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Problema PAU
Un satélite de 500 kg de masa se mueve alrededor de Marte, describiendo una órbita circular a 61000 km de
su superficie. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s2 y que su radio
es de 3400 km, calcula:
a. Fuerza gravitatoria sobre el satélite
Se calcula directamente a partir de la ley de la gravitación universal, F 
GMm
r2
, siendo
G = 6,67 × 10-11 N2m2kg-2
M = masa de Marte
m = masa del satélite = 500 kg
R = radio de Marte = 3400 km
r = distancia desde el centro de Marte hasta la órbita del satélite = 61000 km + 3400 km = 64400 km
Pero como no tenemos la masa de Marte, podemos calcularla sabiendo que en la superficie de Marte
el peso del satélite, es decir, su masa por la gravedad en la superficie, equivale a la fuerza gravitatoria en
dicha superficie,
F  m  g0 
GMm
R2
g0  R 2
M 
G
Si ahora sustituimos en la primera ecuación, tenemos la expresión que permite calcular la fuerza
gravitatoria sobre el satélite en su órbita,
F
GMm
r2
G  m g0  R 2
R2
m
 2 
 mg0 2  500 kg  3,7 2
G
r
r
s
2
 3,4  106 m 
  5,16 N

 6,44  107 m 


b. Velocidad y periodo del satélite
En su órbita, la fuerza gravitatoria sobre el satélite coincide con la fuerza centrípeta del movimiento
circular uniforme,
GMm
v2
GM
GM
F

m
 v2 
v
2
r
r
r
r
Si ahora sustituimos la masa de Marte, M, por la expresión obtenida anteriormente,
v 
GM

r
G g0  R 2


r
G
g0  R 2
g
3,7 m  s  2 
 R 0  3,4  106 m
 815 m/s  0,82 km/s
r
r
6,44  107 m
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Para obtener una expresión para el periodo debemos tener en cuenta que
v  r 
2
2  r
T 
T
v
Si ahora sustituimos la expresión de la velocidad orbital,
2
2  r
2  r
2  r
v  r 
T


T
v
R
g
R 0
r
r
2

g0
R
r3
2

g0
3,4  106 m
6,44  10 m
7
3
3,7 m  s - 2
De donde T = 496511 s  137,92 horas  5,75 días  5 días 18 horas
c. ¿A qué altura debería encontrarse el satélite para que su periodo fuese el doble?
La expresión que relaciona el periodo con el radio de la órbita es
T
g R 2T 2
r3
4 2 r 3
 T2  2
 r3  0 2  r 
g0
R g0
4
2
R
3
g0R 2 T 2
4 2
Teniendo en cuenta que el periodo debe ser el doble, T = 2 T0 = 2 × 496511 s
r 
3
g 0R 2 T 2

4 2
3

3,7 m  s - 2  3,4  106 m
 2  496511s
2
2
4 2
 1,02229 × 108 m  102229 km
La altura respecto a la superficie será 102229 km – 3400 km = 98829 km
Comparando con la altura de la órbita inicial,
98829 km
 1,62 veces
61000 km
Otra forma mucho más sencilla de obtener el radio es la siguiente,
Si hacemos que k  cons tan te 
g 0R 2
4
2
entonces r  3 kT2 . El nuevo radio será r '  3 kT' 2
como T’ = 2 T, entonces,
r' 
3
k(2T) 2 
3
k  4  T2 
3
4kT 2 
3
4 r 
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3
4  64400 km  102229 km
Problema de Ampliación
En el año 2029 se espera que el asteroide Apofis pase muy cerca de la Tierra dando lugar, a través de su
campo gravitatorio, a importantes perturbaciones sobre nuestro planeta. Para evitar el desastre, se lanzará
un misil desde un satélite geoestacionario tal como se indica en la figura.
a. Determine la velocidad del misil (vm) para que la colisión se produzca a una distancia d del centro de la
Tierra. (Datos: d, D y va)
Supondremos que el tiempo que tarda el misil desde que es lanzado en el satélite hasta que colisiona
con el meteorito es el mismo que el que tarda el meteorito en recorrer la distancia desde D hasta d
(medidas desde el centro de la Tierra)
La distancia que recorre el misil desde que es lanzado hasta que colisiona con el asteroide, sm, será
su velocidad por el tiempo de vuelo, mientras que la distancia recorrida por el asteroide, s a, será su
velocidad, va, por el tiempo, que es el mismo que el tiempo de vuelo del misil. Por tanto,
sa  v a  t 
vm
s
s
 m  vm  m va

sm  v m  t 
va
sa
sa
Debemos encontrar ahora expresiones de sm y sa en función de datos conocidos, que son d, D y R.
Para ello nos fijamos en los triángulos formados por estas magnitudes, d, D, R,
sm
R
R2
R2
2
sen  ; cos  
 1  sen   1  2  s m  d 1  2 
d
d
d
d
sen 
d2  R 2
s  sa
R
R2
; cos   m
 s m  s a  D cos   D 1  sen2  D 1  2 
D
D
D
D2  R 2
De esta última expresión,
sm  sa 
D2  R 2  s a 
Además, teníamos que v m 
D2  R 2  sm 
sm
va
sa
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D2  R 2  d2  R 2
Por tanto,
vm
s
 m va 
sa
vm 
d2  R 2 
d 2  R 2  D 2  R 2  d 2  R 2 


va 
va 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2




D R  d R
 D  R  d  R  D  R  d  R 



d2  R 2
d
2
2

 R 2 D2  R 2
D d
2
v
a
que también se puede poner como v m 
va
D2  R 2
d2  R 2
1
b. Considerando que después de la colisión el misil queda adherido al asteroide, determine la masa del
misil para que tras la colisión el conjunto asteroide-misil se aleje de la Tierra. (Nota: existe un conjunto
infinito de masas que lo cumplen. Determine la masa mínima, la cual se corresponde con hacer que el
conjunto asteroide-misil quede en reposo justo después de la colisión). (Datos: d, D y va)
Por la conservación del momento lineal, si el conjunto misil-asteroide queda en reposo después de la
colisión,


v
p m  p a  0  mm v m  m a v a  0  mm  a m a
vm
y teniendo en cuenta la relación obtenida entre vm y va,
mm 
 D2  R 2

va
m a
ma   2

1
vm
 d  R 2

c. Admitiendo que el misil tiene la masa mínima, determine el cambio de velocidad que experimenta el
satélite lanzadera. (Datos: d, D y va)
Suponiendo que antes del lanzamiento, el sistema misil-satélite está en reposo,


v m
m
m
0  p m  p s  0  mm v m  m s v s  0  v s  m v m  a a v m  a v a
ms
v m ms
ms
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Datos del Asteroide Apofis:
Órbita:
Perihelio: 0,75 UA (Cerca de la órbita de Venus)
Afelio: 1,10 UA (Cerca de la órbita de la Tierra)
Diámetro: 250 metros
Masa: 46 millones de toneladas
Excentricidad: 0,191
Período Orbital: 323,59 días (0,89 años)
Velocidad orbital media: 110 628 km/h (30,73 km/s)
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