LABORATORIO 3 FUNCIONES, FORMULAS, PROGRAMACION Y APLICACIONES

LABORATORIO 3
.
FUNCIONES, FORMULAS, PROGRAMACION Y APLICACIONES
Objetivos:
(1)
Razonar numéricamente y gráficamente con funciones de una variable.
(2)
Usar la capacidad de programación para resolver problemas con funciones.
(3)
Traducir problemas de tipo algebraico a uno de tipo numérico o de tipo gráfico.
Actividad: 1 HALLAR EL MENOR N TAL QUE f (N) < 0,001 POR VIA DIRECTA
Hallar el número entero positivo n más pequeño tal que f(n) < 0,001 para la función siguiente,
por medio de un cálculo directo de imágenes:
f ( x) =
1
x + 120 x − 22
2
Ingrese la función en el menú GRAPH como Y1. Se debe asignar una ventana de visualización
adecuada a la función.
Asigne a la variable X el valor 2 por medio del comando Trace (Lq) en la ventana gráfica.
21
Compruebe que Y1(2)=0,0045045045 y que Y1(3) = 0,00288184438. Calcule Y1(4), Y1(5), etc. hasta
que obtenga Y1(n) < 0,001 para algún n. Verifique que el n buscado es n = 8.
Observamos que Y1(8) = 0,000998003…< 0,001
Actividad: 2 HALLAR EL MENOR N TAL QUE f (N) < 0,001 POR VIA TABULAR
Considere la misma función de la actividad anterior, selecciónela ( q) en el listado de
funciones del menú TABLE.
Elija con SET (y) un dominio de valores del 2 al 10 a intervalos de 1 en 1, eligiendo los
siguientes parámetros: START: 2, END: 10 y STEP: 1.
22
Luego utilice TABL (lu) para visualizar en una tabla las imágenes de los valores 2 al 10,
corroborando que f (8) = 0,00099800399 <0,001. El resultado se presentará como fracción (1/1002),
utilice x para verlo en decimales.
Actividad: 3
HALLAR EL MENOR N TAL QUE f (N) < 0,001 VIA PROGRAMACION
Considere una vez más la misma función de la actividad anterior. Use un tercer método para
evaluar funciones aprovechando la capacidad de programación de la calculadora. Ingrese en el menú de
programas PRGM y ponga como título de éste nuevo programa el nombre EVALF1.2 Para esto debe
seleccionar NEW (e). Este programa servirá para evaluar cualquier función. Digite el siguiente
programa:
23
Ejecute el programa EVALF1 y complete la
siguiente tabla:
X
2
3
4
5
6
7
8
f( x )
0.0045045…
0.0028818…
0.0021097…
0.0016583…
0.0013623…
0.0015340…
0.0009980…
24
Verifique que se obtienen los mismos resultados que por los métodos anteriores.
Actividad: 4
PROGRAMA DE UN PASO
Escriba el siguiente programa de un paso que servirá para calcular imágenes de cualquier
función. Esta versión automática le permitirá hallar el valor de la imagen f(n) para el siguiente valor de
n. El objetivo será entonces ejecutar el programa una cierta cantidad de veces y obtener como salida
una sucesión de valores de n y f (n). Lo que queremos es sumar 1 al valor de n con cada ejecución del
programa. Ingrese a PRGM el siguiente programa que llamaremos EVALUP:
Ejecute el programa EVALUP. Deberá obtener de un solo toque las imágenes de 2, de 3, de 4,
de 5, de 6, de 7 y de 8 para corroborar una vez más que efectivamente f(8) < 0,001
Actividad: 5 RELACION ENTRE LA FUNCIÓN CUADRATICA Y LO REALIZADO
25
En la siguiente actividad descubriremos la relación existente entre la fórmula cuadrática y lo
realizado en las actividades anteriores.
Observe que:
1
1
<
si x 2 + 120x − 22 > 1000
x + 120x − 22 1000
2
o sea, si x 2 + 120x − 1022 > 0
Use la fórmula cuadrática para hallar las dos soluciones de x 2 + 120 x − 1022 = 0 Ingrese en la
ventana EQUA y después en POLYNOMIAL (w) Degree 2 (q) y obtenga las soluciones de la
ecuación. Aproxime la solución decimal de la solución mayor al entero más cercano y obtendrá una
solución al problema original. ¿Por qué no se considera la menor?
Porque la imagen de la solución menor es negativa (-127,9) y es condición para obtener la
solución que la imagen sea mayor que 0.
Ingrese ahora en la ventana GRAPH la función cuadrática y = x 2 + 120 x − 1022 , y verifique
gráficamente para qué valores de x se cumple que y > 0. Elija el valor que se ajuste a la condición x > 0
y confirme que dicho valor es el mismo obtenido anteriormente en la ventana EQUA y también por los
métodos anteriores.
26
*Nota: La calculadora no mostrará las raíces si estas se encuentran fuera de la ventana
gráfica.
¿De qué manera se relaciona lo que ha hecho en estos dos últimos pasos con sus soluciones
obtenidas por los métodos seguidos en las actividades anteriores? Generalice la conclusión.
Actividad: 6
APLICACIÓN DEL METODO DE LA FUNCION CUADRATICA
Use la fórmula cuadrática tal como se hizo en la actividad anterior para determinar el menor
2
1
entero n > 0 tal que f ( n ) <
tomando f ( x ) = 2
1000
x + 10 x + 100
Solución:
2
1
f ( x) = 2
<
si x 2 + 10 x + 100 > 2000 , o sea si x 2 + 10 x − 1900 > 0
x + 10 x + 100 1000
Obtengo las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática en el menú EQUA, seleccionando
Polynomial (w) Degree 2 (q) Solve (q) o en el menú GRAPH.
Aproximando 38,87482… al entero más cercano obtengo como solución 39.
*Para la ventana gráfica (Le) escojo valores de X que incluyan las raíces que obtuve en el
menú EQUA y el mínimo que obtengo por medio de GSolve MIN (Lye) (-5;-1925).
27
Verifique la solución obtenida mediante el uso del programa EVALF1.
f(39) = 0,0009453… < 0,001
Verifique la solución también con el programa EVALUP.
28
Actividad: 7
APLICACIÓN A OTRAS FUNCIONES
Para las siguientes funciones, repita los procedimientos usados en las actividades 1, 2 y 3 para
hallar el menor n > 0 tal que f (n ) < 0,001 :
a) f ( x ) =
x+ 3
;
x4 + 7
b)
f ( x) = e − 2 x
Con el objeto de emular un procedimiento parecido al de la actividad 5 transforme la inecuación
x+ 3
1
<
en una inecuación de cuarto grado de la forma f(x) > 0.
4
x + 7 1000
Solución:
f ( x) =
x+ 3
1
x4 + 7
<
Si
> 1000 , o sea si x 4 − 1000 x − 2993 > 0
4
x + 7 1000
x+ 3
Ingrese a la ventana GRAPH la función f(x). Obtenga una gráfica de la función f. Si tiene
problemas con la escala de valores de V-VINDOW le recomendamos usar el zoom automático ZOOM
AUTO que permite capturar automáticamente una ventana apropiada para el gráfico. Encuentre las
raíces de la función con SHIFT G-SOLV ROOT (Lyq) para hallar el valor de x positivo más
pequeño que cumpla la condición f (x) > 0. Aproxime al entero que está buscando.
Si aproximo 10,8462… al entero más cercano obtengo como resultado 11.
b) Para escribir f ( x ) = e − 2 x de la forma f(x) > 0:
e− 2 x <
1
1
= − 2 x > 1000 , o sea, 1 − 1000 ⋅ e − 2 x > 0
1000
e
Luego obtengo la raíz de la función 1 − 1000 ⋅ e − 2 x .
29
Según este método el resultado es 3.
*Se recomienda una ventana INITIAL
Actividad: 8
USO DEL OPERADOR SUMATORIA Σ Y DEL FACTORIAL N!
En ésta actividad queremos introducir el uso del operador sumatoria Σ y del operador factorial
n! de su calculadora. Para realizar cálculos con Σ se usa la siguiente sintaxis:
k= b
∑
f (k ) =
k= a
∑
(f( k ), k (variable), a (valor inicial) , b (valor final), n (valor intervalo))
Si se desea, se puede omitir el valor de n. En tal caso, la calculadora considerará automáticamente n =
1. Podrá encontrar en su calculadora el operador Σ en la ventana RUN-MATH .Ingrese con:
i r(CALC) u( ▷) e ( ∑
( )
Compruebe que:
9
∑
(k 2 − 2k + 8) =
k= 3
∑
(k 2 − 2k + 8, k , 3, 9, 1) = 252
Para realizar cálculos con el operador n! ingrese a la ventana RUN-MATH y después siga con:
i u( ▷) e(PROB) q (x!)
Compruebe que 10! = 3.628.800.
30
Encuentre cual es la función f( k ) que da lugar a la ley de formación de cada uno de los
términos de las siguientes sumas. Una vez hallado f( k ), use el operador Σ para hallar la suma de los
ocho primeros términos de:
a)
1 1 1 1
+ + +
+ .....
2 4 8 16
∞
 1 
 x
x= 1  2 
∑
1 1 1
+ −
+ .....
3 9 27
∞
 1   1 
1
1
1
1
1
1
∑x= 1   32 x− 2  −  32 x− 1   = 3(2⋅1− 2) − 3(2⋅1− 1) + 3(2⋅ 2− 2) − 3(2⋅ 2− 1) + 3(2⋅3− 2) − 3(2⋅3− 1) + ...


1 1 1 1 1 1
= 0 − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 + ...
3 3 3 3 3 3
b)
1−
c)
1
1
1
1
+
+
+
+ ...
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5
∞
∑
x= 1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+ ...
x( x + 1) 1⋅ (1 + 1) 2 ⋅ (2 + 1) 3 ⋅ (3 + 1) 4 ⋅ (4 + 1)
31
d)
1 1 1 1
− + − + .....
2! 3! 4! 5!
 1

1
1
1
1
1
1
1
−
−
+
−
+
−
+ ...

=
(2 x + 1)!  (2 ⋅ 1)! (2 ⋅ 1 + 1)! (2 ⋅ 2)! (2 ⋅ 2 + 1)! (2 ⋅ 3)! (2 ⋅ 3 + 1)!
x = 1  (2 x )!
∞
∑
2 2 2
+ − + .....
3 5 7
∞

 ∞  2
2
2
2 
−
∑x= 1  (2 x − 1) + 2( x − 1) (2 x + 1) + 2( x − 1)  = ∑x = 1  4 x − 3 − 4 x − 1  =


2
2
2
2
2 2 2 2
−
+
−
= − + − + ...
4 ⋅ 1− 3 4 ⋅ 1− 1 4 ⋅ 2 − 3 4 ⋅ 2 − 1 1 3 5 7
e)
2−
f)
1 1 1 1
1 + + + + ...
2! 3! 4! 5!
∞
 1
 
x= 1  x ! 
∑
32
Actividad: 9 UNA APLICACIÓN: LA PARADOJA DE ZENON
La siguiente paradoja es atribuida a Zeno, un pensador griego del Siglo IV A.E.C. Comienza
con Aquiles que está a 1 metro detrás de su rival en una carrera, pero logrando avanzar a razón de 1
metro
. Evidentemente, Aquiles lo alcanza en 1 segundo, pero antes que lo alcance Aquiles debe
segundo
haber recorrido la distancia de 0,5 metros primero, y esto le toma a Aquiles 0,5 segundos. A
continuación debe recorrer la distancia de 0,25 metros y esto le toma 0,25 segundos más. Después debe
recortar 0,125 metros y así sucesivamente. ¡Por lo tanto pareciera que Aquiles nunca lo alcanza!
Considere la suma de la actividad 8 (a). Esta suma da el tiempo invertido para completar éste
proceso aparente interminable. ¿Le dio 1 segundo? Verifíquelo considerando sumas con más cantidad
de términos cada vez. (10 términos, 15 términos, 20 términos, etc).
∞
1 1 1 1
 1 
+ + +
+ ..... ∑  x 
8a)
2 4 8 16
x= 1  2 
*Nota: se recomienda utilizar la tecla x para ver su resultado en decimales.
33
Al haber 100 términos la calculadora aproxima a 1 aunque realmente esta sumatoria tiende a 1, pero
nunca toma ese valor.
Actividad: 10 OTRA APLICACIÓN: CRECIMIENTO POBLACIONAL
Sea f ( x) = x + 0, 005 x 2,01 . Use el programa EVALF1 para iterar la función dada. Esta función
permite proyectar la población actual a un año plazo. Al ejecutar el programa asigne 3,049 en X, que es
la población que había, en billones de personas, en 1960. La calculadora debiera darle 3,096, que es un
estimado de la población en 1961.
Oprima l y asigne L ANS (n) como valor para X. Oprima nuevamente l para hacer correr
EVALF1 y obtendrá 3,144 billones, que será un estimado para la población mundial en 1962.
Siga oprimiendo l y ejecutando repetidamente EVALF1 e ingresando cada vez ANS (L
n) para X. Compare la estimación que da la ecuación con las cantidades que aparecen a
continuación.
34
1963
1964
1965
AÑO
POBLACION
1965
3,299
1971
3,659
1981
4,473
Determine qué población podría tener el mundo en el año 2035. ¿Qué opinión le merece?
Actividad: 11 OTRA APLICACIÓN: EL PROBLEMA DEL COMEDOR
Suponga que n personas fueron invitadas a cenar y que al llegar al comedor se dan cuenta antes
de sentarse que en cada silla hay una tarjeta con el nombre del invitado que debiera ocuparla. ¿Cuál es
la probabilidad de que nadie se siente en el lugar indicado si la fórmula que sirve para calcular en la
situación planteada es:
P=
1 1 1
1
− + − ..... +
, si n es par
2! 3! 4!
n!
La probabilidad total es siempre 1 (100%). Usted trabajó ésta fórmula en la actividad 8(d). ¿A qué valor
cree usted que va tendiendo la suma? Si el número de personas invitadas a cenar fuese cada vez mayor,
35
¿Piensa usted que tiene alguna relación con que alguien se siente accidentalmente en el lugar correcto?
Compare su respuesta del ejercicio 8 (d) con e − 1 = 0,36787944112
8d)
1 1 1 1
− + − + .....
2! 3! 4! 5!
 1

1
1
1
1
1
1
1
−
−
+
−
+
−
+ ...

=
(2 x + 1)!  (2 ⋅ 1)! (2 ⋅ 1 + 1)! (2 ⋅ 2)! (2 ⋅ 2 + 1)! (2 ⋅ 3)! (2 ⋅ 3 + 1)!
x = 1  (2 x )!
∞
∑
La suma va tendiendo a 0.367894412
Si la suma va subiendo, ¿tiene relación con que alguien se siente accidentalmente en el lugar
incorrecto?
36
Actividad: 12
UN PROBLEMA DE SUERTE
1
que sirve para calcular la probabilidad de tener que
n (n + 1)
esperar más que las siguientes n – 1 personas al elegir una fila. Se supone que cada persona
recibe la misma calidad de servicio y que las filas se retroalimentan constantemente. En la
actividad 8 (c) se le pidió que sume hasta 8 términos de esas probabilidades. Verifique que 1
es el valor límite.
Considere la fórmula f (n ) =
1
1
1
1
1
= lim 2
= lim 2
= lim
= =1
x → ∞ x ( x + 1)
x→ ∞ x + x
x→ ∞ x
x x→ ∞ 1 + 1 1
+ 2
2
x
x
x
¿Cuál es el número promedio de personas que usted tendría que esperar más? Esto se computa
con la fórmula valor esperado:
lim
∞
∑
x= 1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+ ...
x( x + 1) 1⋅ (1 + 1) 2 ⋅ (2 + 1) 3 ⋅ (3 + 1) 4 ⋅ (4 + 1)
Puedo intuir, por lo observado en los resultados que arroja la calculadora al probar con distintos
“n” que
n
1
n
∑x= 1 x( x + 1) = n + 1
Demostración matemática:
n
1
n
∑k = 1 k (k + 1) = n + 1
37
1
A
B
= +
k (k + 1) k k + 1
1
A(k + 1) + B( k )
=
k (k + 1)
k (k + 1)
1 = A(k + 1) + Bk ∀ k
Sea k = − 1
Luego
1 = A(− 1 + 1) + B (− 1)
1 = − B
B= −1
∴ A=1
Volvemos a la ecuación original
1
1
1
= −
k (k + 1) k k + 1


k=1 
1
=  −
1
n
1
=
k = 1 k ( k + 1)
∑
n
∑
1
1 
−

k k + 1
1
+
2
1
= 1 −
n+ 1
n + 1− 1
=
n+ 1
n
=
n+ 1
1  1
1 
 1 1  1
 
 −  +  − ...  +  ... −  +  −

n   n n + 1
 2 3  3
 
f(1) + 2 f(2) + 3 f(3) + 4 f(4) +.......
Demuestre que esta suma tiende a aumentar sin que tienda a valor límite alguno. Emita una opinión en
relación a la elección de una fila.
1
f (n ) =
n (n + 1)
1
1
1
1
1
1 1 1
1
+ 2⋅
+ 3⋅
+ 4⋅
+ ... + n ⋅
= + + + ... +
1(1 + 1)
2(2 + 1)
3(3 + 1)
4(4 + 1)
n( n + 1) 2 3 4
n+ 1
38
Actividad: 13
SUBPROGRAMAS
Usted puede ejecutar siempre un programa B dentro de un programa A. La sintaxis es muy
sencilla:
Prog “PROGNOMBRE”
[Prog ] lo puede hallar en el menú L PRGM (o) CTL (w) PROG (q). “PROGNOMBRE” es el nombre
del programa B. El programa B se ejecutará tan sólo una vez, y entonces continuará la ejecución del programa A desde el
punto donde se llamó al programa B. Es recomendable usar subprogramas de éste tipo en lugar de largos códigos
programáticos como las construcciones que se encuentran en LPRGM (o) COM (q) del tipo If (q) –
Then(w) – Else(e). En general son mucho más fáciles de leer y por lo tanto producirán programas más estructurados.
Organizaremos a continuación un programa que nos permitirá usar la ley de Ohm con facilidad.
Denotemos la resistencia por R, el voltaje por V y la intensidad por I. La ley de Ohm puede ser
considerada de tres maneras distintas:
V= R⋅I ,
R=
V
I
ó
I=
V
R
El uso de cada una de estas formas dependerá de lo que se quiera calcular. El programa que
queremos digitar incluye un programa principal “ OHM ” en el cual se podrá elegir V , R o I.
Dependiendo de la elección el programa llamará a un subprograma “VCALC” , “RCALC” o
“ICALC”. El programa principal luce así:
39
Complete el programa con los subprogramas “RCALC” e “ICALC”.
Use el programa para calcular V cuando R = 92 (Ω) e I = 2,5 (A). Calcule además R cuando V = 230
(V) e I = 2,5 (A) y calcule I cuando V = 230 (V) y R = 92 (Ω).
V cuando R = 92 (Ω) e I = 2,5 (A)
R cuando V = 230 (V) e I = 2,5 (A)
40
I cuando V = 230 (V) y R = 92 (Ω)
Actividad: 14
CONSTRUCCION DE UN SUBPROGRAMA
Construya un programa que calcule una de los elementos: velocidad media, distancia o tiempo
si se conocen las otras dos.
41
Requerimientos del reporte a entregar
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Responda por escrito y ordenadamente cada una de las actividades del laboratorio.
Agregue todos los comentarios que le parezcan valiosos.
Describa con claridad su método de razonamiento.
Reporte todos los problemas y las anomalías que encuentre.
Su descripción debe ser lo suficientemente convincente
Recuerde el objetivo principal de los laboratorios:
No se trata de realizar laboratorios, sino que de aprender de ellos
Por lo tanto, sus actividades y observaciones son importantes, pero más aun lo son sus
explicaciones
Comparta sus inquietudes: consulte si tiene dudas y, si puede, ayude a aclararlas a
otros.
42