¿Cómo calcular integrales definidas y “áreas bajo curvas” con la calculadora Casio fx – 9860G? (3692)

¿Cómo calcular integrales definidas y “áreas bajo
curvas” con la calculadora Casio fx – 9860G?
Cálculo II – Práctica 2
Prof. Robinson Arcos
OBJETIVOS:
Al culminar esta práctica el usuario estará en capacidad de realizar cálculos de Integrales definidas y resolver
algunos problemas que tienen en común el “cálculo del área bajo la curva” o lo que es lo mismo, el cálculo del área
de un trapecio curvilíneo con la calculadora CASIO fx – 9860G.
RESUMEN:
La integral definida
b
∫ a f (x) dx
de una función f continua en
un intervalo cerrado y acotado [a, b] tiene aplicaciones en una
amplia variedad de campos.
A menudo se presenta la integral definida
b
∫ a f (x) dx como el
problema de calcular el área de la región R limitada por una
función f positiva y continua en [a, b] , el eje OX y las rectas de
ecuaciones x = a y x = b . Esta región la denominaremos
trapecio curvilíneo y el problema de calcular su área se conoce
habitualmente como “cálculo del área bajo la curva” (Figura 1).
Sin embargo, el “cálculo del área bajo la curva” es más
general; si f cambia de signo en [a, b] , entonces el cálculo de la
integral definida nos arroja como resultado una suma algebraica
de áreas. Esto significa lo siguiente: a las regiones que se
encuentran por encima del eje OX, la integral les asigna valores
positivos y a las regiones que se encuentran por debajo del eje
OX, la integral les asigna valores negativas, de manera que al
calcular la integral definida en el intervalo [a, b] , obtenemos como
resultado una diferencia que puede ser positiva, negativa o nula.
En la Figura 2 se presenta la gráfica de una función f
continua que cambia de signo una vez en el intervalo [2, 5 ] .
Figura 1
En el intervalo [2, 4 ] podemos estimar visualmente que
4
∫2
f (x ) dx = A(R 1) ≈ 2,50 > 0
y en el intervalo [4, 5 ] se estima que
5
∫ 4 f (x) dx = − A(R 2 ) ≈ −0,95 < 0 .
Figura 2
En consecuencia,
5
4
∫ 2 f (x) dx = ∫ 2
f (x ) dx +
5
∫ 4 f (x) dx = A(R 1) − A(R 2 ) ≈ 1,55 .
En esta práctica nos dedicaremos al cálculo de integrales definidas y a la solución de algunos problemas que
tienen en común el “cálculo del área bajo la curva”, aunque deriven de contextos completamente distintos.
1
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
El estudiante debe estar familiarizado con las siguientes propiedades de la integral definida:
Para funciones f y g continuas y constantes reales a, b y c, se tiene:
•
Propiedad de linealidad:
b
b
b
∫ a (c1f (x) + c 2g(x))dx = c1 ∫ a f (x)dx + c 2 ∫ a g(x)dx donde c1 y c 2 son constantes reales.
•
Propiedad de no negatividad:
Si f (x ) ≥ 0 para cada x ∈ [a,b] , entonces
•
Propiedad de comparación:
Si f (x ) ≥ g(x ) para x ∈ [a,b] , entonces
•
b
b
∫ a f (x)dx ≥ ∫ a g(x)dx .
Propiedad aditividad respecto al intervalo de integración:
Si a < c < b, entonces
•
b
∫ a f (x)dx ≥ 0 .
c
b
b
∫ a f (x)dx + ∫ c f (x)dx = ∫ a f (x)dx .
Propiedad de invariancia frente a una traslación horizontal:
b+c
b
∫ a f (x)dx = c ∫ a + c f (x − c)dx .
•
Propiedad de dilatación o contracción del intervalo de integración:
Para cada c ≠ 0
•
∫a
f (x )dx =
∫a
f (x )dx = 0 ;
b
∫a
b
∫ b f (x)dx .
f (x ) dx .
Si m y M son números tales que m ≤ f (x ) ≤ M , entonces para cada x ∈ [a,b] se tiene:
m(b − a) ≤
•
a
Desigualdad triangular:
b
•
cb ⎛ x ⎞
∫ ca f ⎜⎝ c ⎟⎠dx .
f (x )dx = −
∫ a f (x)dx ≤ ∫ a
•
1
c
Casos particulares:
a
•
b
Existe c ∈ [a,b] tal que
y=
b
∫ a f (x)dx ≤ M(b − a) .
b
∫ a f (x)dx = f(c)(b − a) (Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral).
b
1
f (x )dx (valor promedio de una función en el intervalo [a, b]).
b−a a
∫
Teoremas fundamentales del cálculo integral:
Para una función f continua en el intervalo cerrado [a, b]:
•
Si F es cualquier primitiva de f en [a, b] entonces
•
Si la función G está definida por G(x ) =
x
∫ a f(t)dt
f en [a, b].
2
b
∫ a f (x) dx = F(b) − F(a) .
para cada x en [a, b], entonces G es una primitiva de
INTRODUCCIÓN:
Si F es una primitiva o antiderivada de f, esto es F′ = f , y si f es continua en [a, b] , entonces el Teorema
Fundamental del Cálculo Integral establece que
b
∫ a f (x) dx = F(b) − F(a) .
De manera que, para calcular la integral definida de f en [a, b] , basta conocer el valor de cualquier primitiva F
de f en los puntos frontera de [a, b] y realizar la diferencia F(b) − F(a) . Este problema de frontera, podemos
interpretarlo de la siguiente manera: si f es la derivada de F, entonces f (x ) representa la razón de cambio
instantánea de la cantidad y = f (x ) respecto a x. La integral definida
b
∫ a f (x) dx
representa entonces el cambio
total en F cuando x cambia entre a y b:
Cambio total en F entre a y b =
b
∫ a f (x) dx = F(b) − F(a)
La integral definida de una rapidez de cambio dará el cambio total.
Para comenzar a fijar ideas resolveremos la siguiente situación problemática:
1. Situación problemática:
Un auto parte al medio día y viaja a la velocidad V1
que se muestra en la Figura 3. Un segundo auto parte a la
1:00 p.m. del mismo lugar y viaja por la misma carretera
que el primero a una velocidad V2 que se incrementa a
una tasa de 10 km/h cada hora, la misma también esta
representada en la Figura 3.
a) ¿A qué distancia se encuentran los autos cuando
parte el segundo?
b) Durante el intervalo de tiempo en que el primer
auto está delante del segundo, ¿en qué instante la
distancia entre ellos es máxima?
c) ¿En qué instante alcanza el segundo auto al
primero?
Figura 3
Solución a la situación problemática planteada:
a) En el transcurso de la primera hora el primer auto
recorre la carretera a la velocidad V1(x ) en (km/h)
donde “x” representa el tiempo en horas medido
desde el mediodía, entonces se sabe que
Distancia recorrida en 1 h por el auto 1 =
1
∫0 V1(x) dx
dado que la integral de la velocidad es la distancia
recorrida. Esta integral, como ya sabemos, se
interpreta como el área bajo la gráfica de V1 en el
intervalo [0, 1] . Gráficamente podemos estimar el
valor de esta área en la Figura 4 (el área de cada
rectángulo de la gráfica, representa un cambio total
en la distancia recorrida de 10 km cuando x
cambia en una hora).
3
Figura 4
Esto es, el área de cada rectángulo representa una
distancia recorrida de
10km / h × 1 h = 10 km
De modo que la distancia entre los autos en el instante
en que parte el segundo auto es aproximadamente:
Distancia entre los autos =
1
∫0 V1(x) dx ≈ 24 km
b) El auto 1 comienza su recorrido antes que el auto 2, y
la distancia entre ellos aumenta mientras V1 > V2 y
disminuye cuando V1 < V2 . De la gráfica presentada en
la Figura 6 se deduce que la distancia entre los autos
es máxima en el instante en que V1 = V2 , esto es,
cuando x ≈ 4,6 h (abscisa del punto de corte entre las
gráficas). La distancia recorrida por el auto 1 es el área
bajo la gráfica de V1 entre x = 0 h y x = 4,6 h ; la
distancia recorrida por el auto 2 es el área bajo la
gráfica de V2 entre x = 1 h (instante cuando inicia su
recorrido) y x = 4,6 h . La distancia máxima entre los
autos es la diferencia entre la primera área y la
segunda, la cual está representada por el área de la
región sombreada en la Figura 6. Esta área es
aproximadamente 24 km + 153,6 km = 177,6 km.
Figura 5
c) El auto 1 alcanza al auto 2 cuando ambos han recorrido la misma distancia; esto ocurre
aproximadamente en el instante x ≈ 8,6 h cuando las dos áreas sombreadas correspondientes a
V1 > V2 y a V1 < V2 (por la izquierda y por la derecha de x = 4,6 h ) son iguales (Figura 7).
Figura 7
Figura 6
Si convenimos en que V2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 , podemos comparar en este problema la diferencia V1 − V2
con la función nula (el eje OX). En este caso tendremos que
4,6
∫0
(V1(x) − V2 (x)) dx ≡ 117,6 km es la distancia
máxima entre los dos autos (observe la Figura 5). Por otra parte, el segundo auto alcanza al primero cuando
8,6
∫0
(V1(x) − V2 (x)) dx ≡ 0 km .
por debajo del eje OX
Note que V1 − V2 < 0 para 4,6 < x ≤ 8,6 ; la gráfica de V1 − V2 se encuentra
y por lo tanto
8,6
∫4,6 (V1(x) − V2 (x)) dx ≡ −117,6 km . Esta última integral indica en
términos netos que la distancia entre los autos está disminuyendo y el cambio neto en la distancia entre los
autos entre x = 0 h y x ≈ 8,6 h es nulo.
4
¿Cómo calcular integrales definidas en la calculadora Casio fx – 9860G?
En esta práctica veremos como acceder al comando que permite calcular integrales definidas en los menús
RUN-MAT y GRAPH de la calculadora CASIO fx-9860G.
2. Observaciones: Antes de continuar, es importante señalar que el usuario debe realizar las actividades
propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción.
Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la mera transmisión de información, estás
,
,
o una barra gris
en el margen izquierdo de la página. El primer
se destacarán con los iconos
icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, anunciará al usuario que se
abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora para ejecutar las instrucciones que se
indican. El segundo icono le anunciará que se está planteando una situación problemática que será resuelta o
que está propuesta para que la desarrolle. El último le anunciará que debe reportar por escrito la respuesta a la
situación problemática formulada.
El menú RUN-MAT, en cualquiera de los modos [Math] y [Linear], dispone del comando de integración
∫ dx
para realizar el cálculo de una integral definida. Para ver cómo se accede a este comando y cuál es su sintaxis para
calcular una integral definida, resolveremos la siguiente situación problemática:
3. Situación problemática:
Calcule el valor de
1
∫0 2
x 2 x + 4 dx .
Solución a la situación problemática planteada:
Resolveremos la integral en el menú RUN-MAT en la configuración [Linear]:
4. Operación con la calculadora:
1.
Presione
2.
3.
Presione
. Seleccione el menú [Run-Mat]
y presione
.
Para configurar el menú [Run-Mat] en el modo [Linear], presione las
teclas
4.
para encender la calculadora.
para acceder al cuadro de diálogo.
En el cuadro de diálogo aparece el seleccionador ubicado en [Input Mode].
Presione
(Figura 8).
Figura 8
para configurar el menú [Run-Mat] en el modo [Linear]
5.
Presione
para seleccionar [Func Type]. Presione
para seleccionar el tipo de función y = f(x).
6.
En la tecla direccional elíptica presione
. El resaltador
Figura 9
se ubicará en [Display]. Presione
una o dos veces hasta elegir el
formato numérico en el modo [Norm1] (Figura 9).
7.
Presione
para salir del menú de configuración.
8.
Presione
para acceder al menú de opciones.
9.
Presione
para acceder al menú de cálculo [CALC].
5
Figura 10
10. Presione nuevamente
para acceder al comando
∫ dx (Figura 10).
5. Observación:
La sintaxis de este comando es la siguiente:
∫ dx (f(x), a, b, tol), donde:
•
f (x ) es el integrando.
•
a , es el límite inferior del intervalo de integración.
•
b , es el límite superior del intervalo de integración.
•
tol , es la tolerancia de precisión del cálculo de la integral.
11. Presione la siguiente secuencia de teclas para editar la función.
12. Presione la siguiente secuencia de teclas para editar los demás
parámetros que pide el comando:
• Se obtiene el valor:
1 x
2 x + 4 dx = 3,382252878 ≈ 3,38
∫0 2
Figura 11
Al ejecutar el comando en la configuración [Math] aparece una plantilla para la edición y cálculo de la integral:
13. Presione las teclas
configuración.
para acceder al cuadro de diálogo de
14. En el cuadro de diálogo aparece el seleccionador ubicado en [Input Mode].
Presione
para configurar el menú [Run-Mat] en el modo [Math]
(Figura 12). Presione
para salir del menú de configuración.
15. Presione
para borrar el historial de cálculo.
16. Presione
para acceder al menú matemático [MATH].
17. Presione
para acceder a la siguiente barra de herramientas.
18. Presione
para activar el comando
Figura 12
∫ dx .
• Aparece una plantilla para editar la integral definida (Figura 13).
19. Sin mover el cursor, presione la siguiente secuencia de teclas:
Figura 13
20. Presione la siguiente secuencia de teclas para editar los demás
parámetros:
• Se obtiene el valor:
1 x
2 x + 4 dx = 3,382252878 ≈ 3,38
∫0 2
Figura 14
En el Menú GRAPH podemos graficar el integrando y calcular la integral definida. Esto lo veremos en la sección
que sigue:
6
21. Presione
. Seleccione el menú [GRAPH]
y presione
.
• Aparece la ventana de edición de gráficos.
22. Si el cuadro de edición de gráficos tiene algunas fórmulas editadas, utilice
las teclas
para seleccionar cada una de las líneas de edición
ocupadas. En cada línea de edición ocupada, presione
para activar
Figura 15
el comando de borrado [DEL], luego presione
para confirmar que
desea borrar la fórmula. Repita este proceso hasta borrar todo.
• Al terminar su calculadora debe mostrar la pantalla de la Figura 15.
23. Ubique el seleccionador en la primera línea de edición. Presione
para ingresar el tipo de función. Presione
para indicar que se trata
de una función del tipo y = f(x).
24. Presione la siguiente secuencia de teclas para editar e ingresar la función:
25. Presione
Figura 16
para acceder a la Ventana de Visualización.
26. Presione
para configurar la ventana de visualización con los ajustes
estandarizados [STD] (Figura 17).
27. Presione
28. Presione
Figura 17
para salir de la ventana de visualización.
para activar el comando [DRAW] de trazado de la gráfica.
• Se obtiene el gráfico de la función f.
• Para obtener un acercamiento y visualizar la región que nos interesa,
siga la siguientes instrucciones:
29. Presione
para activar el menú [Zoom].
30. Presione
para activar el comando de recuadro [BOX].
Figura 18
. Este cursor puede
• Aparece el cursor en forma de crucecita
desplazarse por la pantalla presionando la tecla direccional elíptica. Las
coordenadas de posición del cursor se muestran en la parte inferior de la
pantalla.
31. Con la tecla direccional elíptica desplace el cursor aproximadamente al
punto (−1, 7) como se muestra en la Figura 18. Al terminar presione
para fijar la esquina superior izquierda del recuadro de visualización.
Figura 19
32. Desplace el cursor aproximadamente al punto (2, − 1) como se ve en la
Figura 19.
33. Presione
visualización.
para fijar la esquina inferior derecha del recuadro de
• Aparece la gráfica de f visualizada aproximadamente en el intervalo
[− 1, 2] . Si no obtiene la gráfica presentada en la Figura 20, presione
Figura 20
para devolver la pantalla a su estado original y
comience de nuevo.
34. Presione
35. Presione
para activar el menú solución de gráficos [G-SLV].
y luego
para activar el comando
∫ dx .
Figura 21
7
36. Presione
. En el cuadro de diálogo presione
límite inferior de integración. Presione
37. Presione
y luego
para insertar el
para confirmar
para insertar el límite superior del intervalo de
integración. Confirme con
.
• Aparece una pantalla mostrando la región de integración, los límites de
integración y valor de la integral (Figura 21).
Figura 22
38. Presione
para visualizar solamente la región (Figura 22).
6. Observaciones:
• En el modo de ingreso matemático [Math] el valor de tolerancia (tol) se fija en 1E–5 y no puede
cambiarse.
• El integrando f(x) debe ser siempre una función de x. Otras variables como A,…,Z y las variables r y θ
son tratadas como constantes y el valor actual que tengan asignado se aplica durante el cálculo.
• El ingreso de la tolerancia (tol) y el cierre del paréntesis puede omitirse. Si se omite (tol), la
calculadora automáticamente utiliza un valor fijado por omisión de 1E–5.
• Los cálculos de integración pueden tomar un tiempo largo para completarse.
Por otra parte, para calcular integrales definidas cuyo integrando contiene funciones trigonométricas,
deben configurarse los menús de trabajo en la unidad angular radián. Al entrar en el menú de configuración
SET UP, se selecciona la opción [angle] y se presiona la tecla de función elíptica correspondiente a [Rad].
7. Situación problemática:
En el menú RUN-MAT con la configuración [Math], encuentre el valor de cada una de las siguientes
integrales definidas:
2
4x 3
a)
∫ 0 (x 2 + 1)2
d)
∫ − 1 xe
1
dx
− x 2 dx
π/4
b)
∫0
sec x dx
e)
∫π/2
π
4 cos x
(sen x + 1) 2
dx
π/4
c)
∫0
f)
∫1
4 x −1
8. Reporte por escrito los valores encontrados de las integrales definidas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
8
sec 2 x dx
x
dx
¿Cómo resolver aplicaciones que involucren integrales definidas con la calculadora Casio fx – 9860G?
Dedicaremos esta sección a los problemas de aplicación que involucran integrales definidas y su
interpretación en diversos contextos.
9. Situación problemática:
Suponga que el agua puede fluir hacia dentro y
hacia fuera de un tanque de almacenamiento. La
razón de cambio instantánea del volumen del agua
en el tanque (que es la razón de entrada menos la
razón de salida del volumen del agua), viene dada
por la función f (x ) = 20(x 2 − 1) galones por minuto,
donde “x” representa el tiempo medido en minutos.
a) Para 0 ≤ x ≤ 3 , determine en que instantes el nivel del agua está creciendo y en qué instantes está
decreciendo.
b) Si el tanque tiene 200 galones de agua en el instante inicial x = 0 minutos, determine cuántos
galones de agua habrá en el tanque en el instante x = 3 minutos.
Solución a la situación problemática planteada en a):
Designemos por v el volumen (en galones) ocupado por el agua en el tanque en el instante “x”. Observe
que el nivel del agua decrece si v ′(x ) = f (x ) < 0 . Alternativamente, el nivel del agua crece si v ′(x ) = f (x ) > 0 .
Dado que f (x ) = 20(x 2 − 1) , por simple inspección tenemos que en el intervalo de tiempo 0 ≤ x ≤ 3 ,
f (x ) < 0 para 0 ≤ x < 1 y f (x ) > 0 para 1 < x ≤ 3 . En el primer minuto el nivel del agua decrece (el agua sale
del tanque), en los siguientes dos minutos el nivel del agua crece (el agua entra al taque).
Tracemos la gráfica de f en el intervalo [0, 3] y visualicemos esta situación:
10. Operación con la calculadora:
39. Presione
. Seleccione el menú [GRAPH]
40. Si aparece el gráfico anterior presione
gráficos.
41. En el editor de gráficos presione
fórmula que allí se encuentra.
y presione
para acceder al editor de
y luego
para borrar la
Figura 23
42. Edite ahora la expresión 20(x 2 − 1) y luego presione
43. Presione
visualización.
.
(Figura 23).
para acceder al cuadro de diálogo de la ventana de
• Configuraremos ahora la ventana de visualización
[− 1, 4] × [− 60, 180] . Para ello proceda como sigue:
al
recuadro
44. Con el cursor en Xmín: presione
para actualizar el valor
mínimo en el eje OX de la ventana de visualización.
9
Figura 24
45. Con el cursor en max: presione
para actualizar el valor máximo
en el eje OX de la ventana de visualización.
46. Presione
(Figura 24).
para fijar la escala en una unidad en el eje OX
47. Presione
para actualizar el valor mínimo en el
eje OY de la ventana de visualización.
Figura 25
48. Presione
para actualizar el valor máximo en el eje
OY de la ventana de visualización.
49. Presione
eje OY (Figura 25).
50. presione
visualización.
51. Presione
para fijar la escala en veinte unidades en el
para salir del cuadro de diálogo de la ventana de
Figura 26
para activar el comando de graficación [DRAW].
• Aparece la gráfica de f visualizada para −1 ≤ x ≤ 4 y para −60 ≤ y ≤ 180 .
Observe la escala de uno en uno en el eje OX y la escala de veinte en
veinte en el eje OY (Figura 26).
• Observe además que f cambia de signo en el intervalo [0, 3] como
habíamos previsto. Precisemos la abscisa del punto de corte de la gráfica
de f con el eje OX en el intervalo [0, 3] .
52. Presione
para activar el menú [G-Solv].
53. Presione
la función f.
para activar el comando [ROOT] y encontrar las raíces de
Figura 27
• Aparece el cursor de crucecita indicando la primera raíz x = −1 .
54. Presione
para acceder a la siguiente raíz.
Figura 28
• Aparece el cursor de crucecita indicando la segunda raíz x = 1 que
corresponde al intervalo de trabajo [0, 3]
De manera que hemos podido visualizar que en el intervalo de tiempo 0 ≤ x ≤ 3 , f (x ) < 0 para 0 ≤ x < 1 y
f (x ) > 0 para 1 < x ≤ 3 .
Solución a la situación problemática planteada en b):
El cambio total producido en el volumen del agua en el lapso de tiempo de tres minutos, viene dado por:
Cambio total del volumen = ΔV = v(3) − v(0) =
3
∫ 0 20(x
2
− 1) dx
Como v(0) = 200 galones , el volumen de agua en el tanque tres minutos después viene dado por:
v(3) = v(0) +
3
∫ 0 20(x
2 − 1) dx
Calculemos ahora v(3):
55. Presione
56. Presione
herramientas.
57. Presione
para activar el menú [G-Solv].
para acceder a la segunda parte de la barra de
para activar el comando
∫ dx .
Figura 29
10
58. Presione
y luego
59. Confirme con
para insertar el límite inferior de integración.
.
60. Presione
integración y confirmar.
• Aparece que
3
para insertar el límite superior del intervalo de
∫ 0 20(x
61. Presione
2
Figura 30
− 1) dx = 120 en la parte inferior de la pantalla.
para visualizar la región de integración (Figura 31).
Figura 31
En consecuencia, a los tres minutos el tanque contiene
v(3) = v(0) +
3
∫ 0 20(x
2
− 1) dx = 200 galones + 120 galones = 320 galones de agua.
11. Situación problemática:
El gerente de una compañía estima que la compra de
una pieza determinada de equipo resultará en un ahorro en
los costos de operación para la compañía. La tasa
instantánea de ahorro en el costo de operación es
f (x ) = 4000 x + 1000 dólares al año cuando el equipo ha
estado en uso durante x años con 0 ≤ x ≤ 10 .
a) ¿Cuál es el ahorro en los costos de operación en los
primeros cinco años?
b) Si el precio de compra es 36000 dólares, ¿cuántos
años de uso se requieren para que el equipo se
pague por sí solo?
Solución a la situación problemática planteada en a):
La cantidad de dólares que ahorra la compañía en costos de operación en los primeros 5 años es la
medida del área de la región bajo la gráfica de f (x ) = 4000 x + 1000 en el intervalo [0, 5 ] .
Sea A el ahorro en
A(5) − A(0) =
dólares durante x años con
0 ≤ x ≤ 10 . Entonces, el cambio neto
5
∫0 (4000x + 1000) dx , donde A(0) = 0 , nos da la cantidad de dólares que ahorra la compañía en
los primeros 5 años. Calculemos esta integral en el modo [Math] del menú RUN-MAT.
12. Operación con la calculadora:
62. Presione
. Seleccione el menú [RUN-MAT]
y presione
63. Presione
para salir a la pantalla principal del menú [RUN-MAT].
64. Presione
para borrar la pantalla.
11
.
65. Presione
para activar el submenú [MATH] y luego presione
para acceder a la segunda parte de la barra de herramientas.
66. Presione
para activar la plantilla de integración.
67. Edite la expresión 4000 x + 1000 y luego edite los límites de integración 0 y
5 y confirme con
.
Figura 32
• Aparece la cantidad de 55000 dólares, que representa el ahorro en
los primeros cinco años.
Solución a la situación problemática planteada en b):
Debido a que el precio de compra es 36000 dólares y el número de años de uso que se requieren para
que el equipo se pague por sí solo es x, tenemos que
x
∫0 (4000x + 1000) dx = 36000 ⇔ 2000x
2
+ 1000 x − 36000 = 0
Resolveremos esta ecuación en el intervalo 0 ≤ x ≤ 10 haciendo uso del comando [Solve].
68. Presione
para activar el menú de opciones y luego presione
para activar el menú de calculo [CALC].
69. Presione
de ecuaciones.
para activar el comando [Solve] de resolución numérica
70. Edite la expresión 2000 x 2 + 1000 x − 36000 .
71. Presione la siguiente secuencia de teclas:
Figura 33
• Aparece la raíz x = 4 . Así, se requieren 4 años de uso para que el
equipo se pague por sí solo.
13. Observaciones:
La sintaxis de este comando [Solve] es la siguiente: Solve(f(x), n, a, b), donde:
•
f (x ) es el primer miembro de la ecuación f(x) = 0.
•
n , es una aproximación inicial a la raíz.
•
a , es el límite inferior del intervalo donde se encuentra la raíz.
•
b , es el límite superior del intervalo donde se encuentra la raíz.
En nuestro caso, se tomó como aproximación n = 5 que es el punto medio del intervalo 0 ≤ x ≤ 10 .
14. Situación problemática:
Un cierto restaurante que atiende a personas de su vecindad se
encuentra abierto de 7 a.m. a 3 p.m. Cuando el restaurante ha estado
abierto durante x horas, la tasa de los ingresos totales en un día normal
es de f(x) dólares por hora, donde
⎧⎪ 330 − 30(x − 1) 2
f (x) = ⎨
⎪⎩ 420 − 90(x − 6) 2
si
0≤x≤4
si
4<x≤8
a) Trace la gráfica de f.
b) Interprete los ingresos totales diarios como el área bajo la gráfica
de f en el intervalo [0, 8] y calcule este número.
12
Solución a la situación problemática planteada en a):
La tasa de ingresos f es una función a trozos. Para trazar su gráfica en el menú [GRAPH] deben editarse cada
una de las funciones con su respectivo intervalo de definición.
15. Operación con la calculadora:
72. Presione
. Seleccione el menú [GRAPH]
73. En el editor de gráficos presione
fórmula que allí se encuentra.
y presione
y luego
.
para borrar la
74. En la primera línea de edición edite la expresión 330 − 30(x − 1) 2 .
75. Seguidamente presione la siguiente secuencia de teclas para editar el
intervalo de definición:
Figura 34
76. En la segunda línea de edición edite la expresión 420 − 90(x − 6) 2 .
77. Seguidamente presione la siguiente secuencia de teclas:
Figura 35
78. Presione
para trazar la gráfica de f.
79. Presione
para activar el submenú [Zoom], luego presione
para configurar la pantalla de visualización en el modo automático [AUTO].
• Aparece la gráfica de f exhibiendo los dos arcos de parábola. Para
obtener una mejor visualización establezcamos sus valores máximo y
mínimo:
80. Presione
y luego
para activar el comando [MAX].
Figura 36
• Aparece un cursor titilante en el primer arco de parábola el cual se indica
en la parte superior de la pantalla. El valor máximo se encuentra en el
segundo arco de parábola.
81. Presione
para calculara el valor máximo de f.
• En la parte superior de la pantalla tenemos la información de que el valor
máximo de f es y = 420 y se alcanza en x = 6 . Es claro que esta
función es positiva. De manera que podemos configurar la ventana de
visualización al rectángulo [− 1, 9] × [− 20, 440 ]
82. Presione
visualización.
Figura 37
para acceder al cuadro de diálogo de la ventana de
83. Configure los siguientes parámetros:
X min : −1 ; X max : 9 ; Xscale : 1
Y min : −20 ; Y max : 440 ; Yscale : 40
84. Presione
para trazar la gráfica de f.
• Se obtiene ahora una mejor representación de la gráfica de f.
Solución a la situación problemática planteada en b):
Determinaremos ahora los ingresos totales diarios del restaurante:
13
Figura 38
85. Presione
integración.
y luego
para activar el comando de
• Aparece el cursor titilante en el primer arco de parábola.
86. Presione
para confirmar.
87. Presione
• Obtenemos que
4
∫0 f (x)dx = 1040 .
88. Presione
de parábola.
.
para elegir el segundo arco
89. Presione
• Obtenemos que
Figura 39
.
.
8
∫4 f (x)dx = 1200 .
Figura 40
En consecuencia, los ingresos totales diarios vienen dados por:
ITD =
8
4
8
∫0 f (x)dx = ∫0 f (x)dx + ∫4 f (x)dx = 1040 + 1200 = 2240 dólares
16. Resuelva cada una de las siguientes situaciones problemáticas:
1. El valor actual (en dólares) de un flujo continuo de ingresos de $2000 al año durante 5 años al 6%
compuesto continuamente, está dado por
5
∫0 2000e
− 0.06 x dx
Calcule esta integral.
dr
1000
. Si r está en dólares, encuentre el
=
dx
100 x
cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de x = 400 a x = 900 unidades.
2. La función de ingreso marginal de un fabricante es
3. Si c 0 es el consumo anual de un mineral en el instante x = 0 , entonces bajo consumo continuo, la
cantidad de mineral usado en el intervalo de tiempo [0, x 1 ] es
x1
∫0
c 0 e kx dx
Donde k es la razón de consumo. Para un mineral de tierras raras se ha determinado que c 0 = 3000
unidades y k = 0.05 . Calcule la integral para x 1 = 10 .
4. Una socióloga está estudiando la tasa de crímenes en cierta ciudad. Ella estima que x meses después
del principio del próximo año, el número total de crímenes cometidos se incrementará a razón de
8x + 10 por mes. Determine el número total de crímenes que puede esperarse se cometan el próximo
año. ¿Cuántos crímenes puede esperarse se cometan durarte el último semestre del año?
5. Bajo ciertas condiciones, el número n de generaciones requeridas para cambiar la frecuencia de un
margen de 0.3 a 0.1 está dado por
n=−
1 0 .1
dx
2
0.4 0.3 x (1 − x )
∫
Encuentre n al entero más cercano.
14
6. Suponga que la velocidad de un paracaidista que cae está dada por V (x ) = 30(1 − e − x ) pies/s para los
primeros 5 segundos de salto. Calcule la distancia recorrida.
⎛ πx ⎞
7. Catalina conduce un auto con una rapidez f (x ) = 55 + 10 cos⎜
⎟ kilómetros por hora, y Miguel
⎝ 2 ⎠
conduce un auto con una rapidez g(x ) = 50 + 2x kilómetros por hora, a las x horas. Suponga que
Catalina y Miguel están en la misma posición en el instante x = 0. ¿En que instante alcanza Miguel a
Catalina?
8. Un comerciante recibe un embarque anual de 14400 adornos navideños el 23 de octubre. El modelo
es esencialmente el mismo cada año: En un período de 60 días, el inventario se desplaza lentamente
al inicio, pero cuando se aproxima el día de Navidad, la demanda crece de manera que “x” días
después del 23 de octubre, el inventario consta de “y” unidades, donde
y = 14400 − 4 x 2 ; 0 ≤ x ≤ 60
Si el costo diario de almacenamiento es de 0.02 centavos de Bs. F por unidad, calcule el costo total
de mantener de inventario 60 días.
¿Qué es el valor promedio de una función en un intervalo?
El valor promedio de una cantidad finita de números y1 , y 2 , … , yn viene dado por la fórmula:
yprom =
y1 + y 2 + L + y n 1
=
n
n
n
∑ yk
k =1
Sin embargo, si queremos calcular la temperatura promedio durante un día en una ciudad, no podemos
promediar una cantidad infinita de lecturas de temperatura que corresponden a un continuo de valores.
Para encontrar tal promedio, consideremos una función f definida y continua en un intervalo [a, b] .
Comencemos por discretizar el conjunto de valores que toma f en [a, b] y luego pasemos al límite: Tomemos una
partición regular del intervalo [a, b] en n subintervalos. Cada uno de estos subintervalos tendrá la longitud
Αx k =
b−a
. Seguidamente, elijamos los puntos x k* ∈ [x k − 1, x k ] para cada k = 1,2,3,L , n y calculemos el
n
promedio de los números f (x k* ) para k = 1,2,3,L , n ; esto es,
f (x 1* ) + f (x 2* ) + L f (x n* ) 1
=
n
n
Como
n
∑ f (xk* )
k =1
1 Αx k
=
el valor promedio que estamos calculando toma la forma:
n b−a
1
b−a
n
∑ f (xk* ) Αx k
k =1
Tomando límite cuando n → +∞ en esta suma se obtiene:
n
b
1
1
f (x k* ) Αx k =
f (x ) dx
b−a a
n → +∞ b − a
k =1
lím
∑
∫
Este número se llama el valor promedio de f en [a, b] . De manera que
fprom =
b
1
f (x ) dx
b−a a
∫
Por ser f continua en [a, b] , entonces existe al menos un número c en [a, b] tal que f (c) =
15
b
1
f (x ) dx .
b−a a
∫
Este resultado matemático se conoce como Teorema
del Valor medio del Cálculo Integral.
La interpretación geométrica del teorema es que para
funciones positivas f, podemos encontrar un número c tal
que el rectángulo con base en [a, b] y altura f(c) tiene la
misma área que la región debajo de la grafica de f en [a, b] .
Una interpretación física de este teorema es la
siguiente: si f(x) representa la rapidez de una partícula que
sigue un movimiento unidimensional en el instante x,
entonces la distancia recorrida por la partícula es igual al
tiempo empleado en el recorrido, multiplicado por la
velocidad en un determinado instante del recorrido.
Esto es,
Distancia recorrida =
b
∫a f(x)dx = (b − a)f (c)
Figura 41
17. Situación problemática:
En una cierta ciudad, la función
⎛ πx ⎞
T (x ) = 20 + 5 sen⎜
⎟
⎝ 12 ⎠
proporciona una aproximación de la temperatura (en ºC) x
horas después de las 9 a.m.
a) Encuentre la temperatura promedio durante el período
de las 9 a.m. hasta la 9 p.m.
b) Determine en qué instante se alcanza la temperatura
promedio.
Solución a la situación problemática planteada en a):
La temperatura promedio entre las 9 a.m. y las 9 p.m. viene dada por:
Tprom =
1 12 ⎛
⎛ πx ⎞ ⎞
⎜⎜ 20 + 5 sen⎜
⎟ ⎟⎟ dx
12 0 ⎝
⎝ 12 ⎠ ⎠
∫
Calculemos la integral en el menú RUN-MAT:
18. Operación con la calculadora:
90. Presione
. Seleccione el menú [RUN-MAT]
91. Presione
para salir a la pantalla principal del menú [RUN-MAT].
92. Presione
para borrar la pantalla.
93. Presione
y presione
.
.
Figura 42
16
94. Presione
para activar el comando de integración.
⎛ πx ⎞
95. Edite la expresión 20 + 5 sen⎜
⎟.
⎝ 12 ⎠
96. Presione
.
Figura 43
• Se obtiene el valor 23,18309886
La temperatura promedio durante el período de de las 9 a.m. hasta la 9 p.m. es aproximadamente:
Tprom ≈ 23,18 º C
Solución a la situación problemática planteada en b):
Para encontrar el instante en que se alcanza la temperatura promedio debemos resolver la ecuación:
⎛ πx ⎞
20 + 5 sen⎜
⎟ = 23,18309886
⎝ 12 ⎠
97. Presione
para activar el comando [Solve].
⎛ πx ⎞
98. Edite la expresión 20 + 5 sen⎜
⎟.
⎝ 12 ⎠
99. Presione
.
Figura 44
100. Presione
.
• Obtenemos el número 2,636014913.
101. Presione
.
• Se obtiene 38,16089478.
Figura 45
De acuerdo a estos resultados, la temperatura promedio se alcanza aproximadamente a las 11: 38 a.m.
19. Resuelva cada una de las siguientes situaciones problemáticas:
1. La temperatura de una varilla metálica, de 5 m de largo, es 4x (en ºC) a una distancia de x metros de
uno de los extremos de la misma. ¿Cuál es la temperatura promedio de la varilla?
2. La densidad lineal en una varilla de 8 m de largo es 12 / x + 1 kg/m, en donde x se mide en metros
desde una de los extremos de la varilla. Encuentre la densidad promedio de la misma.
3. Si fprom [a, b] denota el valor promedio de f en el intervalo [a, b] y a < c < b , establezca que el
siguiente promedio ponderado:
c−a
b−c
fprom [a, c ] +
fprom [c, b]
b−a
b−a
4. Un restaurante se encuentra abierto para el almuerzo y la cena desde las 11 a.m. hasta las 9 p.m. En
un sábado normal, cuando el restaurante ha estado abierto durante x horas, la tasa de ingresos
totales es de f(x) dólares por hora, donde
fprom [a, b] =
⎧⎪ 400 − 80(x − 2) 2 si 0 ≤ x ≤ 4
f (x ) = ⎨
⎪⎩620 − 60(x − 7) 2 si 4 < x ≤ 10
Calcule la tasa promedio de los ingresos totales del día sábado.
17
5. En los x meses del 1 de junio al 1 de noviembre, el precio de una lata de café de 500 g era de f(x)
bolívares fuertes, donde
f (x ) = 7.40 + 0.40x + 0.06x 2 ; 0 ≤ x ≤ 5
Determine el precio promedio para los 3 meses del 1 de julio al 1 de octubre.
6.
Demuestre que si f es continua en [a, b] , entonces se puede escoger apropiadamente un punto en el
intervalo tal que la aproximación por la suma de Riemann de
b
∫a f (x) dx
con n =1, se puede hacer que
resulte exacta.
7. En el estudio de una colonia de organismos unicelulares se obtuvo la siguiente función:
f (x ) =
0.2524
e − 2.128 x + 0.005125
; 0≤x≤5
Donde f(x) es el área estimada del crecimiento en centímetros cuadrados y x es la edad de la colonia
días después de la primera observación. Encuentre el área de crecimiento promedio y la edad de la
colonia al alcanzar esta área promedio.
8. Un nuevo agente de ventas encuentra que a medida que adquiere experiencia aumenta el número de
aparatos grandes que vende por mes. El primer mes vende sólo siete, pero cada mes vende dos más
que el mes anterior, de modo que el número que vende en el mes x es 2x+5.
a) Calcule el promedio aritmético de aparatos grandes que vende cada mes en el primer año.
b) Encuentre el promedio por integración como si la función de ventas se aplicara para todos los
valores de x (en lugar de sólo enteros).
c) Si la respuesta encontrada en a) es la verdadera y la respuesta por integración como una
aproximación, ¿por qué se usaría la respuesta integral en lugar de la verdadera?
BIBLIOGRAFÍA:
Haeussler E. Jr. (2003). Matemáticas para Administración y Economía. México. Pearson Educación de
México, S.A. de C.V.
Hughes D. Gleason A. (1995). Cálculo. México. Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V.
Leithold L. (1988). Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales. México. HARLA de
Venezuela C.A.
Smith R. Minton R. (2000). Cálculo. Tomo 1. Colombia. Mc Graw Hill.
Stewat J. (1998). Cálculo Diferencial e Integral. México. International Thomsom Editores.
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