XI CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS"

SAEM "THALES". SEVILLA
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS"
VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA "THALES".
SEVILLA
“La Matemática es la más simple, la más perfecta y la más
antigua de las ciencias.”
Jacques Hadamard
Matemático francés (1865-1963)
INTRODUCCIÓN
De nuevo os presentamos una serie de actividades para que disfrutéis más
profundamente de esta experiencia que pretende presentar las matemáticas de una
forma más visual y lúdica que aquella a la que estamos acostumbrados.
Desde hace catorce años la Sociedad THALES de Sevilla viene organizando este
concurso con el objetivo de hacernos ver la gran cantidad de matemáticas que existe en
la realidad que nos rodea. Si abrimos cualquier periódico o escuchamos cualquier
información seguramente nos encontraremos con porcentajes, gráficos, probabilidades y
demás elementos matemáticos que son muy cotidianos. Muchas veces, la naturaleza,
las bellas artes (arquitectura, pintura, escultura…), la tecnología, los objetos que
utilizamos en nuestra vida cotidiana, suelen regirse, aunque no nos demos cuenta, por
patrones matemáticos. Las montañas tienen forma cónica, las burbujas adoptan una
perfecta forma esférica, la simetría está omnipresente a nuestro alrededor. Incluso en las
cosas más inesperadas y cotidianas podemos encontrárnoslas. Así, una tapadera de
alcantarilla suele ser redonda por una propiedad matemática. De la misma forma, los
taburetes de tres patas son más estables que los de cuatro, también por una propiedad
geométrica.
Queremos con esta actividad dotaros de unas gafas mágicas que os permita descubrir la
gran cantidad de matemáticas en que estamos inmersos. Si os fijáis un poco en los
objetos que os rodean seguro que encontráis referencias numéricas, geométricas,
gráficas, etc. que podréis fotografiar. Si a la foto le añadís una frase o un título
matemático que se refiera a lo fotografiado y que incite a la reflexión, esa foto
probablemente estará en la exposición del año próximo. Si lo miráis desde este punto de
vista, veréis cómo las matemáticas son divertidas e interesantes, y se pueden aprender
de muchas formas. ¿Por qué no con fotografías? Además podréis comprobar que la
originalidad e imaginación de los participantes en el concurso crean imágenes que nos
presentan elementos matemáticos de forma sorprendente y muchas veces divertida.
Como ya hemos comentado también podéis encontrar matemáticas en los periódicos o
revistas, por ejemplo en las fotografías que acompañan a algunas noticias o en la
publicidad. Recortando esas imágenes o incluso creando una composición (sea un
dibujo, un collage, un montaje, etc.) a la que podáis añadir una frase matemática como
título, crearéis una obra gráfica que podrá tener cabida en próximas exposiciones.
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
1
SAEM "THALES". SEVILLA
Para ayudaros a entender mejor las fotos e imágenes, y que podáis trabajar en clase,
hemos elaborado este cuaderno de actividades, deseando que le saquéis el mayor
rendimiento y disfrutéis con las matemáticas.
ACTIVIDADES
En estos días podéis ver las fotos e imágenes que componen la exposición sobre el XIV
Concurso Provincial de "Fotografía y Matemáticas" y
el VII Concurso Provincial de “Imágenes
Matemáticas” organizados por la Sociedad Andaluza
de Educación Matemática "Thales" de Sevilla. Cada
foto o imagen está acompañada de un lema o frase
donde aparece algún concepto matemático, al
mismo tiempo que hace referencia a lo reflejado en
la fotografía. Como veis, las fotografías del concurso
se complementan con fotos sacadas de periódicos y
revistas, con dibujos o montajes que demuestran
que aunque no se tengan conocimientos
fotográficos, también se pueden relacionar, si se
quiere, imágenes y matemáticas.
Ahora vais a visitar la exposición y después tendréis
que contestar individualmente a las siguientes
cuestiones, que hemos agrupado en distintos
bloques temáticos.
Generales


Elige las tres fotografías o imágenes de la exposición que más te gusten y explica
la razón de tu elección.
Elige ahora las dos que menos te gusten e indica los motivos de ello.
 Escoge dos imágenes o fotografías, escribe sus
lemas e invéntate otros distintos que tengan
contenido matemático. Explica la relación de
los lemas que has puesto con las imágenes o
fotografías que has elegido.
 No suele ser raro que dentro de este tipo de
exposiciones aparezcan lemas que no son muy
adecuados a las fotos que acompañan o que
incluso pueden tener algún error matemático.
Intenta encontrar alguna foto o imagen con esa
característica, si la encuentras indica cuál es y
por qué es incorrecto el lema que le acompaña.
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
2
SAEM "THALES". SEVILLA
Números y medida









Entre las fotografías e imágenes de la
exposición y los lemas aparecen números de
muchos tipos. Busca todos los que puedas y
explica de qué tipo son (naturales,
enteros…). ¿Cuál es el más grande que has
encontrado?
 Hay una imagen de título “2”, ¿por qué
crees que lleva ese título? ¿Qué tipo de
número representa?
 La imagen de título “Signo >” simboliza una
relación de orden. Indica cómo se llama ese
símbolo y qué expresa. ¿Qué otros símbolos
de ordenación conoces?
Hay una fotografía de título “Niño al cuadrado”, ¿qué operación se quiere
representar? Esa operación aparece varias veces a lo largo de la exposición,
busca otras fotos o imágenes que contengan el mismo concepto.
Relacionado con lo anterior aparece la imagen “4x4=¿¡16!?”, ¿cómo escribirías
esa expresión utilizando las potencias?
¿Qué representa la imagen “Dos al cubo 23”? ¿Qué es el cubo de un número?
La foto “Raíz cuadrada” ¿porqué tiene ese nombre?, ¿a qué operación hace
referencia?, ¿qué relación tiene esa operación con elevar al cuadrado?
 Busca todas las fotografías o imágenes
cuyo título sea una fracción, cópialos y
explica por qué se llaman así.
 Algunas de las fracciones que has
recopilado
pueden
simplificarse.
Escríbelas por tanto simplificadas al
máximo.
 Las fracciones que son menores que la
unidad reciben el nombre de propias,
¿hay alguna en la exposición que lo
sea?, ¿hay alguna que no lo sea?,
¿qué nombre reciben estas últimas?
 Una de las imágenes lleva por lema
una operación entre fracciones, explica por qué recibe ese nombre y realiza la
operación que aparece representada.
Ordena de menor a mayor las fracciones que has encontrado.
Representa en una recta las fracciones anteriores. Efectúa la suma de todas
ellas.
Elementos muy relacionados con las fracciones (y muchos más comunes en la
información de los medios de comunicación) son los decimales y los porcentajes.
Pasa las fracciones que recopilaste en apartados anteriores a su forma decimal y
halla su correspondiente tanto por ciento.
Una imagen lleva por título “Fracción láctea”, indica aproximadamente que
fracción de queso se ha quitado del total. ¿Equivaldría esa fracción al trozo que
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
3
SAEM "THALES". SEVILLA
queda aparte? En caso negativo indica aproximadamente cuánto del total es esa
parte aislada.


En la fotografía “Diagrama de sectores” podemos considerar que se ha separado
también una fracción de la fuente que aparece, ¿a qué fracción correspondería
aproximadamente?
Otra foto se llama “Infinitamente bueno”, ¿qué representa el infinito?, ¿se puede
considerar como un número?, ¿cuál es su símbolo tradicional?
Geometría








Haz un vocabulario con todas las palabras que
encuentres relacionadas con la Geometría e indica
su significado.
Una imagen se llama “Ángulo obtuso sobre planos
superpuestos”, búscala y explica qué presenta.
¿Qué es un ángulo obtuso? ¿Qué otros tipos de
ángulos encuentras en la exposición?
¿Cuántos grados aproximadamente tiene el ángulo
que representa el abanico en “Transportador flamenco”?, ¿cómo se llama ese
ángulo?
Una foto recibe el título de “Ángulos complementarios”, escribe la definición de
ese tipo de ángulos.
¿Cómo se llaman los ángulos que suman 180º? Busca una fotografía donde
aparecen esos ángulos y escribe su título.
Una característica de dos rectas en el plano es que pueden ser paralelas. Busca
fotos e imágenes de la exposición donde aparezcan líneas paralelas y escribe sus
títulos.
Entre las anteriores hay una de título precisamente “Líneas paralelas”, ¿de las
líneas que aparecen en la imagen, cuáles son a simple vista realmente paralelas?
 Cuando dos rectas en el plano no son
paralelas, ¿qué nombre reciben? ¿Puedes
encontrar este tipo de rectas en la exposición?
 En la imagen “Secantes y paralelas sobre
cuerpos de revolución”, ¿cómo son las aspas
del molino entre sí? Busca en la exposición
otras rectas que también cumplan esa
propiedad y escribe los lemas de los lugares
donde las encuentres.
 Explica cuál es la idea de líneas convergentes.
¿Aparece ese concepto en la fotografía de
título “Convergentes en un punto”? Explica tu
respuesta.
 En la exposición existen polígonos de distintos
lados. Haz una lista de los que encuentres, clasificándolos según el número de
lados, junto con el lema de su foto. ¿Cuál es el de mayor número?
Hay una foto de título “Cuadrado o rombo”. Define qué es cada uno de los
elementos, ¿cuál de los dos polígonos es un caso particular del otro?
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
4
SAEM "THALES". SEVILLA















En una imagen de título “Hexágonos” podemos apreciar un polígono regular muy
corriente en nuestras calles. Indica qué otros polígonos regulares sirven para
realizar un mosaico como el de la acera de la imagen. Señala algún otro polígono,
no regular, que también sirva para recubrir el plano.
En la foto “2 triángulos = 1 rombo” podemos ver como a partir de unos polígonos
podemos construir otros o viceversa, algunos polígonos podemos
descomponerlos en otros. ¿Qué nombre recibe la línea interior del rombo que
corresponde con el lado común de los
triángulos? ¿Siempre al unir dos triángulos
iguales cualesquiera se obtiene un rombo?
Dibuja un hexágono y divídelo también en
triángulos como se ha hecho con el rombo.
¿Cuándo es regular un polígono? El polígono
que aparece en la foto “Toma un lápiz y haz un
pentágono” ¿es regular? Indica cuáles de los
polígonos que has encontrado anteriormente
son regulares.
Indica todas las figuras geométricas que
aparecen en la fotografía “Las formas
matemáticas más divertidas”.
Define lo que se entiende por semejanza de figuras. Busca fotografías donde
aparezca ese concepto y escribe sus lemas.
Entre las imágenes que existen en la exposición se pueden encontrar algunos
elementos característicos de los triángulos. En concreto nos referimos a las rectas
notables. Una de las fotografías se llama “¿Bisectriz? Humana” Explica qué es la
bisectriz.
El primer premio de Fotografía de Secundaria se llama “Mediana en triángulo
pétreo”, explica qué es la mediana de un triángulo. ¿Cuántas hay?
Describe las otras rectas notables de un triángulo.
Las rectas notables de un triángulo tienen la característica de que las que son del
mismo tipo se cortan en el mismo punto, determinando los puntos notables del
triángulo. Uno de ellos es el baricentro, del que se habla en una de las fotografías.
Busca esa fotografía y describe lo que muestra.
Explica cuáles son los otros puntos notables del
triángulo.
En la fotografía “Baricentro” aparece un triángulo muy
especial, ¿de qué tipo es? Por ser de ese tipo de
triángulo algunos de los puntos notables coinciden,
¿cuáles?
Entre las figuras planas es posible encontrar también
circunferencias. Define qué es una circunferencia.
Busca alguna imagen o foto donde aparezcan esos
elementos y escribe su lema.
Uno de los elementos característicos de las
circunferencias son los radios. Indica en qué fotos
aparece reflejado ese concepto y de qué forma.
Una fotografía se llama “Diámetro de la
circunferencia”, define ese concepto.
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
5
SAEM "THALES". SEVILLA













En la foto “Las formas matemáticas más divertidas” aparece una línea en una
circunferencia que no es ni un radio ni un diámetro, escribe cómo se llama esa
línea. Busca líneas parecidas en otras fotos y escribe sus lemas.
¿Qué son circunferencias concéntricas? Busca la imagen de ese título.
¿Realmente son concéntricas las circunferencias que aparecen?
Aparte de líneas cerradas, podemos encontrar en la exposición líneas abiertas.
En concreto aparece una que es muy corriente también en la naturaleza, nos
referimos a la espiral. En la imagen “Don Quijote de las mates” puedes encontrar
una, ¿sabrías decir de qué tipo es?
Busca otra imagen donde también aparece la espiral.
Existen varias fotos e imágenes con figuras de tres dimensiones, como esferas,
cubos, pirámides, cilindros... Indica dónde y localiza otros cuerpos geométricos
que tengan volumen.
Habrás encontrado una foto de título “Un cono de coníferas”. Define lo que es un
cono e indica otros elementos de la naturaleza donde podamos encontrar esa
forma.
La foto de nombre “Prismas” presenta uno de estos elementos. Define lo que es
un prisma. Busca otros lugares de la exposición donde aparezcan y escribe sus
títulos.
En la imagen “Parábolas acuáticas” aparecen dos peceras, indica cómo se llaman
sus formas.
 Existe una foto de título “Simetría”. Define
simetría y busca en la exposición elementos
simétricos.
 ¿Qué es un eje de simetría? En la foto
anterior, ¿cuántos ejes de simetría hay? Haz
un esquema de la foto y dibuja los ejes de
simetría.
 La simetría es uno de los elementos que
más podemos encontrarnos a nuestro
alrededor. Por ejemplo en la foto “La
naturaleza también es matemática”. Indica de qué tipo es la simetría que aparece.
Existe otro tipo de simetría que puedes observar en la imagen “Simetría central”.
Explica cómo se construye esa simetría.
Algunos de los polígonos que encontraste en preguntas anteriores tienen eje de
simetría. Represéntalos en tu hoja de respuestas y dibuja sus ejes.
El lema de una fotografía nos recuerda a un famoso teorema de las matemáticas,
nos referimos a “Las manzanas de Pitágoras”. Enuncia ese teorema.
¿En qué triángulos se verifica el teorema anterior? El triángulo formado por
manzanas que aparece en la foto, ¿verifica el teorema?
Otro matemático muy importante y que además da nombre a la sociedad que
organiza este concurso es el griego Thales de Mileto. Busca la fotografía que
hace referencia a su teorema y enuncia lo que dice.
Figuras imposibles e ilusiones ópticas

Entre las imágenes que aparecen en la exposición se encuentran varias ilusiones
ópticas. Por ejemplo la de título “¿Solo caras?” es una representación muy usual
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
6
SAEM "THALES". SEVILLA




en la que se muestra algún elemento que
no se ve a simple vista. ¿Puedes ver la
copa? Este tipo de imágenes es posible
encontrarlas también en publicidad, intenta
encontrar algún ejemplo en los próximos
días.
Otra imagen que juega con la confusión
visual es “Dentro o fuera”. Explica en tu
cuaderno qué quiere representar esa
imagen.
Una última imagen que es un juego
geométrico tiene de título “¿Y el cuadrado
que falta?”. Copia el triángulo original en tu
cuaderno, recórtalo y comprueba que
aparece un cuadradito nuevo. ¿Por qué
crees que ocurre esto?
A veces hay elementos que aunque no
aparezcan gráficamente la vista nos hace
creer que están delante nuestro, un ejemplo
podría ser la imagen “Pentágono invisible”
donde a partir de los pétalos que
equivaldrían a los radios de la circunferencia circunscrita del pentágono podemos
apreciar la forma de este aunque no está en la foto.
Otro ejemplo sería la imagen “Círculos invisibles” donde a partir de ver una luna
casi podemos apreciar los círculos que lo forman.
Funciones y gráficas






En la foto “Manguerazo parabólico” aparece la gráfica de una función muy
frecuente a nuestro alrededor, la parábola. ¿Conoces algún otro elemento de la
vida cotidiana que esté relacionado con esa función?
La función anterior tiene una expresión algebraica general, escríbela. En esa
expresión, ¿cuánto debe valer el coeficiente de x² dada la parábola que aparece
en la imagen?
Hay otra imagen donde también se hace referencia a las parábolas, encuéntrala e
indica qué parábolas aparecen.
La parábola forma parte de un grupo de funciones que se llaman cónicas. ¿Qué
otras gráficas pertenecen a ese grupo?, ¿puedes encontrar alguna de ellas en la
exposición?
Existe otro tipo de funciones muy corrientes en nuestra vida. Las puedes
encontrar con facilidad en el campo pues las líneas de los tendidos eléctricos o
telegráficos la forman. Nos referimos a la catenaria. Busca una imagen de la
exposición que hace referencia a ella. Busca asímismo su definición y cópiala en
tu cuaderno.
Existe una fotografía con el título de “Coordenadas esféricas”, explica qué son
esas coordenadas. Las coordenadas sirven en general para representar
relaciones y funciones y las hay de muy diverso tipo. Indica qué otros tipos de
coordenadas conoces y cuáles son sus nombres.
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
7
SAEM "THALES". SEVILLA
Varios






Te puedes encontrar en la exposición una imagen de título “La Campana de
Gauss”, explica qué características tiene esa gráfica.
La gráfica anterior está íntimamente relacionada con una distribución de
probabilidad, indica a cuál y sus características generales.
Ya hemos hablado anteriormente de una
fotografía con el título de “Diagrama de
sectores”. Este es un tipo de representación que
se utiliza ¿en qué parte de las matemáticas?
Existen muchos otros gráficos que están
relacionados con la representación de datos
igual que el de sectores. Escribe cuáles son y
explica brevemente cómo se utilizan y
construyen.
Una imagen se llama “Matriz”. Define que se
entiende por matriz de números. ¿Qué
elementos caracterizan a una matriz?
En la imagen de título “Eterna espiral” aparece
un elemento muy nuevo en el mundo de las
matemáticas, nos referimos a un fractal. Busca
la definición de dicho elemento. Es posible
encontrar fractales en la naturaleza; por ejemplo,
se considera que la orografía de una costa se asemeja a un fractal, los helechos
también tienen su estructura. Busca otros ejemplos de fractales en la naturaleza.
CUESTIONARIO
Una vez realizadas las actividades anteriores, contesta las siguientes cuestiones:






¿Te ha gustado la exposición? ¿Por qué?
Destaca algún aspecto que te parezca interesante de la experiencia de hacer
fotografías matemáticas.
¿Te ha servido la exposición para tener una idea distinta de las matemáticas?
¿Por qué?
"Después de ver la exposición nos damos cuenta de que las matemáticas están
omnipresentes en nuestro entorno" ¿Estás de acuerdo con esta frase? ¿Por qué?
¿Eres capaz de hacer fotografías o buscarlas en periódicos y revistas y ponerles
un lema matemático, igual que has visto en la exposición?
¿Te animarías a participar en el próximo concurso de "Fotografía y Matemáticas"
o en el de "Imágenes Matemáticas"?
Autores:
José Muñoz Santonja
Mª Jesús Serván Thomas
Antonio Fernández-Aliseda Redondo
Juan Antonio Hans Martín
XIV CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y VII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
8