Sistemas Abiertos en Estado Estable

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
ESCUELA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
TERMODINAMICA I
Semana N° 3
CONTENIDO:
Sistemas abiertos en estado estable: conservación de la masa y de la energía.
Procesos de estado y flujo estable
Procesos de estado y flujo uniforme.
Sistemas Abiertos en Estado Estable
Estado estable: significa que las condiciones de un sistema son constantes a través del tiempo. No
puede haber acumulación de energía o de masa en la unidad de tiempo por el sistema. El flujo de masa
total debe ser el mismo en todos los puntos o a lo largo de la trayectoria del flujo de fluido.
Conservación de la masa
Consideremos el sistema que se muestra en el siguiente esquema:
 mi 
mt  t
  Ams
En el tiempo t el sistema tiene una masa de m t , luego de un tiempo t , ingresa al sistema δ m i , sale
del sistema δ m s y la masa del sistema cambia a m t  t . Aplicando un balance de materia al sistema
se obtendría:

u

sup erficie del sistema 
dA
u
m t  t  m t  m s  m i , reordenando : m t  t  m t  m i  m s   0;
la masa que ingresa se puede espresar en función de la velocidad y de la densidad así :
 
 mi
  ud A
t
 i   u cos dA , la acumulación neta de materiaen el sistema en tiempot es :
m
m s  m i    u cos dA promedio  t
A
También el incremento de masa del sistema se puede expresar en términos de la densidad y del
volumen del mismo, así:
Pi
mt  masa del sistema en el tiempo t
mi
Vi
Ut  energía del sistema en el tiempo t
Ps
ms
Vs
Ti
Ts
Ei
Es
W
Q
mt  t  masa del sistema en el
Pi
mi
Vi
tiempo t  t
U t  t  energía del sistema en el
Ti
ms
Ps
Vs
tiempo t  t
Ts
Ei
Es
dm t  t  m t    dV , int egrando se obtendría: m t  t  m t    dV
V
igualmente: m
 t  t  m
 t
d
 dV
dt V
cuando t se aproximea cero las ecuacionesobtenidaspermitirándet er min ar
el balance de materia, resultado así :
d
 dV    u cos dA  0
A
dt V
La ecuación última se le conoce con el nombre de ecuación de continuidad.
Conservación de la Energía
El balance de energía para un sistema cerrado en términos diferenciales es: Q   W  dU , la cual
 Q  W dU
  W
  dU



, así mismo:  Q
expresada en términos de rapidez sería:
t
t
dt
 indica el calor que ingresa al sistema en el tiempo  t , el símbolo  W
 indica el
El símbolo Q
trabajo realizado por el sistema en el tiempo  t , en él se incluye el asociado al trabajo de eje,
esfuerzos cortantes, desplazamientos de la superficie frontera del sistema, y efectos eléctricos y
magnéticos.
Consideremos: E t = energía del sistema en el tiempo t
E t   t = energía del sistema después del tiempo t
Entonces:
E inicio  E t  E i mi  energía del sistema en el tiempot
E final  E t   t  E s ms  energía del sistema en el tiempo t
luego :


E final  E inicio  E t   t  E s ms  E t  E i mi  E t   t  E t  E s ms  E i mi 
en donde E s ms  E i mi  representa el flujo neto de energía que atraviesa las fronteras del sistema y se
acumula en el sistema en el tiempo  t , como resultado del ingreso y salida de las masas mi y ms .
La energía neta que ingresa al sistema como producto del ingreso de las masas mi y ms en el tiempo
 t es:

E s ms  E i mi 
  E u cos  dA
t
A

promedio

La expresión E t  t  E t representa la acumulación de energía interna del sistema en el tiempo  t .
Esta acumulación de energía también se puede expresar mediante la siguiente expresión:
E s ms  E i mi   d  U dm  d  U  dV
m
V
considerando la rapidez cambio en el tiempo t , obtendríamos
Es ms  Ei mi d

U dm  d U  dV
t
dt


m
V
El cambio de energía total del sistema será igual a:
E final  E inicial  E, y la rapidez de será :


E 
  U d V    E u cos  d A
t t V
A
 promedio
Sea We el símbolo que incluye a las siguientes formas de trabajo: eléctrico, magnético, que cruzan la
superficie frontera del sistema, el trabajo asociado con la expansión o contracción del volumen del
sistema, trabajo debido a los esfuerzos cortantes en los límites del sistema y trabajo efectuado por la
flecha que gira(trabajo de eje).
El trabajo asociado a mi y ms cuando atraviesan las fronteras del sistema es realizado por la fuerza
normal (perpendicular al área) con la que actúan ellas. Esta fuerza normal es el producto normal de
tensión -  o y el área d A , así podemos escribir
  o dA dl   dV   V  m
asumiendo que el esfuerzo normal es igual a la presión estática, en el punto en consideración, el
trabajo realizado por la masa que ingresa es : Pi Vi  m i , y para la masa que sale es igual a Ps Vs  m s ,
este trabajo se deno min a trabajo de flujo
El trabajo total de flujo realizado por el sistema en el tiempo  t es: W  We  Ps Vs s  Pi Vi i  .
Para toda la superficie del sistema el trabajo total de flujo se puede escribir en términos del promedio
del flujo


W  We   PV u cos  d A 
t
A

promedio

la ecuación anterior se puede escribir en tér min os de rapidez de flujo promedio así

 W  We 

  PV u cos  d A 
t
t
A

promedio

para un sistemacualquiera se puede escribir :
 Q  W dU


t
t
dt
Remplazando adecuadamente, en la ecuación anterior, se puede escribir:

 We 
Q 
  U dV 
   PV u cos  d A 
t t V
t
A
 promedio
en el límite, cuando t tiende a cero , la ecuación anterior queda así
  d U dV  W
  E  PV u cos  d A
Q
e

d t V
A
debemos tener presente que

E  PV   U 

u2
g
 z  PV 
2g c g c


luego la ecuación de la PRIMERA LEY DE LA T ERMODINAMICA será :
2
  d U dV  W
   H  u  g
Q
e
  2g g
d t V
c
c
A

z  u cos  d A

 (Trabajo de eje): Trabajo realizado por o sobre el fluido al pasar por una pieza de equipo
W
e
trasmitido por un eje que sobresale de dicho equipo y que tiene un movimiento de rotación o de
vaivén.
 representa el trabajo que se intercambia entre el sistema y los alrededores mediante el eje.
W
e
En muchas aplicaciones termodinámicas los términos de energía cinética y potencial son pequeños y
pueden despreciar quedando la expresión así:
H  Q  We
En procesos de flujo la propiedad termodinámica más importante es la entalpía antes que la energía
interna.
Procesos de estado estable y flujo estable
Las suposiciones para el estado estable y flujo estable son:
1. El sistema no se mueve con respecto a cualquier sistema de coordenadas
2. La intensidad del flujo de masa y el estado de esta masa en cada elemento de área de la superficie
del sistema no varían con respecto al tiempo. La rapidez del flujo que entra al sistema es igual a la
rapidez del flujo que sale del sistema.
d
  dV  0 , luego para un proceso en estable y flujo estable
dt

V
  u cos  dA  0
A
3. El estado de la masa en cada punto dentro del sistema no cambia con el tiempo y la masa
permanece constante.
Teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores, la ecuación de la primera Ley de la Termodinámica
para este estado será:
2


   H  u  g z  u cos  dA  W

Q
e


2
g
g
c
c 
A


De la ecuación de continuidad  u cos  dA 
 ms   mi ,
es decir:
ms  mi .
A
Suponiendo que intensidad de flujo de masa es uniforme y el estado termodinámico uniforme
sobre todas las áreas del sistema por donde ingresa y sale masa, la ecuación de flujo de energía se
puede escribir así:
2




u2
g 
u2
g
 H  u  g z  u cos  dA  m
 sH 
 iH 
  m
 





2g c g c 
2g c g c 
2g i g i 


A
luego, la ecuación de la PRIMERA LEY DE LA T ERMODINAMICA será :





u s2
u2
g  
g 
 m

 i  Hi  i    W

Q

m
H

 
e
s s


2g c g c 
2g c g c 


4. La rapidez con la que el calor y el trabajo atraviesan la superficie del sistema permanecen
constantes.
Ejemplo:
El flujo de masa a una turbina de vapor es de 4536 kgm/hr (10000 lbm/hr), y la transmisión de calor de
la turbina es 7560 kcal/hr (30000 Btu/hr). Se conocen los datos siguientes del vapor que entra y sale de
la turbina:
Variables
Presión
Temperatura
Calidad
Velocidad
Elevación sobre el plano de referencia.
Condiciones de entrada Condiciones de entrada
21 kgf/cm2(300 lbf/in2) 1.05 kgf/cm2(15 lbf/in2)
372°C (700°F)
100%
61 m/s (200 ft/s)
183 m/s (600 ft/s)
4.88 m (16 ft)
3.05 m (10 ft)
Determinar la potencia de salida de la turbina.
Solución
De los datos del problema el proceso corresponde a estado y flujo en estado estable, debido a que el
flujo entra por un solo punto y sale también por un solo punto. La ecuación a utilizar es:


u s2 gh 
u i2 gh  






Q  mi  H i 
   We  ms  H s 
 
2
g
g
2
g
gc 
c
c 
c


  7560 kcal / hr (30000 Btu / hr)
Q
Hi  1368.3 Btu / lbm (de las tablas de vapor)  760 kcal / kg m
g
9.81m / s 2
h
4.88  0.0115kcal/ kgm
kgm m
kgf m
gc
9.81
427
kgf s 2
kcal
u2
(61) 2 m 2 / s 2

 0.444 kcal / kg m
2g c 2  9.81 kg m m  427 kg f m
kcal
kg f s 2
Hs  1150.8 Btu / lbm (de las tablas de vapor)  693.3 kcal / kg m
g
9.81m / s 2
h
 3.05  0.0071kcal/ kgm
kgm m
kgf m
gc
9.81
427
kgf s 2
kcal
u2
(183) 2 m 2 / s 2

 4.000 kcal / kg m
2g c 2  9.81 kg m m  427 kg f m
kcal
kg f s 2
  -7560 + 3447000-2918000 = 521440 kcal/hr
luego: W
e
  521440kcal/ hr  816Hp
W
e
641kcal/ hr
Procesos de estado y flujo uniforme
Las suposiciones que sustentan este estado son:
1. El volumen del sistema permanece constante con relación a cualquier sistema de coordenadas.
2. El estado de la masa que cruza la superficie del sistema es constante con el tiempo y uniforme
sobre las áreas de la superficie donde ocurre el flujo.
3. El estado de la masa dentro del sistema podrá cambiar con el tiempo, pero en cualquier instante el
estado es uniforme
La ecuación de continuidad puede escribir así:
dm

dt
m s  m i  0 .
Calculando la masa acumulada por el sistema en un tiempo t, sería:
0 dt dt  mf  mi 
t dm
t
0  m i dt   mi
t
 s dt   ms
La masa que sale del sistema en el tiempo t es:   m
0
Luego para este proceso se puede escribir: mf  mi   ms  mi  0
La masa que ingresa al sistema en el tiempo t es:
Con los supuestos anteriores la ecuación para determinar la acumulación de masa por el sistema puede
ser escrita así:
d
d
d 
u2
g 
U dV  mU  m  U 

z 
dt V
dt
dt  
2g c g c 
Con los supuestos anteriores la ecuación para determinar el flujo neto acumulado por el sistema puede
ser escrita así:
2




u2
u2
g 
g 
 H  u  g  u cos  dA  m
 s  Hs  s    m
 i  Hi  i  


A
2g c g c 
2g c g c 
2g c g c 







Luego la primera ley de la Termodinámica para el proceso de estado uniforme y flujo uniforme es:


u s2
u2
g  
g  d 
u
g 
  m

 i  Hi  i  z   W

Q

m
H

 z   m U 
 z 

e
s s


2g c g c 
2g c g c  dt  
2g c g c  sistema


o también así:

u2
g
Q   m i  H i  i 
2
g
g
c
c



u2
g
z   We   m s  H s  s 
2
g
g
c
c


  

u2
u2
g 
g 
z   m f  U f  f  z f   m i  U i  i  z i 
2g c g c 
2g c g c 

  
sistema
Ejemplo:
En un tubo fluye vapor de 200 lbf/in2 y 600°F, y un tanque previamente evacuado, se conecta mediante
una válvula. Luego, se abre la válvula hasta que la presión dentro de él es de 200 lb f/in2 y entonces se
cierra la válvula. El proceso que tiene lugar es adiabático y son despreciables la energía cinética y
potencial. Determine la temperatura final del vapor.
200 lb f / in 2 ,600 F 
sup erficie del sistema
inicialmente
vacio
Asumiendo que el fluido dentro del tanque y en el tubo se comporta en estado y flujo uniforme, luego
para el sistema se puede escribir la ecuación:

u2
g
Q   m i  H i  i 
2
g
g
c
c



u2
g
z   We   m s  H s  s 
2
g
g
c
c


  

u2
u2
g 
g 
z   m f  U f  f  z f   m i  U i  i  z i 
2g c g c 
2g c g c 

  
sistema
De los datos del problema se estable que: Q  We  ms  0 , y asumiendo que los cambios de energía
cinética y potencial son despreciables, la ecuación anterior queda: mi Hi  mf Uf . Así mismo:
mi  mf , en conclusión:
He  Uf ,
de los datos de las tablas de vapor se obtiene:
Hi  Uf  1322.1 Btu / lbm . Con los datos de la presión y la entalpía el estado final del sistema queda
determinado. La temperatura que corresponde a una presión de 200 lbf/in2 y a una energía interna de
1322.1 Btu/lbm, es de 885°F.