LABORATORIO 11

LABORATORIO 11
METODOS DE LAS BISECCIONES, DE NEWTON Y DE LA SECANTE
Objetivos:
(1)
Resolver ecuaciones por métodos numéricos.
(2)
Crear miniprogramas en la calculadora.
(3)
Relacionar los métodos numéricos con los gráficos y los algebraicos.
EL METODO DE LAS BISECCIONES
El método de las bisecciones, que es el más elemental de los métodos numéricos para la resolución de
ecuaciones, se basa fundamentalmente en el Teorema del Valor Intermedio:
“Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea f(a) f(b) < 0. (o sea f(a) y f(b) de signos opuestos) Entonces
existe algún número c en el intervalo abierto (a , b) tal que f(c) = 0”
La idea es:
Sabiendo que f tiene signos opuestos en a y en b, podemos suponer que hay una raíz a mitad de camino entre a y
b, digamos:
c=
1
(a + b) .En caso contrario, debería haber una raíz en al menos uno de los intervalos: en (a, c) ó en (c,
2
b). Para verificar si existe una raíz en (a, c), simplemente contrastase los signos de f(a) y f(c). De no ocurrir un cambio de
signo entonces debe haber una raíz en (c, b). Se continúa buscando un valor de f en el punto medio del nuevo intervalo y
así sucesivamente.
Actividad 1
Encuentre una raíz de
f ( x ) = x 5 − 5x 3 + 3 en el intervalo [0,1] sin uso de calculadora.
Comience por calcular f(0) y f(1) y compruebe que existe un cambio de signo. Como todos los polinomios son
continuos se puede aplicar el Teorema del Valor Intermedio. Así f debe tener una raíz en el intervalo abierto (0, 1).
Considere como solución aceptable una solución con una precisión de dos decimales, o sea tal que
Calcule
c=
b − a < 0,01
1
(a + b) y calcule f(0 , 5) y f ( 1 ). Compruebe que hay cambio de signo y por lo tanto hay una
2
raíz entre a = 0,5 y b= 1. Note que b – a = 0,5.
83
Calcule
c=
1
(0,5 + b) . Considere el signo de f(0,75). Luego debe haber una raíz entre los valores a = 0,75 y b
2
=1. Note que b – a = 0,25.
Continúe analizando hasta comprobar que x = 0,8984375 es una raíz aproximada con una precisión de b – c =
0,008 en relación al centro c. Justifique sus pasos y sus respuestas.
SOLUCIÓN
Primero calculamos f 0=30
tanto hay una raíz en el intervalo.
f 1=1−53=−10 . Luego, existe cambio de signo. Por lo
y
Ahora calculamos el punto medio del intervalo
f
5


[0,1] :
c 1=
3
10 1
=
2
2
1 1
1
77
= −5
3= 0 .
2 2
2
32
Al existir diferencia de signo entre
[ ]
1
,1
2
f

1
2
y
f 1 sabemos que existe una raíz en el intervalo
, luego podemos calcular el punto medio para seguir reduciendo el intervalo solución.
Buscamos el punto medio y su imagen :
 
c 2= 1
1 1 3
⋅ =
2 2 4 ,
f 1
La diferencia de signo entre el nuevo punto medio y

5
3

3
3
3
= −5
3=1,1279290
4
4
4
persiste, luego podemos seguir con el
f
análisis.
Ahora repetimos el procedimiento anterior:
3 1 7
⋅ =
4 2 8 ,
3
5

 
c 3= 1

7 7
7
f
= −5
3=0,1632990 . Al existir diferencia de signo entre
8 8
8
7 1 15
medio entre ambos y lo evaluamos en la función: c 4= 1 8 ⋅2 = 16 ,
c3 y
x=1 , calculamos el punto
 
 
5
3
5
3
 
[ ]
15 15
15
=
−5
3=−0,3956760 . Al tener signo negativo el nuevo punto medio consideraremos el
16 16
16
7 15
,
intervalo
8 16 para asegurar la diferencia de signo en sus extremos.
15 7 1 29
Ahora evaluamos c 5 y su imagen: c 5= 16  8 ⋅2 = 32 ,
f

f
 
29 29
29
=
−5
3=−0,1101860 Al tener signo negativo, ahora consideraremos el intervalo
32 32
32
7 29
7 29 1 57
,
× =
c 6 y su imagen correspondiente: c 6= 
y
calcularemos
8 32
8 32 2 64 ,

[ ]
 
f
 

5
 
57 57
57
=
−5
3=0,0280930 .
64 64
64
[
29 57 1
− ⋅ =0,0078125≈0,008 , luego
32 64 2
∣
]
57 29
,
64 32 que será la solución buscada ya que:
57 29
1 115
c 7=

× =
=0,8984375 el resultado buscado.
64 32
2 128
Finalmente buscamos el punto medio del intervalo
∣

3


84
UN PROGRAMA PARA EL METODO DE LAS BISECCIONES
Ingrese en la ventana
s el siguiente programa con el nombre BISECT:
Ingresamos la función, que se almacenará en
memoria Y1
y,
Luego se ingresarán los extremos del intervalo a estudiar y
el tamaño del intervalo solución que se busca. Si el intervalo
ingresado no contiene una raíz, el programa volverá a pedir
el ingreso de los extremos de un nuevo intervalo, hasta que
cumpla con la condición (bucle entre “lbl 1” - “Goto 1”)
Con los datos ya ingresados el programa calculará nuevos
intervalos de menor tamaño que contengan la solución
buscada mientras el tamaño del intervalo sea mayor al
ingresado al inicio del programa. (bucle entre “Do” “LpWhile”)
Finalmente, el programa arrojará el valor C calculado con
los últimos dos valores ingresados a las memorias A y B.
Al ejecutar el programa BISECT, este le pedirá que ingrese una función f como primer paso. El programa
y
introducirá esa función f automáticamente en la lista de funciones de la ventana
como Y1. Al seguir ejecutando el
programa, este le solicitará valores apropiados para A y B. Recuerde que el método requiere que A < B y también que f(A) f(B)
< 0. De no ingresar valores que cumplan con dicha condición, el programa volverá a pedir nuevos valores hasta que los
valores que usted ingrese cumplan con la condición. Si los valores A y B cumplen con la condición, el programa retornará a
la pantalla los valores C sucesivos de cada evaluación, sobrescribiendo las memorias A y B por los extremos de cada nuevo
intervalo que está siendo evaluado.1 El programa arrojará el resultado buscado después de apretar l las veces
necesarias para que el programa llegue al tamaño del intervalo definido al inicio de su ejecución.
1
Si no se desea ver cada valor C evaluado, basta con cambiar el salto W de la octava línea del programa por l.
85
Actividad 2:
Ejecute el programa BISECT para la función f  x = x 5−5x 3 3 .
Ingrese ésta función, ingrese el valor inicial y final de un intervalo que contenga una raíz en las variables “Ext. Inferior” y
“Ext. Superior”, e ingrese el tamaño del intervalo solución aceptado en “Tamaño Int. Sol”.
Para ésta actividad, un intervalo con esas características es [0,1]. Ingrese entonces 0 en “Ext. Inferior” y 1 en “Ext.
Superior”, y tome como solución aceptable una solución con una precisión de dos decimales, por lo tanto, ingrese 0,01 en
“Tamaño Int. Sol”.
Ejecute el programa y aparecerá el valor 0,5. Continúe ejecutando el programa y obtendrá intervalos cada vez
menores que contienen una raíz. Repita el programa hasta que este arroje el resultado con la precisión pedida. Obtendrá
el intervalo [0.890625; 0,8984375] de longitud 0,0078125, y como resultado le dará 0,8984375.
q
Para obtener los extremos del intervalo solución vaya a
y calcule A y C . La calculadora le dará los dos
valores guardados en ambas memorias en el último proceso de cálculo del programa BISECT. Para encontrar el tamaño
del intervalo basta con calcular ∣A−C∣ .
SOLUCIÓN
Luego buscamos A y C en
q:
Entramos a s y ejecutamos BISECT con los parámetros
antes dados:
Recuerde:
Sólo se puede aplicar el método de las bisecciones cuando se pueda hallar valores A y B entre los cuales f cambia de signo .
Por ejemplo, el método no es aplicable para f  x = x 4 , pues f(x)>0, para todo x, excepto para x = 0. De manera,
que no es posible aplicar el método de las bisecciones para localizar la raíz x = 0
86
EL METODO DE NEWTON
Dado que el método de las bisecciones no siempre es aplicable, además de que en ocasiones puede ser muy
lento, es conveniente conocer otros métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Un método más rápido es el
Método de Newton que opera de la siguiente manera. Use alguna evidencia gráfica o numérica de que existe alguna raíz
cerca de x= x 0 . Suponiendo que f es diferenciable en x= x 0 , se puede trazar una recta tangente a f(x) en
x= x 0 . La pendiente de la recta tangente es
f '  x0 
y luego su ecuación viene dada por:
m= f '  x 0 =
y− f  x 0 
x−x 0
La idea ahora es buscar el punto donde la tangente intersecta al eje X. La conjetura gráfica es que ese punto
aparece más cerca de la raíz que el valor x 0 . Llamemos a las coordenadas de este punto x 1 . Dado que este punto
es el punto de intersección con el eje X, éste corresponde al punto donde y = 0. De la ecuación anterior para
se obtiene:
x 1=x 0 −
f  x 0
f ´  x 0
Con el objeto de mejorar la aproximación repetimos el procedimiento, reemplazando
obtener una nueva aproximación mejorada
f  x0 
x 0 con x 1 para
x 2 . Continúe éste proceso hasta que ya no se note mejoría sustancial.
El procedimiento anterior genera una sucesión de aproximaciones:
x n1= x n −
f  xn 
, con n = 0,1,2,3,.....
f '  xn 
que es la forma general del método de Newton.
Aplique el método de Newton a la ecuación
función de su listado e ingrese
x 3 + 1,5x 2 + 1 = 0 . En la ventana
y desactive toda otra
f 1 en dicho listado en Y1. Obtenga un gráfico de la curva . Use TRACE (Lq) para
2
elegir un punto cercano a la intersección con el eje X. Es importante que sepa que la abscisa x del comando TRACE queda
automáticamente almacenado como valor en la memoria X del teclado. Ingrese a la ventana
aproximación de la pendiente en el punto de intersección usando lo siguiente:
q y calcule una buena
Botones a ingresar: rworq1$f
2
Procure tener la ventana de visualización en INIT
87
Debería obtener un resultado muy cercano a 4,32. Si ahora usted usa el valor inicial dado por el
comando TRACE y divide los valores de la función por la pendiente dada por las derivadas entonces
obtendrá una fórmula recursiva que se asemeja a lo siguiente:
Botones a ingresar: f-zorq1Nddrrorq1$f$$bfl
La fórmula y el resultado que debería verse en la pantalla de su calculadora es:
Si vuelve a ejecutar la fórmula recursiva antes escrita, la calculadora le mostrará:
esto se debe a que el proceso de cálculo utilizará tantos recursos que la calculadora impide su
ejecución.
Para evitar esto, se puede repetir el procedimiento, pero en el formato LINEAR de q.
Primero ingresar a SHIFT SET UP y cambiar a formato LINEAR (Lpwl) . Luego
ingrese la sintaxis:
X −Y1: d /dx Y1 , X , 0.01 X
Botones a ingresar: f-orq1Mirworq1,f,0.01kbf
donde el último número agregado, 0.01, en la sintaxis anterior se denomina tolerancia3, lo que le
permitirá hacer cálculos sucesivos, evitando el error por TIME OUT.
3
La tolerancia nos permite definir el intervalo de aproximación con el que la calculadora hará sus procesos, permitiéndonos ejecutar algoritmos que se
−10
bloquearían si se utilizara la tolerancia predefinida para la calculadora: 10
. La tolerancia solo puede ser definida para el formato LINEAR,
−10
10
para el formato MATH siempre utilizará
.
88
Oprimiendo repetidas veces l con la fórmula anterior, los resultados que deberían verse en la
pantalla de su calculadora son:
Es decir habrá obtenido la solución de la ecuación con diez dígitos:
x = -1,806443932
Note que el método funciona también cuando la pendiente es negativa.
Actividad 5:
UN PROGRAMA PARA EL METODO DE NEWTON
Ingrese en la ventana s el programa llamado NEWTON 1 y la siguiente sintaxis:
En las primeras dos líneas del programa se piden las dos variables
necesarias para su ejecución: La función que será derivada Y1 y el
valor X inicial para desarrollar el cálculo.
El comando “For” permite que el programa ejecute la fórmula
ingresada en la cuarta línea y nos muestre el resultado 10 veces
consecutivas, sin alterar los resultados al definir una variable no
contenida en la fórmula como el contador, la variable K.
El bucle del comandoo “For” se cierra al ingresa “Next”
Si deseamos que nos muestre tan solo la raíz final sin los resultados intermedios, podemos
cambiar ligeramente el programa ingresando el siguiente programa alternativo NEWTON 2:
En las primeras dos líneas del programa se piden las dos variables
necesarias para su ejecución: La función que será derivada Y1 y el
valor X inicial para desarrollar el cálculo.
89
El comando “For” permite que el programa ejecute la fórmula
ingresada en la cuarta línea 10 veces consecutivas, sin alterar los
resultados al definir una variable no contenida en la fórmula como
el contador, la variable K.
El bucle del comandoo “For” se cierra al ingresa “Next”. Solo
después de ejecutarse el bucle completo mostrará un único
resultado en la pantalla.
Si es necesario, aumente el número de iteraciones por sobre 10 veces en la sintaxis
For 1  K to 10 hasta que logre hallar una raíz (esta debería corresponder al número en el cual se
estabiliza el programa cuando se usa el sistema paso a paso del primer programa NEWTON 1). Usted
puede comprobar las raíces que obtenga ingresando a la ventana y obteniendo una gráfica de la
función y sus raíces a través del submenú G-Solv y el comando Root (estando en la gráfica se ingresa
yq).
Al ejecutar el programa NEWTON 1, este le pedirá que ingrese una función f como primer
paso. El programa introducirá esa función f automáticamente en la lista de funciones de la ventana
y como Y1. Al seguir ejecutando el programa este le solicitará un valor para X. Ingrese un valor
inicial cercano a lo que podría ser la raíz y oprima seguidamente l.
Aparecerán valores hasta estabilizarse en una raíz.
Ejecute el programa para la función que trabajó anteriormente:
f ( x ) = x 3 + 1,5x 2 + 1
Si lo desea, antes de ejecutar el programa obtenga un gráfico de f y obtenga con el comando
TRACE, que se ejecuta presionando q estando en la gráfica, un valor inicial de x cercano a la
intersección de la curva con el eje X.
Si comienza con un valor intuitivo no muy cercano, podría ser necesario aumentar el número de
iteraciones.
Finalmente deberá haber obtenido una raíz similar a la que obtuvo anteriormente para esta
función.
SOLUCIÓN
90
Primeros entramos a y y con el comando
TRACE buscamos un punto cercano a la raíz.
Usaremos X=-1.8
Luego entramos a s y ejecutamos
NEWTON 1 con los parámetros antes dados:
Actividad 6: ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS CON EL METODO DE NEWTON
En la actividad 3 usted usó el programa BISECT para hallar una raíz de la función:
f ( x ) = x 5 − 5x 3 + 3
Use ahora apropiadamente el programa NEWTON 1 para hallar tres raíces de ésta función. Para
obtener los valores iniciales obtenga una gráfica con un V-WINDOW STD. Después de haber obtenido
los resultados, compruébelos gráficamente con SHIFT GSOLV ROOT (Lyq).
Actividad: 7 UN VALOR INICIAL QUE NO FUNCIONA EN EL METODO DE NEWTON
Considere la función:
f ( x ) = x 3 − 3x 2 + x − 1
En lugar de obtener una gráfica para buscar un valor inicial aproximado, note que debe haber
alguna raíz en el intervalo abierto ( 1 , 3 ) debido al Teorema del Valor Intermedio. (¡Compruébelo!).
91
Ingrese el valor inicial supuesto x 0 = 1 y use el programa NEWTON 1 para comprobar que da
valores alternados 0,1,0,1,0,1,....Ninguno de éstos valores es una raíz. Ingrese ahora el valor inicial
supuesto x 0 = 2 . Compruebe que ahora sí logra llegar a una raíz. Compruebe que el valor que obtuvo
es efectivamente una raíz, calculando su imagen para f 1 .
Actividad: 8
UN VALOR INICIAL QUE SE ALEJA DE LA RAIZ
Considere la función f ( x ) =
( x − 1) 2
. Es obvio que f tiene una única raíz en x = 1.
x2 + 1
Ingrese el valor –2 a la memoria X y complete la siguiente tabla ejecutando el programa
NEWTON 1. En la tabla, n indica el número de veces que ejecutó el programa:
n
xn
1
2
3
4
5
¿Qué ocurre con los valores a medida que ejecuta el programa?
Ingrese ahora el valor inicial supuesto –1 en la memoria X y ejecute el programa. ¿Qué ocurre?
¿Por qué?
Ingrese ahora el valor inicial supuesto 0 a la memoria X. ¿Cuántas veces tuvo que ejecutar el
programa para llegar a la raíz x = 1
Actividad: 9
USO DE LA GRAFICA PARA CONJETURAR VALORES INICIALES
No es necesario realmente usar SHIFT TRACE para conjeturar un valor inicial. En realidad
basta muchas veces con observar y buscar: ¿en qué valor “cerca” del valor buscado parece haber una
raíz?
Obtenga una gráfica de la función f ( x ) = x 4 + 5x 3 − 5x 2 + 7 x − 6 con un V-WINDOW STD.
Observe que sólo se ve una parte de la gráfica en la cual aparecen dos raíces, una cerca del valor x = -6
y otra cerca del valor x = 1. Ingrese en la ventana q sin haber usado SHIFT TRACE (Lq)
en la ventana de las gráficas. Asigne el valor –6 a la memoria X y ejecute el programa NEWTON 1.
Diga qué raíz obtuvo. Asigne a continuación 1 a la memoria X y ejecute el programa NEWTON 1 .
Diga cuál es la segunda raíz que obtuvo. Calcule las imágenes de ambas raíces para detectar el grado de
aproximación. Compare los resultados con los que da la calculadora con SHIFT GSOLV ROOT
(Lyq). Haga un comentario.
Actividad: 10
RAICES NO VISIBLES
92
Ingrese la función f ( x ) = x 3 − 11x 2 + x − 5 en la memoria gráfica Y1. Intente un gráfico con un
V-WINDOW STD. ¿Se ve alguna raíz ? Revise los factores de ZOOM presionando w dos veces
estando en la gráfica y confirme que están ambos en 2, luego aplique ZOOM OUT (wr). Observe
cerca de qué número entero hay una raíz. Ejecute el programa NEWTON 1 y obtenga una raíz. ¿Qué
raíz dio y con que aproximación?
Actividad: 11
EL METODO DE LA SECANTE
Si bien el método de Newton es muy eficaz, tiene también sus limitaciones. En primer lugar, el
valor inicial supuesto x 0 debe estar lo suficientemente cerca de la raíz y de hecho nunca se sabe
cuando se está suficientemente cerca. En segundo lugar el método requiere del cómputo de una
derivada. Este requisito es un tanto restrictivo, pues puede haber funciones que no son diferenciables o
bien el cómputo de la derivada puede ser muy complicada. En tales casos puede ser útil ocupar el
Método de las Bisecciones. Pero éste método puede ser muy lento y además sólo se puede usar si es
posible hallar números A y B para los cuales f(A) y f(B) tengan signos opuestos.
El Método de la Secante tiene la mayoría de las ventajas del Método de Newton, pero no
requiere el computo de una derivada.
Sean x 0 y x 1 dos valores iniciales que no necesariamente contengan una raíz. Dibújese la recta
secante que une los dos puntos. La pendiente de ésta recta es:
m=
f (x 1 ) − f (x 0 )
x1 − x 0
La ecuación de ésta recta secante es:
y − f (x 1 ) f (x 1 ) − f (x 0 )
=
x − x1
x1 − x 0
Al igual como ocurre con el Método de Newton, seguimos la trayectoria de la recta hacia donde
corta al eje X. Supongamos que ésta abscisa es x 2 . Obtenemos entonces:
x 2 = x 1 − f (x 1 )
x1 − x 0
f (x 1 ) − f (x 0 )
Haga un bosquejo de éstas ideas y observe como x 2 parece estar más cerca de la raíz que x 0 ó
x 1 . El procedimiento se repite una y otra vez, cada vez usando los dos últimos valores para computar
una nueva aproximación. En definitiva se obtiene:
93
x n + 2 = x n + 1 − f (x n + 1 )
x n+ 1 − x n
,
f (x n + 1 ) − f (x n )
n = 0,1,2,3,.....
que es lo que se conoce como el Método de la Secante.
En éste caso se comienza con dos valores iniciales supuestos y después se aproxima la
pendiente de la tangente en x n + 1 a través de la pendiente de la recta secante que une los puntos
correspondientes a x n y x n + 1 :
f ' (x n + 1 ) ≈
f (x n + 1 ) − f (x n )
x n+ 1 − x n
Ingrese el siguiente programa en la menú s con el nombre de SECANTE:
En la primera línea del programa se ingresa la función a evaluar,
que será guardada en la memoria Y1 del menú de gráficos.
En la segunda y tercera línea se piden las coordenadas X de los
primeros dos puntos con el que se calculara las sucesivas rectas
secantes.
El comando “Do” ejecuta la fórmula para el cálculo de la
coordenada X del punto de intersección entre la secante evaluada y
el eje X. Después de ejecutada la formula se procura sobrescribir
las memorias A y B para la ejecución del siguiente bucle. Por cada
ciclo del comando se mostrará el resultado obtenido.
El comando “Do” se ejecutará mientras se cumpla que las
coordenadas X de los puntos utilizados para calcular la secante
entre ellos sean distintos.
Cuando A=B tomará ese valor de B como la raíz buscada.
Para ejecutar el programa, usted necesitará los valores iniciales supuestos x 0 y x 1 en las
variables A y B respectivamente. Cada vez que ejecuta el programa, el siguiente paso, x n + 1 , queda
calculado y aparece en pantalla. Habitualmente, el método de la secante tomará tan sólo unos cuantos
pasos antes de lograr estabilizar en una raíz aproximada, siendo este método tan rápido como el Método
de Newton.
La única ventaja que tiene éste método por sobre el de Newton es que no requiere que se calcule
derivada alguna. Ambos métodos pueden fallar en algún problema y al igual que el método de Newton,
el método de la Secante requiere que los valores iniciales conjeturados estén suficientemente cerca de
una raíz para poder garantizar la convergencia a esa raíz.
Usando el programa SECANTE encuentre una raíz de f ( x ) = x 5 − 5x 3 + 3 (función que se
analizó en la actividad 3, por el método de las Bisecciones). Use valores iniciales 0 y 1.
94
SOLUCIÓN
Evaluamos la función en el intervalo dado.
Después de 7 iteraciones llegamos
aproximación de la raíz.
a
una
Si comparamos con el cálculo hecho por la
calculadora en la ventana gráfica, usando G-SOLV
ROOT (yq), vemos que llegamos al mismo
resultado.
Actividad : 12
(1)
(2)
(3)
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
1
= 0, usando
x2
el método de Newton. ¿ Es posible usar los métodos de las Bisecciones y de la Secante?
Resuelva la ecuación x x − 0,8 = 0 con el método de Newton. ¿ Es posible usar los
métodos de las Bisecciones y de la Secante?
Calcule aproximaciones de todas las soluciones de la ecuación 3 − x −
Use los tres métodos para hallar raíces de las funciones indicadas:
a)
x 3 − 4 x 2 − 8x − 2 , [-2 , -1]
95
b)
− x 6 + 4 x 4 − 2 x 3 + 8x + 2 , [2 , 3]
(4)
Trabaje los dos ejercicios de (3) para hallar una raíz fuera de los intervalos indicados
(5)
Use alguno de los métodos para aproximar la siguiente raíz:
a)
(6)
(7)
3
;
b)
3
2
En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación dada en la forma f( x ) = 0 y use un
método para aproximar una solución en el intervalo dado:
a)
x 3 − 3x − 1 =
x 2 + 1 ; [2 , 3]
π
x 2 − 1 = sen x ; [ − , 0 ]
b)
2
En los siguientes ejercicios, el método indicado falla a pesar de que existe una raíz en el
intervalo indicado. Explique por qué falla el método y encuentre la forma de hallar la
raíz:
a)
4 x 3 − 7 x 2 + 1 ; [ 0 , 1 ], método de Newton con x 0 = 1
x 3 + 4 x 2 − 19 x + 15 = 0 , método de la Secante con a = 1 y b = 2
x 3 + x 2 − 2x − 2
= 0 , [ 0, 2] , método de las Bisecciones con a = 0 y b = 2
x 2 + 3x − 4
b)
c)
x
?. Calcule todas las soluciones y
4
demuestre que si se usan radianes la ecuación tendrá tres raíces; en cambio, si se usan
grados la ecuación tendrá sólo una raíz. En cada caso indique cuales son esas raíces.
(8)
¿Cuántas soluciones hay en la ecuación cos x =
(9)
Todas las soluciones de la ecuación x 2 − cos 2 π x = 0 , con x en radianes están entre los
valores x = -2 y x = 2 . Calcule todas las soluciones.
96
Requerimientos del reporte a entregar
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Responda por escrito y ordenadamente cada una de las actividades del laboratorio.
Agregue todos los comentarios que le parezcan valiosos.
Describa con claridad su método de razonamiento.
Reporte todos los problemas y las anomalías que encuentre.
Su descripción debe ser lo suficientemente convincente
Recuerde el objetivo principal de los laboratorios:
No se trata de realizar laboratorios, sino que de aprender de ellos
Por lo tanto, sus actividades y observaciones son importantes, pero más aun lo son sus
explicaciones
Comparta sus inquietudes: consulte si tiene dudas y, si puede, ayude a aclararlas a
otros.
97