¿Cómo calcular límites de funciones con la Class Pad?

¿Cómo calcular límites de funciones
con la Class Pad?
Prof. Robinson Arcos
INTRODUCCIÓN:
La Aplicación Principal de la Class Pad dispone de comandos que permiten el cálculo de límites de funciones
reales de variable real. En este material instruccional encontrará distintas maneras de calcular límites de funciones.
¿Cómo calcular límites de funciones en un punto?
Cuando se activa el menú secundario [Cálculo ►] del menú desplegable
[Acción], aparece un listado de comandos relacionados con diversos problemas de
cálculo. El comando lim (como indica la pantalla mostrada en la Figura 1), permite el
cálculo del límite de una función en un punto y sus límites laterales. También permite
el cálculo del límite de una función hacia + ∞ ó hacia – ∞, siempre y cuando su
dominio lo permita.
Sintaxis del comando lim:
a) Para calcular el límite de una función en un punto:
lim(función, variable, punto).
b) Para calcular el límite lateral de una función en un punto:
lim(función, variable, punto, dirección).
c) Para calcular el límite de una función hacia + ∞:
lim(función, variable, ∞ ).
d) Para calcular el límite de una función hacia – ∞:
lim(función, variable, –∞ ).
1.
Figura 1
Calcule cada uno de los siguientes límites:
a) lím (1 + x )1 / x .
x→0
b) lím xsen(1 / x ) .
x→0
⎛ 1− t
c) lím arcsen⎜
⎜ 1− t
t →1
⎝
⎞
⎟.
⎟
⎠
sen(ah) − sen(bh)
.
h
h→ 0
d) lím
Para el cálculo de límites en un punto, tenga presenta la sintaxis indicada en a) del comando lim. Utilizaremos
primeramente el menú [Acción] para calcular el primer límite.
2.
Operación con la Class Pad.
(1)
(2)
Active la Aplicación Principal tocando el icono
del panel de iconos.
Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(3)
. Toque dos veces [main]. Aparecerán las variables que han sido asignadas en otros
Toque el botón
cálculos. Si este es el caso, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.]. Por último toque [Cerr.]
dos veces para regresar al área de trabajo.
•
Esta acción limpia el administrador de variables.
1
(4)
Oprima la tecla
para activar el teclado virtual y toque la pestaña
(5)
Toque [Acción] [Cálculo ►] [lim].
(6)
Toque
(7)
Ubique el cursor a la derecha para salir de la edición exponencial y toque
para acceder al teclado 2D.
.
.
•
Se obtiene
lím (1 + x )1 / x = e donde e ≈ 2,71828188 es el número de
x→0
Euler; la base de los logaritmos neperianos.
Figura 2
El cálculo del segundo límite involucra una función trigonométrica. Cuando se trabaja con funciones
trigonométricas, la unidad angular que debe usarse es la unidad radián. En consecuencia, debe configurarse esta
unidad en el submenú [Formato Básico]. Esto se realiza como sigue:
(8)
Toque
[Preferencias ►] [Configuración ►] [Formato básico].
(9)
En el recuadro [Ángulo], toque
[Radián] [Def.].
Figura 3
•
De este modo su calculadora estará configurada en el formato radián. Este
modo quedará indicado en la barra de estado que se encuentra en la parte
inferior de la pantalla (Figura 3).
•
Para el cálculo de segundo límite haremos uso del menú [Interactivo].
(10) Active el teclado matemático mth tocando la pestaña
. toque
e
Ingrese la función xsen(1/ x) en la línea de entrada tocando
.
(11) Seleccione la función que ha registrado en la línea de entrada (Figura 4).
Figura 4
(12) Toque [Interactivo] [Cálculo ►] [lim].
(13) Al aparecer el cuadro de diálogo, ubique el cursor
en el recuadro Punto: y toque
para indicar que
se está calculando el límite en el punto x = 0 .
(14) Toque [Acep.].
•
Se obtiene lím xsen(1 / x ) = 0 .
x→0
Figura 6
Figura 5
El teclado virtual matemático mth dispone del botón
este botón para calcular el tercer límite:
(15) En el teclado matemático toque
(16) Toque
(17) Toque
para activar el comando lim. Ilustraremos el uso de
.
y luego toque la pestaña
.
. En el numerador toque
en el denominador toque
. Con el cursor ubicado
.
(18) Finalmente, coloque el cursor a la derecha y toque
•
⎛ 1− t
Se obtiene lím arcsen⎜
⎜ 1− t
t →1
⎝
.
⎞ π
⎟= .
⎟ 6
⎠
Figura 7
2
También pueden calcularse límites con parámetros como es el caso que muestra el cuarto límite. Por otra parte,
el teclado virtual 2D nos provee de una plantilla para el cálculo de límites:
(19) En el teclado 2D, toque
y luego la plantilla
.
(20) Con el cursor en el primer recuadro inferior toque
.
(21) Coloque el cursor en el segundo recuadro y toque
.
(22) Coloque el cursor en el recuadro superior y toque
.
(23) En el numerador toque
.
Figura 8
(24) Ubique el cursor en el denominador y toque
•
.
sen(ah) − sen(bh)
= a−b .
h
h→ 0
Se obtiene lím
¿Cómo calcular límites laterales de una función en un punto?
Para el cálculo de límites laterales se sigue la sintaxis dada en b). Esto significa que hay que indicar la dirección
lateral para el cálculo del límite.
3.
Calcule, en caso de existir, cada uno de los siguientes límites:
x−2
.
x→2 x − 2
a) lím
4.
b)
x−2
.
x → 2+ x − 2
lím
c)
x−2
.
x−2
x → 2−
lím
Operación con la Class Pad.
(25) Toque [Acción] [Cálculo ►] [lim].
(26) Toque la pestaña
y toque
. En el numerador toque
(27) Con el cursor en el denominador toque
.
(28) Ubique el cursor a la derecha y toque
•
.
.
x−2
no existe.
x→2 x − 2
Se deduce que lím
(29) Toque
x−2
y registre nuevamente la función
.
[x − 2]
Figura 9
(30) Seleccione la expresión que ha registrado. Toque [Interacctivo] [Cálculo ►]
[lim].
(31) En el cuadro de diálogo toque
punto se está calculando el límite.
en el recuadro Punto: para indicar en que
(32) En el recuadro dirección: toque
para indicar que se está calculando el
límite por la derecha de x = 2 . Toque [Acep.].
•
Se obtiene
Figura 10
x−2
= 1.
x−2
x → 2+
lím
3
(33) Repita los pasos (29), (30) y (31).
(34) En el recuadro dirección: toque
límite por la izquierda de x = 2 .
(35) Toque [Acep.].
•
Se obtiene
para indicar que se está calculando el
x−2
= −1 .
x → 2− x − 2
lím
Figura 11
En el siguiente ejemplo mostraremos como se indica la dirección del límite lateral cuando se hace uso de la
del teclado virtual 2D:
plantilla
5.
⎧⎪3x 2 − 2x + 1 si x < 2
Establezca si lím f (x ) existe, donde f (x ) = ⎨
. En caso de existir el límite,
x→2
⎪⎩ x 3 + 1 si x ≥ 2
indique el valor del límite.
Para establecer la existencia del lím f (x ) debe hacerse un análisis que pasa por el cálculo de los límites
x→2
laterales
6.
lím f (x ) y
x →2+
lím f (x ) .
x →2−
Operación con la Class Pad.
(36) En el teclado 2D, toque
y luego la plantilla
(37) En el primer recuadro inferior toque
.
.
(38) Ubique el cursor en el segundo recuadro inferior y toque
.
(39) Ubique el cursor en el recuadro superior y toque
•
Se obtiene que
(40) Toque la plantilla
(41) Repita el paso (37).
.
lím f (x ) = 9 .
x→2+
Figura 12
.
(42) Ubique el cursor en el segundo recuadro inferior y toque
.
(43) Ubique el cursor en el recuadro superior y toque
.
•
Se obtiene también que
lím f (x ) = 9 . En consecuencia lím f (x ) = 9 .
x→2−
x→2
Figura 13
¿Cómo calcular límites de una función hacia + ∞ y hacia – ∞?
Para el cálculo de límites de funciones hacia + ∞ y hacia – ∞ deben tenerse presente las sintaxis dadas en c) y d).
Esto significa que luego del comando lim deben registrarse la función, la variable y el símbolo + ∞ ó – ∞ según el
caso.
4
7.
Calcule cada uno de los siguientes límites:
a)
8.
2x 2 + x + 3
− 2x .
x
x → −∞
b) lím x(e a / x − e b / x ) .
lím
x→∞
Operación con la Class Pad.
(44) En el teclado 2D, toque la plantilla
(45) En el primer recuadro inferior toque
.
.
(46) Ubique el cursor en el segundo recuadro inferior y toque
(47) Ubique el cursor en el recuadro superior y toque
.
.
(48) Con el cursor en el numerador toque
.
(49) Ubique el cursor en el denominador y toque
.
(50) Ubique el cursor a la derecha y toque
•
Se obtiene
Figura 14
.
2x 2 + x + 3
− 2x = 1 .
x
x → −∞
lím
(51) Finalmente toque
.
(52) En el primer recuadro inferior toque
.
(53) Ubique el cursor en el segundo recuadro inferior y toque
.
(54) Ubique el cursor en el recuadro superior y toque
. Ubique el cursor a la derecha y toque
.
(55) Ubique nuevamente el cursor a la derecha y toque
•
.
Figura 15
Se obtiene que lím x(e a / x − eb / x ) = a − b .
x→∞
5