Seminario: Filosofía de la matemática

La filosofía de la matemática del segundo Wittgenstein:
El problema de la objetividad de la prueba matemática.
por Marcelo Mendoza Hurtado
0. En relación con el problema de la naturaleza de la necesidad involucrada en una prueba matemática
se ha caracterizado la posición del segundo Wittgenstein como un “convencionalismo radical”. En
términos muy generales, el convencionalismo en filosofía de la matemática sostiene que 1) no hay
objetos matemáticos (ni lógicos) y 2) que toda necesidad matemática (y lógica) es de índole
lingüística. Frente al convencionalismo moderado que sostiene que, una vez fijados a voluntad los
puntos de partida (premisas y reglas), todo paso ulterior está completamente determinado, el
convencionalismo radical sostiene que también los pasos ulteriores de una prueba están sujetos a
decisión y que no hay nada que obligue a aceptar un paso u otro. Se le ha atribuido esta posición al
segundo Wittgenstein debido a su consideración relativa a la naturaleza de “seguir una regla”: desde
un punto de vista lógico se daría una indeterminación entre una regla y sus casos de aplicación, ni la
regla por sí sola determinaría cuáles son sus casos, ni los casos por sí solos determinarían de qué regla
son casos. Aquello que vincula una regla y sus casos de aplicación sería de muy otra naturaleza: se
trataría, según el filósofo, de una práctica y quizá –pues en este punto discrepan los intérpretes- de
una práctica social.1
También se le ha atribuido al segundo Wittgenstein una consecuencia que supuestamente se
derivaría del convencionalismo radical: hacer imposible toda noción de “objetividad” relativa a las
pruebas matemáticas. Esto quiere decir que, no sólo faltaría todo apoyo ontológico para una prueba –
cosa característica de todo convencionalismo-, sino que también dejaría de tener sentido toda noción
de “objetividad epistémica”.2
Ahora bien, si se examinan las Observaciones sobre los fundamentos de la matemática (OFM), ¿es
correcta esta caracterización de la posición de Wittgenstein y se sigue realmente esa consecuencia de
sus discusiones sobre la prueba matemática? Quisiera mostrar que no se sigue, en particular si se tiene
en cuenta que, aunque el convencionalismo radical no es una caracterización incorrecta del
pensamiento del filósofo, es del todo insuficiente para dar cuenta de la complejidad del mismo. A mi
criterio, si uno se guía por esa caracterización, no se comprende en qué consiste el
“convencionalismo” del segundo Wittgenstein, i.e. cuál es lugar preciso de intervención de las
convenciones en las pruebas matemáticas y por qué ello no significa el imperio de la arbitrariedad.
1
Tanto la caracterización del convencionalismo radical como la atribución del mismo al segundo Wittgenstein
proceden de M. Dummett (1959), 243-264. Cito los textos según la Bibliografía presente al final de este trabajo.
Todas las traducciones al español de textos de Wittgenstein caen bajo mi responsabilidad.
2
Cfr. Dummett (1959), 243-264.
2
En lo que sigue, me referiré en primer lugar a la nueva concepción de la necesidad lógica que
opera en las OFM. Luego, explicaré algunos aspectos de la noción wittgensteiniana de la prueba. Y
por último, discutiré el problema de la objetividad.
1. En términos muy esquemáticos, cabe decir, en relación con el problema decisivo de la naturaleza de
la necesidad lógica, que, frente a la pregunta “¿qué significa “conocer” una proposición
matemática?”, Wittgenstein insiste en que no tiene sentido ni afirmar ni negar la posibilidad de ese
“conocimiento” como si se tratara del conocimiento de oraciones empíricas, pero no porque no haya
necesidad alguna ni porque sea totalmente inaccesible, sino porque no es en absoluto del orden de lo
descriptivo. La necesidad lógica es más bien del orden de lo normativo, i.e. algo cuya explicación
exige la intervención de la decisión y la acción que establecen convenciones. Así, el Libro I de las
OFM se abre con el siguiente planteo. Contra el platonismo residual del Tractatus logicophilosophicus (TLP), Wittgenstein comienza criticando la noción de “inexorabilidad matemática” y a
continuación la noción de “necesidad lógica” como posible refugio para aquel que no se haya
convencido de la crítica a la primera noción. Y recién después de haber puesto en claro el sentido en
el que está dispuesto a aceptar el concepto de necesidad, queda el terreno despejado para comenzar a
explicar su concepción de la prueba matemática. Así parece que, si no se aceptaran estas críticas de
Wittgenstein vinculadas a los problemas ligados a la naturaleza de “seguir una regla”, entonces su
concepción de la prueba matemática, aunque muy rica en sugerencias, no llegaría a tener el poder de
convicción requerido para su aceptación.
En las OFM I.4 Wittgenstein señala lo siguiente:
“Pero, entonces, ¿en qué consiste la peculiar inexorabilidad de la matemática?” -¿No sería
un buen ejemplo la inexorabilidad con la cual dos sigue a uno y tres a dos? –Pero es de
suponer que esto significa: sigue en la serie de los números cardinales; pues, en una serie
diferente, sigue algo diferente. Y ¿no está esta serie definida precisamente por esta
secuencia? –“¿Hay que suponer que esto significa que es igualmente correcto cualquiera
sea la manera en la que una persona cuente y que cualquiera puede contar como le venga
en ganas?” –Es de suponer que no hablaríamos de “contar”, si todos dijeran los números
uno después de otro de cualquier manera; pero, por supuesto, no es simplemente una
cuestión de nombres. Porque aquello que llamamos “contar” es una parte importante de las
actividades de nuestra vida. Contar y calcular no son –p. ej.- un mero pasatiempo. Contar
(y eso significa: contar de este modo) es una técnica que se emplea diariamente en las más
diversas operaciones de nuestras vidas. Por eso, aprendemos a contar como lo hacemos:
con práctica sin fin, con exactitud sin piedad; por eso, se insiste de manera inexorable en
que todos digamos “dos” después de “uno, “tres” después de “dos” y así siguiendo. –
3
“Pero, en definitiva, ¿es este contar sólo un uso? ¿No hay además una verdad que le
corresponda a esta secuencia?” La verdad es que contar ha resultado ser provechoso. –
“Entonces, ¿quieres decir que “ser verdadero” significa: que se puede usar (o que es útil)?”
–No, eso no; sino que no se puede decir de la serie de los números naturales –al igual que
de nuestro lenguaje- que es verdadero, sino: que se puede usar y, sobre todo, que se usa.
Este texto plantea las cuestiones decisivas:
a) No tiene sentido hablar de números aislados, todo número pertenece a una serie y, más en general,
a un sistema cuyas reglas (su sintaxis) establece su significado (cfr. OFM VI.11, VII.18, I.10 y ss.,
I.81, VI.41). S. Shanker3 señala que una de las mayores innovaciones de Wittgenstein en los años
treinta consistió en abandonar el modelo característico del TLP de un “único cálculo amorfo
subyacente al lenguaje natural” y en adoptar una concepción del lenguaje caracterizada por “una red
compleja de cálculos que se interrelacionan”, un conjunto de “sistemas proposicionales (Satzsysteme)
autónomos, cada uno de los cuales constituye un espacio lógico distinto”. Esto equivalía a abandonar
la concepción referencial del significado propia del TLP en favor de una concepción según la cual una
palabra sólo tiene significado en el contexto de su sistema proposicional y ese significado es la
totalidad de reglas que gobiernan su empleo en ese sistema.
b) Una serie particular de números es algo definido como tal serie, es el resultado de una estipulación.
Se da el caso de que a determinadas series las llamamos ‘contar’ y a otras no, de manera que son
nuestras prácticas las que delimitan una función y un significado. Si se supone que una fórmula o una
orden, por ejemplo la fórmula y = x2 o la orden + 3, determinan por completo y de antemano todos
los pasos a seguir, la serie completa de sus aplicaciones, Wittgenstein replica que diferentes clases de
empleo de una misma fórmula que responden a diferentes clases de instrucción (Erziehung,
Abrichtung) determinan de manera diferente los pasos. Esto significa que aquello que llamamos
‘fórmula’ siempre es una fórmula de una clase particular cuyo significado está ligado a los métodos
apropiados para su empleo adquiridos en una determinada instrucción (OFM I, 1-3).
c) ¿Es mera cuestión de nombre? Esta pregunta apunta a dos cuestiones distintas:
1. ¿Carece de importancia, es un simple juego? No, entre las prácticas humanas las de contar y
medir desempeñan un papel vital central, de ahí que la inexorabilidad de la matemática se deba, en
parte, a la inflexibilidad de la instrucción, como en el caso de la interiorización de una norma social
(cfr. OFM I.116).
2. ¿Es arbitraria, no hay nada que le corresponda y garantice su verdad? Es muy importante
entender correctamente la respuesta de Wittgenstein a este interrogante. La pregunta misma encierra
un planteo platónico: o hay algo que le “corresponda” y así garantiza su verdad o es arbitraria. Se trata
de una falsa disyuntiva, pues puede no ser arbitraria sin que nada le corresponda. Esto lleva a la
4
siguiente pregunta: ¿De qué se “puede” decir que ‘es verdadero’ o que ‘es falso’? No de un
paradigma, de un modelo, de un patrón de medida, en definitiva del lenguaje mismo. De un paradigma
cabe decir que se puede emplear o que es inservible y, además, que se usa, que tiene vigencia. Si esto
es así, entonces hay que distinguir entre proposiciones empíricas y proposiciones “gramaticales”
(OFM I.110 y 111). Pero no se trata de ‘proposición’ en el mismo sentido, como si siempre
describiera algo, sólo que en un caso sería un tipo de realidad y en otro otro tipo. Se trata de una
distinción en la manera de empleo. Las proposiciones empíricas emplean paradigmas para decir algo
sobre la realidad que puede ser verdadero o falso y su verdad o falsedad depende de la realidad. La
verdad no debe ser confundida con la utilidad. Las proposiciones gramaticales son normativas, ellas
estipulan “sentidos” mediante los cuales es posible hablar de lo real. Según Wittgenstein las
proposiciones matemáticas son de este segundo tipo: ellas establecen formas de representación
(Darstellungsweisen o Darstellungsformen, OFM I.121 y 167). Esto no tiene que sorprender. Aquí
hay una doble herencia del TLP. Por un lado, el TLP distinguía entre “demostrar algo en la lógica o
en la matemática” y “demostrar algo con la lógica o la matemática”: en el primer caso se trataba del
orden del lenguaje con “proposiciones” que diferían de las auténticas proposiciones (i.e.
descripciones con sentido verdaderas o falsas). Por otro lado, una vez liquidada la noción tractariana
de “forma lógica de la figuración” (TLP 2.18, 2.181, 2.182), como forma única y omnicomprensiva de
la realidad, pasan al primer plano las múltiples y diversas “formas de la representación” (Form der
Darstellung) que no están determinadas ni por lo empírico ni por ninguna forma lógica platónica. En
el marco del TLP, se trataba del elemento más convencional de la representación ligado a diversas
técnicas de representación.
d) La frase “la verdad es que contar ha resultado ser provechoso” se refiere al problema de las
regularidades empíricas presupuestas en el aprendizaje, empleo e invención de paradigmas. Un
paradigma que puede perder su “base” de empleo, puede dejar de ser útil. Cuando, por ejemplo,
contamos manzanas tal como habitualmente lo hacemos, ellas no desaparecen en medio de nuestra
cuenta (cfr. OFM I.37 y 112). Wittgenstein se refiere también a ejemplos en los que sería útil emplear
“reglas elásticas”. La realidad empírica puede “sugerir” u “orientar” –aunque nunca determinar- en la
tarea de inventar un paradigma; algunos paradigmas han sido creados con alguna finalidad en tal o
cual circunstancia. Estas consideraciones muestran que no hay un abismo entre lo empírico y lo
gramatical. La diferencia concierne, como se vio en el punto c), a la manera de empleo de una
proposición: “Toda proposición empírica puede servir como una regla si es fijada, como la pieza de
una máquina, inmovilizada, de manera que ahora toda la representación gira en torno a ella y se
convierte en parte del sistema de coordenadas, independiente de los hechos.” (OFM VII.74)
Pero entonces, ¿no habría necesidad lógica? ¿Cómo entender una inferencia desde el punto de vista
lógico? Tampoco las reglas de inferencia corresponderían a ningún de tipo de realidad. El platónico
3
S. Shanker (1987), 6 y ss.
5
supone que hay una correspondencia con una realidad “muy abstracta, muy general y muy rígida” y
que la lógica es como “una especie de ultrafísica, la descripción de la “estructura lógica” del mundo
que se percibe a través de una especie de ultra experiencia” (OFM I.8) Pero esta ilusión proviene de
cosificar una manera de emplear nuestras expresiones cuando se refieren a conceptos y no a hechos
(OFM I.6, 72, 73; I.9).
2. Cabe aproximarse a la concepción wittgensteiniana de la prueba matemática a través de las
nociones de experimento y paradigma (patrón de medida). Cuando Wittgenstein insiste en la pregunta
“¿Qué significa que una proposición se siga de otra?”, presta suma atención a las construcciones
sígnicas efectivas mediante las que se alcanza un cierto resultado (cfr. p. ej. OFM III.27). Cuando se
busca averiguar algo a través de construcciones gráficas o sígnicas, se hace un uso “temporal” de esas
construcciones: se realiza un experimento que obtiene un resultado mediante un procedimiento
constructivo. Ese resultado, al igual que el procedimiento, tiene el carácter de un hecho. No tiene
sentido decir que el resultado es incorrecto. En cambio, en el caso de un cálculo, una derivación
formal o una deducción informal, tiene pleno sentido decir que el resultado es correcto o incorrecto.
Con todo, sin suprimir las diferencias, las pruebas matemáticas no dejan de tener relaciones
importantes e interesantes con experimentos. Por lo pronto, una misma construcción sígnica puede ser
o una prueba o un experimento sin que haya diferencia alguna, ni física (la realidad observable es
siempre la misma) ni mental (no es posible apelar a los eventuales acompañantes “internos” o
mentales). La diferencia radica en el uso que se hace de la construcción sígnica: en un caso tiene un
carácter fáctico y temporal y en el otro un carácter o función normativa y no temporal. La prueba
ofrece un paradigma de la manera correcta de obtener un cierto resultado mediante la realización de
ciertas transformaciones sígnicas; ese paradigma no es otra cosa que una construcción sígnica que ha
sido instituida como modelo de la corrección del resultado del procedimiento. Mientras que en el caso
del experimento proceso y resultado son distintos, en el caso de la prueba el resultado y el proceso
forman el todo paradigmático. De este modo se fija como interna una relación externa.
Ahora bien, ¿cómo tiene lugar esa fijación, cómo se pasa del hecho al concepto? La respuesta que
Wittgenstein ofrece se vincula a su tesis convencionalista fuerte: no habiendo intelección alguna de la
correcta aplicación de una regla (cfr. la entrada ‘intuition’ en el Index de las OFM), es mediante una
definición estipulativa (OFM I.41) que se erige una construcción sígnica en paradigma y adquiere así
un valor normativo. Una prueba no investiga hechos, sino que crea “esencias” (cfr. OFM I.73 y 74,
99, 102-105). Pero, precisamente aquí, es muy importante distinguir de inmediato entre el plano de la
prueba matemática en el cual se construye un paradigma y el plano de la aplicación del resultado en el
cual, una vez aceptada la norma, se hace uso de ella. No es lo mismo construir y estipular el metro
patrón (y todos los problemas fácticos y constructivos que están involucrados en esa tarea) que usarlo
para medir (tarea que tiene el valor de un experimento, pues los experimentos usan paradigmas).
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Entonces, hasta aquí tenemos que:
1. una misma figura o proposición puede tener un empleo temporal (experimento) o un empleo
no temporal (prueba);
2. las definiciones, al estipular paradigmas (i.e. al insertar una decisión en un sistema de
decisiones, OFM III.27), hacen posible el empleo no temporal de una figura;
3. el paradigma funciona como un patrón de medida, i.e. es empleado para medir otra cosa de
manera que no tiene sentido preguntar cuánto mide el patrón de medida;
4. la relación entre proceso y resultado, o es externa (experimento), o se estipula como interna
(prueba), de este modo se crea una esencia o se introduce un nuevo concepto (cfr. OFM I.99 y
102);
5. las pruebas son experimentos “congelados” o “filmaciones” de un experimento (la filmación
se puede repetir sin que esté indeterminado el resultado que se haya de obtener en cada caso);
6. los teoremas (los resultados) tienen el carácter de reglas o enunciados gramaticales
disfrazados debido a su presentación proposicional.
Ahora bien, no es posible finalizar esta breve aproximación a la concepción wittgensteiniana de la
prueba sin mencionar una cuestión en la que el filósofo insiste. Se trata de advertir que, si bien
algunos de los ejemplos dados en las OFM parecen apoyar una concepción “geométrica” de la prueba
(OFM III.40), no por eso deja Wittgenstein de hacer gran hincapié en aquello que llama la “variedad
de la matemática”, i.e. en el hecho de que no hay un único tipo de prueba sino una gran diversidad a la
que hay prestar gran atención para evitar el riego de querer reducir todo a un único sistema de prueba.
3. Al comienzo del presente escrito, señalé que, por lo general, se considera que el convencionalismo
radical en el ámbito de la filosofía de la matemática que se deriva de las consideraciones sobre el
problema de la naturaleza de seguir una regla implica la destrucción de toda noción de objetividad de
la prueba matemática. Trataré de mostrar que esta opinión no es correcta.
Cuando se caracteriza la posición de Wittgenstein como convencionalismo radical, el sentido
correcto de esa caracterización se refiere a la forma en la que Wittgenstein explica la naturaleza de la
necesidad lógica: 1) toda necesidad es de índole normativa, 2) procede de estipulaciones y 3)
desaparece cuando desaparece toda aceptación que se le pueda otorgar como en el caso de cualquier
norma social, i.e. cuando deja por completo de estar en relación con alguna u otra práctica humana.
Pero con sólo decir esto, no se explica por qué se estipula o se acepta una u otra regla. Y, como desde
el punto de vista lógico o, mejor dicho, desde el punto de vista en que habitualmente se espera una
explicación, no cabe darla por las consideraciones sobre la indeterminación del significado, entonces
parece que hubiera un vacío de razones y que “convencionalismo radical” fuera sinónimo de
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arbitrariedad. Pero a la hora de introducir un paradigma, rechazarlo o modificarlo hay razones no
“lógicas”, i.e. razones que no determinan (compel, zwingen).
También habría que corregir la caracterización que se dio de convencionalismo radical, pues la
misma corre el riesgo de incurrir en una confusión típica denunciada por Wittgenstein: cuando se dice
que los pasos de una prueba también están sujetos a estipulaciones, hay que distinguir entre el plano
de la creación de los paradigmas y el plano de la aplicación. Si se acepta una regla de inferencia como
buen paradigma (y esto significa siempre: esta regla, i.e. esta regla y su método de aplicación
accesible mediante una práctica de aprendizaje), entonces no atenerse a él pone de manifiesto la
inconsecuencia de quién la aceptó, de manera que tiene perfecto sentido decir que violó la
prescripción. Es en el plano de la invención del paradigma donde no hay “necesidad lógica” previa. Y
el hecho de no disponer de alternativas no debería ser confundido con ninguna inexorabilidad
conceptual.
¿En qué consiste, entonces, el problema de la “objetividad” de la prueba? Cabe distinguir al menos
dos empleos del término ‘objetividad’. Por un lado, objetividad en sentido ontológico: “algo es
objetivo cuando existe y es de la manera en la que es independientemente de todo conocimiento,
percepción, concepción o conciencia que pueda haber de ello.”.4 Este sentido apunta a distinguir entre
entidades autónomas y entidades dependientes. Dadas las críticas de Wittgenstein al platonismo y,
más en general, a toda concepción “descriptivista” (como el empirismo, por ejemplo), este empleo del
término ‘objetividad’ debería ser abandonado en lo que se refiere a su uso en la filosofía de la
matemática.
Por otro lado, se puede hablar de objetividad en sentido epistemológico: un juicio, una creencia,
una teoría, un concepto o una percepción son objetivos si es posible suponer que son “válidos para
todos los hombres”. Ahora bien, ¿qué cuestiones se plantean cuando se pregunta por la objetividad
epistemológica de la prueba matemática tal cual la entiende Wittgenstein? Se presentan dos tipos de
cuestiones. Por un lado, está la cuestión del tipo de certeza propio de los enunciados matemáticos:
dada la relación interna que Wittgenstein cree que se da entre enunciados y sistema de reglas, no es
posible que surjan dudas escépticas relativas al sentido y la verdad de un enunciado, pues si no se
comparte el sistema de reglas no se puede hablar del mismo enunciado; la identidad de éste está dada
por el sistema. Por ejemplo, si alguien habla castellano, hay ciertas dudas que no tienen sentido para
esa persona y, si otra persona las plantea, es porque no domina el idioma. Cuando se trata de un
sistema proposicional gramatical establecido, la verdad de un enunciado consiste en la posibilidad de
ser demostrado según los métodos de prueba de ese sistema y su falsedad en la posibilidad de probar
su negación según esos mismos métodos.
Por otro lado, está la cuestión de la no arbitrariedad de las convenciones, es decir de la
racionalidad operante que guía la invención, estipulación y aceptación de un sistema de prueba. En el
8
caso de haber tal racionalidad, ¿se trata de una racionalidad compartida por todos? Contamos con los
siguientes elementos para responder esta pregunta:
1. Prácticas y tradiciones establecidas (sociales) de medir y contar.
2. Experimentos con objetos, figuras y signos que a) suponen ciertas regularidades empíricas
y b) tienen resultados repetibles y “abarcables” (surveyable, übersehbar).
Ahora bien, la racionalidad que guía la invención, evaluación y modificación podría ser caracterizada
como autónoma, tanto en un sentido negativo (a), i.e. siempre habría un margen de alternativas pues
nunca estaría determinada en sentido estricto por la realidad, sea que se la entendiera en sentido
platónico o en sentido empirista; como en un sentido positivo (b), i.e. contaría con criterios de muy
diversa índole de manera que, en este sentido, no sería arbitraria. Estos criterios pueden provenir, en
parte, de las prácticas y tradiciones establecidas (1) y de los experimentos (2). Wittgenstein se refiere
a criterios pragmáticos, pero también a criterios estéticos (OFM I.167 y 171 y ss.).
Sin embargo, a pesar de esta explicación, dada la multiplicidad y diversidad de criterios, algunos
críticos no considerarían prudente decir que habría una única “racionalidad matemática”, con lo cual
pareciera que tampoco habría objetividad en sentido epistemológico. Se le ha reprochado a
Wittgenstein el relativismo cultural al que estaría expuesto su planteo. Pero, en mi opinión, tanto la
explicación dada anteriormente, como el hecho del gran acuerdo en la aceptación de las pruebas
matemáticas, señalado por Wittgenstein debido a su significación antropológica (cfr. OFM I.61, 63,
66, VII.9), serían suficientes para hablar de objetividad epistemológica siempre y cuando
estuviéramos dispuestos a abandonar como totalmente inadecuado el conjunto de preguntas que
constituye el platonismo.
La filosofía wittgensteiniana de la matemática no deja de presentar dificultades y dudas, baste
pensar todo lo que se ha discutido sobre el problema de seguir una regla y sobre la crítica de
Wittgenstein a la teoría clásica de conjuntos, entre otros temas. Sin embargo, creo que, como
programa de investigación, plantea nuevas preguntas para abordar la historia de la matemática en
conexión con las prácticas humanas de medir y contar y con los más variados sistemas de
representación, desde los sistemas de escritura hasta los sistemas de representación artística.
Bibliografía
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Blackwell, 310-313.
Dummett, M. (1959), “La filosofía de las matemáticas de Wittgenstein”, en: M. Dummett (1978), La verdad y
otros enigmas, México, F.C.E., 1990, 243-264.
Glock, H.-J. (1996), A Wittgenstein Dictionary, Oxford, Blackwell.
4
D. Bell (1992), 310.
9
Shanker, S. G. (1987), Wittgenstein and the Turning-Point in the Philosophy of Mathematics, Albany, SUNY.
Wittgenstein, L. (1922), Tractatus logico-philosophicus, Madrid, Alianza, 1987.
Wittgenstein, L. (1956), Remarks on the Foundations of Mathematics, ed. G. H. von Wright, R. Rhees y G. E.
M. Ansconbe, Cambridge (Mss.) / London, The MIT Press, 1996.
Wittgenstein, L. (1984), Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik, Frankfurt, Suhrkamp, 1994.