, de profesores que estudian cuestiones matemáticas en el
marco de su actividad docente.
Ahora bien, precisemos en qué consiste, según estos autores el proceso de
estudio de la matemática. Para estudiar o ayudar a estudiar una noción
matemática se busca identificar, dentro de lo posible, el tipo de cuestiones en
respuesta de las cuales esa noción fue creada o podría haber sido creada. A
partir
de ello se trata de reconstruir los campos de problemas que le dieron origen,
las técnicas con las que se pueden resolver esos problemas y los elementos
teóricos (aspectos tecnológicos) que permiten justificar y explicar las técnicas.
"Estudiar matemática" supone también reconocer la disciplina propia de esta
ciencia y someterse a ella.
“Las matemáticas que se presentan en la escuela están sobrecargadas de
exigencias que son ajenas a la verdadera disciplina matematica, por lo que la
vida escolar se caracteriza por una marcada tendencia de los alumnos a ser
sólo espectadores de dichas obras y a no llegar nunca a ser actores de las
mismas.”
Chevallard y otros (1997).
Algunos de los aspectos de esta disciplina que deberían ser considerados
como parte del trabajo matemático escolar son los siguientes:
• Vincular, siempre que sea posible, la construcción o reconstrucción de un
concepto, con el tipo de cuestiones que le han dado origen;
• poner en juego el razonamiento plausible o conjetural y formular las hipótesis
que serán puestas a prueba.;
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• someterse a las leyes que rigen el desarrollo interno de las técnicas
matemáticas;
• integrar al trabajo con la técnica la justificación de dicha técnica.
1.2.4 El problema didáctico de ayudar a estudiar matemática
Si entendemos la enseñanza como ayuda al estudio (Chevallard, Gascón
y Bosch 1997) la organización del proceso de enseñanza debe hacerse,
entonces,
en función de la estructura global de ese proceso de estudio y en el
marco de dos tipos de organizaciones: las clases de matemática en las que
el profesor hace de director de estudios y las comunidades de investigadores
dirigidas generalmente por un líder. A pesar de las diferencias se pueden
encontrar analogías entre ambos tipos de comunidad de estudio, en ambos
casos existe un grupo de personas que se proponen estudiar juntas una
cuestión o un tipo de cuestiones determinadas, es decir, en ambos casos el
actor del estudio es irreductiblemente una comunidad y la enseñanza debe
organizarse en función del carácter comunitario del estudio.
Aunque el aprendizaje se considere como un logro individual, es el resultado
de un proceso de estudio que se desarrolla en el seno de una comunidad.
En el contexto escolar ocurre que muchas veces no se logra entrar realmente
en una actividad matemática porque no se logran identificar los principales
tipos de cuestiones que le otorgan su razón de ser, limitándose entonces
el estudio a la adquisición de un dominio formal de las técnicas y de
los argumentos para justificar su aplicabilidad o validez.
Algunos de estos rasgos de la organización matemática escolar son tan univ
e rsales y parecen tan arraigados que se podría afirmar que la reconstru c c i ó
n
matemática escolar responde a leyes independientes de la voluntad del prof
e s o r, se trata de uno de los fenómenos que abordaremos más adelante.
Asimismo, la cuestión de la organización didáctica para la producción de
situaciones que se constituyan en un buen "laboratorio de investigación de
matemática" es de muy difícil resolución y esta dificultad también es muy
general.
El punto de partida es siempre la existencia de una cuestión matemática
y de un grupo de personas dispuestas a estudiarla. Las personas deben tener,
de entrada cierta familiaridad con algunos de los objetos matemáticos
necesarios para abordar esa cuestión y con determinadas maneras de
utilizarlos, lo que permitirá manipularlos de forma bastante segura.
No es suficiente que las personas tengan una mera familiaridad cultural con
dichos objetos, es preciso que los mismos pertenezcan al medio matemático
de los alumnos,es decir, deben tener una verdadera familiaridad matemática.
Así , por ejemplo, si bien el porcentaje es un objeto cultural familiar, su uso
matemático requiere, por ejemplo, una familiarización con sus propiedades.
Dadas estas condiciones, la cuestión central consistiría en encontrar o inventar
situaciones que permitan al grupo avanzar en el estudio del objeto matemático
en cuestión, es decir, que a partir de la/las situaciones planteadas se puedan
generar algunas de las cuestiones que dan origen a la noción que se quiere
estudiar.
Lo más habitual es que no se conozca ninguna situación que permita avanzar
de manera óptima al grupo en el estudio del objeto matemático considerado.
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También es frecuente que no se conozca la razón de ser de la noción que es
objeto de estudio o que no se encuentre una situación inicial para generarla, o
que no se conozca cómo adaptar las situaciones a los conocimientos
matemáticos disponibles para los alumnos. Aún cuando se disponga de la
situación adaptada queda también pendiente la cuestión de la manera más
adecuada para gestionarla, y en este punto entra en juego la pericia del
profesor. Por último si se dispusiera de las técnicas didácticas más apropiadas
para dirigir el estudio de un objeto matemático obra, su rendimiento quedará
sujeto a aquello que para profesor y alumnos será o no posible y lo que tendrá
sentido o no, para ese grupo.
1.3 La Didáctica Fundamental
1.3.1 Supuestos epistemológicos y psicológicos
La complejidad de los problemas educativos, pone a la Didáctica de la
Matemática ante el dilema de desarrollar un espacio de indagación propio de
carácter básico o fundamental, que permita explicar y predecir el
funcionamiento de los sistemas didácticos a propósito de un saber matemático.
Resulta, a esta altura, oportuno aclarar y explicitar algunos de los supuestos
epistemológicos sobre las propias matemáticas y los procesos psico-sociales
que tienen lugar en la formación de los conocimientos matemáticos.
La indagación didáctica realizada con criterios de rigor científico exige elaborar
teorías sobre las cuestiones mencionadas, en las cuales basar investigaciones
coherentes y productivas.
Algunos supuestos epistemológicas y psicológicos considerados en distintas
investigaciones correspondientes a la línea de la escuela francesa son:
• Que la matemática constituye una actividad humana que se interesa por la
resolución de problemas, los que pueden referirse al mundo físico, social, o al
propio dominio de las Matemática. Como respuesta o solución a estos
problemas externos o internos, los objetos matemáticos emergen y evolucionan
progresivamente. Por tanto, de acuerdo con las teorías constructivistas
piagetianas, son las acciones de las personas, la fuente genética de las
conceptualizaciones matemáticas.
• Que la matemática constituye un lenguaje en el que se expresan las
situacionesproblemas y las soluciones encontradas. Los sistemas de símbolos, dados por
la cultura, tienen una función comunicativa y un papel instrumental, ya que
cambian a las propias personas que usan los símbolos como mediadores. Este
supuesto asume los planteamientos psicológicos de Vigostsky..
• Que la matemática constituye un sistema conceptual lógicamente organizado
y socialmente compartido. Los objetos matemáticos son entidades culturales
cuya naturaleza sistémica y compleja no puede ser descripta sólo con
definiciones formales.
• Que las abstracciones o generalizaciones, tanto en su faceta psicológica
como epistemológica son emergentes de los sistemas de las prácticas
realizadas por una persona o en el seno de una institución ante cierta clase de
problemas. Los sistemas de prácticas significativas –esto es, eficaces para el
fin pretendido– son considerados como el origen genético de los distintos
"objetos matemáticos personales". La especificidad de tales sistemas de
prácticas respecto a los contextos institucionales particulares determina,
asimismo, la emergencia de objetos matemáticos personales u objetos
matemáticos institucionales específicos. Se postula, por tanto, una relatividad
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intrínseca de los objetos matemáticos emergentes respecto a las distintas
instituciones involucradas, y dependiente, asimismo, de los lenguajes
disponibles.
• Que “ . . . variaciones de las condiciones del medio producen como
respuestas comportamientos del sujeto que tienen como efecto modificar el
medio, y también modificar al sujeto, para finalmente obtener el mantenimiento
de ciertos equilibrios internos o la optimización de ciertos parámetros.”( G .B r o
u s s e a u , 1 9 7 5 , citado por M.J. Pe rrin) (Las investigaciones efectuadas
por G. Brousseau se refieren a los trabajos de Piaget, y se ubican en el
marco del supuesto de un modelo de aprendizaje por adaptación)
• Que un conocimiento nuevo se construye apoyándose en conocimientos
antiguos, pero también contra estos mismos conocimientos antiguos.
1.3.2 Evolución de la Didáctica de la Matemática
Para abordar este punto, tomamos algunos de los aspectos del análisis
realizado por Josep Gascón (1998), quien describe la evolución de la didáctica
de la matemática.
Como señala este autor, por mucho tiempo, las principales cuestiones a
las que se buscaba respuesta giraban en torno a la tarea específica del
profesor.
Así se consideraba la enseñanza como un arte y se suponía que el
aprendizaje dependía de las condiciones personales del docente y de la
capacidad
de los alumnos para dejarse moldear.
Con el tiempo, y en coincidencia con un creciente interés por el tema, esta
concepción evolucionó y comenzó a considerarse el aprendizaje de la
matemática
como un proceso psico-cognitivo fuertemente influenciado por distintos
factores (motivacionales, afectivos y sociales).
En tal sentido, la didáctica de la matemática fue cobrando fuerza como
disciplina y la problemática abordada se vio condicionada por las ideas
dominantes
de cada cultura escolar. Se centró la atención en torno de los conocimientos
previos que debían poseer los alumnos, en cómo lograr motivarlos,
en cuáles son los recursos que resultan más adecuados para la enseñanza,
en cómo enseñar a resolver problemas, en cómo evaluar a los alum17
Problemas de la Ense.anza de la Matem.tica
nos, y en los conocimientos que debe tener el docente para favorecer el
aprendizaje, entre otros aspectos.
Naturalmente, las posibles respuestas a tales interrogantes, también estuvieron
influenciadas por las ideas dominantes y se expresaron, en general,
tal como señala este autor (1989), en eslóganes pedagógicos tales como:
“enseñanza personalizada”, "motivación a través de materiales relacionados
con la realidad y los intereses de los alumnos”, “enseñanza a través
de la resolución de problemas” o “utilización de medios informáticos”.
En esta didáctica, d e n o m i n a d a didáctica clásica, el saber didáctico no es
explicativo sino normativo puesto que se supone que debe proporcionar al
profesor recursos profesionales para desarrollar su labor de manera
satisfactoria.
Desde esta perspectiva se identifican dos enfoques, uno de ellos toma el
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conocimiento del alumno como objeto primario de investigación y el
fundamento
científico lo constituye la psicología educacional; y el otro, adopta el
pensamiento del profesor como objeto primario de investigación (sus
conocimientos disciplinares, sus conocimientos pedagógicos y sus prácticas),
sin
descuidar las cuestiones pertinentes al alumno. En este enfoque la
fundamentación científica es compartida por la psicología, la sociología, la
historia
de la matemática y la epistemología de la matemática.
Pero la característica fundamental de la didáctica clásica es que no
problematiza
acerca de "los saberes matemáticos" ni tampoco sobre nociones tales como
“enseñar matemática” o “aprender matemática”. De esta manera, debido a la
falta de respuesta a múltiples cuestiones, los especialistas en didáctica de la
matemática transformaron estos conceptos en objetos científicos.
A principios de los años 70, Guy Brousseau, investigador en Didáctica de
la Matemática de la escuela francesa, publica las primeras formulaciones de
la Teoría de Situaciones, incluyendo el conocimiento matemático como objeto
primario de investigación. En este contexto se reivindica el status de “saber
científico” para la didáctica de la matemática y nace la llamada “Didáctica
Fundamental”.
La teoría de las situaciones didácticas de Brousseau se propone fundamentar
un cuadro explicativo, interpretativo y predictivo concerniente a situaciones
organizadas para provocar el aprendizaje.
Directamente vinculado con esta teoría, M. Artigue presenta en 1984 un
trabajo acerca de la Ingeniería didáctica, que aborda la preparación,
experimentación y el análisis de las situaciones didácticas.
La noción de transposición didáctica fue propuesta por Yves Chevallard
en 1980.
La Teoría de la Transposición Didáctica constituye , como lo señala Chevallard,
la aproximación antropológica de la Didáctica de la Matemática y ha suscitado
gran interés en el campo de esta última como así también en el campo de otras
didácticas específicas.
En 1981 Gérard Vergnaud propone las primeras aproximaciones a la noción
de campo conceptual. La Teoría de los Campos Conceptualesse interesa
especialmente en las relaciones entre el alumno y el saber matemático
desde una perspectiva cognitiva.
Desde sus formulaciones iniciales, las mencionadas teorías han sufrido
un enriquecimiento en su evolución. Algunos aspectos de estas teorías y de
sus modificaciones serán profundizados en las unidades en las que se las
estudiará específicamente.
Con el surgimiento de la Didáctica Fundamental se pasó, entonces, del estudio
clínico al estudio de fenómenos ligados al aprendizaje de las matemáticas
en diferentes medios, como por ejemplo en la clase. Se refinaron los
métodos de investigación, se elaboraron marcos teóricos para explicar estos
fenómenos y se definieron nuevos objetos, como, por ejemplo, la noción
de obstáculo en el aprendizaje, y el papel de los sistemas semióticos de
representación en el aprendizaje de conceptos, entre otros, sobre los que
volveremos más adelante.
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Se comenzaron a abordar, cuestiones tales como el papel de la resolución
de problemas en la enseñanza de la matemática, cuál es la relación entre
el aprendizaje de la aritmética, el álgebra y la geometría, qué significa adquirir
el concepto de proporcionalidad, o qué significa adquirir el concepto de función.
Esta perspectiva permite estudiar fenómenos que hasta entonces permanecían
inexplicados, como por ejemplo, que ciertos conceptos matemáticos
muestran una gran resistencia a ser comprendidos por los alumnos ( tal es el
caso de las nociones de función, de proporcionalidad, de área, de volumen,
de límite, de probabilidad condicional, entre otros); también permite analizar
otros fenómenos tales como: la ausencia de demostraciones en las clases de
g e o m e t r í a , la algebrización del cálculo diferencial escolar, entre otros.
1.3.3 El sistema didáctico
Como ya lo señalamos, los comienzos de los años 70 marcan el nacimiento
de la denominada Didáctica Fundamental cuya característica esencial es
integrar la especificidad de los contenidos matemáticos a su problemática.
Desde esta perspectiva, los análisis de las interacciones entre el saber
matemático, los alumnos y el docente incluyen dimensiones epistemólogicas,
sociales y cognitivas, que analizaremos a lo largo del texto.
Al distinguir tres lugares: docente- alumno- saber y considerar la relación
didáctica como una relación ternaria se pone de manifiesto la diferencia con
la relación binaria privilegiada hasta entonces: la relación docente-alumno,
en la que “el saber” no era considerado.
El esquema teórico constituido por los tres polos mencionados y la relación
ternaria entre dichos polos ha sido denominado por Chevallard(1985)
sistema didáctico.
Como señala este autor, los sistemas didácticos son formaciones que
aparecen en el comienzo de cada ciclo lectivo, alrededor de un proyecto
compartido de enseñanza y de aprendizaje y a propósito de un determinado
saber
matemático.
Por otra parte, los sistemas didácticos forman parte de otro sistema
denominado
por Chevallard (1985) Sistema de enseñanza en sentido estricto.
1.3.4 El enfoque sistémico en Didáctica de la Matemática
Una de las características de la Didáctica de la Matemática es la adopción
del enfoque sistémico en los análisis de los fenómenos relativos a la
enseñanza y al aprendizaje de la Matemática. Desde este punto de vista se
integran en la explicación del funcionamiento global de un hecho didáctico,
el análisis del sistema didáctico con el de otros fenómenos característicos
de este marco teórico.
Además también se considera que en los sistemas de enseñanza influye su
p e r i f e r i a , a lo que Chevallard dio el nombre de n o o s f e r a ,y que está
integrada por f o rmadores de form a d o r e s , diseñadores del curr í c u l u m ,
p o l í t i c o s , directores de e s c u e l a s , asociaciones de padres de
alumnos. Es en ella donde tienen lugar las interacciones entre la sociedad y los
sistemas de enseñanza, donde se lleva a cabo el trabajo externo de la
transposición didáctica que se incluye, al igual que el interno , en los análisis
globales de los hechos didácticos.
1.3.5 Algunas nociones básicas
Aunque en los demás capítulos de este módulo desarrollaremos las nociones
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siguientes, queremos aquí en este punto destacar algunas que surgieron
desde el inicio de la constitución de nuestro campo de estudio.
• Situación didáctica y situación a-didáctica
La noción de situación es el núcleo principal de la Teoría de Situaciones
de Guy Brousseau. Describiremos sintéticamente la noción de situación
didáctica
y de situación a-didáctica propuestas por Guy Brousseau en 1986.
Según este autor y en concordancia con la teoría psicogenética de Piaget,
el alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones,
de dificultades y de desequilibrios. Sin embargo, Brousseau reconoció
posteriormente que la Teoría de Piaget, al sobrevalorar el aprendizaje natural o
espontáneo, corre el riesgo de relevar al maestro de toda responsabilidad
didáctica y caer en un nuevamente en una especie de empirismo. Porque
“un medio sin intenciones didácticas es manifiestamente insuficiente
para inducir en el alumno todos los conocimientos culturales que se
espera que él adquiera”.(Brousseau, T.Sit, p.11. 1986)
Desde la perspectiva de este autor, la enseñanza exige al docente una elección
minuciosa de los problemas que él proponga a los alumnos con la intención de
provocar las adaptaciones esperadas. “Estos problemas,elegidos de modo que
el alumno los pueda aceptar, lo deben hacer actuar, hablar, reflexionar,
evolucionar por su propio movimiento. Entre el momento en que el alumno
acepta el problema como suyo y aquél en que produce la re s p u e s t a ,el
maestro se rehusa a
ntervenir como fuente de los conocimientos que quiere ver aparecer. El
alumno sabe bien que el problema ha sido elegido para hacerle adquirir un
conocimiento nu ev o ,pero debe saber también que este conocimiento está
enteramente justificado por la lógica interna de la situación y que lo puede
construir sin apelar a razones did á c t i c a s .No solamente lo puede, sino que
lo debe, pues no habrá
adquirido verdaderamente este conocimiento hasta que no sea capaz de
ponerlo en acción por sí mismo en las situaciones que encontrará fuera de todo
contexto de enseñanza y en ausencia de toda indicación intencional. Tal
situación se llama a-didáctica”.(Brousseau, G. 1986).
Así pues, una situación a-didáctica es una situación concebida con la intención
didáctica de favorecer la evolución de los conocimientos de los
alumnos en respuesta a las exigencias del entorn o , y no al deseo del docente.
En una situación a-didáctica, lo que el alumno tiene que hacer presenta
un carácter de necesidad del orden del saber y no de una obligación
impuesta arbitrariamente. El alumno vive entonces la situación sin percibir
los fines didácticos por los que fue organizada por el docente: de allí el término
a-didáctico.
Cada problema elegido por el docente es una parte esencial de la situación
más amplia en la que el docente comunica, o se abstiene de comunicar,
según el caso, i n f o rm a c i o n e s , p r e g u n t a s , métodos de aprendizaje,
heuristicas, etc. “El enseñante está entonces implicado en un juego con el
sistema de interacciones entre el alumno y los problemas que él le pro v e e
.Este juego o esta situación más amplia es la situación didáctica.” Brousseau,
G. (1986).
Transposición didáctica
Las adaptaciones y restricciones que sufren los saberes pertenecientes
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DIDACTICA II- PROFESORA DERIARD
APUNTE 1- RESUMEN EXTRAIDO DE CUADERNOS DE CLASE UNQUI 2003
al campo de la Matemática (saberes sabios) al ser transformados en saberes
para ser enseñados a los alumnos (saberes a enseñar) y éstos a su vez
en saberes puestos en práctica en la enseñanza (saberes enseñados), son
objeto de estudio de la Teoría de la transposición didáctica, propuesta por
Chevallard en 1985.
Tales transformaciones pueden ser o bien deformaciones, o bien sustituciones
o nuevas creaciones que se apoyan en el saber sabio.
La noción de transposición didáctica pone de manifiesto la distancia entre el
saber sabio y el saber enseñado, aspecto no considerado hasta entonces: “...el
“punto de vista clásico”en didáctica de las matemáticas ignora la distancia entre
las obras matemáticas y su adaptación a las instituciones
didácticas,suponiendo implícitamente que dicha separación sólo puede
consistir en una imitación más o menos fiel a las obras matemáticas tal y como
fueron producidas”
(Chevallard, Y, Bosch, M. y Gascón, J. , 1997, pp143)
De este modo, es posible que el saber a enseñar o el saber enseñado
sean considerados como el saber erudito o más ampliamente como si fuera
"el saber".
En el proceso de transposición didáctica pueden distinguirse dos etapas.
La primera de ellas, en la que Chevallard centró especialmente sus estudios,
incluye el pasaje del saber sabio al saber a enseñar. Es en esta etapa en la
que se lleva a cabo la selección de tales saberes, selección sobre la que
operan condicionantes de distinta índole: sociológicos, epistemológicos,
políticos
y otros .
Este saber seleccionado está constituido por aquel que debe ser enseña do, es decir, aquel que se designa como los “contenidos” del curriculum de
cada una de las áreas o asignaturas del nivel, y se establece en la “propuesta
oficial”. La organización de tales saberes, la inclusión de los mismos en
distintos cursos y niveles los transforman necesariamente.
Esta etapa también incluye la traducción del curriculum en los libros de
texto a partir de la propuesta editorial.
G e n e r a l m e n t e , en esta etapa el docente no interviene. Si, lo hace en la
segunda , en la que se lleva a cabo el pasaje del saber a enseñar al saber
enseñado.
Cuando un profesor comunica saberes, produce una transformación de
los mismos a través de las analogías, ejemplo, ilustraciones, derivaciones
prácticas, etc. para facilitar su comprensión por parte de los alumnos.
El funcionamiento didáctico toma este saber a enseñar para realizar acciones
que, en muchas circunstancias, no se relacionan con los criterios tenidos en
cuenta para su selección y organización. Es aquí donde es posible
recontextualizar los saberes. Sin embargo resulta difícil lograr tal
recontextualización, especialmente en los primeros años de enseñanza, como
así también restituir los orígenes de las nociones y abarcar las funciones por
las que se decidió seleccionarlas.
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