Actividades matemáticas para ESO y Bachillerato con el Programa

Actividades matemáticas para ESO y Bachillerato con el Programa Derive
Jesús Ríos Garcés
Francisco José Monserrat Delpalillo
Introducción
Las tecnologías de la información y de la comunicación son cada vez más
importantes en nuestra sociedad y, por tanto, se incluyen continuamente en la
metodología de la enseñanza en general. Los programas de cálculo simbólico nos dan la
oportunidad de complementar las actividades tradicionales (exposiciones orales,
resolución de ejercicios, problemas escritos ...) con un apoyo informático, tan necesario
hoy en día.
Derive es uno de estos programas de cálculo simbólico, que podemos definir
como programas para ordenadores personales, que sirven para trabajar con matemáticas
usando las notaciones propias (simbólicas) de esta ciencia. Los programas de cálculo
simbólico son capaces de hacer derivadas, integrales, límites y otras operaciones
matemáticas. Acostumbran a tener capacidades gráficas (representación de curvas y
funciones) y, por descontado, capacidades numéricas que suplen de sobra la mayoría de
las calculadoras.
Derive es, seguramente, el más popular y difundido de estos programas porque
en la modalidad más sencilla (Derive para DOS clásico) funcionaba en cualquier
ordenador personal sin la necesidad de un disco duro que lo albergara y, además,
ocupaba menos de la capacidad de un disquete. Hoy en día, Derive para Windows,
continua siendo un “pequeño” programa muy accesible e intuitivo, donde su sencillez
parece ocultar su gran potencia y versatilidad, cualidades que lo hacen idóneo para
iniciarse en este tipo de programas. Además Derive es el programa preferido en el
ámbito docente, en la enseñanza secundaria y en los primeros años de la universidad, ya
que es tan fácil de usar que la “informática” se supera al instante y por tanto es casi
inmediato empezar a trabajar las “matemáticas”.
Con Derive es muy sencillo factorizar números enteros y polinomios, como
también calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, podemos
determinar el valor de números factoriales y combinatorios, operar con potencias,
logaritmos, polinomios y fracciones algebraicas. Se puede utilizar como herramienta de
refuerzo para resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones.
El estudio de una función es muy fácil con Derive ya que nos permite
determinar derivadas, máximos, mínimos, puntos de inflexión, estudiar la monotonía y
la curvatura, representarla, calcular los límites, clasificar las discontinuidades, calcular
integrales definidas e indefinidas y aplicarlas al cálculo de áreas.
El trabajo con vectores no es nada complicado. Podemos, de forma sencilla,
encontrar el módulo y el argumento de un vector dado y hacer los productos escalar,
vectorial y mixto, así como calcular volúmenes utilizando la geometría analítica.
Derive también tiene aplicaciones a la matemática financiera y las matrices.
Podemos realizar cualquiera de las operaciones comerciales que, por ejemplo, se
estudian en las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales del bachillerato y podemos
hacer cálculos con matrices como su suma, resta, producto, matriz inversa, hallar el
rango y calcular su determinante. También podemos trabajar con números complejos e
incluso definir nuevas funciones aprovechando las ya existentes.
Aunque Derive está pensado como herramienta de apoyo del área de
matemáticas, se puede utilizar en el resto de asignaturas de ciencias para ahorrarse
cálculos y obtener de manera más rápida soluciones a los distintos problemas que se
puedan plantear. Pero además de todo esto, es posible programar funciones que usen las
distintas capacidades del programa, de manera que aumenta sensiblemente el espectro
de sus aplicaciones.
Por último decir que Derive se suministra con diversos ficheros de funciones
para propósitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales, trabajar en álgebra
lineal, cálculo numérico, estadística ...
Instalación del programa Derive
Si no disponemos del programa Derive podemos “bajarnos” una versión de
evaluación de 30 días de la siguiente dirección electrónica http://www.upv.es/derive .
A continuación y haciendo doble click en el fichero descargado, instalaremos el
programa en nuestro ordenador.
Primeros pasos
Después de entrar en el programa nos encontraremos con una ventana llamada
Álgebra, en la que aparece una barra de menú y una barra formada por 21 iconos, que
nos permitirá introducir expresiones para poder trabajar con ellas posteriormente.
Las funciones de cada uno de los 21 iconos es la siguiente:
1.- Abre una ventana para un documento nuevo
2.- Abre un documento previamente guardado.
3.- Guarda el documento activo.
4.- Imprime la ventana activa.
5.- Borra la línea activa.
6.- Recupera la línea borrada con la opción anterior.
7.- Vuelve a numerar las líneas ya introducidas.
8.- Introduce expresiones.
9.- Introduce vectores.
10.- Introduce matrices.
11.- Simplifica la expresión seleccionada.
12.- Aproxima la expresión seleccionada.
13.- Resuelve la expresión seleccionada.
14.- Substituye variables.
15.- Calcula límites.
16.- Calcula derivadas.
17.- Calcula integrales
18.- Calcula la suma de una serie
19.- Calcula el producto de una serie
20.- Dibuja en 2 dimensiones
21.- Dibuja en 3 dimensiones.
... y ya estamos listos para introducir nuestra primera expresión. Para ello utilizaremos
siempre el icono Author representado por un lápiz de color amarillo, excepto cuando
tengamos que introducir expresiones como vectores, matrices o sistemas de ecuaciones ,
Después de hacer click en dicho icono, nos aparece la siguiente ventana:
Donde hemos introducido la expresión x 3  2 x 2  x  2 . Si apretamos el botón OK , la
expresión pasará a la ventana principal con el número de orden #1.
También podemos introducir carácteres, digamos especiales, utilizando los
definidos en la parte superior de esta última ventana. Hay que tener en cuenta, que para
introducir raíces de índice superior a 2 hemos de utilizar la notación exponencial, es
5
3 , tendremos que escribir 3^(1/5).
decir para introducir
Si por cualquier motivo hemos de modificar una expresión ya introducida,
haremos un click en el icono Author y a continuación pulsamos F3 con lo que nos
aparece la expresión introducida lista para ser modificada.
Con la expresión introducida ya podemos trabajar y, por ejemplo, dibujar su
gráfica. Para ello hacemos un click en el icono de “dibujar en 2 dimensiones”. Después
de pasar a una nueva ventana, volvemos a hacer un nuevo click en el mismo icono y, de
esta forma, obtenemos su gráfica:
Si ahora quisiéramos averiguar las raíces de la función anterior, simplemente
deberíamos hacer un click en el icono de “la lupa” (el número 13) y a continuación
pulsar Simplify en la ventana que ha aparecido. Obtendremos que las raíces son : x = -1,
x =1, x =2.
Podríamos continuar con el estudio de esta función y, por ejemplo, podríamos
calcular su primera y segunda derivada, los extremos etc .
Esta claro que muchas de las funciones que Derive tiene definidas no las
utilizaremos nunca (es suficiente con echar un vistazo a los ficheros de utilidades
Archivo / Abrir ... ) mientras que otras si sería necesario que estuvieran pero,
desgraciadamente no están. Para paliar esta falta, Derive nos permite definir funciones
de manera sencilla utilizando las instrucciones básicas, o también redefinir funciones
introduciendo sólo los datos que nos interesen
Por ejemplo, si queremos resolver una ecuación de segundo grado podremos
proceder como en el ejemplo anterior y utilizar el “Icono-Lupa” pero hay una manera
más rápida de simplificar el proceso y es el siguiente:
1.- Escribimos la siguiente expresión
EC2Grado(a,b,c):=SOLVE(ax^2+bx+c=0,x)
2.- ¿Qué hemos hecho?. Pues hemos definido una nueva función que depende sólo de
los coeficientes de la ecuación de segundo grado. Ahora si queremos resolver la
ecuación x 2  5x  6  0 , será suficiente con escribir EC2Grado(1,-5,6) donde después
de simplificar la expresión obtendremos que las soluciones son x = 3, x = 2.
Lo que acabamos de ver no es más que un ejemplo de las múltiples cosas que
podemos hacer con el programa Derive.
A lo largo de las 2 horas de duración del taller, se mostrará a los asistentes las
posibilidades que nos ofrece el programa, se explicara el modo de preparar actividades
educativas para poder ser aplicadas en la clase de matemáticas, aprovechando las ya
creadas por los autores que se encuentran a su total disposición en la dirección
electrónica http://perso.wanadoo.es/jriosgarces y de esta manera tener una herramienta
más para poder atender la diversidad que, cada día con más frecuencia, nos encontramos
dentro del aula.
Bibliografía
1.-Ríos Garcés, Jesús y Monserrat Delpalillo, Francisco José: Matemàtiques Bàsiques
amb Derive. Servicio de Publicaciones de la Universidad Jaume I de Castellón, 2003.
Depósito legal nº CS-348-2003
2.- Llorens Fuster, José Luis: Introducción al uso de DERIVE . Aplicaciones al
Álgebra y al Cálculo, Servicio de Publicaciones de la Universidad Politécnica de
Valencia, 1995, ref. 95.638, ISBN 84-7721-199-X.
3.- Llorens Fuster, José Luis: Aplicaciones de DERIVE: Análisis Matemático - I
(Cálculo), Servicio de Publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia (Tel.:
96-387 70 12, fax 96-387 79 12), 1993, ref. 93.735, ISBN 84-7721-237-6.
4.- Llorens Fuster, José Luis: Aplicaciones de DERIVE: Álgebra Lineal
(Fundamentos), Servicio de Publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia,
1994, ref. 93.753, ISBN 84-7721-255-4.
5.- Coronado, J.L. y otros : Prácticas de matemáticas con Derive. Editorial Alfonsa
García, 1994.