LABORATORIO NUEVE FUNCIONES RECURSIVAS OBJETIVOS 1.- Aprender a usar definiciones recursivas

LABORATORIO NUEVE
FUNCIONES RECURSIVAS
OBJETIVOS
1.- Aprender a usar definiciones recursivas
2.- Explorar un tipo de límite particular
3.- Estudiar una situación real
ACTIVIDAD 1 EXPONIENDO EL PROBLEMA
Lea atentamente el problema:
Suponga que uno de sus antecesores fue un gran patriota
Era el 18 de septiembre de 1810 en Chile
Y fue tal su entusiasmo por el nacimiento de la nueva nación chilena
Y tanta la fe en su futuro
Que fue inmediatamente a un banco local e invirtió $1 con el objeto de recibir intereses
A razón del 3% al año, compuesto anualmente, Hasta el 18 de septiembre de 2010
El familiar de usted estaba decidido a donar toda la cantidad acumulada a alguno de sus
descendientes. Suponga que en todos los años que median entre 1810 y 2010 la economía
chilena no atraviesa altibajos y que el peso chileno ha sido la misma moneda que circula en
la actualidad. Suponga que usted es el descendiente escogido ¿Cómo podría saber cuanto
recibirá para las fiestas del Bicentenario?
ACTIVIDAD 2 CREANDO UNA FORMULA RECURSIVA
Sea n la variable que designa para cualquier 18 de septiembre el número del año bancario
que está por comenzar. Entonces se tendrá n = 1 en 1810, n = 2 en 1811 y así
sucesivamente.
Sea an la cantidad de dinero acumulada en la cuenta al comienzo del año n-ésimo.
Entonces a1 = 1, a2 = 1 + 0,03 · 1 = 1,03 y así sucesivamente
Encuentre una fórmula general para an+1 en términos de an . Se trata de una expresión de la
forma an+1 = f(an)
ACTIVIDAD 3 LA VENTANA RECUR DE SU CALCULADORA
Su calculadora posee una ventana especial para trabajar con fórmulas recursivas. En primer
lugar ingrese a través del menú principal a la ventana RECUR.
Observe que aparecen tres fórmulas disponibles solamente, que es la cantidad de fórmulas
recursivas que la calculadora permite a la vez. En este problema sólo necesitará una de
ellas. Oprima TYPE e que le permitirá escoger la forma recursiva que necesita. Elija:
F2: an+1 = Aan + Bn + C
Una vez presionado w use flecha a la derecha $ para posicionarse frente a an+1 e
ingrese su fórmula.
ACTIVIDAD 4 LA RECURSION
Antes de comenzar con la recursión necesitará definir ciertos parámetros. Presione para ello
SET y y en las opciones tendrá que elegir para Start y para End el mismo valor. Ese
valor es la cantidad total de años que el dinero permanecerá en el banco, en a0 el valor
correspondiente al monto inicial y en b0 el valor de la tasa. La idea es obtener una tabla con
una sola fila de valores: la que corresponde al comienzo del 18 de septiembre del 2010. Sin
embargo, le sugerimos que primero obtenga una pequeña tabla con Start: 1 y End: 3 con el
objeto de que pueda verificar si durante los primeros tres comienzos de año bancario, los
montos que da la tabla coinciden con los de su fórmula (el resto de las opciones de SET
y manténgalos en valor 0).
Presione d para retornar a la pantalla donde se halla su fórmula recursiva. Para obtener
la tabla de valores presione ahora TABLu. Verifique los tres resultados de prueba.
Presione d y vuelva al menú de fórmulas recursivas.
Logre su objetivo haciendo corresponder el valor de la lista an con el comienzo del año
bancario 2010. ¿Cuánto valdrá n el 18 de septiembre de 2010? El valor de n es el que habrá
de ingresar tanto para Start como para End será 201, ya que se evalúa la recursión n+1
¿Cuál es el monto acumulado al comienzo del año bancario 2010?
ACTIVIDAD 5 DOBLANDO LA INVERSIÓN INICIAL
¿Qué ocurriría si su antecesor se hubiese entusiasmado y hubiese depositado $2 en lugar de
sólo $1? Primero haga una conjetura intuitiva para determinar cuál sería el monto
acumulado el año 2010. Acto seguido redefina sus parámetros en SET y de la
calculadora y luego calcule cuánto habrá en 2010 usando TABL u
.
Dado que la fórmula es lineal con respecto a an al duplicarse éste, el monto acumulado
corresponderá al doble del que se obtiene depositando $1
ACTIVIDAD 6 DOBLANDO LA TASA DE INTERÉS EN LUGAR DE LA
INVERSIÓN
Suponga ahora que su antecesor sólo invirtió $1, pero que logró obtener una tasa anual el
doble de la anterior, es decir del 6%. Formule una conjetura intuitiva para determinar
cuánto sería el monto acumulado a comienzos del año bancario 2010. Corrija a
continuación su fórmula y los parámetros de su calculadora para adaptarlos a la nueva
situación. Calcule el monto pedido y compare su conjetura.
Dado que el comportamiento de la recursión es exponencial con respecto a bn el aumento
por duplicar la tasa es considerablemente mayor a duplicar la inversión inicial
En efecto, el monto obtenido es notablemente mayor al anterior obtenido duplicando la
inversión. Tal resultado obedece a la naturaleza exponencial del término recursivo que
depende de la tasa de interés
ACTIVIDAD 7 COMPARANDO SITUACIONES
Compare los resultados obtenidos en las actividades 5 y 6. De acuerdo a sus resultados
¿Qué es más conveniente? Si tuviera que elegir entre conseguir una mejor tasa de interés o
aumentar el ahorro inicial ¿Cuál cree usted que es la mejor opción? Haga un análisis
completo y generalice lo más posible
En efecto, el análisis algebraico de la expresión arroja inicialmente una ventaja sustancial
de convenir una mayor tasa en lugar de aumentar la inversión inicial. Lo anterior se
explica por el comportamiento de la recursión ante los dos parámetros iniciales: mientras
que la variación es lineal con respecto a la inversión inicial, el crecimiento es exponencial
con respecto a la tasa
Es posible visualizar una situación respecto a la otra fijando el período n y variando un
parámetro a la vez, con lo que se generan dos funciones para la ganancia: una en razón de
la tasa y otra en razón de la inversión inicial. Es posible visualizar la situación en un
gráfico de las siguientes funciones que expresan lo anterior
yr = (1 + x) n a
ya = (1 + r ) n x
Donde r es la tasa, a la inversión inicial y n un período fijo cualquiera .Luego, la primera
varía según la tasa y la segunda según la inversión inicial. Ya es claro el resultado
respecto a la relación de crecimientos, que es posible visualizar en la gráfica
Naturalmente Y1 representa cómo crece la ganancia con en función de la tasa de interés,
crecimiento mucho más rápido al experimentado por la ganancia cuando varía la
inversión inicial, representada por Y2. Se observa el comportamiento exponencial de una
en contraposición al comportamiento lineal de la otra, lo que explica por qué es más
conveniente aumentar la tasa en lugar de la inversión
ACTIVIDAD 8 AUMENTO DE LA FRECUENCIA
Hay una notable diferencia entre una cuenta bancaria que ofrece un 3% compuesto
anualmente y una que ofrece un 3% anual compuesto semestralmente (dos veces al año).
En ambos casos la tasa anual de interés es del 3%
Observemos que en el caso que nos preocupa se puede obtener una fórmula explícita (o sea
no recursiva) y que calcule el interés compuesto. Al depositar $1, el saldo:
Después de un año será: (1 + 0,03) · 1
Después de dos años será: (1 + 0,03)2 · 1
Después de n años será: (1 + 0,03)n · 1
Verifique que a comienzos del año 2010, el monto acumulado al haber iniciado la cuenta
con $1 el 18 de septiembre de 1810 con una tasa anual de 3% da el mismo resultado que
con la fórmula recursiva que se trabajó antes.
Ahora bien, la expresión 3% anual compuesto semestralmente significa que el interés se
suma dos veces al año (una cada seis meses) y que 3/2 = 1,5% del saldo actual se sumará
cada vez. Por lo tanto si deposita $1, al final del primer año tendrá lugar dos compuestos y
la cantidad será de:
(1 + 1 · 0,015) + 0,015 · (1 + 1 · 0,015) = 1 · (1,015)2 = (1,015) 2
Usando este último razonamiento: ¿Cuánto sería el monto acumulado del problema original
a fines de 2010, si se hubiese depositado al 3% anual compuesto semestralmente?
Se utiliza una tasa del 1,5%, pero nótese que los períodos aumentan al doble, es decir se
verifica la ganancia luego de 400 períodos. Luego n=400
ACTIVIDAD 9 AUMENTO DE LA FRECUENCIA VIA RECURSION
Encuentre una fórmula recursiva y determine el valor de n para calcular lo mismo que se le
pide en el problema anterior. Haga los ajustes necesarios en su fórmula recursiva y
encuentre el valor apropiado de an . Compare los resultados de los últimos dos problemas.
Es clara la relación entre la solución recursiva y la algebraica expuestas anteriormente.
Se puede observar la equivalencia en el desarrollo de la recursión y la obtención de la
relación algebraica a continuación
a1 = a0 r + a0 = (1 + r )a0
a2 = a1r + a1 = (a0 r + a0 )r + a0 r + a0 = (1 + r ) 2 a0
⋮
an + 1 = (1 + r )an = (1 + r )n + 1 a0
Las expresiones obtenidas a la derecha no dependen del término anterior, por lo que no
corresponden a una recursión
ACTIVIDAD 10 TABULACIÓN DEL AUMENTO DE LA FRECUENCIA
Complete la siguiente tabla de valores de la cuenta para el año 2010, como función de n,
donde n indique el número de veces por año en que se compone el interés, para n = 1 a n =
6. Usted ya respondió dos casos anteriormente. Continúe organizadamente y obtenga una
conclusión de lo que está ocurriendo
A continuación se muestran los valores obtenidos recursivamente. Ya se tienen los
correspondientes a n = 1 y n = 2
n=3
n=4
n=5
n=6
n
monto acumulado
en año 2010
1
2
3
4
5
6
369.3558152
385.8485741
391.583397
394.4971323
396.2604423
397.4423186
Se observa que el crecimiento es cada vez menor al realizar una descomposición más, es
decir la tasa de crecimiento por descomposición es decreciente. También es notorio el
costo en memoria computacional, dado el número de períodos cada vez mayor, lo que se
puede verificar en la demora que produce la calculadora en dar el resultado
ACTIVIDAD 11 GRAFICACIÓN DEL AUMENTO DE LA FRECUENCIA
Para ayudarlo a corroborar lo que tiene pensado, o bien, para ayudarlo a notar lo que está
pasando le recomendamos que ahora obtenga una gráfica de los puntos de la tabla obtenida
en la actividad anterior. Ingrese a través del menú principal a la ventana STAT, y almacene
los datos obtenidos de la tabla anterior en List 1 y List 2. Luego obtenga un gráfico de
puntos y otro de línea conectada de los datos ingresados ¿Confirma este gráfico lo que
usted pensó que está ocurriendo?
Se va a GRPH y se ingresa al menú SET, donde se escoge Scat para gráfico de puntos y
xy para gráfico de línea conectada. Las dos primeras ventanas de abajo muestran el menú
STAT con los datos ingresados, mientras que las siguientes dos muestran la ventana SET
correspondiente a cada gráfico, los que se obtienen ingresando en SEL del menú GRPH
No sólo se observa lo conjeturado, sino que es posible ver de manera patente que los
valores se aproximan o tienden a cierto valor, a un monto máximo acumulable
n
monto acumulado
en año 2010
1
2
3
4
5
6
369.3558152
385.8485741
391.583397
394.4971323
396.2604423
397.4423186
Naturalmente los montos son los mismos, de lo contrario se estaría frente a un error, ya
que la recursión equivale a la fórmula algebraica como se demostró anteriormente
ACTIVIDAD 12 AUMENTO AUN MAYOR DE LA FRECUENCIA
Continuando con la conjetura de la actividad anterior queremos investigar qué ocurre si
aumenta aún más la frecuencia del pago en el año. Sin embargo, el cálculo con fórmulas
donde la recursión es muy grande puede incidir en una demora del cálculo que no es
deseable. Lo invitamos entonces a desarrollar la fórmula explícita que vimos en la actividad
anterior. Observe que si el interés a una tasa anual de r, se descompone X veces al año,
entonces r/X veces el saldo actual , se suma X veces al año. Por lo tanto, con un depósito
inicial de $P, el saldo t años después es:
r 

M = P  1+

X

tX
Considere el número de años del problema original e ingréselo cono t en la fórmula
anterior. Considere la tasa de 3% anual y la inversión original de $1 e ingréselo a la
fórmula. Obtendrá una fórmula que sólo depende de X. Ingrese esta última fórmula en su
calculadora y use un programa para evaluar su fórmula para los valores de 1 a 6 y compare
los resultados con los de la tabla de la actividad 10.
Para la obtención de los seis valores requeridos y de todos los que se quieran y además
con la posibilidad de cambiar todos los parámetros involucrados y así lograr un mayor
número de ángulos posibles de estudio, se generará un sencillo programa en el entorno
que la calculadora dispone y que se explica a continuación. El programa obtendrá el
monto acumulado mediante la expresión expuesta de M en función de x.. Luego el
programa que se llamará INTERESC se estructura de la siguiente forma
Lbl y Goto son comandos que permiten el loop del programa y luego no es necesario salir
y entrar cada vez que se quiera modificar un parámetro. Goto llama a la etiqueta que
contiene Lbl y el programa vuelve a ejecutarse desde esa línea
Ahora, utilizando el programa INTERESC es rápido y fácil obtener los 6 montos
n
monto acumulado
en año 2010
1
2
3
4
5
6
369.3558152
385.8485741
391.583397
394.4971323
396.2604423
397.4423186
Naturalmente los montos son los mismos, de lo contrario se estaría frente a un error, ya
que la recursión equivale a la fórmula algebraica como se demostró anteriormente
Ahora traslade la fórmula a GRAPH y almacénela en Y1. Grafique esta fórmula usando VWINDOW adecuado a la situación planteada. Compare con el gráfico obtenido en STAT en
la actividad 11. Con el gráfico en pantalla use G-SOLV para corroborar que el gráfico pasa
por las coordenadas correspondientes a la tabla de la actividad 11.
Se muestran las coordenadas correspondientes a n = 1 y n = 6
ACTIVIDAD 13 MONTO MAXIMO POSIBLE
Use ahora la fórmula de Y1 en el menú RUN para hallar el monto máximo que puede llegar
a recibir bajo cualquier esquema posible de frecuencia en el interés compuesto. Redondee a
centésimas. Tenga precaución con los errores que pueda cometer la calculadora al
redondear.
Determine cuantas veces al año sería necesario componer para obtener el monto que usted
estimó como máximo posible.
Usando una medida de tiempo apropiada, determine cuál debería ser la longitud de los
intervalos de tiempo entre cada composición del pago, para obtener dicho máximo.
Es claro que después de la descomposición en dos periodos al año no es sustancial lo que
se gana adicionalmente por continuar descomponiendo, además luego de 12
descomposiciones la situación de estabiliza alrededor de un monto acumulado de M = 400,
valor cercano al límite de la función cuanto x tiende a infinito, que obviamente es la
situación de máxima ganancia pero que implica descomponer el año en infinitos períodos,
por lo tanto imposible
ACTIVIDAD 14 EL NUMERO e Y EL INTERES COMPUESTO
La famosa constante e = 2, 718281828 de la cual hablamos en el laboratorio 2, está
íntimamente ligada con el cálculo del compuesto continuo. Para apreciar esto haga lo
siguiente:
Calcule e0,03 t donde t es el número de años del problema original. Compare con los
resultados anteriores.
Es notable tal verificación del límite, al que la solución de la actividad anterior logró
aproximarse por el método gráfico y numérico. Todo lo obtenido se completa con la
solución algebraica, que sabemos es la siguiente
r 

lim P  1 +

x→ ∞
X

tX
= Pe rt
Usted verá más adelante en el curso de Cálculo que para un X muy grande se cumple que
1

 1+

X

X
≈ e
Verifique este hecho usando el programa NUMERO E introducido en la actividad 8 del
laboratorio 2. Si lo borró, aproveche de recordar la sintaxis:
Algo extraño ocurre si considera x = 1014, o números mayores que éste. Ejecute el
programa con x = 1010, x = 1011, x = 1013, x = 1014, x = 1015, x = 1016 ¿Podría explicar esta
anomalía?
Lo que ocurre es sencillo y tiene relación con la memoría física destinada en la
calculadora para los exponentes de las potencias de 10. Para la explicación es muy
ilustrativa la siguiente ventana del modo RUN
Baste decir que a causa del problema descrito anteriormente y por el cual no se puede
manejar exponentes mayores a 99, llega un punto en que el término 1/X es tomado como
CERO por la calculadora, con lo que queda una expresión que eleva 1 a un exponente,
resultando la anomalía observada
Ingrese ahora en la ventana GRAPH, desactive toda otra función e ingrese a continuación
X
1

la función y =  1 +
 como Y2 y el número e como función constante y = e en Y3.
X

Obtenga un gráfico y vuelva a corroborar lo visto
Ya en conocimiento de lo anterior demuestre algebraicamente que para un X muy grande se
cumple que:
0, 03 

1
+


X 

tX
≈ e0,03t
ACTIVIDAD 15 CONCLUSIONES FINALES
En la fórmula obtenida en la actividad anterior introduzca el valor de t del problema
original. Almacene en el listado de la ventana GRAPH las dos funciones involucradas y
verifique gráficamente que se corrobora el resultado anterior.
De acuerdo a todo el análisis anterior ¿Cuál sería el valor máximo que se puede esperar?
¿Concuerda este valor máximo con las conclusiones anteriores? Haga un comentario
De acuerdo a todo lo que se ha comentado se puede concluir que si el interés de un depósito
inicial de $P se compone continuamente a una tasa anual r, el monto (máximo) acumulado t
años después podrá calcularse con la fórmula:
M = Petr
Lo que será de interés es considerar que al resolver un problema donde intervienen
intereses compuestos, es fundamental tener en cuenta si las tasas de interés son nominales
(anuales “sólo de nombre”) o de rendimientos efectivos (anual con varias composiciones
anuales), así como si el cálculo del compuesto es o no continuo.
Haga un comentario final