cuartas adriana

PREDICCIÓN DE CAUDALES MEDIOS MENSUALES EN RÍOS COLOMBIANOS USANDO
MÉTODOS NO LINEALES
G. Poveda, O. J. Mesa, L. F. Carvajal, C. D. Hoyos, J. F. Mejía, L. A. Cuartas y A. Pulgarín
Universidad Nacional de Colombia - Facultad de Minas
Posgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos
Palabras claves: Caudales Mensuales, Predicción multivariada no-lineal, Onditas, Redes Neuronales,
Modelos Estocásticos, ENOS.
Keywords: Monthly discharge, Nonlinear multivariate forecast, Wavelets, Neural Networks, Stochastic
Models, ENSO.
RESUMEN
Se evalúan diferentes métodos no lineales de predicción de caudales medios mensuales de 6
ríos importantes para la generación de energía eléctrica en Colombia: Alicachín, Betania,
Guavio, Nare Salvajina y San Carlos. Se usan ventanas de predicción de mediano y largo plazo
de 3, 6 y 12 meses. Los métodos no lineales usados son: MARS (“Multivariate Adaptive
Regression Splines”), Redes Neuronales (ANN), Regresión Lineal Múltiple (RLM) y PREBEO
(“Predicción en Bandas Espectrales usando Onditas”). Este último es una metodología
novedosa usada para potenciar las predicciones y se basa en la Transformada de Onditas
(“Wavelets”) con el objeto de descomponer las señales en las distintas bandas frecuenciales
características de la variabilidad temporal de la hidroclimatología de Colombia. Estos métodos
incluyen la persistencia hidrológica y la influencia de fenómenos macro-climáticos como el
ENSO, la QBO, la NAO, etc. Se cuantifican los errores de predicción de los métodos usados y
se comparan con los resultados obtenidos con modelos estocásticos lineales univariados AR(p).
El desempeño de los modelos es examinado mediante medidas del error de pronóstico en el
horizonte de validación (independiente del horizonte de calibración). Se dividen y se analizan
los resultados por terciles de la distribución de probabilidades acumulada y se cuantifica la
bondad del pronóstico a partir del Error Cuadrático Medio, dependiendo del mes en que se
inicia la predicción y de la ventana de predicción. Los resultados indican ganancias muy
importantes en la capacidad predictiva en comparación con métodos de predicción tradicionales
del tipo lineal y muestran a PREBEO como el método que produce los mejores pronósticos.
ABSTRACT
Different nonlinear methods are evaluated from prediction of monthly average discharge of 6
important rivers for the electrical energy generation in Colombia: Alicachín, Betania, Guavio,
Nare Salvajina and San Carlos. Windows of medium forecast and long term of 3, 6 and 12
months are used. The nonlinear methods implemented was: MARS (Multivariate Adaptive
Regression Splines), Neural Networks (ANN), Multiple Linear Regression (RLM) and PREBEO
(Forecasting in Spectral Bands using Wavelets.). The last one is a novel methodology used to
harness forecasting and is based on Wavelets filtering in order to disturbing the signals in the
different frequencies bands characteristic of the temporary variability of the hydroclimatology of
Colombia. These methods include the hydrological persistence and the influence of macroclimatic phenomena like the ENSO, QBO, NAO, etc. Performance of the methods are quantified
by means of error measurements and compared against stochastic linear univariated models
AR(p). Results are divided and analyzed into terciles of the accumulated probability distribution
and by the forecast goodness from the Mean Square Error depending on the month in which the
forecast begins and forecast window. The results indicate very important gains in nonlinear
1
forecast against traditional linear forecasting methods and bring PREBEO like the method that
produces the best forecast.
1
INTRODUCCIÓN
Desde 1992, nuestro grupo de investigación ha venido investigando la influencia de fenómenos
macro-climáticos sobre la hidrológica Colombiana. En particular sobre las causas, efectos e
implicaciones del fenómeno El Niño/Oscilación del Sur (ENSO), la Oscilación del Atlántico
Norte, la oscilación cuasi-bienal, las oscilaciones de Madden-Julian, las ondas tropicales del
Este, etc. La predicción de caudales medios mensuales ha sido un elemento importante dentro
de ese contexto, por sus múltiples aplicaciones en generación de energía eléctrica, en
agricultura, en salud humana, etc. La literatura publicada en ese contexto incluye los trabajos de
Poveda y Mesa 1993, Mesa et al 1994b, Carvajal et al.1994, Salazar et al.1994a, Salazar et al.
1994b; Poveda, 1994; Poveda y Penland, 1994: Poveda y Mesa, 1996: Mesa et al., 1996;
Poveda, 1998; Poveda y Jaramillo, 2000; Poveda et al., 1999; 2001). Este trabajo profundiza
sobre la aplicación de diversas metodologías de carácter no lineal para la predicción de
caudales medios mensuales, en ríos importantes para la generación de energía en Colombia. El
trabajo se distribuye de la siguiente manera. En la sección 2 se presentan las series de caudal
de la cuenca de las cuencas de los Alicachín, Betania, Guavio, Nare Salvajina y San Carlos
ubicadas en diferentes en la región Andina de Colombia y se describen las variables
macroclimáticas utilizadas como variables predictoras. En la sección 3 se presenta la
metodología general de predicción y algunos detalles teóricos de los métodos usados. En la
sección 4 se presentan los resultados de las distintas predicciones y las medidas de error de
predicción. Finalmente, en la sección 5, se presenta una discusión sobre la “bondad” de las
diferentes metodologías.
2
2.1
ASPECTOS METODOLÓGICOS
Datos utilizados
Las metodologías de predicción se evaluaron usando los registros de caudales mensuales
de los ríos Alicachín, Betania, Guavio, Nare, Salvajina y San Carlos proporcionados por
Interconexión Eléctrica S.A. (ISA. Los registros mensuales corresponden al período común
entre 1960-1994. El período de calibración de los modelos de predicción se seleccionó desde el
inicio de la serie hasta diciembre de 1979; los siguientes 15 años se seleccionaron para la
validación de los modelos (1980-1994). En la Figura 1 se presenta el ciclo anual y el espectro
de Fourier correspondientes a cada una de los ríos mencionados, donde se puede observar la
importancia relativa de la periodicidad anual y semianual debidos al movimiento de la ZCIT
(zona de convergencia intertropical) cambiando de importancia de acuerdo a la ubicación en la
región, y con menos importancia pero en forma significativa la presencia de una banda cuasibienal y la importancia de la banda entre 3 y 5 años asociada con el ENSO. Diversas técnicas
de homogeneidad en las series indicaron que existe estabilidad en la media y en la varianza
para cada una de ellas.
Las variables macroclimáticas utilizadas como variables predictoras son: Índice
Multivariado del ENSO (MEI), Índice de Oscilación del Sur (SOI), Oscilación del Atlántico Norte
(NAO), Oscilación Decadal del Pacífico (PDO), Oscilación Cuasi-Bienal (QBO), Temperatura
Superficial del Mar en las regiones NIÑO 1, 2, 3 y 4 (T NINO#), Temperatura promedio del
2
Atlántico Norte y Sur (T NAT y T SAT), y Temperatura Tropical Promedio (TROP). En el cálculo
del Índice Multivariado del ENSO (Wolter, 1987) se utilizan seis variables en las cuales se
manifiesta el fenómeno ENSO (presión a nivel del mar, componentes zonales y meridionales del
viento superficial, SST, temperatura del aire en la superficie y nubosidad total). Ver
http://www.cdc.noaa.gov/~kew/MEI. El índice de Oscilación del Sur se calcula como la
diferencia estandarizada de presiones atmosféricas entre Tahití y Darwin (Trenberth, 1976). El
índice para la PDO se calcula usando análisis de componentes principales de anomalías
mensuales en la temperatura superficial del Océano Pacífico Norte (Mantua et al., 1997). El
índice para la NAO se calcula con base a las diferencias de presiones atmosféricas
normalizadas entre las Islas Azores e Islandia (Hurrel, 1995 y Jones et al., 1997). El índice de la
QBO utilizado fue construido a partir de datos de viento zonal a 30 hPa (Marquardt y Naujokat,
1997).
La
mayoría
de
las
series
se
pueden
obtener
en
http://tao.atmos.washington.edu/data_sets/. En la Figura 2 se presentan los correlogramas
cruzados entre la serie de caudales del río Nare y algunas de las variables macroclimáticas
mencionadas.
Figura 1. Ciclo anual y espectro de Fourier de las ríos.
Dado que la no-linealidad de la relacion macro-clima-hidrologia, se requiere una medida de
tal tipo, entre los caudales del río Nare y las series macroclimáticas. Una manera de estimar
dicha relación es mediante el cálculo de la coherencia usando la “transformada en onditas”
(Torrence y Webster, 1999; Hoyos, 1999), la cual permite determinar el grado de coherencia
espectral (en la frecuencia y en el tiempo, simultáneamente) entre las variables macroclimáticas y las hidrológicas. La coherencia puede entenderse como una correlación localizada
en el tiempo y en las frecuencias. En la Figura 3 se presentan los espectros de coherencia entre
la serie de caudales del río Nare y algunas de las series macroclimáticas. Dichos espectros
muestran una alta coherencia de la serie de caudales con las series macroclimáticas en bandas
anual y semianual (T SAT, MONZON y T NINO1+2) y en una banda entre 3 y 5 años
3
correspondiente al fenómeno ENSO (MEI, MONZON y T NINO1+2). Los valores de coherencia
debajo de la malla sobre los espectros no son confiables (Torrence y Compo, 1998).
Se estimaron los espectros de coherencia entre cada una de las series de caudales y todas
las variables macroclimáticas (no se muestran acá). Este es un paso necesario con el fin
detectar las variables más significativas y sus rezagos, con el objeto de aplicar adecuadamente
las metodologías de predicción. Los resultados del espectro de coherencia son particularmente
importantes en la predicción en bandas espectrales usando onditas (PREBEO).
Correlograma Caudal-Monzon
Correlograma Caudal-MEI
1.0
Coeficiente de
correlación
Coeficiente de
correlación
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
1
2
3
4
5 6 7
rezago
8
9 10 11
0
Correlograma Caudal-T_NAT
2
3
4
5 6 7
rezago
8
9 10 11
Correlograma Caudal-T_NINO1+2
1.0
1.0
Coeficiente de
correlación
Coeficiente de
correlación
1
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
1
2
3
4
5 6 7
rezago
8
9 10 11
0
1
2
3
4
5 6 7
rezago
8
9 10 11
Figura 2. Correlogramas cruzados entre la serie del río Nare y algunas variables
macroclimáticas.
TSAT- NARE
0.25
0.50
0.50
1.00
1.00
Periodo
Periodo
MEI - NARE
0.25
2.00
4.00
2.00
4.00
8.00
8.00
16.00
16.00
32.00
32.00
1960
1970
1980
1960
1990
1980
1990
TNINO1+ 2 - NARE
MONZON - NARE
0.25
0.25
0.50
0.50
1.00
1.00
Periodo
Periodo
1970
2.00
4.00
2.00
4.00
8.00
8.00
16.00
16.00
32.00
32.00
1960
1970
1980
1990
0.4
1960
0.5
0.6
0.7
0.8
1970
1980
1990
0.9
Figura 3. Espectros de coherencia entre algunas variables macroclimáticas usadas como predictoras y
la serie de caudales del río Nare. En el cálculo se utilizó la ondita de Morlet, y el cono de influencia
limita las regiones no significativas de la coherencia.
Métodos de predicción – Introducción
Se usaran las metodologías para efectuar predicciones “ciegas” en el horizonte de tiempo
considerado y sin depender de predicciones de los predictores. Para garantizar que la
metodología de predicción sea ''ciega'' se deberá tener en cuenta que las variables regresoras,
2.2
4
incluida la misma serie de caudal, deben estar rezagadas un cierto número de meses, tanto
para calibración como para la predicción. De esta forma se garantiza que la variable
dependiente, en este caso el caudal de un mes t depende de las variables predictoras del mes
t-τ, siendo τ la ventana de predicción. Para cada mes por predecir se debe hacer un rezago
diferente de las variables independientes, resultando en un intervalo de tiempo de ajuste
diferente. Después del ajuste, se obtiene el modelo que aproxima los caudales usando las
variables predictoras disponibles. Se hacen las predicciones para el período de validación en
tantos meses futuros como sea la longitud (en tiempo) del rezago original de las series. Esta
metodología supone un comportamiento decreciente de los correlogramas entre la serie de
caudal y las series de las variables regresoras. Por tanto, de los meses predichos sólo se
almacena el último valor predicho. Una manera de eliminar la suposición de correlograma
decreciente es incluir en la predicción, rezagos de las variables predictoras. A continuación se
describen las metodologías no-lineales y la metodología de predicción lineal implementada para
la comparación.
2.2.1
MARS y Redes Neuronales
El método MARS (“Multivariate Adaptive Regression Splines”) se basa en la construcción
de un modelo multivariado no parametrico, ajustado adoptivamente por tramos en el tiempo. Ver
todos los detalles teóricos y computacionales en Friedman (1991). En general, MARS intenta
superar algunas de las limitaciones de la modelación no paramétrica y el particionamiento
recursivo, planteando algunas generalizaciones a los procedimientos, garantizando modelos
continuos con derivadas continuas. Por su parte, las redes neuronales artificiales (ANN), son
arquitecturas generalmente simples, usualmente adaptivas, que procesan masivamente
información mediante elementos interconectados. Entre las características que hacen atractiva
la predicción de la hidrología de Colombia usando redes neuronales está la capacidad de
modelar sistemas no-lineales y la robustez en el manejo de datos con ruido. Simpson (1990)
presenta una descripción muy coherente de los elementos de una red neuronal, así como
también análisis comparativos y aplicaciones.
Para obtener los resultados del presente artículo se trabajó con un modelo MARS aditivocúbico, es decir, las funciones base pueden ser cúbicas y están compuestas por una sola
variable. En el caso de las redes neuronales se utilizó arquitectura tipo “Multilayer Perceptron”
con una capa oculta. El algoritmo de aprendizaje utilizado se conoce con el nombre de “BackPropagation”.
2.2.2
Predicción por Bandas Espectrales usando Onditas (PREBEO)
El método que hemos denominado ‘PREBEO” se basa en la descomposición espectral de
las series predoctoras y la serie de caudales por predecir, usando la llamada “transformada en
Onditas” o ‘wavelets”. La transformada en onditas logra localización temporal y frecuencial
simultáneamente, mediante el uso de funciones llamada “ondita madre, de dos parámetros;
uno de localización y otro de escalamiento. Ver los detalles en Torrence y Compo (1998),
Foufoula y Kumar (1994) y Hoyos (1999). Las componentes espectrales principales
corresponden a las bandas de frecuencias más significativas de una señal temporal. Los
períodos en los cuales se descompusieron (se filtraron) tanto las variables predictoras como los
caudales de los ríos, corresponden a los mencionados en la sección 2. Luego de tener las
series (tanto de caudales como macroclimáticas) descompuestas en diferentes bandas, se
aplica para cada banda seleccionada la metodología propuesta en el numeral 1 utilizando
alguna de las herramientas de ajuste (en el presente artículo se utilizó la regresión lineal
5
múltiple). De esta manera se obtiene la predicción para cada banda espectral. El pronóstico se
obtiene sumando las predicciones hechas en todas las bandas.
2.2.3 Regresión Lineal Múltiple
Este modelo se basa en una regresión lineal múltiple para cada período donde además delas
variables predictoras mencionadas en el numeral 2, se incluyeron las series del su propio
caudal filtrando su ciclo anual, semianual y trimestral a partir de la Transforma Rápida de
Fourier.
2.2.4
Modelo Lineal AR(p)
Se pretende comparar el desempeño de los métodos no lineales descritos, con respecto a
métodos lineales de predicción, del tipo markovianos (autoregresivos), de orden p, AR(p) (Box y
Jenkins, 1976; Pena, 1994; Box et al., 1994). Estos modelos lineales univariados se basan en la
hipótesis de que las relaciones de dependencia estacionales interanuales es la misma para
todos los períodos. Sin embargo, la dependencia estacional intranual (escalas de 6 y 12
meses), son tenidas en cuanta para el diagnóstico y pronóstico propuesto en este numeral. La
identificación del modelo se basó en la función de autocorrelación simple (FAS) y parcial (FAP)
de las series estandarizadas mensualmente. La estimación de los coeficientes se hizo a partir
del método de la máxima verosimilitud. La verificación del modelo puede hacerse a través del
diagnóstico de los residuos (histograma y distribución de probabilidad Normal de los residuos,
residuos estandarizados y FAS y FAP de los residuos). Algunas veces esta verificación puede
hacerse a través del funcionamiento del modelo comparándolo con observaciones no usadas
para ajustar el modelo. Los detalles para la estimación de los parámetros de estimación del
mejor modelo no son mostrados en este trabajo.
3
RESULTADOS Y ANÁLISIS
En la Figura 4 se muestran las series de tiempo predichas y observadas. Por propósitos de
brevedad, sólo se muestran los resultados de las predicciones para horizontes de 3 meses, y se
discutirán los resultados obtenidos para las ventanas de 6 y 12 meses. El desempeño de cada
uno de los modelos sobre las diferentes series y sobre cada ventana de predicción fue estimado
a partir del error cuadrático medio adimensional (RMS) definido como
% RMS 
1
2
 Qreal  Qpredicho
n
__
100
.
Q real
En la Figura 5 se presentan los resultados generales. Para todos los ríos se compara el RMS
promedio de las predicciones hechas al iniciar la predicción en cada uno de los meses del año.
Se intenta mostrar la importancia del ciclo anual en la capacidad de predicción, y para las
diferentes ventanas de predicción utilizadas. En general las predicciones hechas para el río
Alicachín muestran los valores más altos del RMS y el río Nare como el de mejor capacidad de
prediccion. Este resultado es fundamental dada la importancia del río Nare (y su embalse
asociado de El Peñol) en el sector eléctrico Colombiano.
6
Figura 4. Predicción de caudales medios mensuales empezando en Enero de 1980 para un horizonte
de 15 años y una ventana de predicción de 3 meses. De arriba hacia abajo se tienen las series para
los 6 ríos. La convención para la serie original y las metodologías aplicadas se observa en la parte
inferior del gráfico.
7
Figura 5.
RMS en el período de validación para todas las series, usando ventanas de 3, 6 y 12 meses.
El análisis de los errores obtenidos permite concluir que PREBEO exhibe los menores errores
de predicción, para todos los ríos y todas las ventanas de predicción, siguiendo en su orden
RLM y MARS. A la luz del RMS, los métodos ANN y AR(p) muestran los resultados más
deficientes. En la mayoría de los casos se presenta un sutil incremento del error con el aumento
de la ventana de predicción. Para visualizar la influencia del ciclo anual en la capacidad de
predicción, se estimo el RMS (Figura 6). Dichos gráficos tienen el mes de inicio en las abscisas
y el mes predicho en las ordenadas. El propósito de este gráfico es buscar alguna evidencia
sistemática del error a lo largo del año. Los patrones que se observan para diferentes
metodologías no son generales, es decir, resulta difícil compararlos entre sí y no posibilitan
concluir acerca de la posible existencia de una barrera de predicción desde el punto de vista
estadístico. Sin embargo, se observa fácilmente una estacionalidad del error, en particular
mayores valores del RMS en la épocas predichas (por las ordenadas de los gráficos) para los
mínimos caudales medios, tal como se observó en la climatología del ciclo anual de la Figura 1.
Esta situación se observa más claramente usando AR(p).
En general PREBEO muestra nuevamente los menores valores del RMS y es el menos
influenciado por la época en que se inician las predicciones. AR(p) muestra básicamente la más
baja influencia del mes de inicio para la predicción de un mes específico, aunque su capacidad
predictiva disminuye rápidamente en el tiempo, de acuerdo con su estructura de dependencia
estadística.
8
También se observa que Betánia y Nare son las series de caudales mensuales mas fáciles de
predecir en este conjunto y Alicachín presenta los mayores errores con cualquiera de las
metodologías.
Un patrón semejante se observó para las ventanas de predicción de 6 y 12 meses. Sin
embargo, el error de prediccion es correlativo con la longitude del horizonte de prediccion. Esta
estructura del error se observa más fácilmente en los gráficos correspondientes a PREBEO y
RLM.
Figura 6. Porcentaje de RMS de las predicciones para el período de validación y una ventana de 3
meses. Se tiene en las abcisas se tiene el mes de inicio de la predicción y en las ordenadas el mes
predicho. De izquierda a derecha se tienen los resultados al emplear los diferentes modelos MARS,
9
PREBEO, RLM, ANN y AR(p). De arriba hacia abajo se tienen los diferentes ríos. Los colores de
cada superficie de error han sido equalizados a la paleta de colores mostrada a la derecha.
Figura 7. Análisis de terciles para una ventana de predicción de 3 meses variando el mes de inicio de
la predicción. En cada gráfico el conjunto de barras corresponde al tercil superior (arriba), tercil medio
(centro) y tercil inferior (abajo). De izquierda a derecha se tienen los resultados de terciles al emplear
los diferentes modelos MARS, PREBEO, RLM, ANN y AR(p). De arriba hacia abajo se tienen los
diferentes ríos.
En la Figura 7 se muestran los análisis del error de acuerdo al porcentaje de aciertos en la
predicción en cada uno de los terciles de la función de distribución de caudales, y su variación
con respecto al mes de inicio de las predicciones. Para calcular estos gráficos es necesario
conocer los límites que permiten discriminar si un valor determinado está en el tercil superior,
medio o inferior. Así, se compara para cada valor predicho sí este corresponde al tercil al que
correspondió el valor real, en caso afirmativo, se considera como un acierto. Un valor de 100%
implica que todos los valores predichos para un tercil dado realmente se observaron en ese
tercil. El cálculo de dichos gráficos se hizo con las series estandarizadas con el fin de remover
los patrones estacionales asociados a la variabilidad intraanual. En general, se observa un
comportamiento muy estable de cada uno de los terciles iniciando las predicciones desde
cualquier mes del año. Se observa como la mayor proporción de aciertos en todas las series se
obtiene mediante PREBEO. Esta metodología muestra mayor cantidad de aciertos en los
terciles superior e inferior, aunque los aciertos del tercil medio son sistemáticamente mayores
10
que en las otras metodologías. MARS y RLM muestran resultados semejantes con más baja
proporción de aciertos en el tercil inferior y más altos en el superior.
En este análisis AR(p) es la metodología más deficiente con menor proporción de aciertos en el
tercil medio para todas las ventanas analizadas y en la mayoría de las series pronosticadas. Al
comparar las metodologías no-lineales con AR(p), es contundente la ventaja la ventaja al
realizar las predicciones al incluir información secundaría que en este caso fueron las variables
macroclimáticas más relevantes o con mayor influencia en la climatología de la región
analizada.
4
CONCLUSIONES
Se ha comparado el desempeño de diversas metodologías no lineales para la predicción de
caudales medios mensuales en ríos importantes para el sector eléctrico en Colombia. Los
métodos incorporan explícitamente la influencia del ENSO y otros fenómenos macro climáticos
sobre la hidrológica de Colombia, así como la persistencia hidrológica, en horizontes de
predicción de 3, 6 y 12 meses. La filosofía general de los métodos de predicción usados
garantiza que no se requieren predicciones de las variables predictoras para efectuar las
predicciones de los caudales. Los resultados favorecen de manera contundente las
metodologías no-lineales sobre métodos tradicionales lineales markovianos. Específicamente,
los resultados obtenidos con el método PREBEO muestran menores valores de los errores de
predicción (RMS) para todos los horizontes de predicción estudiados, así como una mayor
proporción de aciertos independientemente del tercil considerado e independiente del mes de
inicio de las predicciones. El método PREBEO también es contundentemente superior a los
resultados obtenidos con la metodología lineal, y superior a MARS, RLM y ANN. Además,
PREBEO se ve fortalecido por su versatilidad de uso; y su capacidad predictiva depende de la
información secundaría utilizada para potenciarlo y de las periodicidades en las que se hace la
descomposición de la información hidrológica y macro-climática.
Agradecimientos. Esta investigación ha sido financiada con fondos del Instituto Interamericano para la
Investigación del Cambio Global (IAI). Se agradece la colaboración del Dr. Peter R. Waylen, University of
Florida, Gainesville, EU.
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