REFLEXION Y TRANSMISIÓN DE ONDAS EN EL ESPACIO VACIO

REFLEXION Y TRANSMISIÓN DE ONDAS EN EL ESPACIO VACIO
Ecuaciones de Maxwell.- Proporcionan las relaciones entre los campos de fuerza eléctrica y magnética y
sus distribuciones asociadas de carga y corriente en el espacio vacío.
Dominio de t
Dominio de f
Nombre
^
.(oE(t ))  V
.oÊ   V
Ley de Gauss
(Campo eléctrico)
^
. B  0
.B  0
  E (t ) 
B
t
^
Ley de Gauss
(Campo magnético)
^
  E   j B
Ley de Faraday
(f.e.m.)

^
B(t )

 J  oE(t )
o
t

^
^
B
 J  jo E
o
Ley de Ampere
E = intensidad del campo eléctrico
B = densidad de flujo del campo magnético
 103 / 36 ( F / m)
7
o = permeabilidad del espacio vacío  4 10 ( H / m)
o= permitividad del espacio vacío
J = densidad de corriente
v = densidad de carga eléctrica
REFLEXION Y TRANSMISIÓN DE ONDAS (ONDAS PLANAS)
O. Incid.
Región 1
O. Reflej.
Región 2
Región 1
Región
2
E
H
O.transmit.
Región conductora perfecta
ONDAS EN EL ESPACIO VACIO
Suponemos una onda viajera proveniente de un campo uniforme. Las ondas planas uniformes tienen la
propiedad de que en cualquier instante los campos E y B son uniformes sobre superficies planas. Esto da
lugar a que:


Los campos no dependen de x ni y puesto que las variaciones espaciales de E y B son cero
sobre planos Z = Cte.
v = J = 0 en el vacío.
Con estas simplificaciones, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:
o Ê =0
^
. B  0
^
^
  E   j B

^

^
B
 jo E
o
Combinando estas ecuaciones, tenemos las ECUACIONES DE ONDA
2
^
^
E + 2 o o E = 0

2
^
^
B + 2 o o B = 0
Antes de resolver estas ecuaciones observemos que
^
ax
ay
0
0
^
  E   j B 
^
Ex
az

z
^
^
Ey
Ez
^
^
^
  j (ax B x  ay B y  az B z )
produciéndose las siguientes ecuaciones:
^
^
E y
  j B x
z
^
^
Ex
  j B y
z
^
0  B2
^
^
B
 jo E produce
En forma semejante  
o
^
^
1 By

 jo E x
o z
^
^
1 Bx
 jo E y
o z
^
0  E2
Podemos observar que


^
^
No se obtiene componente z de E ni B (onda TEM)
Se produce dos pares independientes de campos
^ ^ 
 E x, B y 


^ ^ 
 E y, B x 


Vamos a encontrar la solución de la ecuación de onda en un solo par (puesto que son independientes). Si
^
^
hacemos E y  B x  0 , la ecuación de onda se transforma en
^
^
2 E x
2



o

o
E
x0
z 2
la cual se puede rescribir como
^
^
d2 E x
  2 oo E x  0
2
dz
donde la solución es ya conocida
^
E x( z )  Em e joZ  Em e joZ
o   oo
FACTOR DE FASE ESPACIAL
Esta solución implica la existencia de ondas planas viajeras, unas en el sentido de las z y otras en sentido
contrario.
De igual forma
^
B y ( z )  Bm e  joZ  Bm e joZ

2
2
c


o  oo f
;
c
1

 vp 
o
oo
(velocidad de fase)
En general las soluciones se pueden escribir como
^
^ 
^ 
^
^
^
E x( z )  E X ( z )  E X ( z )
E y( z )  B y ( z )  B y ( z )
En cualquier punto de la región se tiene
Si definimos al CAMPO DE INTENSIDAD MAGNETICA H
ONDAS EN UNA REGION CONDUCTORA NO LIMITADA
En este caso tenemos las consideraciones anteriores con la excepción que
puesto que
Los parámetros de la región serán
Bajo estas circunstancias las ecuaciones de Maxwell serán
Lo cual básicamente nos dará la misma ecuación de onda que para el vacío, con la salvedad que
Notamos que el factor de fase queda como factor complejo, definiéndose
Ya que
obtenemos
La atenuación de la onda viajera se debe a que la región es conductora
La solución es entonces
En forma general
La impedancia intrínseca de onda es también compleja`
En la región conductora existe una densidad de corriente
La onda entonces penetra en la región conductora atenuándose. La profundidad de penetración .
Profundidad de superficie de la onda, es aquella distancia en la cual la amplitud de la onda ha decaído
hasta
Ejemplo: Suponga que una onda plana se propaga en dirección de z positivas a en una región conductora
con las constantes
. Encontrar
REFLEXION DESDE UNA SUPERFICIE PLANA A INCIDENCIA NORMAL
Se considera una onda incidente que incide normalmente sobre una superficie conductora
Como resultado se tendrá una onda reflejada
En forma compleja la suma total de ambas ondas será
La condición de frontera es que el campo eléctrico tangencial total debe desvanecerse
Quedando
Para la onda resultante (onda estacionaria) en la parte izquierda
El campo magnético total será
Hay que tomar en cuenta que el campo magnético no puede caer abruptamente a cero al pasar al interior
del conductor perfecto sin incidir una corriente eléctrica de superficie. La densidad de corriente Js esta
en dirección de la x
REFLEXION Y TRANSMISIÓN EN DOS REGIONES
Notar que en la región 2 no existe onda reflejada
En la región 1 la onda incidente:
La onda reflejada
En la región 2, la onda transmitida es
Para determinar la relación entre
consideramos la condición de frontera, en z =0 (debe haber
continuidad de los campos eléctricos y magnéticos en una superficie plana de incidencia).
Onda total en región 1
Onda total en región 2
Dando como resultado
Definiendo el Coeficiente de Reflexión
Impedancia de campo: se define en cualquier z
La
es continua a través de una discontinuidad de región
El es discontinuo a través de una discontinuidad a
INCIDENCIA NORMAL PARA MAS DE DOS REGIONES
Ejemplo: Una onda plana uniforme incide normalmente en el aire sobre una pieza de plástico con los
parámetros mostrados, y con un espesor de cuarto de onda a frecuencia de operación 1Mhz. La onda
polarizada en la dirección de las x tiene la amplitud
. Encuentre las amplitudes restantes de
onda.
Empezamos desde R3:
Normalizando
La continuidad de la impedancia de campo, nos permite:
Es decir, que
Para encontrar el coeficiente de reflexión , normalizamos
Ubicando el punto en la carta de Smith, leemos directamente
Para conocer el valor de , traslado el punto anterior , hacia el generado9r. Entonces:
Por lo que
Por continuidad
Ubicando este punto en la carta de Smith, leemos
Normalizando en R1
Encontramos ahora los valores
Tomamos como referencia z =0 a la frontera 01
El campo eléctrico total
Por otra parte
En R2, en forma general
Se puede despejar
Como conocemos que
En la frontera de 02
Como no hay reflexión en R3, se cumplen las relaciones