¿Cómo desarrollar y factorizar expresiones algebraicas? 1

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¿Cómo desarrollar
algebraicas?
y
factorizar
expresiones
Prof. Jean-Pierre Marcaillou
OBJETIVOS:
La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de los comandos [expand], [factor], [rfactor], [factorOut] y [collect]
del submenú desplegable Transformación del menú Acción para desarrollar y factorizar expresiones algebraicas,
ecuaciones, inecuaciones en el conjunto de los números reales y los números complejos.
CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS:
Expresión algebraica: Es una expresión en la cual aparecen:
Números (enteros naturales, enteros relativos, racionales, irracionales)
Variables (letras del alfabeto)
Símbolos de instrucciones (operaciones +, −, ×, ÷ ; funciones inversa, potencia, radicales)
Signos de agrupación: paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }.
y que se transforma en un número cuando todas las variables que aparecen en ellas son sustituidas por números.
Factorizar una expresión algebraica: Es transformarla de manera que la última instrucción de su esquema sea una
multiplicación, un cuadrado o una potencia con exponente entero positivo. Una expresión algebraica está factorizada
por completo si cada factor algebraico es un factor primo, es decir, admite como únicos divisores sobre el conjunto
de los enteros el mismo y el valor 1.
Desarrollar una expresión algebraica: Es la operación inversa de la factorización.
Supresión de los signos de agrupación:
1. Al suprimir los signos de agrupación precedidos del signo + se conserva el mismo signo que tengan cada
una de las cantidades que se hallan dentro de ellos.
2. Al suprimir los signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el signo que tengan cada una de las
cantidades que se hallan dentro de ellos.
3. Los signos de agrupación se eliminan desde los más internos hacia los más externos.
Introducción de cantidades dentro de signos de agrupación:
1.
Para introducir cantidades dentro de signos de agrupación precedidos del signo +, se conserva a cada una
de las cantidades su mismo signo.
2.
Para introducir cantidades dentro de signos de agrupación precedidos del signo –, se cambia el signo a cada
una de las cantidades.
Divisor (de): Se dice que un número a es un divisor de un número b si y sólo si existe un número n tal que b = na .
Múltiplo (de): Se dice un número a es un múltiplo de un número b si y sólo si existe un número n tal que a = nb .
Máximo común divisor (MCD): Es el mayor de los divisores comunes a varios números. La regla práctica para
calcularlo es la siguiente:
1. Descompone los números en producto de factores primos.
2. Considera los factores comunes con su menor exponente.
3. Multiplica esos factores.
1
Mínimo común múltiplo (MCM): Es el menor de los múltiplos comunes a varios números. La regla práctica para
calcularlo es la siguiente:
1. Descompone los números en producto de factores primos.
2. Considera los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
3. Multiplica esos factores.
Productos notables:
Son identidades que, debido a la frecuencia con la cual aparecen en los cálculos algebraicos, se realizan en forma
directa, mediante la aplicación de mecanismos preestablecidos. Se presentan a continuación los productos notables
más comunes:
FACTORIZACIÓN
1
xy + yz = x(y + z)
2
x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
3
abx2 + (ad + cb)x + cd = (ax + c)(bx + d)
4
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
5
x2 − 2xy + y 2 = (x − y)2
6
x2 − y 2 = (x − y)(x + y)
7
x3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y3 = (x + y)3
8
x3 − 3x2 y + 3xy2 − y3 = (x − y)3
9
x3 − y3 = (x − y)(x 2 + xy + y2 )
10
x3 + y3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2 )
DESARROLLO
Procedimiento para factorizar una expresión algebraica:
PASO 1: Extrae todos los monomios que sean comunes a todos los términos.
PASO 2: Agrupa todos los términos por parejas y extrae los monomios comunes de cada par de términos.
PASO 3: Agrupa todos los términos con la finalidad de hacer aparecer productos notables como los mencionados en
la tabla anterior en 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.
PASO 4: Escribe la expresión algebraica original bajo la forma de un producto de factores.
Factorizaciones especiales:
Factor común.
Diferencia de cuadrados.
Trinomio cuadrado perfecto.
Completación de un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
Suma de cuadrados.
Agrupación de términos.
Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c .
2
OPERACIÓN CON LA CALCULADORA:
Cuando se activa el menú secundario Transformación del menú desplegable
Acción, aparece un listado de comandos relacionados con diversos problemas de
transformación y expansión.
El tercer comando [expand], como lo indica la pantalla adjunta, permite el
desarrollo de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones (Ine).
Sintaxis del comando [expand]:
expand(Expresión)
El cuarto comando [factor], como lo indica la pantalla adjunta, permite
factorizaciones de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones
(Ine).
Sintaxis del comando [factor]:
factor(Expresión)
El quinto comando [rfactor], como lo indica la pantalla adjunta, permite
factorizaciones de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones
(Ine).
Sintaxis del comando [rfactor]:
rfactor(Expresión)
El sexto comando [factorOut], como lo indica la pantalla adjunta, permite
factorizaciones de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones
(Ine) con respecto a una variable o un factor específico.
Sintaxis del comando [factorOut]:
factorOut(Expresión,variable)
El octavo comando [collect], como lo indica la pantalla adjunta, permite reorganizar
con respecto a una variable o un factor, una expresión algebraica (Exp), una
ecuación (Ecu) , una inecuación (Ine).
Sintaxis del comando [collect]:
collect(Expresión, variable)
Observaciones:
Los comandos [expand], [factor], [rfactor], [factorOut] y [collect] del submenú
Transformación son también disponibles en el teclado de catálogo cat del teclado
virtual.
Basta con presionar la lengüeta [cat] y deslizar el cursor
mediante las flechas de
desplazamiento ▲ y ▼ hasta identificar el comando indicado (sombrearlo) y presionar
seguidamente la tecla [INTRO] para introducirlo en la pantalla.
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¿Cómo desarrollar una expresión algebraica?
El comando [expand] desarrolla una expresión algebraica, una ecuación, una inecuación.
1.
Desarrolle la expresión algebraica (x 2 + y2 )2 .
(1) Presione la tecla [ON/OFF] y active la Aplicación Principal tocando el icono
del panel de iconos.
(2) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(3) Presione la tecla [Keyboard] para activar el teclado virtual y toque la lengüeta [mth]
para acceder al teclado matemático.
(4) Toque seguidamente [(] / [x] / [^] / [2] / [+] / [y] / [^] / [2] / [)] / [^] / [2] / [Ejec] para
introducir la expresión algebraica y aparece en la línea de salida la expresión.
(5) Seleccione con el lápiz táctil la expresión que se encuentra en la línea de salida,
deslice la punta del lápiz táctil sobre la expresión de izquierda a derecha hasta
obtener dicha expresión resaltada, y toque [ ] para copiar esta expresión y
colocarla en el portapapeles.
(6) Ahora posicione la punta del lápiz táctil en el cuadro
de línea de entrada para
mover el cursor allí, toque [Acción] / [Transformación] / [expand] / [ ] / [Ejec]
para introducir el comando expand, pegar la expresión algebraica y aparece en la
línea de salida el desarrollo completo de dicha expresión.
2.
Descompone la función racional propia
1
2
bajo la forma de funciones racionales simples.
x −1
(8) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(9) Toque [Acción] / [Transformación] / [expand] y seguidamente [1] / [ ÷ ] / [(] / [x] / [^] /
[2] / [–] / [1] / [)] / [,] / [x] / [Ejec] para introducir la función racional, precisar que la
descomposición se realiza con respecto a la variable x, y aparece en la línea de
salida el desarrollo de la función racional bajo la forma de funciones racionales
simples. El comando [expand] desarrolla una función racional como la suma de
funciones racionales simples.
3.
Desarrolle (x − 1)2 = (3x + 2)2 y (x 2 − 8x)2 < (x + 10)2 .
(10) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(11) Toque [Acción] / [Transformación] / [expand] y seguidamente [(] / [x] / [–] / [1] / [)]
[^] / [2] / [=] / [(] / [3] / [x] / [+] / [2] / [)] [^] / [2] / [Ejec] y aparece en la línea de salida el
desarrollo completo de la ecuación. El comando [expand] desarrolla ambos
miembros de una ecuación.
(12) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(13) Toque [Acción] / [Transformación] / [expand] y seguidamente [(] / [x] / [^] / [2] / [–]
/ [8] / [x] / [)] [^] / [2] / [OPC] / [<] / [(] / [x] / [+] / [1] / [0] / [)] [^] / [2] / [Ejec] y aparece en
la línea de salida el desarrollo completo de la inecuación. El comando [expand]
desarrolla ambos miembros de una inecuación.
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¿Cómo factorizar una expresión algebraica?
El comando [factor] descompone un número bajo la forma de un producto de factores primos, y escribe el
resultado, si es posible bajo la forma de una fracción irreducible.
4.
Descompone el número 407723916600 bajo la forma de un producto de factores primos.
(14) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(15) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [4] / [0] / [7] / [7] / [2] /
[3] / [9] / [1] / [6] / [6] / [0] / [0] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la
descomposición del número como un producto de factores primos.
(16) Toque con la punta del lápiz el símbolo ► situado a la extrema derecha de la línea de
salida y aparecen los restantes factores primos que hacen parte de la
descomposición.
5.
Descompone
1247400
en una fracción irreducible.
1981980
(17) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(18) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [2D] / [ ] / [1] / [2] /
[4] / [7] / [4] / [0] / [0] / [▼] / [1] / [9] / [8] / [1] / [9] / [8] / [0] / [Ejec] y aparece en la línea
de salida la fracción original escrita como una fracción irreducible con el numerador y
denominador escritos como el producto de factores primos.
El comando [factor] factoriza expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones tanto en el conjunto de los
números reales como en el conjunto de los números complejos.
6.
Factorice 2x3 − 3x 2 + 8x − 12 .
(19) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(20) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [(] / [2] / [x] / [^] / [3] /
[–] / [3] / [x] / [^] / [2] / [+] / [8] / [x] / [–] / [1] / [2] / [Ejec] y aparece en la línea de salida
la factorización de la expresión algebraica. Una raíz es racional mientras que las
otras dos no son reales. La factorización es completa en el conjunto de los
números reales.
(21) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(22) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [(] / [2] / [x] / [^] / [3] /
[–] / [3] / [x] / [^] / [2] / [+] / [8] / [x] / [–] / [1] / [2] / [Ejec] y aparece en la línea de salida
la factorización completa de la expresión algebraica en el conjunto de los números
complejos.
5
7.
Factorice 3x 2 + x − 1.
(23) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(24) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [3] / [x] / [^] / [2] / [+] /
[x] / [–] / [1] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la misma expresión. Con el
comando [factor], los polinomios cuyas raíces son irracionales no se pueden
factorizar; es a través del comando [rfactor] que se puede realizar dicha
factorización.
(25) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(26) Toque [Acción] / [Transformación] / [rfactor] y seguidamente [3] / [x] / [^] / [2] / [+] /
[x] / [–] / [1] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la expresión factorizada. Con el
comando [rfactor], los polinomios cuyas raíces son irracionales se pueden
factorizar y el resultado se presenta bajo la forma a(x − x1 )...(x − xn ) donde
x1,...,xn son la raíces irracionales.
8.
Factorice 3x 2 + 10x − 8 = x + 4 y
x 2 + 6x + 9
2
x −9
<
2x − 1
2
.
4x − 4x + 1
(22) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(23) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [3] / [x] / [^] / [2] / [+] /
[1] / [0] / [x] / [–] / [8] / [=] / [x] / [+] / [4] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la
ecuación con ambos miembros factorizados.
(24) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(25) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] / [2D] / [ ] / [x] / [^] / [2] / [+] / [6] / [x] /
[+] / [9] para introducir el numerador del primer miembro; presione [▼] y toque [x] / [^]
/ [2] / [–] / [9] para introducir el denominador del primer miembro; presione [►] y toque
[mth] / [OPC] / [<] / [2D] / [ ] / [2] / [x] / [–] / [1] para introducir el numerador del
segundo miembro; presione [▼] y toque [4] / [x] / [^] / [2] / [–] / [4] / [x] / [+] / [1] / [Ejec]
para introducir el denominador del segundo miembro y aparece en la línea de salida
la inecuación original factorizada y simplificada.
El comando [factorOut] factoriza una expresión algebraica con respecto a una variable determinada o un
factor determinado.
9.
Factoriza el siguiente trinomio 3x 2 − 13x + 12 con respecto: al valor 3; a la variable x; al factor x + 3 .
(26) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(27) Toque [Acción] / [Transformación] / [factorOut] y seguidamente [3] / [x] / [^] / [2] /
[–]] / [1] / [3] / [x] / [+] / [1] / [2] / [,] / [3] / [Ejec] y aparece en la línea de salida el
trinomio factorizado por el factor 3.
6
(29) Toque [Acción] / [Transformación] / [factorOut] y seguidamente seleccione con el
lápiz táctil el trinomio 3x ^ 2 − 13x + 12 deslizando la punta del lápiz táctil sobre la
expresión de izquierda a derecha hasta obtener dicha expresión resaltada y toque
[ ] para copiar esta expresión y colocarla en el portapapeles; inmediatamente
después toque [ ] / [,] / [x] / [Ejec] para pegar el trinomio, precisar la variable de
factorización x, y aparece en la línea de salida el trinomio factorizado con respecto a
la variable x.
(30) Toque [Acción] / [Transformación] / [factorOut] y toque [ ] / [,] / [x] / [+] / [3] /
[Ejec] para pegar el trinomio, precisar el factor de factorización x + 3 , y aparece en
la línea de salida el trinomio factorizado con respecto a x + 3 .
En conclusión, el comando [factorOut] escribe el polinomio
an xn + an−1xn−1 + an−2 xn− 2 + ... + a2 x 2 + a1x + a0
bajo la forma siguiente
 a0
a1x
a1x
a
xn an−1xn
a xn 

 .factor
+ ... + n−2
+
+
+
+ n
 factor factor factor
factor
factor factor 


El comando [collect] reduce y reordena una expresión algebraica, una ecuación, una inecuación con respecto
a una variable determinada o un factor determinado.
10.
Reduzca y reordena la siguiente expresión algebraica 3x + ax 2 + 5x2 − ax + 2 con respecto a la variable x y
después con respecto al factor x + 1 .
(31) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(32) Toque [Acción] / [Transformación] / [collect] y seguidamente [3] / [x] / [+] / [VAR] /
[a] / [x] / [^] / [2] / [+] / [5] / [x] / [^] / [2] / [–] / [a] / [x] / [+] / [2] / [Ejec] para introducir la
expresión algebraica, precisar la variable de ordenación x, y aparece en la línea de
salida dicha expresión reducida y ordenada como potencia decreciente con
respecto a la variable x.
(33) Toque [Acción] / [Transformación] / [collect] y seguidamente seleccione con el
lápiz táctil la expresión 3x + ax ^ 2 + 5x ^ 2 − ax + 2 deslizando la punta del lápiz
táctil sobre la expresión de izquierda a derecha hasta obtener dicha expresión
resaltada y toque [ ] para copiar esta expresión y colocarla en el portapapeles;
inmediatamente después posicione la punta del lápiz táctil en el cuadro de línea de
entrada para mover el cursor allí, toque [ ] / [,] / [x] / [+] / [1] / [Ejec] para pegar la
expresión, precisar el factor de ordenación x + 1 , y aparece en la línea de salida
dicha expresión reducida y ordenada con respecto al factor x + 1 .
El comando [collect] realiza la división de polinomios
P(x)
, y escribe el resultado final bajo la forma
Q(x)
P(x) = Q(x) × C(x) + R donde C(x) representa el cociente y R el resto.
Este comando [collect] es muy útil para expresar un polinomio P en x en términos de x + a (Método De
Horner). Si dado P(x) se quiere encontrar P(x + a) equivalente a P(x) , se realiza una serie de divisiones
sucesivas aplicando la identidad fundamental de la división de polinomios P(x) = (x + a)Q(X) + R .
7
11.
Reduzca y ordena la inecuación (x + 2)2 < 3( −2x + 5)2 con respecto a la variable x.
(33) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(34) Toque [Acción] / [Transformación] / [collect] y seguidamente [(] / [x] / [+] / [2] / [)] /
[^] / [2] / [OPC] / [<] / [3] / [(] / [–] / [2] / [x] / [+] / [5] / [)] / [^] / [2] / [Ejec] para introducir
la inecuación, precisar la variable de ordenación x, y aparece en la línea de salida
dicha ambos miembros de la inecuación reducidos y ordenados con respecto a la
variable x.
12. Desarrolle y reduce las siguientes expresiones algebraicas:
1.- (6x3 + 4x2 + 9x)(2x − 3)
2.- (4x 2 + 1)(3 − 6x)(2x + 1)
3.- (2x3 + 3x 2 − x + 2)(x3 − 4x − 1)
4.- (x + y + z)2 − (y + z − x)2 − (z + x − y)2 − (x + y − z)2
2
 (a2 + b2 )A + (a2 − b2 )B 
 (a2 − b2 )A + (a2 + b2 )B 
5.- 
 −

2ab
2ab




2
13.- Verifique las siguientes identidades:
1.- (a3 + 3mab2 )2 − m(3a2 b + mb3 )2 = (a2 − mb2 )3
2.- (a + b)3 + 2(a3 + b3 ) = 3(a + b)(a2 + b2 )
2
2
3.- (a2 − b2 )x + 2aby  + (a2 − b2 )y − 2abx  = (a2 + b2 )2 (x 2 + y 2 )




4.- 3x 4 + 8x3 − x 2 − 9x − 14 = 3(x + 1)4 − 4(x + 1)3 − 7(x + 1)2 + 5(x + 1) − 11
5.- (ax + by + cz)2 + (bx − ay)2 + (cy − bz)2 + (az − bx)2 = (a2 + b2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z2 )
14.- Factorice las siguientes expresiones algebraicas:
1.- a2 (b − c) + b2 (c − a) + c 2 (a − b)
2.- ab(x2 + y 2 ) + xy(a2 + b2 )
3.- (xy + ab)2 + (ay − bx)2
4.- 90(a2 + b2 + c 2 ) − (7a + 5b − 4c)2 − (4b + 5c)2 − (4a + 7c)2
5.- (a2 + b2 − 5)2 − 4(ab + 2)2
8