¿Cómo calcular rentas constantes continuas en el sistema financiero compuesto continuo?
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¿Cómo calcular rentas constantes continuas en
el sistema financiero compuesto continuo?
Prof. Jean-Pierre Marcaillou
INTRODUCCIÓN:
El menú CAS (Cálculo Algebraico Simbólico) de la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS permite el cálculo de
los parámetros de rentas constantes continuas en el sistema financiero compuesto continuo.
CONCEPTOS Y FÓRMULAS
Renta constante: Se llama renta constante Rc al siguiente conjunto de capitales financieros:
Rc = {(t1,PMT),(t 2 ,PMT),(t 3 ,PMT),...,(tn ,PMT)} donde t i ≠ t j si i ≠ j con i, j = 1, 2,3,...,n y PMT representa el
término constante de la renta.
Renta discreta: Se llama renta discreta Rdisc a todo conjunto de capitales financieros separados entre sí por períodos
de amplitud finita de tiempo.
Renta continua: Se llama renta continua Rcont a todo conjunto de capitales financieros separados entre sí por períodos infinitesimales de tiempo. Este tipo de rentas pueden entenderse como rentas fraccionadas donde el
fraccionamiento p tiende a ser infinito dentro de cada período.
En la práctica se pueden considerar rentas continuas aquellas cuya frecuencia de fraccionamiento del término sea
superior a 12: rentas quincenales, semanales, diarias, etc.
Renta cierta: Se denomina así cuando sus fechas son conocidas de antemano.
Renta contingente: Se denomina así cuando la fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan
de antemano.
Renta simple: Se denomina así cuando el período de los pagos coincide con el período de capitalización.
Renta general: Se denomina así cuando no hay coincidencia entre el período de los pagos y el período de
capitalización.
Renta temporal: Se denomina así cuando el número de elementos de la renta es finito.
Renta perpetua: Se denomina así cuando el número de elementos de la renta es infinito.
Renta vencida: Se denomina así cuando los pagos se realizan al final de cada período.
Renta adelantada: Se denomina así cuando los pagos se realizan al comienzo de cada período.
Renta inmediata: Se denomina así cuando el primer elemento de la renta ocurre una unidad de tiempo temporal
inmediatamente después del tiempo de valoración.
Renta diferida: Se denomina así cuando el primer elemento de la renta ocurre en un momento mayor a una unidad de
tiempo temporal después del tiempo de valoración. En consecuencia se dice que la renta es diferida de d unidades
temporales (período de gracia) cuando el primer término de la renta ocurre en el momento d + 1.
Tasa de interés compuesto discreto icmpd: Es la tasa de interés que, al final de cada período, se aplica tanto al
capital anterior como a los intereses devengados en ese período; lo cual significa que los intereses devengados al final
de un período se convierten en capital para producir nuevos intereses en el período siguiente.
Tasa de interés compuesto continuo icmpc: Es la tasa de interés cuyo período de capitalización es lo más pequeño
posible, es decir que la frecuencia de capitalización crece indefinidamente. Por ejemplo, cuando se habla de una tasa
de interés del 20% anual con capitalización continua, se entiende que cada segundo, décimo de segundo,
centésimo de segundo y así sucesivamente, después de un tiempo tan pequeño como sea, estoy ganando intereses.
n: Número de años durante los cuales dura la operación financiera.
np: Número total de términos de la renta durante el tiempo que dure la operación financiera.
ven
I%nom
: Tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, nominal anual que se capitaliza m veces por año.
1
Valoración de una renta:
1. En la fecha de inicio: estará representada por una cantidad única, que pagada en esa época, formará la misma
renta que la de sus términos cancelados en cada uno de los períodos de dicha renta.
2. En la fecha final: estará representada por una cantidad única, que será la suma de los términos de la renta con
sus respectivos intereses generados a lo largo del tiempo.
Primero se analiza el caso de una renta constante discreta de p depósitos por año, general, cierta, temporal,
vencida e inmediata, a una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, nominal del I% anual con m
capitalizaciones en el año.
Si al final de cada período de plazo 1/p año, se deposita una cantidad constante de PMT/p Bs.F. (es decir que el
depósito anual de PMT Bs.F. se fracciona en p depósitos iguales de PMT/p Bs.F. que ocurren en períodos de plazo de
1/p año), en una cuenta que paga una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, nominal del I% anual
con m capitalizaciones en el año, ¿cuánto se tiene en la cuenta al final del año n si no se efectúa ningún aporte ni
retiro adicional durante todo ese tiempo?
PV
FVn
1
1/p
2
2/p
3
… p–2
p–1
p
… (n–1)p+1 (n–1)p+2 (n–1)p+3 …np–2
np–1
np
3/p ... 1–2/p
1–1/p
1
… n–1+1/p n–1+2/p n–1+3/p … n–2/p
n–1/p
n
depósitos
años
0
PMT
p
p = número de depósitos por año m = número de capitalizaciones por año
i = tasa de interés nominal anual con m capitalizaciones por año
A continuación se muestran los cuatro casos más comunes de rentas discretas constantes, generales, ciertas,
temporales, vencidas y adelantadas e inmediatas, con sus respectivas fórmulas para los cálculos de los valores
futuros y valores presentes en el sistema financiero compuesto discreto.
Valor futuro acumulado al final del año n de una renta
constante discreta de PMT Bs.F. por año, pagadera p
veces por año durante n años (se deposita la cantidad
de PMT/p Bs. F. al final de cada período de plazo 1/p
año) general, cierta, temporal, vencida e inmediata, a
una tasa de interés porcentual, compuesto discreto,
vencido, nominal del I% anual que se capitaliza m
veces por año.
mn
i
t
1+
−1
n− m
PMT
i p
PMT
m
1
+
=
×
m
p
m
p
i p
t =1
1 + − 1
m
t =np
FVn =
Valor presente acumulado en el momento 0 de una
renta constante discreta de PMT Bs.F. por año,
pagadera p veces por año durante n años (se deposita
la cantidad de PMT/p Bs. F. al final de cada período de
plazo 1/p año) general, cierta, temporal, vencida e
inmediata, a una tasa de interés porcentual, compuesto
discreto, vencido, nominal del I% anual que se
capitaliza m veces por año.
∑
−mn
i
1 − 1 +
PMT
1
PMT
m
=
×
tm
m
p
p
i p
i p
t =1
1+
1 + − 1
m
m
(1)
t =np
PV =
Valor futuro acumulado al final del año n de una renta
constante discreta de PMT Bs.F por año, pagadera p
veces por año durante n años (se deposita la cantidad
de PMT/p Bs.F. al comienzo de cada período de plazo
1/p año) general, cierta, temporal, vencida e
inmediata, a una tasa de interés porcentual, compuesto
discreto, vencido, nominal del I% anual que se
capitaliza m veces por año.
∑
(2)
mn
i
t-1
m
1+
−1
n− m
PMT
i
i p
m
p = PMT ×
1
+
1
+
m
p
m
p
m
i p
t =1
1 + − 1
m
t =np
FVn =
2
∑
(3)
Valor presente acumulado en el momento 0 de una
renta constante discreta de PMT Bs.F por año,
pagadera p veces por año durante n años (se deposita
la cantidad de PMT/p Bs.F. al comienzo de cada
período de plazo 1/p año) general, cierta, temporal,
vencida e inmediata, a una tasa de interés porcentual,
compuesto discreto, vencido, nominal del I% anual que
se capitaliza m veces por año.
−mn
i
m
1 − 1 +
PMT
1
PMT
i p
m
=
×
1
+
(t −1)m
m
p
p
m
i p
i p
t =1
1 +
1 + − 1
m
m
t =np
PV =
∑
(4)
Suponga ahora que los depósitos se efectúan en forma continua a lo largo del año, entonces p crece infinitamente
positivo, es decir p → +∞ , y en consecuencia existe un flujo constante anual continuo de depósitos, y suponga
además que la frecuencia de capitalización m crece también infinitamente positivo, es decir m → +∞ , y en
consecuencia existe capitalización continua, y por lo tanto se tiene una renta constante anual continua en el
sistema financiero compuesto continuo.
Se tiene los siguientes cálculos de límites:
m
i p
lim p 1 + − 1
m
p→∞
in
m
m
i p
i
m
nm
1 + m − 1
i
i p
i
1
= m ln 1 + y lim 1 + = 1 y lim 1 +
= lim
= lim 1 + = ein
m
1
m
m p→∞
m
m
p →∞
m→∞
→∞
i
p
i
y en consecuencia, la fórmulas de los valores futuro y presente de una renta constante anual continua, a una tasa
de interés porcentual, compuesto continuo, nominal del I% anual son:
t =np
t
n− m
PMT
i p
FVn = lim lim
1+
p
m
m→∞ p→∞
t =1
∑
mn
i
− 1
1+
m
= lim PMT ×
i
m→∞
m × ln 1 +
m
mn
mn
i
i
− 1
− 1
1 +
1+
PMT
m
m
= lim lim PMT ×
= lim lim
×
m
m
m→∞ p →∞ p
m→∞ p →∞
i p
i p
1
+
1
1
+
−
1
−
m
m
1
p
m in
i
1
1
+
−
1
m
i
ein − 1
= lim PMT ×
= PMT
(5 )
i
i
m→∞
ln 1 +
m
i×
i
m
3
− mn
i
t =np
1
−
1
+
PMT
1
PMT
m
PV = lim lim
= = lim lim
×
tm
m
p
m→∞ p→∞
m→∞ p→∞ p
i p
i p
t =1
1+
1+ − 1
m
m
∑
− mn
i
1− 1+
m
= lim PMT ×
i
m→∞
m × ln 1 +
m
− mn
i
1− 1+
m
= lim lim PMT ×
m
m→∞ p →∞
i p
+
−
1
1
m
1
p
m −in
i
1
1 − 1 +
m
i
1 − e− in
= lim PMT ×
= PMT
i
i
m→∞
ln 1 +
m
i×
i
m
(6 )
las cuales son válidas tanto para depósitos vencidos como adelantados en vista de que como el tiempo entre
período es infinitesimal no hay diferencia entre inicio y final del mismo, cuya ilustración gráfica se presenta a
continuación:
PV
FVn
0
n
años
PMT
PMT = cantidad anual constante, distribuida continuamente durante n años
i = tasa de interés, compuesto continuo, nominal anual
Se puede utilizar también la siguiente ecuación de valor estándar valorada en el momento 0, la cual resume las
fórmulas (5) y (6):
PV + PMT ×
ein − 1 1
FV
×
= 0 (7)
+
in
i
e
ein
respetando la convención de signos (ingreso (+); egresos (–)). Se muestra ahora como resolver dicho problema a
través del uso del cálculo integral, cuyos cálculos son más sencillos a desarrollar.
4
Se tiene que
t =np
FVn =
∑
t =1
PMT
i
1 +
p
m
t
n− m
p
∆
{t
1
T =t / p
=
∆t =p∆T
T =n
∑
T =1/ p
PMT
i (
+
1
p
m
n− T ) m
n
p∆T ≈
∫
PMT × e j (n−T) dT
0
i
donde j = m × ln 1 + representa la tasa de interés anual compuesto continuo equivalente.
m
Luego se tiene por lo tanto que:
n
FVn ≈
∫
n
PMT × e j (n−T) dT = PMT
0
∫
n
e jn − 1
1
1 1
e j (n−T) dT = PMT − e j (n−T) = PMT − + e jn = PMT
j
0
j j
j
0
n
y PV ≈
∫
n
PMT × e − jT dT = PMT
0
∫
1
e− jT dT = PMT − e − jT
j
n
= PMT
0
1 − e− jn
j
0
OPERACIÓN CON LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
El menú CAS calcula los parámetros de una renta constante continua en el sistema financiero compuesto
continuo, mediante el uso de los comandos 4: ∑ (sumatoria) y 3: lim (límite) del submenú desplegable CALC e ∞
(infinito) del menú de opciones OPTN.l
El procedimiento para la calculadora es el siguiente:
t =np
(1) FVn:
∑
t
n− m
PMT
i p
1 +
p
m
fórmula
⇒
calculadora
t =1
144444
42444444
3
PMT = C;p = P;i = I;m = M;n = N;t = T
∑(
t =np
(2) PV:
∑
1
tm
i p
t =1
1+
m
14444244443
PMT = C;p = P;i = I;m = M;n = N;t = T
t =np
(3) FVn:
PMT
p
∑
t −1
n−
m
PMT
i
p
1
+
p m
fórmula
⇒
calculadora
fórmula
⇒
calculadora
t =1
1444444
24444443
PMT = C;p = P;i = I;m = M;n = N;t = T
(4) PV:
t =np
∑
fórmula
1
⇒
(t −1)m
calculadora
i p
t =1
1+
m
144444244444
3
PMT = C;p = P;i = I;m = M;n = N;t = T
PMT
p
∑(
∑
MN
I
1+
−1
C
M
almacena en
C / P × (1 + I / M) ^ ((N − T / P ) M),T,1,NP = ×
→ f1
M
memoria función
P
I P
1 + − 1
M
∑
)
−MN
I
1 − 1 +
C
almacena en
→ f2
(C / P / (1 + I/ M) ^ (TM / P),T,1,NP)) = P × MM
memoria función
I P
1 + − 1
M
MN
I
M
1+
−1
C M
I P
almacena en
C / P × (1 + I / M) ^ ((N − (T − 1) / P )M),T,1,NP = ×
1
+
→ f3
M
memoria función
P
M
I P
1 + − 1
M
)
C
(C / P / (1 + I/ M) ^ ((T − 1)M / P),T,1,NP)) = P ×
5
−MN
I
M
1 − 1 +
I P
M
almacena en
1
+
→f4
M
memoria función
M
I P
1 + − 1
M
(5) FVn:
(6) PV:
t =np
t
n
−
m
PMT
i p fórmula
eIN − 1
almacena en
lim lim
1+
lim (lim(fn1,P, ∞ ) ,M, ∞ ) = lim (lim(fn3,P, ∞ ) ,M, ∞ ) = C ×
⇒
→ f5
memoria función
p
m
I
m→∞ p→∞
calculadora
t
=
1
144444244444
3
f1
∑
t =np
fórmula
PMT
1
1 − e−IN
almacena en
lim lim
⇒
lim (lim(fn2,P, ∞ ) ,M, ∞ ) = lim (lim(fn4,P, ∞ ) ,M, ∞ ) = C ×
→ f6
tm calculadora
memoria función
p
I
m→∞ p→∞
i
p
t =1
1+
m 3
1444424444
f2
∑
La empresa Desbarajuste
1.
La empresa Desbarajuste comercializa un producto de gran difusión y estima que la cantidad
vendida cada día es de 2.000 unidades desde el 1 de enero hasta el final del año 2007. El beneficio
realizado, de 1 Bs.F. sobre cada unidad, se deposita en la cuenta de ahorros del Banco Yositepago Sin
Rollo.
a) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan al final de cada mes y la cuenta paga una tasa de interés porcentual, compuesto
discreto, vencido, nominal del 6% anual con capitalización mensual?
b) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan al final de cada quincena y la cuenta paga una tasa de interés porcentual,
compuesto discreto, vencido, nominal del 6% anual con capitalización quincenal?
c) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan al final de cada semana y la cuenta paga una tasa de interés porcentual, compuesto
discreto, vencido, nominal del 6% anual con capitalización semanal?
d) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan al final de cada día y la cuenta paga una tasa de interés porcentual, compuesto
discreto, vencido, nominal del 6% anual con capitalización diario?
e) ¿Cuál es la cantidad que tendrá acumulado la compañía Desbarajuste al final del año 2007, si los
depósitos se realizan de forma continua y la cuenta paga una tasa de interés porcentual, nominal del 6%
anual con capitalización continua?
/ON
(1) Presione las teclas [AC ] / [MENU], seleccione el icono CAS a través la tecla elíptica
[REPLAY] y presione la tecla [EXE] para abrir el menú de Cálculo Algebraico
Simbólico.
(2) Presione las teclas [F6] ( > ) / [F1] (CLR) / [2] (VarAll) / [EXE] / [F1] (CLR) / [3]
(ALLEQU) / [EXE] (Sí) para borrar todas las variables, fórmulas y ecuaciones
registradas.
(3) Presione las teclas [CTRL] / [F3] (SET UP) / ▼ / ▼ / [F1] (Fix) / [2] / [EXE] para fijar la
presentación de los resultados con dos cifras decimales.
(4) Presione las teclas [ESC] / [ESC] para regresar a la pantalla original y presione las
teclas respectivas para introducir en el área de ingreso la siguiente fórmula (1):
t =NP
∑
T
N− M
C
I P
1
+
P M
y presione seguidamente la tecla [EXE].
t =1
6
(5) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [1] / [EXE] para
registrar la fórmula (1) en f1 en la Memoria de función.
(6) Presione las teclas [ESC] / [ESC] para regresar a la pantalla del menú CAS y presione
las teclas respectivas para introducir en el área de ingreso la siguiente fórmula (2):
t =NP
∑
C
×
P
t =1
1
TM
I P
1+
M
y presione seguidamente la tecla [EXE].
(7) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [2] / [EXE] para
registrar la fórmula (2) en f2 en la Memoria de función.
(8) Presione las teclas [ESC] / [ESC] para regresar a la pantalla del menú CAS y presione
las teclas respectivas para introducir en el área de ingreso la siguiente fórmula (3):
t =NP
∑
T-1
N−
M
C
I
P
1 +
P M
y presione seguidamente la tecla [EXE].
t =1
(9) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [3] / [EXE] para
registrar la fórmula (3) en f3 en la Memoria de función.
(10) Presione las teclas [ESC] / [ESC] para regresar a la pantalla del menú CAS y presione
las teclas respectivas para introducir en el área de ingreso la siguiente fórmula (4):
t =NP
∑
t =1
C
×
P
1
(T −1)M
I P
1+
M
y presione seguidamente la tecla [EXE].
(11) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [4] / [EXE] para
registrar la fórmula (4) en f4 en la Memoria de función.
(12) Presione las teclas [ESC] / [ESC] / [F2] (CALC) / [3] (lim) / [F2] (CALC) / [3] (lim) /
[OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) / [1] / [,] / [ALPHA] / [4] (P) / [,] / [F6] ( > ) / [F4]
(∞) / [)] / [,] / [ALPHA] / [7] (M) / [,] / [F4] (∞) / [)] / [EXE] con la finalidad de obtener la
fórmula (5).
(13) Presione las teclas [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [5] / [EXE] para registrar la
fórmula (5) en f5 en la Memoria de función.
7
(14) Presione las teclas [ESC] / [ESC] / [F2] (CALC) / [3] (lim) / [F2] (CALC) / [3] (lim) /
[OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) / [2] / [,] / [ALPHA] / [4] (P) / [,] / [F6] ( > ) / [F4]
(∞) / [)] / [,] / [ALPHA] / [7] (M) / [,] / [F4] (∞) / [)] / [EXE] con la finalidad de obtener la
fórmula (6).
(15) Presione las teclas [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [1] (Store) / [6] / [EXE] para registrar la
fórmula (6) en f6 en la Memoria de función.
(16) Presione las teclas [ESC] / [ESC] / [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4]
(FMEM) / [3] (fn) / [1] / [,] / para regresar a la pantalla anterior del menú CAS, llamar la
función registrada en f1 en la Memoria de función, y sustituir en dicha expresión los
parámetros por los siguientes valores
C = 2.000 × 360,I = approx(0.06),M = 12,N = 1,P = 12)
y presione la tecla [EXE] para obtener la Respuesta a)
(17) Presione las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) /
[1] / [,] / para llamar la función registrada en f1 en la Memoria de función, y sustituir en
dicha expresión los parámetros por los siguientes valores
C = 2.000 × 360,I = approx(0.06),M = 24,N = 1,P = 24)
y presione la tecla [EXE] para obtener la Respuesta b)
(18) Presione las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) /
[1] / [,] / para llamar la función registrada en f1 en la Memoria de función, y sustituir en
dicha expresión los parámetros por los siguientes valores
C = 2.000 × 360,I = approx(0.06),M = 48,N = 1,P = 48)
y presione la tecla [EXE] para obtener la Respuesta c)
(19) Presione las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) /
[1] / [,] / para llamar la función registrada en f1 en la Memoria de función, y sustituir en
dicha expresión los parámetros por los siguientes valores
C = 2.000 × 360,I = approx(0.06),M = 360,N = 1,P = 360)
y presione la tecla [EXE] para obtener la Respuesta d)
(20) Presione las teclas [F1] (TRNS) / [9] (sbstit) / [OPTN] / [F6] ( > ) / [F4] (FMEM) / [3] (fn) /
[5] / [,] / para llamar la función registrada en f5 en la Memoria de función, y sustituir en
dicha expresión los parámetros por los siguientes valores
C = 2.000 × 360,I = approx(0.06))
y presione la tecla [EXE] para obtener la Respuesta e)
Se observa a través de los resultados anteriores que a medidas que el número de depósitos p por año crece así como
el número m de capitalizaciones por año, el valor futuro acumulado al final del año crece con tasa decreciente; es
decir, que al aumentar las frecuencias de los depósitos y de las capitalizaciones de mensuales a quincenales se
genera una mayor cantidad de intereses y por lo tanto el valor futuro acumulado aumenta; al aumentar las frecuencias
de los depósitos y de las capitalizaciones de quincenales a semanales se genera una mayor cantidad de intereses
pero menor que cuando se pasa de mensuales a quincenales; al aumentar las frecuencias de los depósitos y de las
capitalizaciones de semanales a diarios se genera una mayor cantidad de intereses pero menor que cuando se pasa
de de quincenales a semanales; y así sucesivamente. Si se sigue de esta forma, se llega pronto a períodos
infinitesimales de tiempo para depósitos y capitalizaciones, y el valor futuro acumulado está acotado.
8
La cuenta de ahorros del señor Avivato
2.
La cuenta de ahorros del señor Avivato en el Banco Yositepresto Sin Rollo asciende a 9.800,00
Bs.F. el 1º de enero del año 2008. El Banco le paga una tasa de interés porcentual, compuesto discreto,
vencido, nominal del 5% anual con capitalización mensual.
a) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada año empezando el 1º de enero
de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
b) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada semestre empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
c) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada cuatrimestre empezando el 1º
de enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
d) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada trimestre empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
e) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada bimestre empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
f) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada mes empezando el 1º de enero
de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
g) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada quincena empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
h) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada semana empezando el 1º de
enero de 2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
i) ¿Cuál es la cantidad que debe retirar el señor Avivato al principio de cada día empezando el 1º de enero de
2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años?
j) ¿Cuál es la cantidad anual que debe retirar continuamente el señor Avivato empezando el 1º de enero de
2008, de manera que su cuenta quede saldada al cabo de seis años a través del concepto de renta
constante continua en el sistema financiero compuesto continuo?
¿El resultado obtenido en la pregunta j) es mayor o menor al resultado obtenido en la pregunta a)?
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