Uso del método de variables de estado para obtener la función de

Uso del método de variables de estado para obtener la función de transferencia de
la etapa de potencia de convertidor elevador Boost intercalado.
Principalmente, nos interesa conocer el valor de aquellas variables del sistema que nos
permita conocer el comportamiento del sistema en cualquier momento dado a partir de
unas condiciones iniciales, razón por la cual estas variables reciben el nombre de
variables de estado. [1]
En los circuitos de potencia, las variables de estado son elegidas de acuerdo a un
comportamiento continuo que presenten y además por la posibilidad de almacenar y
entregar energía durante el periodo de trabajo. Debido a esto, es común ver que las
variables de estado de un convertidor de potencia suelen ser corriente que circula por un
inductor o tensión entre las terminales de un condensador, ya que estas variables no
pueden presentar ningún cambio brusco por la naturaleza eléctrica y magnética que
presentan tales dispositivos [2].
Para el desarrollo que realizaremos en nuestro convertidor de interés, es necesario
determinar cuantos elementos reactivos principales componen nuestro convertidor, ya
que el comportamiento de estos elementos puede ayudarnos a tener una clara relación
entre las señales de entrada y salida de un proceso de realimentación de un sistema total.
El obtener la función de transferencia de nuestro convertidor es muy importante ya que
nos permite ver como es su comportamiento en lazo abierto, mostrándonos
características importantes como transitorios y velocidad del sistemas que pueden
afectar no solo las características deseadas de nuestro sistema, sino además los
elementos que en el participan.
Recordando nuestro convertidor, la topología es representada por el siguiente diagrama
de la figura 1:
Figura 1: circuito general del convertidor Boost intercalado
Al trabajar en modo continuo por las razones dadas con anterioridad en el capitulo de
selección de convertidores este circuito puede ser dividido en 4 estados, durante los
cuales se obtendrán las respectivas ecuaciones que determinan todas las variables del
sistema a considerar. Para esto, la forma en que operan los elementos de conmutación
SW1 y SW2 es representada en la figura 2:
Figura 2: modo de operación de interruptores SW1 y SW2
Comenzamos entonces analizando el estado d1, en el cual ambos interruptores están
cerrados, obteniendo el circuito equivalente de la figura 3:
Figura 3: circuito equivalente durante d1
Como se puede apreciar, ambos diodos están abiertos, obteniendo aislamiento entre la
entrada y la salida. Para todos los análisis en cada uno de los estados, se incluye una
resistencia de fabricación del inductor, la cual se puede colocar en serie rL con cada
inductor sin afectar el funcionamiento inicial del circuito, mientras que al condensador
de salida se le puede añadir una resistencia rC que se presenta ante las variaciones de
corriente sobre el condensador. Eligiendo las corrientes iL1 , iL2 , de los inductores y la
tensión VC del condensador como variables de estado, y para efectos prácticos
L  L1  L2 , empezamos a hacer el análisis, determinando las diferentes ecuaciones que
rigen el sistema así:
diL1
0
dt
di
 VI  iL 2 rL  L L 2  0
dt
dV
( R  rC )C C  VC  0
dt
 VI  iL1rL  L
Considerando que x1  iL1 , x2  iL 2 , x3  VC , las derivadas de las variables de estado se



dV
di
di
pueden considerar como x1  L1 , x2  L 2 , x3  C . Por lo tanto al organizar las
dt
dt
dt
ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene el siguiente conjunto de la forma

x  Ax  BVI :
 r
    L
x
 1   L
x    0
 2  
 x3  
   0

0

rL
L
0

1

 
  x1   L

   x 2    1   VI
0
   L
1
  x3   0 

 
C ( R  rC ) 
0
Para este caso la matriz A la llamamos A1 con el fin de evitar confundirla con las otras
matrices que tienen la misma estructura y que se obtienen en los diferentes estados del
convertidor. De igual manera se hace para la matriz B, obteniéndose para este caso solo
la matriz B1.
La señal de salida del convertidor es expresada por la ecuación:
v0 
 RCdVC
V R
 C
dt
R  rc
Para luego expresarlo de la forma matricial v0  Cx . Luego para el caso tendríamos la
matriz C1 y la salida expresada en forma matricial es:

v 0  0 0

 x1 
R   
  x2
R  rC   
 x3 
Para el intervalo d2, el circuito equivalente es el de la figura 4:
Figura 4: circuito equivalente durante d2
Luego, las ecuaciones que rigen el sistema en este estado son las siguientes:
diL1
0
dt
CdVC
di

 VI  i L 2 rL  L L 2  R iL 2 
dt
dt

 VI  i L1rL  L
CdVC

R i L 2 
dt


0

dV

  rC C C  VC  0
dt

Al representarlo en forma matricial obtenemos las matrices A2, B2 y C2 de la forma

general x  Ax  BVI y v0  Cx :
 r
    L
 x1   L
x    0
 2  
 x3  
   0

0

1

 
  x1   L 
R
  x    1  V
2
I
L( R  rC )     L 
  x3   0 
1


 
C ( R  rC ) 
0
 (rC rL  RrL  RrC )
L( R  rC )
1
C ( R  rC )
Y para C2:

v 0  0

RrC
R  rC
 x1 
R   
  x2
R  rC   
 x3 
Pasamos al siguiente estado del sistema que es d3, en el cual las ecuaciones y matrices
son iguales a las obtenidas en el estado d1, ya que como se ve en la figura 5, el circuito
equivalente es igual al de la figura 3:
Figura 5: circuito equivalente durante d3
Por lo tanto A3=A1, B3=B1 y C3=C1.
Finalmente llegamos al último estado del sistema que es d4. En la figura 6 se puede
observar el circuito equivalente:
Figura 4: circuito equivalente durante d2
Las ecuaciones que rigen el sistema en este estado son:
CdVC 
diL1

 R iL1 
0
dt
dt 

di
 VI  iL 2 rL  L L 2  0
dt
CdVC 
dV

R iL1 
  rC C C  VC  0
dt 
dt

 VI  iL1rL  L
Las matrices A4, B4 y C4 del sistema son las siguientes:
  (rC rL  RrL  RrC )
 
L( R  rC )
 x1  
x   
0
 2  
 x3  
1
  
C ( R  rC )

0

rL
L
0
R

1

 
L( R  rC )
  x1   L 
  x    1  V
0
  2 L I
  x3   0 
1


 
C ( R  rC ) 
Y para C4:
 RrC
v0  
 R  rC
0
 x1 
R   
  x2
R  rC   
 x3 
Si observamos la figura 2, los estados d1 y d3 son iguales en duración, al igual que d2 y
d4 lo son, es decir d1=d3 y d2=d4, y vemos que durante un ciclo T, la suma total debe
ser igual a 1, observando además que d1+d2=0.5 o medio ciclo T lo cual es equivalente.
Por ende podemos decir que d1=0.5-d2.
El siguiente paso a realizar, es que una vez obtenidas todas las matrices en cada uno de
los estados, debemos multiplicarlas cada una por su intervalo de tiempo y sumarlas
todas para realizar un promedio durante un ciclo T. El resultado de forma general a
realizar es:

x  A1 d1  A2d 2  A3d 3  A4d 4x  B1d1  B 2d 2  B3d 3  B 4d 4VI
v0  C1 d1  C 2d 2  C 3d 3  C 4d 4x
Simplificando:

x  ( A1  A3) d1  ( A2  A4)(0.5  d1)x  ( B1  B3) d1  ( B 2  B 4)(0.5  d1)VI
v0  (C1  C 3) d1  (C 2  C 4)(0.5  d1)x
El siguiente paso consiste en introducir perturbaciones de pequeña señal AC, para poder
separar términos de continua y alterna y obtener la función de transferencia y el valor de
estado estacionario. Para esto, las perturbaciones se realizaran sobre las variables de
estado, el ciclo útil y la señal de salida, definida por las expresiones:
~
x X ~
x , d  D  d , v0  V0  v~0
Para la entrada VI , supondremos que esta es constante para simplificar cálculos.
Adicionalmente en estado estacionario, el termino constante X no tendrá variaciones,






x  X~  ~
x ~
x~
x . Luego reemplazando las perturbaciones en las
por lo que X~  0,  ~
ecuaciones originales, y realizando simplificaciones tenemos:

~
~
~
x  A~
x  AX  ( A1  A3  ( A2  A4 ))d X  ( A1  A3  ( A2  A4 ))d ~
x
~
 BVI  ( B1  B3  ( B2  B4 ))d VI
Donde A  ( D1* ( A1  A3  ( A2  A4 ))  0.5 * ( A2  A4 )) y
~
x puede ser despreciado,
B  ( D1* ( B1  B3  ( B2  B4 ))  0.5 * ( B2  B4 )) . El término d ~
por lo que la expresión final es:

~
~
~
x  A~
x  AX  ( A1  A3  ( A2  A4 ))d X  BVI  ( B1  B3  ( B2  B4 ))d V I
El siguiente paso es igualar a cero los términos variables, obteniendo como resultado
final el valor de estado estacionario:
0  AX  BV I  VI 
 AX
B
Realizando un procedimiento similar para obtener los términos de AC, tenemos:

~
~
x  A~
x  (( A1  A3  ( A2  A4 )) X  ( B1  B3  ( B2  B4 ))VI )d
Realizamos un procedimiento similar para la matriz C y la salida v0  V0  v~0 , luego:
~
~
V0  v~0  CX  C~
x  (C1  C3  (C2  C4 ))Xd  (C1  C3  (C2  C4 ))~
xd
~
x , la
Donde C  ( D1* (C1  C3  (C2  C4 ))  0.5 * (C2  C4 )) . Despreciando el término d ~
expresión final es:
~
V0  v~0  CX  C~
x  (C1  C3  (C2  C4 ))Xd
Igualando a cero los términos variables, la expresión para estado estacionario es:
V0  CX
Y para AC tenemos:
~
v~0  C~
x  (C1  C3  (C2  C4 ))Xd
Finalmente para el estado estacionario, la relación entre la entrada y la salida es igual a:
V0
 CBA1
VI
El cual debe ser igual a la función de transferencia en estado estacionario o DC, es
decir:
V0
1

VI 1  D
Donde D es el ciclo útil total de cada periodo.
Para el caso de AC, aplicamos la transformada de Laplace para los términos de AC de
las matrices A y B, y de la matriz C. Para el primer caso tenemos:
~
S~
x ( s)  A~
x ( s)  (( A1  A3  ( A2  A4 )) X  ( B1  B3  ( B2  B4 ))VI )d ( s)
~
~
x ( s)  ( SI  A) 1 (( A  A  ( A  A )) X  ( B  B  ( B  B ))V )d ( s)
1
3
2
4
1
3
2
4
I
Y para el segundo término tenemos:
~
v~0 (s)  C~
x (s)  (C1  C3  (C2  C4 ))Xd (s)
x ( s) de las matrices A y B en el sistema de la matriz C y despejando la
Reemplazando ~
~
función de transferencia en términos de v~0 ( s) y d ( s) , la función de transferencia final
es:
v~0 ( s)
 C ( SI  A) 1 (( A1  A3  ( A2  A4 )) X  ( B1  B3  ( B2  B4 ))VI )
~
d ( s)
 (C1  C3  (C2  C4 )) X
Para calcular la función de transferencia, tomaremos los valores de los elementos que
componen el circuito convertidor ya diseñado en lazo abierto. Adicionalmente, como la
función de transferencia tendrá dos valores limites de ciclo útil, usaremos ambos
valores, para determinar en cada caso la función de transferencia final.
El valor de los elementos son igual a R  23, C  3.3F , L  15H . Según datos del
fabricante del inductor (Coilcraft en nuestro caso), la resistencia en serie del inductor es
igual a rL  0.02 . Por ultimo, el valor de la resistencia en serie del condensador, es
calculada en base a los valores pico a pico de la tensión de rizado y de la corriente sobre
el condensador y se obtienen por medio de simulaciones de dispositivos reales de los
elementos en Pspice-Orcad, obteniendo VRPicoPico  0.5807V y I CPicoPico  5.335A ,
0.5807V
 0.1 .
luego rC 
5.335 A
Para simplificar cálculos y evitar un largo desarrollo algebraico y matemático de las
matrices, hacemos uso del software MATLAB. Debemos adicionalmente seleccionar el
valor de D1 para cada ciclo de trabajo D del convertidor en general. Recordando que
D1  D 2  0.5 , y que 2 D1  D 2  D , es fácil observar que el ciclo útil para nuestro caso
es igual a D  D1 0.5 . Cuando queremos que el ciclo útil D sea igual a 0.5, D1=0, con
lo que la función de transferencia será igual a:
v~0 ( s)  0.09957S 3  3.023*105 S 2  1.807*109 S  1.872*1012

~
d ( s)
S 3  2.242*104 S 2  1.016*1010 S  4.687*1013
Cuando queremos que el ciclo útil sea igual a 0.75, el valor de D1=0.25, por lo tanto, la
función de transferencia es igual:
v~0 (s)  0.09957S 3  3.021*105 S 2  1.306*109 S  1.204*1012

~
d ( s)
S 3  1.91*104 S 2  2.591*109 S  7.61*1012
Técnica de muestreo por tensión y función de transferencia.
Esta técnica es muy sencilla ya que consiste de un simple divisor de tensión conectado a
la salida del circuito, por lo que su construcción se basa en la elección adecuada de los
resistores para que en estado estacionario, la salida aplicada sobre este resistor sea igual
a una señal de tensión de referencia externa que servirá para darle control a la
modulación de ancho de pulso que activan los elementos de conmutación. La tensión
que es muestreada VF , se compara con una tensión de referencia VREF por medio de un
comparador que servirá de compensador para el control en lazo cerrado del convertidor
total. En la figura 5 se puede observar el circuito necesario para realizar el muestreo de
tensión:
Figura 5: circuito usado para muestreo de tensión.
La función de transferencia del circuito de muestreo es igual a:
VF ( s )
RB

V0 ( s) R A  RB
El calculo de las resistencias R A y RB se basa en las características del amplificador de
error utilizado y de la magnitud de la señal de referencia. Sin embargo en algunas
ocasiones la tensión es tomada de forma directa de la salida.
En caso de que se use, el circuito entre la tensión de salida, y la señal de error del
amplificador es el de la figura 6:
Figura 6: circuito de muestreo en el que se incluye el compensador.
Para obtener una idea de cómo elegir las resistencias en un determinado rango, se debe
tener en cuenta la corriente de entrada del amplificador de error de acuerdo a las
especificaciones del fabricante. Asumiendo que la impedancia Zi'  R1 es de carácter
resistivo, tendríamos el circuito equivalente de la figura 7:
Figura 7: circuito equivalente de la entrada del amplificador compensador.
La corriente de este circuito es igual a:
I
VR ( RA  RB )  RBV0
( R1  RB )(RA  RB )  RB2
De donde podemos seleccionar en su mayoría a partir de un valor determinado R1, las
resistencias del circuito de muestreo de tensión.
Estudio de amplificador de error como Compensador en lazo cerrado del
convertidor.
La siguiente etapa a profundizar en el amplificador de error o compensador, el cual
tiene como función principal dar estabilidad y control al convertidor en aspectos
importantes como ganancia alta a bajas frecuencias y ganancia baja a altas frecuencias.
Adicionalmente, este compensador es el encargado de comparar la señal de salida del
convertidor con una señal de referencia para producir una señal de error y controlar el
ciclo útil de trabajo del interruptor. El circuito usado en este caso es el de la figura 8 [3],
[4]:
Figura 8: circuito usado como amplificador y compensador.
De acuerdo al análisis de un amplificador operacional ideal, la función de transferencia
del circuito en función de la tensión de entrada VF es igual a:
Zf
VC

VF
Zi
Donde por simplicidad, se puede tomar la tensión de referencia igual a cero para
calcular la función de transferencia para determinados valores de impedancia.
Cuando se habla de control, se debe hablar de estabilidad del sistema, para lo cual
también es necesario hablar de márgenes de fase y de ganancia en diagramas de
frecuencia o de Bode. El margen de ganancia es definido como el valor en decibeles
desde la frecuencia de corte del sistema hasta la frecuencia en la cual el desfase es de
180°. Es necesario indicar que la ganancia en la frecuencia de corte debe ser 0dB ya que
en este punto se considera que la ganancia es igual a 1. Por su parte, el margen de fase
es la diferencia entre 180° y la fase de la frecuencia de corte. Este ultimo punto es muy
importante, ya que si la diferencia de fase es 360° y la ganancia es 1, se tendrá un
sistema inestable ya que se generaran oscilaciones indeseadas. Por su parte, si la fase de
la frecuencia de corte es cercana a 180°, el sistema es estable pero generara oscilaciones
subamortiguadas en los transitorios que puede presentar el sistema. Por tal razón se
busca que el tipo de compensador a usar sea similar a un filtro pasabajo, ya que con
ganancias grandes a bajas frecuencias el error en estado estacionario entre la señal de
referencia y la señal de salida sea pequeño, y a frecuencias altas la ganancia sea pequeña
para que la frecuencia de conmutación no afecte el sistema con ganancias o armónicas
indeseadas. Un buen margen de fase esta comprendido entre un rango de 45° a 75°,
siendo 60° un muy buen punto para diseñar [3], [5].
Debido a que el tipo de amplificador a usar debe tener una respuesta similar a la de un
filtro pasabajo, el mejor tipo de compensador a implementar es de tipo integral. El
primer tipo de compensador que se puede diseñar para lazos de control, es conocido
como amplificador tipo1 y es el que se muestra en la figura 9 [5]:
Figura 9: amplificador tipo I.
En este compensador la resistencia Rbias es solo usada para polarizar y no afecta en nada
la ganancia del sistema, la cual de acuerdo a la figura 8 seria:
Zf 
Zf
V ( s)
1
1
, Z i  R1  C


SC1
VF (s)
Z i SC1 R1
Este tipo de compensador genera un desfase de 270 de la señal de entrada, causados por
los 180° del inversor del amplificador, y los 90° por el polo que tiene el sistema. Posee
además une pendiente de caída igual a -1 en frecuencia, que es equivalente a -20dB por
década, tal como se muestra en la figura 10:
Figura 10: comportamiento en frecuencia de amplificador tipo I.
Como se ve, este circuito aporta un desfase de 270° de forma independiente en todas las
frecuencias, lo cual no es muy útil para controlar la cantidad de desfase deseada. Si se
agrega un cero a la función de transferencia al compensador, el desfase puede ser menor
de 270° sobre algún rango de frecuencias, pero la ganancia podría generar una
pendiente positiva a medida que la frecuencia aumente, generando a su vez una
reducción de desfase de 45° a 90° a frecuencias mayores en la que ocurre el cero. Una
mejor solución es agregar a este compensador un par cero-polo, el cual es conocido
como amplificador tipo II, el cual puede verse en la figura 11 [5].
Figura 11: amplificador tipo II.
La función de transferencia de este compensador es:
s
1
R2 C1
Zf

V
1  1

Z f   R 
, Z i  R1  C  

SC1  SC2
VF
Zi

C  C2 


C2 R1 S  S  1
C
C
R
1 2 2 

Si se asume que C2  C1 [3]:
1
s
VC ( s)
R2 C1

VF ( s )

1 

C1 R1 S  S 
C2 R2 

Este convertidor tiene la ventaja de que puede realizar un empuje o “boost” de fase de
hasta 90°. Es realmente útil, ya que manejando la ubicación de la pareja polo-cero se
puede elevar la fase dependiendo de nuestras necesidades. Para realizar este empujón de
fase, se hace uso de una figura de merito K, la cual dependiendo de un valor puede alzar
una fase por medio de la expresión:
1
boost  tan1 ( K )  tan1  
K
La grafica del comportamiento en frecuencia puede verse en la figura 12 [5]:
Figura 12: comportamiento en frecuencia de amplificador tipo II.
Por tanto el ángulo de fase a la frecuencia de corte del compensador es:
1

K
 fcruce  270 tan1 ( K )  tan1 
Una vez establecida una figura de merito K, se pueden calcular la ubicación del polo y
del cero mediante las expresiones:
K
 frecuenciaCruce
Polo

cero
 frecuenciaCruce
Una buena técnica para la elección de la frecuencia de cruce, es tomarla 1/10 de la
frecuencia de conmutación del convertidor [5]. Finalmente, para ganancia a frecuencias
medias, se usa la relación entre R1 y R2 [3]:
G frecuencias medias 
R2
R1
Es importante considerar el tipo de controlador a usar, ya que la mayoría de plantas
tiene un comportamiento en frecuencia similar al que presenta la figura 13. Por tal razón
es más conveniente y más común el uso de un amplificador tipo II. Adicionalmente,
cuando se habla de planta se hace referencia al sistema conformado por etapa de filtro,
conmutador y PWM.
Figura 13: comportamiento típico de planta en lazo abierto.
Función de transferencia PWM
Finalmente la última etapa del convertidor que queda por determinar es la encargada de
generar la señal de control de los interruptores, mas conocidas como PWM o
modulación por ancho de pulso. Esta técnica consiste en tomar la señal de error de
salida del compensador y compararla con una señal diente de sierra de amplitud VP y
periodo igual al de la frecuencia de conmutación. Cuando la señal de salida del
compensador VC , es mayor a la señal diente de sierra, la salida del PWM será alto,
mientras que en caso contrario es cero. Cuando la tensión de salida del convertidor cae
por debajo de la señal de referencia, el error aumenta, produciendo un aumento de VC y
por lo tanto del ciclo de trabajo. El circuito usado para realizar tal comparación es
mostrado en la figura 14 [4]:
Figura 14: Circuito usado como generador PWM.
En la figura 15 se observa de forma grafica como se genera la señal PWM que se
aplicara a un transistor MOSFET, ante variaciones de la señal de salida del
compensador, generando variaciones en el ciclo útil de la señal de conmutación [4]:
Figura 15: funcionamiento de PWM durante un periodo de la señal diente de sierra.
En esta se evidencia como el ciclo útil depende directamente de la señal de salida del
compensador e inversamente del valor pico VP de la señal diente de sierra, por lo tanto
la función de transferencia es igual a:
d
VC
d ( s)
1


VP
VC ( s) VP
Referencias de Bibliografía
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Apuntes de clase de control, profesor Guillermo Guarnizo. Año 2008-I.
Universidad Nacional de Colombia.
J. Luís Muñoz Sáez, Sistemas de Alimentación Conmutados. Madrid, , Ed.
Paraninfo, 1997, pp. 129-205.
Daniel. W. Hart, Electrónica de Potencia. Madrid, Ed. Pearson, 2001, pp. 236–
238.
Marian. K. Kazimierczuk, Pulse-width Modulated DC-DC Power Converters.
Dayton, Ohio, USA, Ed. Wiley, 2008, pp. 103–110.
Braker Lane, Suite M Austin, “The K Factor: A New Mathematical Tool for
Stability Analysis and Synthesis”. Venable Industries, Inc. 2120. Disponible en
http://www.venableind.com.