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Modelo normal
ClassPad 330
Prof. Jean-Pierre Marcaillou
INTRODUCCIÓN
La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de la Aplicación Estadística y de la Aplicación Principal para realizar
los cálculos correspondientes al modelo normal. El material presentado a continuación reposa sobre el Capítulo 5.Modelación probabilística: parte I del libro “Probabilidad: Elementos para modelar situaciones con incertidumbre”
Edgar Elías Osuna (obra actualmente en prensa Ediciones IESA).
CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS
Experimento aleatorio  : Es un proceso que genera resultados bien definidos.
Espacio descriptivo S: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio  .
Evento: Cualquier subconjunto del espacio descriptivo S.
Variable aleatoria: Es una función X(a) que asigna un número real x(a) a cada elemento a de S; es decir, es una
función que toma valores en un espacio de probabilidades S. En general, las variables aleatorias se representan por
las últimas letras del alfabeto, en mayúsculas, mientras que las minúsculas se reservan para el valor que toma la
variable aleatoria.
Clasificación
 Variable aleatoria discreta: Es aquella cuando el conjunto de llegada es finito o infinito numerable.
 Variable aleatoria continua: Es aquella cuando el conjunto de llegada es infinito no numerable.
Recorrido RX: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la función X(a).
Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta:
 Función de masa de probabilidades: Sean x1, x2, x3,..., xn los valores que puede tomar la variable aleatoria
X. Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria X como p( xi )  P( X  xi ) (i  1,2,3,...,n) .
Propiedades:
1) 0  p(xi )  1
n
2)  p(xi )  1
i1
3) P(a  X  b ) 

i:a xi b
p( xi )
 Función de distribución acumulativa: F( x )  P( X  x )   p( xi )
i:xi  x
Propiedades:
1) 0  F( x )  1 para todo x.
2) F(x) es no decreciente
1
3) lim F( x )  1
x 
4) lim F( x )  0
x 
5) Si a  b, P(a  X  b)  F(b)  F(a)
Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta:
 Función de densidad de una variable aleatoria continua: Es una función f(x) tal que
a) f ( x )  0

b)  f ( x )dx  1

b
c) Para a  b, P(a  X  b )   f ( x )dx
a
x
 Función de distribución acumulativa: F( x )  P( X  x )   f ( x )dx

Propiedades:
1) dF( x ) / dx  f ( x )
2) F(x) es no decreciente
3) lim F( x )  1
x 
4) lim F( x )  0
x 
5) Si a  b, P(a  X  b)  F(b)  F(a)
Esperanza matemática E(X): La esperanza matemática de una variable aleatoria X se define como:
 Variable aleatoria discreta: E ( X ) 
 xi p( xi )
i

 Variable aleatoria continua: E ( X ) 
 xf ( x )dx

Propiedades de la esperanza matemática:
1) Si X  C , siendo C una constante, E( X )  C
2) Si C es una constante, E(CX )  CE( X )
3)
E H1( X )  H2 ( X )  ...  Hn ( X )  E H1( X )  E H2 ( X )  ...  E Hn ( X )
4) Para A y B constantes, E( AX  B)  AE( X )  B
5) Desigualdad de Jensen: Si H(X) es una función convexa y si E(X) existe, E H( X )  H E( X )
6) Interpretación geométrica: E ( X ) 

0
0

 1  F ( X ) dx   F ( X )dx
2
Varianza V(X): La varianza de una variable aleatoria X, se define como la esperanza matemática del cuadrado de su
desviación con respecto a la media, es decir, V ( X )  E
 Variable aleatoria discreta: V ( X ) 
 X  E( X )   E( X
2
2
)  E ( X )
2
  xi  E( X )2 p( xi )
i

 Variable aleatoria continua: V ( X ) 
  x  E( X ) f ( x )dx
2

Propiedades de la varianza:
1) Si X  C , siendo C una constante, V ( X )  0
2) Si C es una constante, V ( X  C )  V ( X )
3) Si C es una constante, V (CX )  C 2V ( X )
4) Para A y B constantes, V ( AX  B)  A2V ( X )
Desviación estándar  : La desviación estándar de una variable aleatoria X se define como la raíz cuadrada de su
varianza.
Desigualdad de Tchebyshev: Si X es una variable aleatoria con una distribución cualquiera cuya esperanza
matemática y varianza  y  son finitas, entonces:
P  X    h 
2
h2
(h  0)
Modelo normal: Una gran mayoría de las variables aleatorias continuas de la naturaleza siguen este modelo.
Distribución normal: Una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal de parámetros  y  2 , lo cual
se expresa en general como X ~ normal (  ;  2 ) o X~N( ;  2 ) , si su función de densidad es:
Función de densidad de una distribución normal:
f (x) 
1
 2
2
1  x  
 

e 2  

E( X )  

V( X )   2
para    x  
 

 
Su aspecto será siempre el de una campana simétrica alrededor de  , y por lo tanto P( X   )  P( X   )  0,50 ,
con dos puntos de inflexión en    y    . El punto más alto de la curva es la media, que también es la mediana y
la moda de la distribución. Cuanto menor sea  , mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada
alrededor de la media, y cuanto mayor sea “más aplastada” será.
3
  2
  3
  2
  3
Las distribuciones normales con la misma media se diferencian en la dispersión con respecto al valor central, y con la
misma varianza se diferencian en traslaciones
Función de distribución acumulativa de una distribución normal:
x
F ( x )  P( X  x ) 


1
2
2
1  x  
 

e 2    dx
F( x )  1  F( x )
Distribución normal (0;1) o normal estándar :
La variable aleatoria continua X tiene una distribución normal (0; 1), o normal estándar, lo cual expresaremos como X
~ normal ( 0; 1) , si su función de densidad es:
4
Función de densidad y de distribución acumulativa de una distribución normal estandarizada:
f( x) 
1
2
 x2
e 2
para   x  

E( X )  0

V( X )  1
En general cuando una variable aleatoria tiene esta distribución se le designa como Z. Aunque f ( z ) no es integrable,
la función de distribución acumulativa F( z ) , llamada generalmente ( z ) , puede obtenerse en tablas creadas para
este fin.
El advenimiento de la calculadora científica, graficadora y programable, sepulta de una vez el uso de dichas tablas, y
hace de manera más agradable los cálculos numéricos.
P( Z  1)
P( Z  1)
P( Z  1)
P(1  Z  2 )
Propiedad:
Toda función lineal de una variable aleatoria normal tiene también una distribución normal. Si X es una variable
aleatoria continua con distribución normal de parámetros (  ;  2 ) , entonces cualquier función lineal de X, Y  aX  b ,
tendrá también distribución normal, con parámetros (a  b; a2 2 ) .
5
Variable normal estandarizada: Z 
X 

Sea X una variable aleatoria continua con distribución normal de parámetros (  ;  2 ) . La variable aleatoria continua
Z
X 
, en ocasiones denominada variable estandarizada o normalizada, tendrá también una distribución normal

estándar, es decir Z ~ normal ( 0; 1) .
Cálculo de probabilidades cuando una variable aleatoria tiene una distribución normal:


X  x
x

x
P( X  x )  F( x )   f ( x )dx  P 

  P Z 
  
  ( z )
 
 

  
 

 Z

x
Teorema del límite central:
Sean X1, X2, X3,..., Xn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con cualquier distribución para
la cual existen E( X i )   y V( X i )   2 . Sea la suma Sn  X1  X2  X3  ...  Xn . Entonces:
 S  n

lim P  n
 z    ( z ) para   z   , donde  denota la función de distribución acumulativa de una normal
n    n

estándar. Si queremos una interpretación intuitiva del teorema, podríamos decir que, cuando n   , la distribución Sn
“tiende” a una normal de parámetros ( n  ; n 2 ) .
El promedio X  ( X1  X2  ...  Xn ) / n tendrá una distribución aproximadamente normal cuando n es “grande”, o
una distribución que “tiende” a normal cuando n   . Sus parámetros son  X  E( X )   ;  2  V( X ) 
X
función de densidad es f X ( x ) 
1
  

 2
 n
 x  


e  n 
2
n
y su
2
para   z  
Aplicaciones del modelo normal:
Se ajusta muy fácilmente a modelos de frecuencias observadas de muchos fenómenos, incluyendo características
humanas (pesos, alturas, inteligencia), resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos) y otras medidas
de interés para los administradores tanto en las ciencias sociales como naturales.
Ley del estadístico inconsciente:
Sea Y  H( X ) una función cualquiera de la variable aleatoria X; sea f ( x ) la función de densidad de X (o p( xi ) su
función de masa de probabilidades si X es discreta). La esperanza matemática de Y es:

  H ( x )f ( x )dx cuando x es continua


E (Y )  

 H ( xi )p( xi ) cuando x es discreta
 i
Lo cual significa que no se necesita encontrar la distribución de probabilidades de Y a fin de evaluar E(Y); es suficiente
conocer la distribución de X.
6
CALCULADORA: APLICACIÓN ESTADÍSTICA
1. ¿Cómo acceder a la Distribución normal?
(1)
Presione la tecla [ON/OFF] y toque
diferentes Aplicaciones.
del panel de iconos para mostrar las
(2) Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Estadística.
(3) Toque
y se activa la pantalla de la Aplicación Estadística donde aparecen:

Barra de menús:

Barra de herramientas:

Barra de estado:
(4) Toque en la barra de menús [Calc.] con la finalidad de ubicar el menú Distribución.
(5) Toque [Distribución], luego toque
en el panel de iconos y aparece la pantalla
inicial Tipo Distribución. Observe que la primera función que aparece es la función
de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X con distribución
normal.
7
(6) Toque el cuadro
para mostrar lo que hace dicho comando.
(7) Toque
y aparece el cursor I en el recuadro a la derecha de x para introducir el
valor del dato.
(8) Presione la tecla direccional [▼] para introducir en el recuadro la desviación estándar
.
(9) Presione la tecla direccional [▼] para introducir en el recuadro la media  .
8
(10) Toque
y aparece en la pantalla el resultado de f ( x ) 
1
1  x  
 

2  
e
2
que
 2
calcula la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua
X con distribución normal para un valor especificado x.
(11) Toque
/
, luego toque el botón flecha hacia abajo
DP Normal y se despliega la lista de todas las distribuciones.
justo al mismo
(12) Toque [DAC Normal] /
para calcular la probabilidad de que una variable
aleatoria continua X se encuentre en el intervalo de a hasta b.
Este comando calcula la probabilidad de que una variable aleatoria continua X
con distribución normal se encuentre en el intervalo de a hasta b.
b
b 
a   
P(a  X  b )   f ( x )dx   
  

  
  
a
(13) Toque
integración.
y aparece el cursor I en el recuadro para introducir el límite inferior de
(14) Presione la tecla direccional [▼] para introducir en el recuadro el límite superior de
integración.
(15) Presione la tecla direccional [▼] para introducir en el recuadro la desviación estándar
.
(16) Presione la tecla direccional [▼] para introducir en el recuadro la media  .
(17) Toque
y aparecen en la pantalla:
b
 En prob el resultado de P(a  X  b )   f ( x )dx que calcula la probabilidad de
a
que una variable aleatoria continua X con distribución normal se encuentre
en el intervalo de a hasta b,
 En Inferior z el valor z estandarizo del límite inferior, y
 En Superior z el valor estandarizado del límite superior.
9
(18) Toque
/
, luego toque el botón flecha hacia abajo
DAC Normal y se despliega la lista de todas las distribuciones.
justo al mismo
(19) Toque [DC Normal Inversa] /
para calcular el(los) valor(es) límite(s) de la
función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X con
distribución normal, tal cual se ilustra a continuación:
¿?
¿?


f ( x )dx  P( X   )  p ;

(20) Toque



f ( x )dx  P( X   )  p ;
 f ( x )dx  P(   X   )  p


¿?
¿?
y toque o centro (C) , o izquierda (L), o derecha (R) según el caso al
tocar el botón de flecha hacia abajo
como lo indica la figura
(21) Posicione el cursor en el siguiente recuadro para introducir el valor del área p.
(22) Presione la tecla direccional [▼] para introducir en el recuadro la desviación estándar
.
(23) Presione la tecla direccional [▼] para introducir en el recuadro la media  .
(24) Toque
, luego toque
en la barra de herramientas, y aparece en la pantalla, según la configuración
de la cola, hacia arriba la representación gráfica, y hacia abajo los cálculos correspondientes:
Cola: Izquierda
x1

f ( x )dx  Área

Cola : Centro
x2

Cola: Derecha

 f ( x )dx  Área
f ( x )dx  Área
x1
x1
Ejemplo 5.3.19:
Sea X una variable aleatoria con distribución normal (10;4). Determinemos:
a) P( X  13 )
b) ¿Para qué valore de x se cumple P( X  x )  0,75 ?
Solución analítica:
a) Restando 10 y dividiendo por
4 en ambos lados de la desigualdad, podemos escribir:
10
 X  10 13  10 
3

3 
P( X  13 )  P 

  P  Z        0,9332 .
2


2
4
4 

 x  10 
x  10
x  10
b) P( X  x )   
  1 (0,75 ) 
 0,6745  x  0,6745  4  10  x  11,3490
  0,75 
4 
4
4

Solución calculadora:
En este Primer Procedimiento se muestra el uso: – del comando Distribución Normal (DP Normal-DC Normal- DC
Normal Inversa) de la Aplicación Estadística para realizar cálculos de probabilidad y realizar representaciones
gráficas de las funciones de densidad de probabilidad y de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua
X con distribución normal.
PRIMER PROCEDIMIENTO: APLICACIÓN ESTADÍSTICA
(1)
Presione la tecla [ON/OFF] y toque
diferentes Aplicaciones.
del panel de iconos para mostrar las
(2) Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Estadística.
(3) Toque
y se activa la pantalla de la Aplicación Estadística.
(4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar
el área de trabajo de la Aplicación Estadística y aparece la pantalla inicial de dicha
Aplicación.
(5) Toque en la barra de menús [Cálc.] con la finalidad de ubicar el menú Distribución.
(6) Toque [Distribución], luego toque
inicial Tipo Distribución.
(7) Toque el botón de flecha hacia abajo
lista de todas las distribuciones.
en el panel de iconos y aparece la pantalla
justo al mismo DP Normal y se despliega la
(8) Toque [DAC Normal] para seleccionar la función de distribución acumulativa de una
variable aleatoria continua X con distribución normal.
(9) Toque
, presione la tecla
para introducir el límite inferior:  .
, y luego toque las teclas [–] / [  ] / [Ejec]
(10) Toque las teclas [1] / [3] / [Ejec] para introducir el límite superior: 13.
(11) Toque las teclas [
] / [4] / [)] / [Ejec] para introducir la desviación estándar: 4 .
(12) Toque las teclas [1] / [0] / [Ejec] para introducir la media:10.
11
(13) Toque
y aparecen en la pantalla de salida:
 En prob el resultado P( X  13 )  0,9331927 ; Resultado a)
 En Inferior z el valor z estandarizado del límite inferior;
 En Superior z el valor z estandarizado del límite superior.
(14) Toque
en la barra de herramientas para obtener la representación gráfica de la
función de densidad de la variable aleatoria continua estandarizada Z con distribución
3
3

normal   0; 2  1 cuya zona sombreada representa     P  Z   .
2
2


(15) Toque

/
/
y aparece la pantalla inicial Tipo Distribución.
(16) Toque el botón de flecha hacia abajo
lista de todas las distribuciones.
justo al mismo DAC Normal y se despliega la
(17) Toque [DC Normal Inversa] para seleccionar la función de distribución acumulativa
inversa de una variable aleatoria continua X con una distribución normal.
(18) Toque
, luego toque el botón de flecha hacia abajo
justo al mismo
configuración cola y se despliega la lista de las diferentes configuraciones.
(19) Toque Izquierda.
(20) Presione la tecla
, posicione el cursor en el siguiente recuadro y toque las
teclas [0] / [.] / [7] / [5] / [Ejec] con la finalidad de introducir en área: 0,75.
(21) Toque las teclas [
] / [4] / [)] / [Ejec] para introducir la desviación estándar: 4 .
(22) Toque las teclas [1] / [0] / [Ejec] para introducir la media: 10.
12
(23) Toque
y aparece en x1InvN el límite superior 11,348979. Resultado b)
(24) Toque
en la barra de herramientas para obtener la representación gráfica de la
función de densidad de la variable aleatoria continua X con distribución normal
  10; 2  4 y en parte sombreada la probabilidad acumulativa correspondiente
0,75.
En este Segundo Procedimiento se muestra el uso del teclado catálogo de la Aplicación Principal para utilizar los
siguientes comandos:
–
NormPD que calcula la función de densidad de probabilidad prob de una variable aleatoria continua X con
distribución normal para un valor específico x, cuya sintaxis es: NormPD valor x, valor  , valor  ;
–
NormCD que calcula la función de distribución acumulativa prob de una variable aleatoria continua X con
distribución normal para un valor específico x, cuya sintaxis es: NormCD límite inferior, límite superior, valor  ,
valor  ;
–
InvNorm o InvNormCD que calcula el(los) valor(es) límite(s) x1InvN, x2InvN de la función de densidad de
probabilidad de una variable aleatoria continua X con distribución normal para un porcentaje especificado, cuya
sintaxis es: InvNorm “L o C o R”, valor de área, valor  , valor  ; y las siguientes variables:
–
prob que recupera el cálculo de una determinada probabilidad;
–
x1InvN que recupera el límite inferior cuando la configuración de la cola es Derecha (R) o Centro (C) o el límite
superior cuando la configuración de la cola es Izquierda (L);
–
x2InvN que recupera el límite superior cuando la configuración de la cola es Centro (C).
SEGUNDO PROCEDIMIENTO: TECLADO CATÁLOGO DE LA APLICACIÓN PRINCIPAL
(1)
Presione la tecla [ON/OFF] y toque
diferentes Aplicaciones.
del panel de iconos para mostrar las
(2)
Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Principal.
(3)
Toque
y se activa la pantalla de la Aplicación Principal.
(4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar
el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha
Aplicación.
(5) Presione la tecla
de flecha hacia abajo
aparece.
, toque
y se activa el teclado catálogo, toque el botón
de Forma y luego toque Todo en la lista desplegable que
(6) Toque si es necesario el botón
sea visible.
de la esquina inferior derecha hasta que la tecla N
(7) Toque el botón de letra N, desplace la lista hasta ver el comando NormCD, toque
NormCD, y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición.
13
(8) Toque el teclado
, luego toque [–] / [  ] / [,] / [1] / [3] / [,] / [
[0] / [Ejec] con la finalidad de ejecutar dicho comando.
Sintaxis del comando NormCD
] / [4] / [)] / [,] / [1] /
valor inferior, valor superior, valor de , valor de 
(9) Toque el teclado
, toque el botón de letra P, desplace la lista hasta ver la variable
prob, y luego toque prob para introducirla en la ventana de edición.
(10) Toque [Ejec] y aparece el resultado bajo la forma de fracción.
(11) Toque
en la barra de herramientas y aparece el resultado bajo la forma decimal
0,9332. Respuesta: a)
(12) Toque el botón
de la esquina inferior izquierda, toque el botón de letra I, desplace
la lista hasta ver el comando InvNorm, toque InvNorm, y luego toque el botón [INTRO]
para introducirlo en la ventana de edición.
Sintaxis del comando InvNorm " configuración cola", valor de área, valor de , valor de 
(13) Toque el teclado
[.] / [7] / [5] / [,] / [
comando.
, toque
/
/
/
/ [L] /
/
/
/ [0] /
] / [4] / [)] / [,] / [1] / [0] / [Ejec] con la finalidad de ejecutar dicho
(14) Toque el teclado
, toque el botón
de la esquina inferior derecha, toque la
variable x1InvN, y luego toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de
edición.
(15) Toque [Ejec] y aparece el resultado bajo la forma de fracción.
(16) Toque
en la barra de herramientas y aparece el resultado bajo la forma decimal
11,3490. Respuesta: b)
Ejemplo 5.3.20
Dos proyectos de inversión, A y B, tienen valor presente neto (VPN) aleatorio. Sean X e Y el VPN en los proyectos A
y B, respectivamente, con distribuciones normales de parámetros (12.000; 64.000.000) y (10.000; 36.000.000),
respectivamente.
Suponga que usted desea escoger el proyecto con menor probabilidad de que el VPN sea negativo. ¿Cuál
seleccionaría?
Solución analítica:
 X  12.000
 X  12.000

0  12.000 

 1,5   ( 1,5 )  0,0668
A) P( X  0 )  P 
  P
64.000.000 
 64.000.000
 64.000.000

 X  10.000
 X  10.000

0  10.000 

 1,666   ( 1,666 )  0,0478
B) P( X  0 )  P 
  P
36.000.000 
 36.000.000
 36.000.000

.
En consecuencia usted debe seleccionar el proyecto B.
14
Solución calculadora:
En este Primer Procedimiento se muestra el uso del comando Distribución Normal (DP Normal-DAC Normal- DC
Normal Inversa) de la Aplicación Estadística.
PRIMER PROCEDIMIENTO: APLICACIÓN ESTADÍSTICA
(1)
Presione la tecla [ON/OFF] y toque
diferentes Aplicaciones.
del panel de iconos para mostrar las
(3) Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Estadística.
(3) Toque
y se activa la pantalla de la Aplicación Estadística.
(4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar
el área de trabajo de la Aplicación Estadística y aparece la pantalla inicial de dicha
Aplicación.
(5) Toque en la barra de menús [Cálc.] con la finalidad de ubicar el menú Distribución.
(6) Toque [Distribución], luego toque
inicial Tipo Distribución.
(7) Toque el botón de flecha hacia abajo
lista de todas las distribuciones.
(8)
en el panel de iconos y aparece la pantalla
justo al mismo DP Normal y se despliega la
Toque [DAC Normal] para seleccionar la función de distribución acumulativa de una
variable aleatoria continua X con distribución normal.
(9) Toque
, presione la tecla
para introducir el límite inferior:  .
, y luego toque las teclas [–] / [  ] / [Ejec]
(10) Toque las teclas [0] / [Ejec] para introducir el límite superior: 0.
(12) Toque las teclas [
] / [6] / [4] / [  ] / [1] / [0] / [^] / [6] / [)] / [Ejec] para introducir la
desviación estándar: 64  10 ^ 6 .
(12) Toque las teclas [1] / [2] / [0] / [0] / [0] / [Ejec] para introducir la media: 12.000.
(13) Toque
y aparecen en la pantalla de salida:
 En prob el resultado P( X  0 )  0,0668 ; Respuesta Proyecto A
 En Inferior el valor z estandarizado del límite inferior;
 En Superior el valor z estandarizado del límite superior.
15
(14) Toque
en la barra de herramientas para obtener la representación gráfica de la
función de densidad de la variable aleatoria continua estandarizada Z con distribución
3
 3

normal   0; 2  1 cuya zona sombreada representa      P  Z    .
2
 2



(15) Toque
, toque la tecla
, posicione el cursor en el recuadro de  , y
luego toque las teclas [
] / [3] / [6] / [  ] / [1] / [0] / [^] / [6] / [)] / [Ejec] para
introducir la desviación estándar: 36  10 ^ 6 .
(16) Toque las teclas [1] / [0] / [0] / [0] / [0] / [Ejec] para introducir la media: 10.000.
(17) Toque
y aparecen en la pantalla de salida:
 En prob el resultado P(Y  0 )  0,0478 ; Respuesta Proyecto B
 En Inferior el valor z estandarizado del límite inferior;
 En Superior el valor z estandarizado del límite superior.
(18) Toque
en la barra de herramientas para obtener la representación gráfica de la
función de densidad de la variable aleatoria continua estandarizada Z con distribución
5
 5

normal   0; 2  1 cuya zona sombreada representa      P  Z    .
3
 3



En consecuencia usted debe seleccionar el proyecto B.
16
En este Segundo Procedimiento se muestra el uso del teclado catálogo de la Aplicación Principal.
SEGUNDO PROCEDIMIENTO: TECLADO CATÁLOGO DE LA APLICACIÓN PRINCIPAL
(1)
Presione la tecla [ON/OFF] y toque
diferentes Aplicaciones.
del panel de iconos para mostrar las
(2)
Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Principal.
(3)
Toque
y se activa la pantalla de la Aplicación Principal.
(4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar
el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha
Aplicación.
(5) Presione la tecla
de flecha hacia abajo
aparece.
, toque
y se activa el teclado catálogo, toque el botón
de Forma y luego toque Todo en la lista desplegable que
(6) Toque si es necesario el botón
sea visible.
de la esquina inferior derecha hasta que la tecla N
(7) Toque el botón de letra N, desplace la lista hasta ver el comando NormCD, toque
NormCD, y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición.
(8) Toque el teclado
, luego toque [–] / [  ] / [,] / [0] / [,] / [
] / [6] / [4] / [  ] / [1] / [0] /
[^] / [6] / [)] / [,] / [1] / [2] / [0] / [0] / [0] / [Ejec] con la finalidad de ejecutar dicho
comando.
(9) Toque el teclado
, toque el botón de letra P, desplace la lista hasta ver el variable
prob, y luego toque prob para introducirla en la ventana de edición.
(10) Toque [Ejec] y aparece el resultado bajo la forma de fracción.
(11) Toque
en la barra de herramientas y aparece el resultado bajo la forma decimal
0,0668. Respuesta Proyecto A
Sintaxis del comando NormCD valor inferior, valor superior, valor de , valor de 
(12) Toque el botón de letra N, desplace la lista hasta ver el comando NormCD, toque
NormCD, y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición.
(13) Toque el teclado
, luego toque [–] / [  ] / [,] / [0] / [,] / [
] / [3] / [6] / [  ] / [1] / [0] /
[^] / [6] / [)] / [,] / [1] / [0] / [0] / [0] / [0] / [Ejec] con la finalidad de ejecutar dicho
comando.
(14) Toque el teclado
, toque el botón de letra P, desplace la lista hasta ver el variable
prob, y luego toque prob para introducirla en la ventana de edición.
(15) Toque [Ejec] y aparece el resultado bajo la forma de fracción.
(16) Toque
en la barra de herramientas y aparece el resultado bajo la forma decimal
0,0478. Respuesta Proyecto B
17
1.- Ejercicio 5-38 Página 437
Las ventas diarias en cierto negocio son aleatorias, y fluctúan siguiendo una distribución normal de parámetros  
100 millones de bolívares y 2  400 (millones de bolívares) .
2
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera las ventas estén por debajo de 90 millones?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera las ventas estén por debajo de 90millones de bolívares, dado
que son menores que 100 millones?
c) Considere que para un día cualquiera el evento {venta menor que 90 millones} es independiente del evento similar
en cualquier otro día, y responda: ¿cuál es la probabilidad de que en más de 12 días de los 30 del mes se produzcan
ventas por debajo de los 90 millones?
2.- Ejercicio 5-39 Página 437
La cantidad de toneladas de arroz cosechada en un año en cierta región fluctúa siguiendo una distribución normal de
parámetros   200.000 y 2  625(106).
a) Determine la probabilidad de que en un año la cosecha sea menor que 170.000 toneladas.
b) Considere que para un año cualquiera el evento {producción menor que 170.000 toneladas} es independiente del
evento similar en cualquier otro año, y determine de que en la próxima década la producción anual sea menor que
170.000 toneladas en más de uno de estos diez año.
3.- Ejercicio 5-40 Página 437
Suponga que Ud. Piensa instalar una planta para producir cierto alimento líquido cuya demanda semanal varía según
una distribución normal (250.000; 2.000.000). Suponga además que el beneficio neto por litro vendido es de Bs. 40 y
que el excedente de producción semanal debe ser descartado como desperdicio, con una pérdida de Bs. 80 por litro.
¿Cuál debe ser el nivel de producción Q* que maximice la esperanza matemática del beneficio.
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