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2º cuatrimestre
Relación 1
1. Dada la siguiente distribución de carga sobre el eje z:
=qo|z|,
-1  z  1;
=0,
|z|>1
siendo  la carga por unidad de longitud. Se pide:
a) El campo eléctrico en cualquier punto del plano z=0.
b) Sobre el plano z=0 se puede mover, sin rozamiento, una partícula de masa m con
carga q. La posición inicial de la partícula es (xo,yo). ¿Cuál debe ser el módulo y
dirección de la velocidad inicial de la partícula para que su trayectoria sea circular
de radio R y centro el origen del sistema?. ¿Qué signo debe tener la carga q,
respecto del signo de qo, para que esta trayectoria sea posible?. ¿Cuál es el período
del movimiento?.
2. Hallar el campo eléctrico creado por un hilo longitudinal de dimensión infinita
uniformemente cargado, en un punto situado a una distancia arbitraria de él:
a) Por integración directa.
b) Por el teorema de Gauss.
3. Una varilla semicircular de radio R, está cargada uniformemente con una carga total Q.
Encontrar el campo eléctrico en el centro de curvatura.
4. Una esfera conductora aislada centrada en el origen tiene una densidad superficial de carga
. Si dividimos la esfera en dos casquetes, hallar:
a) La fuerza electrostática que tiende a separarlos. Dar el resultado en función del
ángulo zenital .
b) ¿Cuál sería el valor de dicha fuerza para el caso de =90o y V=50.000 Voltios
(potencial de la esfera)?.
5. En el volumen de un cilindro circular infinito de radio a se encuentra distribuida una carga
con densidad  (tal es el caso de un haz de electrones uniforme de sección circular de radio a).
Demostrar que el campo eléctrico a una distancia r del eje está dado por:
E(r)=r/2o para r<a;
E(r)=a2/2ro para r>a.
6. Calcular el campo eléctrico creado por una distribución esférica uniforme de densidad
volúmica de carga , tanto dentro como fuera de la misma, empleando los métodos:
a) Empleando las ecuaciones de Poisson y de Laplace.
b) Por el teorema de Gauss.
7. Calcular el campo creado en P por la esfera de radio R uniformemente cargada con una
densidad de carga d que tiene un hueco esférico de radio R/4. Si la esfera fuese conductora y
tuviese carga nula, ¿cuál sería el campo que crearía en P una carga qo colocada en el centro
del hueco?
R/2
R/4
O
O’
R
P
d
8. Dos cargas puntuales idénticas de +q C están separadas una distancia d=10 cm. Calcular el
trabajo por unidad de carga para traer otra carga desde muy lejos, a lo largo de la
perpendicular que corte en el punto medio a la línea que une las cargas, hasta el punto medio
de esta línea. Lo mismo para el caso de dos cargas +q y -q.
9. En el espacio comprendido entre dos esferas de radios 10 y 20 cm, la densidad de carga es
constante y vale 10-6 C/m3, mientras que se anula en el resto del espacio. Determínese:
a) La carga total existente. b) El potencial en todo el espacio y su representación gráfica. c) El
valor del campo eléctrico en cualquier punto del espacio.
10. En una nube de partículas cargadas considerada en equilibrio, la densidad de carga
depende únicamente de la distancia al origen de forma que siendo r esa distancia, tengamos
que:
=o[1-(r/a)2] C/m3
0ra
=0
ra
a) Calcular el campo eléctrico dentro y fuera de la nube si conocemos o y a.
b) Calcular también el potencial dentro y fuera de la nube.
11. Sea una lámina infinita de espesor 2d con una carga positiva  por unidad de volumen. Se
pide:
a) Calcular el campo y potencial eléctricos dentro y fuera de la lámina.
b) Dibujar, en función de la distancia al plano central de la lámina, el campo eléctrico,
el potencial y la energía potencial de una carga q.
c) Una partícula de masa m y carga q' (q'>0) se encuentra a una distancia l (l>d) del
plano central de la lámina. ¿Qué velocidad debemos imprimir a la partícula para
que sea capaz de llegar hasta la superficie de la lámina?.
12. En una cierta región del espacio, el potencial en cada punto viene dado por V=x2+2y2-z2
(V), cuando las coordenadas se expresan en metros. Se pide:
a) Hallar las líneas equipotenciales para z=2.
b) Si se abandona un electrón en el punto (0,1,2), calcular las componentes de la
aceleración del movimiento que inicia.
Relación 2
1. La región comprendida entre dos cilindros metálicos, indefinidos y concéntricos, de radios
R1 y R2 (R1<R2), contiene un dieléctrico de permitividad cargado con una densidad uniforme
de  C/m3. Calcular el campo y el potencial por aplicación del Teorema de Gauss, sabiendo
que ambos cilindros están a potencial cero.
2. Calcular el campo y el potencial creados en todo punto por una esfera dieléctrica de
permitividad , cargada homogéneamente con  C/m3. El radio de la esfera es R y se encuentra
rodeada por el vacío. Representar la variación de los módulos de los campos y del potencial en
función de la distancia al centro de la esfera.
3. En el interior de una esfera dieléctrica de permitividad  y radio R, uniformemente cargada
con C/m3, se practica una cavidad esférica concéntrica de radio R/2. La cavidad interior y el
espacio exterior están descargados y tienen por permitividad o. Hallar el potencial en el
centro.
4. Un cable coaxial está formado por un conductor interior cilíndrico hueco de radio a y otro
exterior, de radio c (c>a). Sobre el cilindro interior existe una carga de  C/m y en el exterior -
 C/m. El espacio entre conductores está relleno de dieléctrico 1 hasta r=b y de dieléctrico 2
hasta r=c. Calcular el campo E en todos los puntos y representarlo gráficamente. (Suponer que
1>2).
5. Dos placas conductoras, paralelas e indefinidas, están separadas una distancia d. El espacio
que hay entre ellas está ocupado por tres capas de dieléctrico, cada una de espesor d/3. Sus
permitividades relativas son 3, 1 y 2, respectivamente. Calcular el campo cuando se aplica una
diferencia de potencial de Vo voltios entre las placas.
6. Una esfera metálica de radio Ro cargada con Q C, está rodeada por una capa de dieléctrico
de radio exterior R1=2Ro. La permitividad relativa de ese dieléctrico es 2. En su interior hay
una densidad uniforme de carga  C/m3, y en su superficie exterior una densidad  C/m2.
Hallar el potencial y el campo en todo punto, y el potencial de la esfera metálica.
7. En el centro de una esfera metálica aislada y descargada, cuyo radio medio es Ro y cuyo
espesor es e, se coloca una carga puntual de q C. Calcular el campo en la cavidad interior a la
esfera y en el espacio exterior, y las densidades de carga de las superficies interior y exterior
de la esfera metálica hueca.
8. Dos esferas metálicas concéntricas de radios R y 2R se ponen a potencial cero. En el espacio
comprendido entre ambas se introduce una distribución de carga cuya densidad viene dada
por:
(r)=o[1+(R2/r2)] C/m3,
siendo r la distancia al centro de las esferas. Determínese el valor de la carga que toma la
esfera interior.
9. Se tienen dos esferas metálicas de radios R1 y R2 separadas con dos dieléctricos cuya
superficie de contacto es un plano ecuatorial, tal como se indica en la Figura. Se carga la
esfera interior con Q C y se conecta la exterior a tierra. Calcular:
a) El potencial de la esfera interior.
b) La carga de la esfera exterior.
c) Las densidades de carga libre y ligada (aparente) sobre las esferas.
d) La capacidad del sistema.
10. De acuerdo con la teoría de la relatividad una partícula en reposo tiene una energía
W=mc2, donde m es la masa de la partícula y c la velocidad de la luz. Supongamos que esta
energía es la energía electrostática correspondiente a la distribución de carga de un electrón.
Encontrar:
a) El radio del electrón si la carga está uniformemente distribuida sobre un volumen
esférico.
b) Igual que a) pero si la carga está distribuida sobre una superficie esférica.
12. Una esfera de radio R colocada en el vacío tiene una densidad volúmica de carga  C/m3.
Calcular:
a) Su carga Q. ¿Puede considerarse esta esfera como un conductor?.
b) La energía electrostática de esta esfera. Se supone que la densidad es constante y se
llevan cargas desde el infinito hasta coronas esféricas sucesivas. Si en el instante t se
tiene ya un núcleo de radio r, ¿Cuál es su carga q(r)?. Se supone entonces una esfera de
espesor dr, ¿Cuál es su carga dq?.
c) La fuerza df que se ejerce entre las cargas q y dq si en el instante t+  distan una
distancia x, y el trabajo dW de esta fuerza cuando se lleva a dq desde el infinito al núcleo
de radio r.
d) La energía electrostática de la esfera inicial.

’s1
s1
R2
s2
1
2
R1
’s2
13. Se da una distribución esférica de carga de radio R y densidad de carga uniforme C/m3.
Determínese la energía electrostática de la distribución en las dos formas siguientes:
a) Por integración directa de la ecuación:
W  ( 1 / 2 ) V  V dv  ( 1 / 2 ) S  V ds
b) Por la integración sobre el campo:
W  ( 1 / 2 ) V E D dv
14. Determinar la energía electrostática asociada a una esfera de radio R y carga Q, aislada en
el espacio, mediante la integración de la densidad de energía de Maxwell. Comprobar el
resultado con el que se obtiene al cargar el conductor trasladando cargas desde el infinito.
15. Un condensador plano de área S=ab y separación entre placas l, se carga a Vo voltios y a
continuación se lo aisla. Se pide:
a) Hallar la energía electrostática almacenada y la fuerza ejercida por una placa sobre
la otra.
Entre las placas se introduce una lámina metálica de espesor d de iguales dimensiones que las
placas y paralela a ellas. Calcular:
b) La fuerza ejercida sobre la lámina.
c) La fuerza de atracción entre la lámina y una de las placas en una posición cualquiera.
Relación 3
1. Un protón de masa m=1.67*10-27 kg y carga q=e=1.6*10-19 C se mueve en un círculo de
radio de 21cm, perpendicularmente a un campo magnético B=4000G. Determinar a) el
período del movimiento y b) la velocidad del protón.
2. Una bobina circular de radio 5.0cm tiene doce vueltas y se encuentra en el plano xy. Por
ella circula una corriente de 4A en un sentido tal que el momento magnético de la espira
está dirigido a lo largo del eje x. Determinar el campo magnético sobre el eje x en a)
x=15cm y b) x=3m.
A
R1 R2
I
x
3. Por el circuito indicado en la Figura circula una corriente I. Calcular la intensidad de
campo magnético B en el punto A(0,0,0).
y
I2
a
I1
b
c
O
4. Se tienen dos cilindros concéntricos, uno de ellos, el exterior, hueco. Por el interior del
cilindro de radio a circula una corriente I uniformemente distribuida en su sección, y por el
cilindro exterior de radios b y c circula la misma corriente pero en sentido contrario, también
distribuida sobre su sección. Calcular el campo magnético B a una distancia r del eje en los
siguientes casos: a) r<a; b) a<r<b; c) b<r<c; d) r>c.
5. En un conductor sólido cilíndrico y largo se barrena una cavidad cilíndrica. El eje de la
cavidad es paralelo al del conductor pero desplazado de él una distancia a. Si J es la densidad
de corriente que fluye axialmente por el conductor y se supone constante en todo él, ¿Cuánto
vale la intensidad de campo magnético en la cavidad?. ¿Es uniforme el valor?.
6. Dos alambres paralelos infinitos e iguales de diámetro d y separados una distancia D entre
sus ejes, llevan una corriente I en sentidos opuestos en cada alambre y uniformemente
distribuida dentro de ellos. Calcular:
a) El flujo de campo magnético que atraviesa la superficie comprendida entre los ejes de
los alambres (flujo por unidad de longitud).
b) ¿Qué fracción de este flujo queda dentro de los alambres?.
c) ¿Que es la magnitud de la fuerza por unidad de longitud que actua sobre los dos alambres?
8. Calcular la fuerza que ejerce la espira de la Figura recorrida por una corriente de
intensidad I1 en el sentido de las agujas del reloj, sobre la corriente rectilínea indefinida de
intensidad I2 que circula en el sentido ascendente. ¿Qué efecto provoca dicha fuerza?. ¿Qué
ocurriría si se cambiase el sentido de I2?.
9. Utilizamos un electrón para medir los campos existentes en una región del espacio vacío. Se
realizan tres tipos de medidas:
a) Se sitúa el electrón en reposo y éste adquiere una aceleración a=a2 j.
b) Se introduce el electrón con velocidad v=vo i y éste adquiere una aceleración a=a2 j
+a3 k.
c) Introducimos el electrón con velocidad v=vo j y se observa que éste no se acelera en la
dirección k.
La masa del electrón es m y su carga e. Calcular los campos E y B en la zona considerada.
10. Un conductor metálico en forma de cinta plana indefinida de 10 cm de ancho y espesor
despreciable se encuentra colocado horizontalmente en la dirección NS magnética terrestre,
circulando por él una corriente de I amperios.
a) Hallar el campo magnético en los puntos del plano que contiene a su línea media y es
perpendicular a la cinta.
b) A 5 cm de la cinta sobre su línea media se halla una aguja imantada que gira 45o.
Hallar el valor de la corriente sabiendo que el campo magnético terrestre tiene un valor
de BT=2.10-5 T.
Relación 4
1. Un campo magnético B es perpendicular hacia dentro al plano de la página y es uniforme en
una región cicular de radio R. Fuera de la región B=0. La variación por unidad de tiempo de
la magnitud de B es dB/dt. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico inducido en el plano de la
página a una distancia r del centro de la región circular?
2. Una pequeña bobina de N vueltas, conectada a una resistencia R, tiene su plano
perpendicular a un campo magnético uniforme. Determinar la carga que pasa por la
bobina, cuando ésta gira 180º alrededor de su diámetro.
3. En el seno de un campo magnético B=Bo k disponemos un circuito como se indica en la
Figura. La barra conductora C gira mediante un motor manteniendo fijo el punto O y
barriendo en ida y vuelta el ángulo 0-90º, apoyada en el conductor circular AD. El ángulo 
varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación: (t)=(/4)[1+cos(t+)] (rad). Suponemos
despreciables la resistencia de la barra y la del conductor circular, así como el campo
producido por la corriente inducida. En estas condiciones, calcular la intensidad de corriente
que circula por la resistencia R.
y
D
C
R
(t)
B
z
O
a
A
x
4. Un péndulo formado por un hilo metálico anclado por un extremo A y unido a una masa m
por el otro extremo C, oscila con un período T=2(l/g)(1/2). La oscilación se hace sobre el plano
YZ y barre un ángulo de 10º, siendo l=10 cm. Disponemos el péndulo en el seno de un campo
magnético B=Boi (Bo=1 T). Calcular la diferencia de potencial que se observa entre sus
extremos.
5. Una bobina que contiene N vueltas está arrollada sobre un solenoide toroidal que tiene n
vueltas por unidad de longitud y sección transversal S. Calcular el coeficiente de inducción
mutua del sistema.
6. Determinar el calor total producido en un circuito donde se encuentra una bobina en serie
con una resistencia R, cuando la corriente diminuye de un valor I hasta cero.