Modulo de aprendizaje Nº 7

Instituto Profesional De Chile
Ingeniería Industrial
Unidad 2- Cinemática de la Partícula
Movimiento
Modulo de aprendizaje Nº 7
MOVIMIENTOS
UNIDIMENSIONALES
Rectilíneo
y
Uniformemente Acelerado. MRUA
Se denomina movimiento
rectilíneo y uniformemente acelerado a
Movimientos Unidimensionales: Son
los denominados movimientos rectilíneos.
Para definir la posición P de la partícula,
es preciso tomar un origen fijo 0 sobre la
recta de la trayectoria y definir un
sentido positivo a lo largo de la línea.
aquel movimiento que no tiene
aceleración normal y su aceleración
tangencial es constante.
Si elegimos como sistema de
referencia la dirección del movimiento,
igual como en el MRU, todas las
magnitudes vectoriales se transforman en
escalares.
Si se conoce la coordenada de posición
en cualquier instante “t”, se conoce el
P1
0
P2
▪
▪
▪
x1
movimiento de la partícula.
x2
Por ejemplo la coordenada de posición
correspondiente al punto P1 es
x1 = - 6[m] iˆ mientras que la
correspondiente a P2 es x2 = 6 [m] iˆ
Considerando que la orientación de x1
y x2 quedan definidas por sus signos, es
Fig.(9) Los movimientos rectilíneos en la
realidad sólo pueden lograrse en
pequeños tramos. En la práctica todos los
movimientos son curvilíneos. ¿ Por qué?
posible eliminar la notación vectorial
( teniendo siempre presente que son
vectores).
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Cinemática de algunos movimientos
Pero a 
dv
0
dt
Como v 
dx
 dx  v  dt
dt
Los distintos movimientos que puede
(v = Cte.)
tomar una partícula se clasifican de
acuerdo a dos criterios : la trayectoria y
la aceleración.
a.
Según la trayectoria. Los
movimientos pueden ser:
-Rectilíneos (la trayectoria es una línea

x
x0
recta).
dx 

t
t00
vdt
-Curvilíneos (la trayectoria es una curva)
b.
Según la aceleración.
Los
luego, nos queda:
movimientos se clasifican en:
Si a = 0
-
Uniforme.
-
Acelerados. Si a  0 .
Si a =Constante el movimiento se
denomina Uniformemente Acelerado.
Movimiento Rectilíneo Uniforme. MRU
Un movimiento es rectilíneo y
uniforme cuando su velocidad es
x  x0  v  t (1)
Donde:
x : posición de la partícula en el instante t
x0 :posición de la partícula en el instante
t0 .
v : velocidad de la partícula.
constante. Esto supone:
-
La velocidad es constante en
dirección y sentido: La trayectoria
es una línea recta.
-
La velocidad es constante en
módulo: recorre espacios iguales en
tiempos iguales.
Esta ecuación representa la posición de
un móvil que describe un Movimiento
Rectilíneo Uniforme en cualquier
instante, respecto a un sistema de
referencia determinado. Se le denomina
Ecuación Itinerario del M.R.U.
Ecuación de Movimiento.
Es necesario determinar a y x.
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Si elegimos como sistema de
Para el M.R.U. y según el sistema de
referencia la dirección del movimiento,
referencia se tienen los gráficos:
igual como en el MRU, todas las
magnitudes vectoriales se transforman en
a)X y V positivos ,
negativos,
a
a
=0
b) X y V
escalares.
Si un móvil describe una trayectoria
=0
rectilínea y va aumentando
uniformemente su velocidad en el tiempo,
se dice que manifiesta un movimiento
uniformemente acelerado. Su
aceleración es constante en magnitud y
sentido (mismo signo). Por lo tanto tiene
igual sentido y dirección que su vector
velocidad.
Ecuaciones de Movimiento
Es necesario determinan v y x .
Además a = Cte.
Observación: En el MRU la velocidad
media y la velocidad instantánea
a
Se sabe:
coinciden.
Movimiento
Rectilíneo
dv
 dv  a  dt
dt
y
Uniformemente Acelerado. MRUA

v
v0
dv  
t
t00
a  dt
Luego, nos queda:
Se denomina movimiento
rectilíneo y uniformemente acelerado a
v  v0  a  t
aquel movimiento que no tiene
(2)
aceleración normal y su aceleración
tangencial es constante.
además, se sabe:
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v
dx
 dx  v  dt
dt
Observación . Por tratarse de magnitudes
vectoriales, la posición, velocidad y
aceleración están asociadas a sistemas de

x
x0
t
referencia arbitrarios, lo que genera la
t00
adopción de signos para estas
dx   (v  a  t )dt
magnitudes, dependiendo de la dirección
y sentido del sistema de coordenadas al
Luego, nos queda:
1
x  x0  v0t  a  t 2
2
cual estarán referidas
(3)
Analizando esto desde el punto de vista
gráfico, para el MRUA según sistema de
referencia, se tiene:
por otro lado se tiene:
a
dv dv dx

dt dx dt
pero: v 
dx
dt
 a  dx  v  dv

x
x0
v
a  dx   v  dv
v0
Resolviendo, nos queda:
v 2 v02
a( x  x0 )  
2 2

v2  v02  2  a( x  x0 )
(4)
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De acuerdo a los diagramas para el
retardado si su aceleración es constante y
Movimiento Rectilíneo Uniformemente
de sentido contrario (distinto signo) al
acelerado se tiene:
vector velocidad. A esta aceleración
a. Diagrama (x-t) . Es la representación
también se la llama desaceleración o
de la función
retardación. Esto implica que la
1
x  f (t )  x0  v0  t  a  t 2
2
velocidad del móvil va disminuyendo a
medida que se desplaza (o a medida que
transcurre el tiempo).
Es una parábola . La pendiente en
Las ecuaciones de movimiento son las
cualquier instante es la velocidad
mismas, sólo que se debe tener cuidado
instantánea.
con el signo de a, que es negativo.
tg 
dx
v
dt
Ejemplo ilustrativo 1.
b. Diagrama (v-t). En la representación
gráfica de la función v = f(t). Es una
recta cuya pendiente representa
físicamente la aceleración.
La posición de una partícula que se mueve
a lo largo del eje X está definida por
x(t)  4t  6t2 [m] ,
Determine:
v  v0
tg 
a
t
1.1 La posición inicial de la partícula.
c.
Diagrama (a-t) .Es la
representación gráfica de la función a =
f(t). Para este tipo de movimiento su
1.2 La rapidez media al cabo de 5 [s].
Solución
1.1la posición inicial se obtiene haciendo
t0=0
gráfica es una línea paralela al eje del
Luego:
tiempo.
X(0) =0
1.2. Como la partícula no cambia de sentido
Movimiento
Rectilíneo
y
Se tiene:
X(5) = 4·5+6·52 = 170[m] y
Uniformemente Retardado. MRUR
X(0)
=0 , recorre 170[m]
Un móvil con movimiento rectilíneo
tiene movimiento uniformemente

v
170[m]
 34[m / s]
5[ s]
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independiente de su peso, contradiciendo
con ello siglos de percepción aristotélica.
También explicó el comportamiento de
un cuerpo sometido a la composición de
dos movimientos.
Además, contribuyó al desarrollo de la
Astronomía, perfeccionando el telescopio.
Sus observaciones confirmaron la teoría
heliocéntrica de Copérnico.
Galileo Galilei Nació en Pisa (Italia) el
15 de febrero de 1564. Murió cerca de
Ejemplo ilustrativo 2.
Florencia el 8 de enero de 1642, después
Dos móviles A y B están separados a
de ser obligado por la Inquisición a
una cierta distancia, B esta 150[m]
retractarse de algunas de sus opiniones.
delante de A. Si ambos móviles se
Aunque su padre lo convenció para
mueven con velocidad constante cuyos
estudiar Medicina. Galileo optó por
valores son:
dedicarse a la Matemática y a las Ciencias
VA = 45[m/s] y VB = 20[m/s] en
en general.
dirección ox positivo. Determine:
Sus numerosas investigaciones abarcan
2.1. Las ecuaciones de movimiento para
diversos campos de la ciencia, pero sus
cada móvil.
principales descubrimientos estuvieron en
2.2. El instante de encuentro.
Mecánica y Astronomía.
2.3. El lugar de encuentro
Fue el precursor del método científico
2.4. Haga un gráfico (x-t) de la situación
planteada.
experimental, al medir y buscar
relaciones matemáticas en todos los
Solución.
VA=45[m/s]
hechos que observaba.
Demostró mediante sus experimentos en

planos inclinados que todos los cuerpos
A
VB=20[m/s]

x =150[m]
B
caen con la misma aceleración,
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2.1. Por determinar las ecuaciones de
despejando t se obtiene: t  6[s]
movimiento.
2.3.¿Dónde?
X A  45  6  270[m]
Móvil A
2.4.El punto de encuentro es P(6,270)
X0A  0

t0  0 VA  45[m / s]
a  0(V  Cte.)
A
 A
X A  X 0 A  vA  t

X A  45  t
Móvil B
 X 0 B  150[m]

t0  0 VB  20[m / s]
a  0(V  Cte.)
B
 A
X B  X 0 B  vB  t
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. La rapidez de una partícula que se
mueve a lo largo del eje x varía con el

X B  150  20  t
tiempo de acuerdo con la expresión:
v = ( 12 – 4 t ) m/s
Se en t = 0 se encuentra en x0 = 0 m
2.2. Condición de encuentro:
Determine :
1.1. El gráfico (v-t)
XA  XB
Luego:
45  t  150  20  t
1.2. La aceleración de la partícula
1.3. Su velocidad en t =3 s.
1.4. La velocidad media en el intervalo de
t0 = 0 s a t = 2 s.
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1.5. El desplazamiento en el intervalo
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3.4. Haga el gráfico, para cada móvil,
t0=0 a t = 3s.
(X-t) y
(a – t)
2. Dos ciclistas, A y B, inician su
movimiento simultáneamente . A con
BIBLIOGRAFÍA
una velocidad constante de 12 m/s y B
con una aceleración constante de 5 m/s2.
1.
Física Conceptual. 9° Edición.
2.1. ¿Qué distancia ha recorrido cuando
Paul G. Hewitt.
B alcanza a A ?
Pearson Educación, México
2.2. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido hasta
2004.
ese momento ?
2. Física General .4° Edición .
2.3.¿ Cuál es la velocidad de B cuando
Antonio Máximo, Beatriz
alcanza a A ?
Alvarenga.
3. El siguiente gráfico (v- t) representa
Oxford University Press,1998.
el movimiento de dos móviles A y B.
3. Física 1 Principios y Problemas.
Si la posición inicial de ambor móviles
Paul W. Zitzewitz, Robert F. Neff,
es la misma , siendo X0A = X0B = 0
Mark Davids. Ed. McGraw-Hill,
1995.
4. Física Quinta Edición
Wilson- Bufa
Pearson Educación, México 2003
5. Física I . 4° edición
Raymond A. Serway.
Ed. McGraw-Hill, 1997.
Determine:
6. Física para la ciencia y la
3.1 El tipo de movimiento de cada móvil.
tecnología, v 1 4° edición
3.2 Las ecuaciones de movimiento para
Paul A Tipler.
cada móvil
Editorial Reverté, S.A. 2002 .
3.3. ¿Dónde y en qué instante se
encuentran?
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