¿Cómo graficar curvas en el plano con la ClassPad?

¿Cómo graficar curvas en el plano con la
ClassPad?
Prof. Robinson Arcos
INTRODUCCIÓN:
La Aplicación Gráficos & Tablas de la Class Pad, permite dibujar porciones de curvas en plano cartesiano R 2
cuando ellas representadas por:
•
La gráfica de una función real de variable real, expresada de manera explícita por la ecuación y = f (x ) ó
x = f ( y) , donde la variable independiente toma valores en un intervalo cerrado y acotado [a, b] .
•
Una ecuación del tipo r = f (θ) en coordenadas polares, donde θ toma valores en un intervalo cerrado y
acotado [θ1, θ 2 ]
•
Sus ecuaciones paramétricas x = f ( t ) ; y = g(t ) , donde el parámetro t toma valores en un intervalo cerrado y
acotado [a, b] .
En este material instruccional encontrará procedimientos para graficar estos tipos de curvas en la ClassPad.
Encontrará también información básica acerca de los menús, comandos, botones y configuración de la ventana de
visualización de la Aplicación Gráficos $ Tablas.
Cuando se activa la Aplicación Gráficos & Tablas, aparece una ventana dividida en pantalla: la ventana del
editor de gráficos y la ventana de gráficos.
Figura 1
En esta ventana dividida encontrará, en la parte inferior, el cuadro de mensajes que puede mostrar expresiones
algebraicas y valores numéricos. En ocasiones puede ser utilizado para la edición y entrada de datos.
La ventana del editor de gráficos está dividida en hojas. Las hojas se encuentran numeradas del 1 al 5 y cada una
puede contener hasta 20 ecuaciones de curvas. De manera que se pueden almacenar hasta un máximo de 100
ecuaciones de curvas.
1
¿Cómo trazar la gráfica de una función?
Para tratar algunos aspectos sobre cómo debe realizarse el proceso de trazado de una curva en la Aplicación
Gráficos & Tablas, veamos primeramente los siguientes ejemplos:
1.
Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones:
a) y = x 3 − 4 x
2.
b) y = x 3 − 100 x
c) y = sen 40x
d) y = senx +
Operación con la Class Pad.
(1)
(2)
En el panel de iconos de la ClassPad toque el icono permanente
.
Para activar la Aplicación Gráficos & Tablas, en la ventana de las
(3)
Aplicaciones Incorporadas, toque el icono
Toque la ventana del editor de gráficos y seguidamente, en la barra de
menús, toque primeramente [Edit] y luego toque [Borrar todo] [Acep.].
(4)
•
Esto limpia la ventana del editor de gráficos y la ventana de gráficos.
•
Para trazar la gráfica de la función y = x 3 − 4 x proceda como sigue:
En la barra de menús toque [Tipo] y luego toque [Tipo y =].
•
(5)
Esto indica que el tipo de gráfica a trazar tiene ecuación y = f (x ) .
En la ventana del editor de gráficos, toque el cuadro de entrada
derecha del número de línea y1:.
•
, justo por la
Figura 2
Esto ubica el cursor en el cuadro de entrada de la línea y1.
(6)
Oprima la tecla
para activar el teclado virtual y toque la lengüeta
para acceder al teclado virtual 2D.
(7)
Toque
. Luego oprima en la tecla direccional elíptica [►] para
ubicar el cursor delante de la expresión. Toque ahora
(8)
1
cos 50 x
50
.
•
En la línea de edición y1, aparece el cuadro de verificación
que la ecuación está activada para su graficación.
•
Para trazar la gráfica de la curva debe ajustarse la Ventana de
Visualización.
indicando
Figura 3
En la barra de herramientas toque
para acceder a la ventana de
visualización. Toque [Memoria], al desplegarse el menú toque [Inicial].
•
Observe que al elegir esta opción, se está configurando una ventana
donde sólo se visualiza la porción del gráfico de la curva en el rectángulo
[− 7.7, 7.7] × [− 3.8, 3.8] con escala unitaria en ambos ejes coordenados.
Los parámetros de esta ventana son:
Mín. x = −7.7 ; Máx. x = 7.7 ; escala x = 1
Mín. y = −3.8 ; Máx. y = 3.8 ; escala y = 1
(9)
Toque [Acep].
(10) En la barra de herramientas toque el botón
y luego toque
panel de iconos para maximizar la ventana de gráficos.
•
.Aparece la gráfica de la función en la ventana de gráficos (Figura 4).
2
en el
Figura 4
Los parámetros de la ventana de visualización pueden ser ajustados por el usuario. Veamos esto trazando la
gráfica de la función presentada en el inciso b) y = x 3 − 100 x :
(11) Toque
para activar la ventana del editor de gráficos y luego toque
para intercambiar las ventanas de la pantalla dividida.
(12) Toque el cuadro de verificación
línea y1.
(13) Toque el cuadro de entrada
para desactivar la ecuación de la curva en la
de la línea y2:. Active el teclado virtual
oprimiendo [Keyborad] y edite la expresión x 3 − 100 x . Toque
(14) Toque
•
.
.
Observe que a pesar de que la gráfica ha sido trazada, no es posible su
visualización. Esto se debe a que la ventana de visualización que se
encuentra configurada es la ventana Inicial y en ella no se encuentran
puntos de la gráfica. Si no se tiene idea de los máximos y los mínimos
relativos de la función o de la extensión de los valores de las variables
independiente o dependiente, se puede elegir la opción de ventana de
visualización Indefinido.
Figura 5
.
(15) Toque la ventana de edición de gráficos y luego toque
(16) En el cuadro de dialogo de la ventana de visualización, toque [Memoria]
[Indefinido] [Acep.]
•
Aparece ahora la gráfica de la curva.
(17) Toque nuevamente
. En el cuadro de diálogo inserte en cada campo el
cursor, sobrescriba y configure los siguientes parámetros:
Figura 6
Mín. x = −20 ; Máx. x = 20 ; escala x = 2
Mín. y = −500 ; Máx. y = 500 ; escala y = 100
•
Tenga presente que para registrar un número negativo, debe oprimir
primeramente la tecla
•
y luego registrar la parte numérica.
Los parámetros punto x y punto y se configuran automáticamente.
(18) Toque [Acep.]
(19) Toque la ventana del editor de gráficos y luego toque
(20) Toque
•
.
para maximizar la ventana de gráficos.
Observará
el
gráfico
de
la
función
en
el
rectángulo
[− 20, 20] × [− 500, 500] . La escala en el eje OX es de 2 unidades,
mientras que en el eje OY es de 100 unidades.
Figura 7
Veamos qué configuración podemos utilizar para trazar la gráfica de la curva c) y = sen 40x :
(21) Toque
para activar la ventana del editor de gráficos y luego toque
de la pantalla dividida.
para intercambiar las ventanas
(22) Toque el cuadro de verificación
para desactivar la ecuación de la curva en la línea y2.
(23) Toque el cuadro de entrada de la línea y3:. Active el teclado virtual oprimiendo [Keyborad]. Toque la solapa
para activar el teclado matemático. Toque
(24) Toque
para acceder al teclado trigonométrico.
.
3
•
Recuerde que las funciones trigonométricas son funciones reales de
variable real y en consecuencia, la unidad angular de trabajo debe ser el
radián. La barra de estado que se encuentra en la parte inferior de la
pantalla debe indicar que la calculadora está configurada en formato
radián como se indica en la Figura 8. En caso de que la unidad angular
esté configurada en grados sexagesimales (Gra) ejecute la siguiente
instrucción. De lo contrario haga caso omiso de ella.
Figura 8
(25) Toque
[Preferencias ►] [Configuración ►] [Formato básico]. En el
en la opción [Ángulo]. Al desplegarse el menú
cuadro de diálogo toque
toque [Radián] y luego toque [Def.].
•
De esta manera la calculadora estará configurada en el formato radián.
Figura 9
(26) En la ventana de edición de gráficos toque
para activar la ventana de
visualización. Toque [Memoria] [Trigonométrico] [Acep.].
(27) Toque
•
.
Observará la gráfica de una función sinusoidal de frecuencia circular muy
alta (Figura 9). La opción Trigonométrico de la ventana de visualización
ajusta automáticamente la escala en el eje OX en unidades de
π / 2 ≈ 1.5707963267 . La frecuencia circular de la función y = sen 40x es
ω = 40 y por lo tanto su período es T = 2π / 40 = π / 20 . Para visualizar la
gráfica con más detalle, usemos en el eje OX, una escala de un cuarto de
este período, esto es, π / 80 .
Figura 10
(28) Toque
y en el cuadro de diálogo, con el teclado virtual activado,
configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −0.5 ; Máx. x = 0.5 ; escala x = π / 80
Mín. y = −2 ; Máx. y = 2 ; escala y = 0.5
(29) Toque [Acep.] y luego
•
.
Observe ahora la apariencia del gráfico de la función.
Figura 11
Veamos qué otras particularidades podemos encontrar trazando la gráfica de la función del inciso d):
(30) Toque
para activar la ventana del editor de gráficos y luego
intercambiar las ventanas de la pantalla dividida.
(31) Toque el cuadro de verificación
línea y3.
(32) Toque el cuadro de entrada
oprimiendo [Keyborad].
para
para desactivar la ecuación de la curva en la
de la línea y4:. Active el teclado virtual
1
.
cos 50 x . Toque
50
(34) Active la ventana de visualización y configure los siguientes ajustes:
(33) El la línea y4, registre la expresión senx +
Mín. x = −4.5 ; Máx. x = 4.5 ; Mín. y = −1.5 ; Máx. y = 1.5
(35) Toque [Acep]
•
.
Aparece una gráfica semejante a la anterior con algunas protuberancias.
Al hacer un acercamiento podemos apreciar más detalles.
4
Figura 12
(36) Active la ventana de visualización y configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −0.3 ; Máx. x = 0.3 ; escala x = π / 100
Mín. y = −0.3 ; Máx. y = 0.3 ; escala y = 0.05
(37) Toque [Acep.] y luego toque
.
•
Observará que la gráfica presenta cambios pequeños en la concavidad.
•
En una ventana de visualización bastante alejada se observa la fuerte
influencia de la gráfica de la función y = senx , mientras que la parte que
1
cos 50x , por ser un término muy pequeño con una
50
frecuencia muy alta, se disipa en la suma.
corresponde a y =
•
Esto puede observarse experimentalmente haciendo uso de las teclas
y
para
respectivamente.
hacer
(38) Oprima consecutivamente la tecla
(39) Oprima la tecla
un
acercamiento
o
un
alejamiento
Figura 13
para realizar alejamientos y observe como cambia la curva.
para realizar acercamientos y observe como cambia la visualización de la curva.
¿Cómo trazar, en un mismo sistema coordenado, las gráficas de varias curvas?
3.
Trace :
a) Las gráficas de la función y = ( x − 2) 2 + 1 para x ≥ 2 , su inversa y la función y = x .
Use los siguientes ajustes:
Mín. x = −1 ; Máx. x = 7 ; escala x = 1
Mín. y = −1 ; Máx. y = 10 : escala y = 1
⎧ x + 1 si x ≤ 0
⎪
b) La gráfica de la función y = ⎨ x 2 si 0 < x ≤ 2
⎪ − x + 3 si 2 < x
⎩
Use los siguientes ajustes:
Mín. x = −4 ; Máx. x = 5 ; escala x = 1
Mín. y = −1 ; Máx. y = 5 ; escala y = 1
Tracemos las gráficas de las funciones presentadas en el inciso a):
4.
Operación con la Class Pad.
(40) Toque
. Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(41) Toque [Tipo] [Tipo y =].
(42) Active el teclado virtual 2D y en la línea de edición y1, edite la expresión (x − 2) 2 + 1 .
•
Antes de confirmar con [Ejec.] debemos indicar que se desea trazar la gráfica de la función únicamente
para x ≥ 2 . Para esto es necesario hacer uso del operador “⎜” (“with”) para restringir los valores de la
variable independiente x al intervalo [0, ∞ [ .
5
(43) En el teclado virtual toque la lengüeta
y luego toque
(44) Con el cursor, al lado de la expresión editada, toque
centrales.
•
(45)
.
en los botones
Con esto se edita el operador with.
Seguidamente toque
.
•
De este modo tenemos registrada la primera función.
•
La función inversa correspondiente tiene regla de correspondencia
Figura 14
y = 2 + x − 1 para x ≥ 1 . Podemos editar esta función o editar la relación
inversa x = ( y − 2) 2 + 1 para y ≥ 2 . Elijamos esta última opción:
(46) Coloque el cursor en la edición y2. Toque [Tipo] [Tipo x =].
(47) Edite la expresión ( y − 2) 2 + 1 , luego toque
.
• Registremos ahora la tercera función:
(48) Coloque el cursor en la edición x3. Toque [Tipo] [Tipo y =].
(49) Toque
.
•
Observe que cada una de las tres líneas de edición tienen activados los
cuadros de verificación .
(50) Active la ventana de visualización y configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −1 ; Máx. x = 7 ; escala x = 1
Mín. y = −1 ; Máx. y = 10 ; escala y = 1
Figura 15
(51) Toque [Acep]
.
•
Se obtienen las gráficas de las tres funciones.
•
Es posible que al trazar las gráficas, la calculadora no respete la
configuración realizada en la ventana de visualización. Si esto ocurre,
ingrese nuevamente en la ventana de visualización y realice nuevamente
los ajustes. De este modo la calculadora acepta la configuración deseada.
•
Para diferenciar cada gráfica se puede elegir el estilo de línea del trazado.
Para lograr esto, se procede de la siguiente manera:
(52) Toque
•
.
Observe que en la ventana del editor de gráficos, al lado de las
ecuaciones de las curvas, aparece el Marcador de Línea [ ⎯⎯⎯ ]
indicando el estilo de línea con que será realizado el trazado de la gráfica.
Esta línea puede ser sustituida, a voluntad, por el usuario.
(53) Toque en la línea de edición x2 el marcador [ ⎯⎯⎯ ].
Figura 16
(54) En el cuadro de diálogo Tipo marcador, toque la opción Trazos gruesos y luego toque [Acep.].
(55) De este modo la gráfica de la función inversa aparecerá con trazos gruesos.
(56) Toque en la línea de edición y3 el marcador [ ⎯⎯⎯ ]. Toque la opción Cuadrados y luego [Acep.].
(57) Toque
•
.
Aparecen las gráficas trazadas en distintos tipos de línea.
La función presentada en el inciso b) es una función a trozos. Para obtener su gráfica, basta registrar cada una
de las funciones que componen su regla de correspondencia e indicar, para cada una de ellas, el intervalo
dominio.Veremos nuevamente, en este caso, el uso del operador with para indicar el intervalo de variación de la
variable independiente en cada función.
6
(58) Toque
. Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(59) Toque [Tipo] [Tipo y =].
(60) Active el teclado virtual 2D.
(61) Toque el cuadro de entrada
de la línea y1:. Toque
.
(62) Toque la tecla elíptica direccional [►] y toque
.
Figura 17
(63) En la línea de dicción y2, toque
.
(64) En la línea de edición y3, toque
.
(65) Toque
y configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −4 ; Máx. x = 5 ; escala x = 1
Mín. y = −1 ; Máx. y = 5 ; escala y = 1
(66) Toque [Acep.].
(67) Toque
•
.
Aparece la gráfica de la función definida a trozos.
Figura 18
¿Cómo trazar la gráfica de una curva descrita por su ecuación en coordenadas polares?
En la Aplicación Gráficos & Tablas podemos trazar la gráfica de una curva cuya ecuación en coordenadas
polares es de la forma r = f (θ) . En esta sección veremos algunos ejemplos de cómo debe procederse para obtener el
trazado correcto de la curva:
5.
Trace las gráficas de las curvas dadas por las ecuaciones:
a) r = sen (6θ / 5)
b) r = sen (θ ) + sen 3 (5 θ / 2)
c) r = 3(1 + cos(θ ))
d) r 2 = θ
Para trazar la primera curva se necesita establecer el intervalo dominio de la variable θ . Precisemos esto,
recuerde que la función r = sen (6θ / 5) es periódica y en consecuencia se desea establecer cuántas vueltas se
precisan dar, en sentido antihorario, antes de que los puntos sobre la curva comiencen a repetirse. Esto se
resuelve contestando a la pregunta: ¿cuál es el menor valor que debe tomar el entero positivo n para que
12nπ
⎛ 6θ ⎞
⎛ 6θ 12nπ ⎞
⎛ 6(θ + 2nπ) ⎞
es un múltiplo par de π , en
+
sen⎜
⎟ = sen⎜ ⎟ ? Esto se ve satisfecho si
⎟ = sen⎜
5
5 ⎠
5
⎝ 5 ⎠
⎝ 5
⎠
⎝
consecuencia esto sucede por primera vez si n = 5 . De manera que el intervalo dominio es 0 ≤ θ ≤ 12π
6.
Operación con la Class Pad.
(68) Toque
. Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(69) Ubique el cursor en el cuadro de entrada de la primera línea y toque [Tipo] [Tipo r =].
7
(70) Active el teclado virtual mth.
(71) Active la opción [TRIG] para acceder a las funciones trigonométricas.
(72) Edite la expresión sen (6θ / 5) y toque
.
(73) Active la ventana de visualización y configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −1.5 ; Máx. x = 1.5 ; escala x = 1
Mín. y = −2 ; Máx. y = 2 ; escala y = 1
Mín. tθ = 0 ; Máx. tθ = 12π
•
Para configurar los dos últimos parámetros, toque varia veces el botón
de la barra de desplazamiento que se encuentra a la derecha.
(74) Toque [Acep.].
(75) Toque
•
.
Aparece la gráfica de la curva de ecuación r = sen (6θ / 5) .
Figura 19
Para trazar la curva del inciso b) tomamos como intervalo dominio 0 ≤ θ ≤ 10π . Dicho intervalo se deduce
⎛ 5θ ⎞
⎛ 5θ 10nπ ⎞
⎛ 5(θ + 2nπ) ⎞
realizando un análisis análogo al anterior, aquí debe tenerse que sen⎜
+
⎟ = sen⎜ ⎟ ,
⎟ = sen⎜
2
2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2
⎠
⎝
10nπ
es decir,
debe ser un múltiplo par de π , lo cual sucede por primera vez si n = 2 . Por otra parte, dado que
2
el período de la función r = sen(θ) es 2π , también es de período 10π . De manera que el intervalo dominio de la
función suma r = sen (θ ) + sen 3 (5 θ / 2) es 0 ≤ θ ≤ 10π .
(76) Toque
.
(77) Toque el cuadro de verificación
para desactivar la ecuación de la curva en la
línea r1.
(78) Toque el cuadro de entrada de la línea r2:. Oprima [Keyboard].
(79) Edite la expresión sen (θ ) + sen 3 (5θ / 2) y toque
.
(80) Active la ventana de visualización y configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −1.5 ; Máx. x = 1.5 ; escala x = 1
Mín. y = −2 ; Máx. y = 2 ; escala y = 1
Mín. tθ = 0 ; Máx. tθ = 10π
(81) Toque [Acep.].
(82) Toque
•
.
Aparece la gráfica de la curva de ecuación r = sen (θ ) + sen 3 (5 θ / 2) .
Figura 20
Para trazar la gráfica de la función r = 3(1 + cos(θ )) utilizaremos el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π que corresponde al
período de la función coseno.
(83) Toque
.
(84) Toque el cuadro de verificación
para desactivar la ecuación de la curva en la línea r2.
(85) Toque el cuadro de entrada de la línea r3:. Oprima [Keyboard].
(86) Edite la expresión 3(1 + cos(θ )) y toque
.
8
(87) Active la ventana de visualización y toque [Memoria] [Inicial] [Acep.]:
(88) Toque
.
•
Aparece la gráfica de la curva de ecuación r = 2(1 + cos(θ )) .
•
Por defecto, la ventana Inicial tiene para θ la configuración:
Mín. tθ = 0 ; Máx. tθ = 2π .
Para trazar la gráfica de la relación r 2 = θ , presentada en el inciso d), debe
tenerse presente que θ ≥ 0 y por otra parte, la gráfica de esta relación está
compuesta por unión de las gráficas de las funciones r = θ y r = − θ para
θ ≥ 0 . De modo que trazaremos ambas gráficas para tener la gráfica completa de
la relación.
Figura 21
(89) Toque
.
(90) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(91) Ubique el cursor en el cuadro de entrada de la primera línea y toque [Tipo]
[Tipo r =].
(92) Active el teclado virtual 2D.
(93) Toque
.
(94) En la línea de entrada r2, oprima
y toque
.
(95) Active la ventana de visualización. Toque [Memoria] [inicial].
(96) Toque
varias veces y configure los siguientes ajustes:
Mín. tθ = 0 ; Máx. tθ = 25
(97) Toque [Acep.].
Figura 22
(98) Toque
•
.
Aparece la gráfica de la relación r 2 = θ .
¿Cómo trazar la gráfica de una curva representada por sus ecuaciones paramétricas?
Una curva C tiene una representación paramétrica cuando los puntos ( x, y) sobre ella, son función de una tercera
variable t, de tal manera que podemos escribir x = f (t ) ; y = g(t ) , donde t toma valores en un dominio común de las
funciones f y g. Estas ecuaciones son llamadas las ecuaciones paramétricas de la curva C.
Para trazar la gráfica de una curva que tiene una representación paramétrica, basta registrar sus ecuaciones
paramétricas y configurar los valores Min. tθ y Max. tθ donde varía el parámetro t. Veamos cómo se procede en este
caso:
7.
Trace las gráficas de las curvas representadas por las ecuaciones paramétricas:
2t
⎧
⎪x =
⎪
1+ t2
a) ⎨
2
⎪y = 1 − t
⎪⎩
1+ t2
⎧ x = sen 3t
b) ⎨
; 0 ≤ t ≤ 2π
⎩ y = sen 4 t
;−3≤ t ≤3
9
Tracemos la gráfica de la curva del inciso a):
8.
Operación con la Class Pad.
(99) Toque
.
(100) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(101) Ubique el cursor en el cuadro de entrada de la primera línea y toque [Tipo]
[Tipo de parámetro].
(102) Active el teclado virtual 2D.
(103) En la línea de edición xt1: registre la expresión
(104) En la línea de edición yt1: registre la expresión
2t
1+ t2
y toque
.
1− t2
y toque
.
1+ t2
(105) Active la ventana de visualización y configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −2 ; Máx. x = 2 ; escala x = 1
Mín. y = −2.5 ; Máx. y = 2.5 ; escala y = 1
Figura 23
Mín. tθ = −3 ; Máx. tθ = 3
(106) Toque [Acep.]
.
•
Aparece la gráfica de la curva del inciso a).
•
¿Cuál es la gráfica de la curva si − ∞ < t < +∞ ?
Tracemos la gráfica de la curva del inciso b) para 0 ≤ t ≤ 2π :
(107) Toque
.
(108) Active el teclado virtual mth.
(109) Toque [TRIG].
(110) Toque el cuadro de verificación
las líneas xt1 y yt1.
para desactivar la ecuación de la curva en
(111) En la línea de edición xt2: registre la expresión sen(3t ) y toque
.
(112) En la línea de edición yt2: registre la expresión sen(4 t ) y toque
.
(113) Active la ventana de visualización y configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −2 ; Máx. x = 2 ; escala x = 1
Mín. y = −2.5 ; Máx. y = 2.5 ; escala y = 1
Mín. tθ = 0 ; Máx. tθ = 2π
Figura 24
(114) Toque [Acep.].
(115) Toque
•
.
Aparece la gráfica de la curva del inciso b).
10
9.
PROBLEMAS Y EJERCICIOS:
1. Dibuje en un mismo sistema coordenado la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es
x2 + 1
y la de su asíntota oblicua de ecuación y = x .
x
Use diferentes líneas de trazo y configure los siguientes ajustes:
y=
Mín. x = −4 ; Máx. x = 4 ; escala x = 1
Mín. y = −5 ; Máx. y = 5 ; escala y = 1
2. Dibuje en un mismo sistema coordenado las gráficas de las funciones cuyas reglas de
x3 + 1
; y = x2 .
x
Use diferentes líneas de trazo y configure los siguientes ajustes:
correspondencia son: y =
Mín. x = −4 ; Máx. x = 4 ; escala x = 1
Mín. y = −5 ; Máx. y = 5 ; escala y = 1
¿Qué relación asintótica encuentra entre ambas curvas?
3. Trace las gráficas de cada una de las siguientes funciones:
Utilice como configuración de la ventana de visualización, la ventana Inicial.
a)
y = sen (tan (x ))
⎛
10senx
⎛ 1 ⎞⎞
b) y = tan ⎜⎜ sen ⎜ ⎟ ⎟⎟ c) y =
x
x
⎝ ⎠⎠
⎝
d) y =
1
1 + e tan x
4. Trace las gráficas de cada una de las siguientes funciones:
Utilice una configuración adecuada de la ventana de visualización.
a)
y=
x 2 + 7x + 3
x2
b) y =
1
x 2 + 2x − 2
c) y =
1
2
x + 2x + 2
5. Trace simultáneamente las gráficas de las siguientes curvas:
Utilice como configuración de la ventana de visualización, la ventana Estándar
a)
r=
4
2 + cos θ
b) r =
5
2 − 2 cos θ
c) r =
6
3 + senθ
6. La curva de ecuación cartesiana x 3 + y 3 = 3xy se llama folio de descartes.
a) Haga y = t x y sustituya en la ecuación para hallar las ecuaciones paramétricas de la curva.
b) Trace la gráfica de la curva para −100 ≤ t ≤ 100
Configure los siguientes ajustes:
Mín. x = −2.5 ; Máx. x = 2.5 ; escala x = 1
Mín. y = −3 ; Máx. y = 3 ; escala y = 1
Mín. tθ = −100 ; Máx. tθ = 100 ; paso tθ = 0.25
c) La asíntota a la gráfica de la curva tiene ecuación x + y + 1 = 0 . Trace su gráfica.
7. Trace la gráfica de cada una de las siguientes curvas:
a)
⎧ t + cos 2t
; − 4π ≤ t ≤ 4π
⎨
⎩ t + cos 3t
⎧2t − 3sent
b) ⎨
; 0 ≤ t ≤ 6π
⎩ 2 − 3 cos t
11
⎧⎪3 cos 3 t
; 0 ≤ t ≤ 2π
c) ⎨
⎪⎩ 3sen3 t