interpretación y diseño en el dominio de la frecuencia del control de

INTERPRETACIÓN Y DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DEL
CONTROL DE ADELANTO DE FASE
Los trazos de Bode del controlador de adelanto de fase de la ecuación
se muestran en la siguiente figura. Las dos frecuencias de corte están
en w=1/aT y w=1/T. El valor máximo de la fase, m , y la frecuencia
en la que ocurre,  m , se obtiene como sigue. Ya que  m es la media
geométrica de las dos frecuencias de corte, se escribe:
log10  m 
1
1
1
 log10 
 log10
2
aT
T
s  1 / aT
s  1/ T
Por tanto:
1
m 
aT
Gc ( s )  a
a>1
(1)
Para determinar la fase máxima, la fase de Gc(jw) se escribe como:
(2)
Gc ( jw)   ( jw)  tan1 aT  tan1 T
de donde se obtiene:
aT  T
tan ( jw) 
1  (aT )(T )
Al sustituir la ecuación (1) en la (2) para w, se tiene:
a 1
tan m 
2 a
a 1
sen  m 
a 1
Por tanto, al conocer m , el valor de a se determina de:
1  sen m
a
1  sen m
(4)
La relación entre la fase m y a y las propiedades generales de las
trazas de Bode del controlador de adelanto de fase proveen una
ventaja del diseño en el dominio de la frecuencia. La dificultad es, por
supuesto, la correlación entre las especificaciones entre los dominios
del tiempo y la frecuencia. El procedimiento general de diseño del
controlador de adelanto de fase en el dominio de la frecuencia se
proporciona a continuación.
1. Las trazas de Bode del proceso no compensado G p ( j) se
construye con la constante de ganancia K puesta de acuerdo
con el requisito de error en estado estable. El valor de K tiene
que ser ajustado una vez que se determinó el valor de a.
2. Se determina el margen de fase y el margen de ganancia del
sistema no compensado y se calcula la cantidad de adelanto de
fase adicional que se necesita para lograr el margen de fase.
Del requisito de adelanto de fase adicional, se estima el valor
deseado de m , y el valor de a se calcula de la ecuación (4).
3. Una vez que se determino el valor de a, es necesario
solamente determinar el valor de T, y el diseño, en principio,
esta completo. Este es completado al colocar las frecuencias
de corte del controlador de adelanto de fase, 1/aT y 1/T, tal
que m se localice en la nueva frecuencia de cruce de ganancia
 `g , para que el margen de fase del sistema compensado sea
beneficiado por m . Se sabe que la ganancia de alta frecuencia
del controlador de adelanto de fase es 20log a dB. Por tanto
para tener la nueva frecuencia de cruce de ganancia en  m ,
que es la media geométrica de 1/aT y 1/T, se necesita colocar
a  m en la frecuencia donde la magnitud del sistema no
compensado Gp(jw) sea -10log a dB, por lo que al sumarle la
ganancia del controlador de 10log a dB hace que la curva de
magnitud pase por 0 dB en  m .
4. Las trazas de Bode de la función de transferencia de la
trayectoria directa del sistema compensado se investigan para
comprobar si todas las especificaciones de desempeño se
cumplen; si no se debe escoger un nuevo valor de m y se
repiten los pasos.
5. Si todas las especificaciones de diseño se satisfacen, se
establece la función de transferencia del controlador de
adelanto de fase a partir de los valores de a y T.
INTERPRETACIÓN Y DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DEL
CONTROL DE ATRASO DE FASE
La función de transferencia del controlador de atraso de fase se
puede escribir otra vez como:
1  aTs
a<1
1  Ts
al suponer que el factor de ganancia, 1/a es absorbido por la
ganancia directa K. Las trazas de Bode de la ecuación anterior se
muestra en la siguiente figura. La curva de magnitud tiene las
frecuencias de corte en w=1/aT y 1/T. Ya que las funciones de
transferencia de los controladores de adelanto y atraso de fase son
idénticas, excepto por el valor de a, el atraso de fase máximo m de
Gc ( s ) 
la curva de fase de la siguiente figura esta dado por:
 a 1
 a<1
 a  1
m  sen 1 
La figura muestra que el controlador de atraso de fase en esencia
provee una atenuación de 20 log a en altas frecuencias. Por tanto
contrario al control de adelanto de fase que emplea el adelanto de
fase máximo del controlador, el control de atraso de fase emplea la
atenuación del controlador en altas frecuencias. En el control de
atraso de fase, el objetivo es mover el cruce de ganancia a una
frecuencia mas baja, en donde se alcanza el margen de fase deseado,
mientras se mantiene la curva de fase de las trazas de Bode
relativamente sin cambios en la nueva frecuencia de cruce de
ganancia.
El procedimiento de diseño para el control de atraso de fase que
emplea las trazas de Bode se describe a continuación:
1. Se dibujan las trazas de Bode de la función de transferencia de
la trayectoria directa del sistema no compensado. La ganancia
de la trayectoria directa K se ajusta de acuerdo con el requisito
de desempeño en estado estable.
2. A partir de las trazas de Bode se determinan los márgenes de
fase y ganancia.
3. Se localiza, sobre las trazas de Bode, la frecuencia en la que se
obtiene el margen de fase deseado suponiendo que el margen
de fase será incrementado. Esta frecuencia también es la
nueva frecuencia de cruce de ganancia  `g , en donde la curva
de magnitud compensada cruza al eje de 0 dB.
4. Para llevar a la curva de magnitud hacia abajo a 0 dB en la
nueva frecuencia de cruce de ganancia  `g , el controlador de
atraso de fase debe proveer la cantidad de atenuación igual al
valor de la curva de magnitud en  `g .
5. Se investigan las trazas de Bode del sistema compensado para
ver si el requisito del margen de fase se cumple; si no, se
reajustan los valores de a y T y se repite el procedimiento. Si
las especificaciones de diseño involucran al margen de
ganancia, o M r o BW, éstas deben verificarse y satisfacerse.