¿Cómo calcular rentas constantes continuas en el sistema financiero compuesto discreto?

¿Cómo calcular rentas constantes continuas en
el sistema financiero compuesto discreto?
Prof. Jean-Pierre Marcaillou
INTRODUCCIÓN:
El menú CAS (Cálculo Algebraico Simbólico) de la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS permite el cálculo de
los parámetros de rentas constantes continuas en el sistema financiero compuesto discreto.
CONCEPTOS Y FÓRMULAS
Renta constante: Se llama renta constante Rc al siguiente conjunto de capitales financieros:
Rc = {(t1,PMT),(t 2 ,PMT),(t 3 ,PMT),...,(tn ,PMT)} donde t i ≠ t j si i ≠ j con i, j = 1, 2,3,...,n y PMT representa el
término constante de la renta.
Renta discreta: Se llama renta discreta Rdisc a todo conjunto de capitales financieros separados entre sí por períodos
de amplitud finita de tiempo.
Renta continua: Se llama renta continua Rcont a todo conjunto de capitales financieros separados entre sí por períodos infinitesimales de tiempo. Este tipo de rentas pueden entenderse como rentas fraccionadas donde el
fraccionamiento p tiende a ser infinito dentro de cada período.
En la práctica se pueden considerar rentas continuas aquellas cuya frecuencia de fraccionamiento del término sea
superior a 12: rentas quincenales, semanales, diarias, etc.
Renta cierta: Se denomina así cuando sus fechas son conocidas de antemano.
Renta contingente: Se denomina así cuando la fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan
de antemano.
Renta simple: Se denomina así cuando el período de los pagos coincide con el período de capitalización.
Renta general: Se denomina así cuando no hay coincidencia entre el período de los pagos y el período de
capitalización.
Renta temporal: Se denomina así cuando el número de elementos de la renta es finito.
Renta perpetua: Se denomina así cuando el número de elementos de la renta es infinito.
Renta vencida: Se denomina así cuando los pagos se realizan al final de cada período.
Renta adelantada: Se denomina así cuando los pagos se realizan al comienzo de cada período.
Renta inmediata: Se denomina así cuando el primer elemento de la renta ocurre una unidad de tiempo temporal
inmediatamente después del tiempo de valoración.
Renta diferida: Se denomina así cuando el primer elemento de la renta ocurre en un momento mayor a una unidad de
tiempo temporal después del tiempo de valoración. En consecuencia se dice que la renta es diferida de d unidades
temporales (período de gracia) cuando el primer término de la renta ocurre en el momento d + 1.
Tasa de interés compuesto discreto icmpd: Es la tasa de interés que, al final de cada período, se aplica tanto al
capital anterior como a los intereses devengados en ese período; lo cual significa que los intereses devengados al final
de un período se convierten en capital para producir nuevos intereses en el período siguiente.
n: Número de años durante los cuales dura la operación financiera.
p: Número de términos de la renta por año.
np: Número total de términos de la renta durante el tiempo n que dure la operación financiera.
ven
I%nom
: Tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, nominal anual que se capitaliza m veces por año.
1
Valoración de una renta:
1. En la fecha de inicio: estará representada por una cantidad única, que pagada en esa época, formará la misma
renta que la de sus términos cancelados en cada uno de los períodos de dicha renta.
2. En la fecha final: estará representada por una cantidad única, que será la suma de los términos de la renta con
sus respectivos intereses generados a lo largo del tiempo.
Primero se analiza el caso de una renta constante discreta de p depósitos por año, general, cierta, temporal,
vencida e inmediata, a una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, nominal del I% anual con m
capitalizaciones por año.
Si al final de cada período de plazo 1/p año, se deposita una cantidad constante de PMT/p Bs.F. (es decir que el
depósito anual de PMT Bs.F. se fracciona en p depósitos iguales de PMT/p Bs.F. que ocurren en p períodos iguales
de plazo 1/p año), en una cuenta que paga una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, nominal del
I% anual con m capitalizaciones por año, ¿cuánto se tiene en la cuenta al final del año n si no se efectúa ningún
aporte ni retiro adicional durante todo ese tiempo?
PV
FVn
1
1/p
2
2/p
3
p–2
p–1
p
… (n–1)p+1 (n–1)p+2 (n–1)p+3… np–2
np–1
np depósitos
3/p ... 1–2/p
1–1/p
1
… n–1+1/p n–1+2/p n–1+3/p … n–2/p
n–1/p
n
años
0
PMT
p
p = número de depósitos por año m = número de capitalizaciones por año
i = tasa de interés nominal anual con m capitalizaciones por año
A continuación se muestran los cuatro casos más comunes de rentas constantes discretas, generales, ciertas,
temporales, vencidas y adelantadas e inmediatas, con sus respectivas fórmulas para los cálculos de los valores
futuros y valores presentes en el sistema financiero compuesto discreto.
Valor futuro acumulado al final del año n de una renta
constante discreta de PMT Bs.F. por año, pagadera p
veces por año durante n años (se deposita la cantidad
de PMT/p Bs. F. al final de cada período de plazo 1/p
año) general, cierta, temporal, vencida e inmediata, a
una tasa de interés porcentual, compuesto discreto,
vencido, nominal del I% anual que se capitaliza m
veces por año.
FVn =
Valor presente acumulado en el momento 0 de una
renta constante discreta de PMT Bs.F. por año,
pagadera p veces por año durante n años (se deposita
la cantidad de PMT/p Bs. F. al final de cada período de
plazo 1/p año) general, cierta, temporal, vencida e
inmediata, a una tasa de interés porcentual, compuesto
discreto, vencido, nominal del I% anual que se
capitaliza m veces por año.
Valor futuro acumulado al final del año n de una renta
constante discreta de PMT Bs.F por año, pagadera p
veces por año durante n años (se deposita la cantidad
de PMT/p Bs.F. al comienzo de cada período de plazo
1/p año) general, cierta, temporal, vencida e
inmediata, a una tasa de interés porcentual, compuesto
discreto, vencido, nominal del I% anual que se
capitaliza m veces por año.
mn
i 

 t
1+ 
−1
n−  m


PMT 
i  p
PMT 
m
1
+
=
×


m
p 
m
p
i p

t =1
1 +  − 1
m

t =np
∑
−mn
i 

1 − 1 + 
PMT
1
PMT
m

=
×
tm
m
p
p
i p
i p


t =1
 1+ 
1 +  − 1
m
 m

(1)
t =np
PV =
∑
mn
i 

 t −1 
m
1+ 
−1
n−
m



PMT 
i 
i  p (3)
m

p  = PMT × 
1
+
×
1
+




m
p 
m
p
m

i p

t =1
1 +  − 1
m

t =np
FVn =
2
(2)
∑
Valor presente acumulado en el momento 0 de una
renta constante discreta de PMT Bs.F por año,
pagadera p veces por año durante n años (se deposita
la cantidad de PMT/p Bs.F. al comienzo de cada
período de plazo 1/p año) general, cierta, temporal,
vencida e inmediata, a una tasa de interés porcentual,
compuesto discreto, vencido, nominal del I% anual que
se capitaliza m veces por año.
−mn
i 

m
1 − 1 + 
1
PMT
i p
m


=
×
× 1 + 
(t −1)m
m
p
m

i  p
i p


1
+
1
+
−
1




m
m


t =np
PV =
∑
PMT
p
t =1
(4)
Suponga ahora que los depósitos se efectúan en forma continua a lo largo del año, entonces p crece infinitamente
positivo, es decir p → +∞ , y en consecuencia existe un flujo constante anual continuo de depósitos.
Se tiene los siguientes cálculos de límites:

i

lim p  1 + 
m
p→∞


m
p


− 1

m


i p


  1 + m  − 1
i 



 = m ln  1 +  y
= lim 
1
m
p →∞ 




p


m
i p

lim  1 +  = 1
m
p →∞ 
y en consecuencia, la fórmulas de los valores futuro y presente de una renta constante anual continua, cierta,
temporal e inmediata a una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, nominal del I% anual que se
capitaliza m veces por año son:
mn
t =np
FVn = lim
p →∞
∑
t =1
PMT 
i 
1 + 
p 
m

t
 n−  m
 p
= lim
p →∞
PMT
×
p
t =np
PV = lim
p→∞
∑
t =1
PMT
p
1
tm
p
i

 1+ m 


PMT
×
p→∞ p
= lim
i 

1+ 
m

m
p
i

1+ 
m

i 

1− 1+ 
m


m
p
i

1+ m 


mn


i 
PMT

1
+
−
1



−1
m
 

=
i 

m × ln  1 + 
m
−1

−m n
=
−1
−m n 
 
i 
PMT 1 −  1 + 

m
 

i 

m × ln  1 + 
m


(5 )
(6)
las cuales son válidas tanto para depósitos vencidos como adelantados en vista de que como el tiempo entre
período es infinitesimal no hay diferencia entre inicio y final del mismo, cuya ilustración gráfica se presenta a
continuación:
PV
FVn
0
n
años
PMT
PMT = cantidad constante anual, distribuida continuamente durante n años
m = número de capitalizaciones por año
i = tasa de interés, compuesto discreto, vencido, nominal anual con m capitalizaciones por año
3
Se puede utilizar también la siguiente ecuación de valor estándar valorada en el momento 0, la cual resume las
fórmulas (5) y (6):
mn
i 

−1
1+ 
1
FV
m

PV + PMT ×
×
+
= 0 (7)
mn
mn
i

 
i
i



m × ln  1 + 
1+ 
m   1 + m 

m

OPERACIÓN CON LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
El menú CAS calcula los parámetros de una renta constante continua, en el sistema financiero compuesto discreto,
mediante el uso de los comandos 4: ∑ (sumatoria) y 3: lim (límite) del submenú desplegable CALC e ∞ (infinito) del
menú de opciones OPTN.l fondo de retiros “Mis Años Dorados”
El procedimiento para la calculadora es el siguiente:
t =np
(1) FVn:
∑
 t
n− m
PMT 
i  p 
1
+


p 
m
fórmula
⇒
calculadora
t =1
144444
42444444
3
PMT = C;p = P;i = I;m = M;n = N;t = T
∑(
t =np
∑
(2) PV:
PMT
p
1
tm
i p

t =1
1+


 m
14444244443
PMT = C;p = P;i = I;m = M;n = N;t = T
t =np
(3) FVn:
∑
 t −1
n−
m
PMT 
i 
p 
1 +  
p  m
fórmula
⇒
calculadora
fórmula
⇒
calculadora
t =1
1444444
24444443
PMT = C;p = P;i = I;m = M;n = N;t = T
(4) PV:
t =np
∑
fórmula
1
⇒
(t −1)m
calculadora
i  p

t =1
 1+ 
m
144444244444
3
PMT = C;p = P;i = I;m = M;n = N;t = T
PMT
p
∑
)
−MN
I 

1 − 1 + 
C
almacena en

→ f2
(C / P / (1 + I/ M) ^ (TM / P),T,1,NP)) = P ×  MM
memoria función
I P

1 +  − 1
M

MN
I 

M
1+ 
−1

C  M
I P
almacena en

C / P × (1 + I/ M) ^ ((N − (T − 1) / P ) M),T,1,NP = ×
×  1 +  
→ f3
M
memoria función
P
 M
I P

1 +  − 1
 M
)
C
(C / P / (1 + I/ M) ^ ((T − 1)M / P),T,1,NP)) = P ×
−MN
I 

M
1 − 1 + 
I 
almacena en

 M
×  1 +  P 
→f4
M
memoria función
M

I P

1 +  − 1
 M
MN


I 
C  1 + 
− 1
M
fórmula


PMT 
i
almacena en
lim
1
+
⇒
lim
fn1,P,
∞
=
lim
fn3,P,
∞
=

→ f5
(
)
(
)


memoria función
p 
m
p→∞
I 
calculadora

Mln
1
+

t =1
14444
4244444
3
M 

t =np
(5) FVn:
∑(
∑
MN
I 

1+ 
−1

C
M
almacena en
C / P × (1 + I/ M) ^ ((N − T / P )M),T,1,NP = × 

→ f1
M
memoria función
P
I P

1 + M  − 1


 t
n− m
 p 
∑
f1
t =np
(6) PV:
lim
p→∞
∑
PMT
p
1
tm
i p

t =1
 1+ 
 m 3
1444424444
−MN 
 
I 

C 1 −  1 + 
M
fórmula
 

almacena en
⇒
lim ( fn2,P, ∞ ) = lim ( fn4,P, ∞ ) =

→ f6
memoria función
I 
calculadora

Mln  1 + 
M

f2
4
La empresa Desbarajuste
1.
La empresa Desbarajuste comercializa un producto de gran difusión y estima que la cantidad
vendida cada mes es de 60.000 unidades desde el 1 de enero hasta el 31 de diciembre del año 2007. El
beneficio realizado, de 1 Bs.F. sobre cada unidad, se deposita en la cuenta de ahorros del Banco Yositepago
Sin Rollo que paga una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, nominal del 6% anual con
capitalización anual.
a) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan al final de cada mes?
b) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan al final de cada quincena?
c) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan al final de cada semana?
d) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan al final de cada día?
e) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan de forma continua?
/ON
(1) Presione las teclas [AC ] / [MENU], seleccione el icono CAS a través la tecla elíptica
[REPLAY] y presione la tecla [EXE] para abrir el menú Cálculo Algebraico Simbólico.
(2) Presione las teclas [F6] ( > ) / [F1] (CLR) / [2] (VarAll) / [EXE] / [F1] (CLR) / [3]
(ALLEQU) / [EXE] (Sí) para borrar todas las variables, fórmulas y ecuaciones
registradas.
(3) Presione las teclas [CTRL] / [F3] (SET UP) / ▼ / ▼ / [F1] (Fix) / [2] / [EXE] para fijar la
presentación de los resultados con dos cifras decimales.
(4) Presione las teclas [ESC] / [ESC] para regresar a la pantalla original y presione las
teclas respectivas para introducir en el área de ingreso la siguiente fórmula (1):
t =NP
∑
 T
N−
M
C 
I   P 
× 1 + 
P  M
y presione seguidamente la tecla [EXE].
t =1
(5) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [1] / [EXE] para
registrar la fórmula (1) en f1 en la Memoria de función.
(6) Presione las teclas [ESC] / [ESC] para regresar a la pantalla del menú CAS y presione
las teclas respectivas para introducir en el área de ingreso la siguiente fórmula (2):
t =NP
∑
t =1
C
×
P
1
TM
I  P

1+


 M
y presione seguidamente la tecla [EXE].
(7) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [2] / [EXE] para
registrar la fórmula (2) en f2 en la Memoria de función.
5
(8) Presione las teclas [ESC] / [ESC] para regresar a la pantalla del menú CAS y presione
las teclas respectivas para introducir en el área de ingreso la siguiente fórmula (3):
t =NP
∑
 T−
N−
C 
I  
P
× 1 + 
P  M
1
M

y presione seguidamente la tecla [EXE].
t =1
(9) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [3] / [EXE] para
registrar la fórmula (3) en f3 en la Memoria de función.
(10) Presione las teclas [ESC] / [ESC] para regresar a la pantalla del menú CAS y presione
las teclas respectivas para introducir en el área de ingreso la siguiente fórmula (4):
t =NP
∑
t =1
C
×
P
1
(T −1)M
I  P

1+


 M
y presione seguidamente la tecla [EXE].
(11) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [4] / [EXE] para
registrar la fórmula (4) en f4 en la Memoria de función.
(12) Presione las teclas [ESC] / [ESC] / [F2] (CALC) / [3] (lim) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4]
(FMEM) / [3] (fn) / [1] / [,] / [ALPHA] / [4] (P) / [,] / [OPTN] / [F4] (∞) / [)] / [EXE] con la
finalidad de obtener la fórmula (5).
(13) Presione las teclas [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [5] / [EXE] para registrar la
fórmula (5) en f5 en la Memoria de función.
(14) Presione las teclas [ESC] / [ESC] / [F2] (CALC) / [3] (lim) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4]
(FMEM) / [3] (fn) / [2] / [,] / [ALPHA] / [4] (P) / [,] / [OPTN] / [F4] (∞) / [)] / [EXE] con la
finalidad de obtener la fórmula (6).
(15) Presione las teclas [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [6] / [EXE] para registrar la
fórmula (6) en f6 en la Memoria de función.
(16) Presione las teclas [ESC] / [ESC] / [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4]
(FMEM) / [3] (fn) / [1] / [,] / para regresar a la pantalla anterior del menú CAS, llamar la
función registrada en f1 en la Memoria de función, y sustituir en dicha expresión los
parámetros por los siguientes valores
C = 60.000 × 12,I = approx(0.06),M = 1,N = 1,P = 12) Respuesta a)
(17) Presione las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) /
[1] / [,] / para llamar la función registrada en f1 en la Memoria de función, y sustituir en
dicha expresión los parámetros por los siguientes valores
C = 60.000 × 12,I = approx(0.06),M = 1,N = 1,P = 24) Respuesta b)
6
(18) Presione las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) /
[1] / [,] / para llamar la función registrada en f1 en la Memoria de función, y sustituir en
dicha expresión los parámetros por los siguientes valores
C = 60.000 × 12,I = approx(0.06),M = 1,N = 1,P = 48) Respuesta c)
(19) Presione las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) /
[1] / [,] / para llamar la función registrada en f1 en la Memoria de función, y sustituir en
dicha expresión los parámetros por los siguientes valores
C = 60.000 × 12,I = approx(0.06),M = 1,N = 1,P = 360) Respuesta d)
(20) Presione las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) /
[5] / [,] / para llamar la función registrada en f5 en la Memoria de función, y sustituir en
dicha expresión los parámetros por los siguientes valores
C = 60.000 × 12,I = approx(0.06),M = 1,N = 1) Respuesta e)
(21) En el mismo menú CAS sustituye en la fórmula f1 los parámetros C, I, M, N, y P por
sus respectivos valores 720.000, 0,06, 1, 1 y X, y asigne al resultado obtenido la
variable Y1. Ingrese en el menú GRPH-TBL, seleccione la función Y1, y con la ayuda
del comando RANG determine el dominio y el rango de la función Y1 cuyos resultados
permiten parametrizar la pantalla de visualización a través del menú V-Window, y
luego grafique la función Y1 a través del comando DRAW tal cual lo ilustra la Figura 1.
Figura 1
(22) Observe a través la gráfica que es a partir de los valores superiores a 12 que se
puede considerar el concepto de rentas constantes continuas, es decir donde la
frecuencia de fraccionamiento P (X) crece infinitamente positivo.
Se observa a través de los resultados anteriores que a medidas que el número de depósitos p crece, el valor futuro
acumulado al final del año crece con tasa decreciente (Figura 1); es decir, que al aumentar la frecuencia de los
depósitos de mensuales a quincenales se genera una mayor cantidad de intereses y por lo tanto el valor futuro
acumulado aumenta; al aumentar los depósitos de quincenales a semanales se genera una mayor cantidad de
intereses pero menor que cuando se pasa de mensuales a quincenales; al aumentar los depósitos de semanales a
diarios se genera una mayor cantidad de intereses pero menor que cuando se pasa de quincenales a semanales; y así
sucesivamente. Si se sigue de esta forma, se llega pronto a períodos infinitesimales de tiempo, y el valor futuro
acumulado está acotado.
Se pueden encontrar las mismas respuestas a las preguntas a), b), c) y d) mediante el uso del comando CMPD del
menú financiero TVM.
Para el uso de las fórmulas (5) y (6) es importante fijar primero la unidad de tiempo de referencia. En nuestro caso
se seleccionó como unidad de tiempo de referencia el año, es decir que:
C = 720.000 Bs.F./año , I = 0,06 anual , M = 1 (frecuencia de capitalización por año), N = 1 (la duración de la operación
en año).
De la misma manera se puede elegir como unidad de tiempo de referencia el mes, y entonces se tiene que:
C = 60.000 Bs.F./mes , I = 0,06 / 12 mensual , M = 1/ 12 (frecuencia de capitalización por mes), N = 12 (la duración de
la operación en meses).
Se presentan a continuación la simbolización matemática de los dos casos anteriores según se elija el año como
tiempo de referencia o el mes, cuyos resultados finales son iguales:
1×1


0, 06 
 1 +
 − 1
1 
 

720.000 ×
= 60.000 ×
0, 06 

1 × ln  1 +

1 

7
1/ 12×12


0, 06 / 12 
 1 +
− 1

1/ 12 
 

0,06 / 12 

1/ 12 × ln  1 +

1/ 12 

La cuenta de ahorros del señor Avivato
2.
La cuenta de ahorros del señor Avivato en el Banco Yositepresto Sin Rollo asciende a 9.800,00
Bs.F. el 1º de enero del año 2008. El Banco le paga una tasa de interés porcentual, compuesto discreto,
vencido, nominal del 5% anual con capitalización mensual.
a) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada año empezando el 1º de enero
de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
b) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada semestre empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
c) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada cuatrimestre empezando el 1º
de enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
d) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada trimestre empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
e) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada bimestre empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
f) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada mes empezando el 1º de enero
de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
g) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada quincena empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
h) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada semana empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
i) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada día empezando el 1º de enero de
2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
j) ¿Cuál es la cantidad anual que debe retirar continuamente el señor Avivato empezando el 1º de enero de
2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años a través del concepto de renta
constante continua en el sistema financiero compuesto discreto?
¿El resultado obtenido en la pregunta j) es mayor o menor al resultado obtenido en la pregunta a)?
8