Unidad 1 Problema 10_2010

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Unidad 1
Problema 10 explicado
10)Un varilla delgada de longitud L está ubicada sobre el eje x. Está cargada unifomemente con una densidad
lineal de carga (carga por unidad de longitud). Determinar el campo eléctrico en un punto del eje x ubicado
a una distancia d de uno de los extremos de la varilla.
En el esquema adjunto se muestra la
varilla ubicada sobre el eje x con su
centro coincidiendo con el origen de
coordenadas. Nuestro problema es
determinar el campo eléctrico en un
punto ubicado en el eje x a una
distancia d de uno de los extremos de
la varilla.
La carga de la varilla está dada
 L  L 



varilla. Si la densidad de carga dependiera de x, es decir si =(X), entonces  quedaría dentro del integrando.
por Q 

L
2
L
2
L
 dx    L2 dx           L ya que la densidad de carga es constante a lo largo de la

2
2
2
A partir de la ley de Coulomb y de la definición de campo eléctrico podemos calcular el campo eléctrico en un
punto del espacio provocado por una carga puntual:

E
q
rˆ
4 o r 2
1
Si la carga puntual está ubicada sobre el eje x y deseamos calcular el campo en un punto del mismo eje, la expresión
anterior nos queda:

E
q
iˆ
4 o ( x  x`) 2
1
En esta expresión x es la posición del punto en el que se desea calcular el campo (punto “campo”) y x` es la
posición en la que está ubicada la carga puntual q (punto “fuente”).
Antes de resolver completamente el problema de la varilla, vamos a resolver un problema que en cierta forma es
análogo, pero que posiblemente nos ayude a entender mejor la integración que reañlizaremos después.
_________ . ___________
Supongamos que en lugar de la varilla continua tuviéramos cuatro cargas puntuales cada una de valor Q/4 ubicadas
como se indica en la siguiente figura.
¿Cómo calcularíamos el campo en el
punto P?
Debemos calcular el campo que
produce cada carga en el punto P y
luego realizar la suma vectorial de
estos cuatro vectores. Es decir,
podemos aplicar el principio de
superposición1.
Está claro que esta distribución de
cuatro cargas puntuales no es
equivalente a la varilla, pero si la varilla
la dividimos en cuatro segmentos
iguales y a cada uno de ellos lo
consideramos como una carga puntual,
obtenemos esta distribución y
Si el “efecto” (el campo) es una función lineal de la “causa” (la carga) el campo producido por varias cargas se puede calcular
sumando (vectorialmente, ya que el campo es una magnitud vectorial) los campos producidos por cada una de las cargas
individualmente.
1
2
podemos esperar que el valor del campo en P calculado de este modo se aproxime al correcto.
Determinemos los cuatro vectores:

E1 
1
Q
iˆ
2
4 o 
7 
4 d  L 
8 


1
Q
E2 
iˆ
2
4 o 
3 
4 d  L 
8 


E2

1
Q
2
4 o 
5 
4 d  L 
8 


1
Q
E2 
iˆ
2
4 o 
1 
4 d  L 
8 

iˆ
Aplicando el principio de superposición obtenemos:

1 Q 4
1
E
iˆ

2
4 o 4 k 1 
2k  1 
L
d 
8


_________ . ___________
Este resultado se puede mejorar si consideramos a la varilla formada por N cargas puntuales. Si N  cada carga
puntual es ahora una fracción infinitesimal de la carga Q, que denominamos dq y la sumatoria se transforma en una
integral:

E
1
4 o
L/2
dq
 x  x`
2
L
iˆ 
2
1
4 o
L/2
 dx` ˆ
i
 x  x`
2
L
2
Es importante observar que la variable de integración es x` es decir la posición de cada carga “puntual” dq y la
integral se extiende a toda la región donde hay carga: la porción del eje x entre –L/2 y L/2 (la varilla).
En la integral x es una constante igual a (d+ L/2), la posición del punto P.
Resolución de la integral:
u  x  x`

E

E
1
4 o

4 o
du  dx`
L/2
dq
 x  x`
L
2
2
iˆ 
 u 1  1
 du
2

 


u
du


 u2

 1  u

4 o
L/2
dx`
 x  x`
L
2
iˆ 
2

4 o
  1 
1
iˆ 
iˆ
u 
4 o  x  x`  L / s
  L / s
L/2
L/2


 1
1 ˆ

L

i
iˆ


L
L
4

d
(
d

L
)
o
x 
x 
2
2 

Analicemos la expresión obtenida. Vemos que el campo en el punto P depende de la carga total de la varilla Q =
L. También depende de la distancia d. Cuanto mayor sea esta distancia el campo es más débil.

En particular si d >> L podemos considerar que d+L  d , entonces: E 
1
Q ˆ
i
4 o d 2
Es decir, si el punto en el cual evaluamos el campo está muy lejos de la varilla, d >> L, entonces la fórmula
coincide con el caso de una carga puntual Q ubicada a una distancia d del punto P. Dicho de manera muy imprecisa:
desde un punto P ubicado muy lejos, la varilla de longitud L “se ve” como un punto….
3
Para pensar…
1) ¿Se puede verificar en qué grado la expresión de la sumatoria se aproxima al valor exacto obtenido por
integración?
2) ¿Se puede demostrar que el límite de la sumatoria para N  coincide con la expresión hallada por
integración?
3) Si hubiéramos ubicado a la varilla en otra posición o, dicho de otro modo, hubiéramos elegido otro sistema de
referencia, ¿obtendríamos el mismo resultado? Por ejemplo si la varilla se ubica entre x = 0 y x = L, ¿cambia el
resultado?
4) Si la densidad de carga no fuera uniforme2, es decir si  = (x), ¿qué tendríamos que cambiar en nuestra
deducción?
5) ¿Cómo debemos proceder para calcular el campo eléctrico en puntos del eje y? ¿Qué dirección tendrá el campo
eléctrico en este caso?( con  uniforme)
6) Determinar el campo para puntos del eje y en el caso en que  = ax donde a es una constante. ¿Cuánto vale la
carga total de la varilla en este caso?
7) A partir de la expresión hallada en (6), encontrar una expresión aproximada para el caso en que d >> L (En
este caso d = y)
Ayudas…
1) Para evitar el cálculo algebraico que puede resultar muy engorroso se puede probar con valores. Por ejemplo si
L = 0,80 m y d = 5 m calcular el resultado de la sumatoria y comparar con el resultado obtenido por cálculo
integral.
2) Lo que habría que hacer es

E
Q N
1
iˆ

2
4 o N  N k 1 
2k  1 
L
d 
8


1
lím
y debería dar igual a


L
E
iˆ con la condición Q   L
4 o d (d  L)
3) En este caso la integral se debe extender para x` desde 0 hasta L y x = L + d
4) No se puede sacar  fuera de la integral. Tampoco es correcto que Q   L .
5) En este caso el versor r̂ que va desde cada elemento infinitesimal dq de la varilla (puntos “fuente”) hacia el
punto del eje y (punto “campo”) es variable y por lo tanto forma parte del integrando. Pero se pueden
aprovechar las condiciones de simetría para simplificar el cálculo. Cada carga “puntual” dq produce un campo


infinitesimal dE  dExiˆ  dEy ˆj pero al integrar (al sumar lo infinitos dE ) obtenemos un campo que sólo
puede tener componente en la dirección y.
6) Bueno, si pudiste comprender la explicación y además resolver los ítems anteriores estás en condiciones de
enfrentar este desafío.
7) En este caso la varilla está dividida en dos mitades con igual carga en valor absoluto pero con distinto signo 3.
Es decir, es un dipolo eléctrico. Una de las características del campo producido por una distribución bipolar de
carga es que para grandes distancias, en comparación con las dimensiones del dipolo, es que su módulo
disminuye en forma inversamente proporcional al cubo de la distancia.
2
3
Por ejemplo se puede resolver el problema considerando que  = ax donde a es una constante.
La carga total de la varilla es nula.