11.- ANALISIS DE VIENTOS EXTREMOS 11.1- Distribución De Valores Extremos Tipo I (Tippet Frechet) Función de distribución acumulada (FDA) PY ( y ) e e Z (11.1) e = 2,7182.... Determina la probabilidad que un valor extremo cualquiera Y sea menor que otro fijado y PY( y ) Pr ob Y y (11.2) y = valor que puede tomar Y Si se lleva a un sistema de ejes coordenados x,y de ordenada PY( y) y abscisa y, obtendremos una curva similar a la indicada en (fig. 11.1) z = a (y – U) z = variable reducida (11.3) U = moda de la distribución 1/a = medida de la dispersión PY( y) 1 Pa = 0,63 0,37 PY (y ) = 0,37 0 U y z Fig. 11.1 Pag. 125 PY( y) 37% 0 y Z=0 y z Fig 11.2. La función de densidad de probabilidades (FDP) correspondiente será (fig 11.2) p Y( y) e z e z (11.4) La probabilidad que Y sea mayor que y será: Pa 1 PY( y ) Pr obY y (11.5) La moda U es la ordenada máxima de la FDP y corresponde a z = 0. En ese punto PY( y) e e e 1 0,3679 0,37 z Pa 1 PY( y) 1 0,3679 0,632 0,63 El área rayada representa el 37% de probabilidad que Y < y, lo cual coincide con el valor indicado en la ordenada del diagrama FDA. Pr obY y 0,37 Pr ob(Y y) 0,63 El problema consiste en determinar los valores de 1/a y U para poder trazar la curva FDA. En este caso, las variables aleatorias serán velocidades extremas anuales sobre un período de medición de 3 segundos Y V̂ ,que es el adoptado por el CIRSOC 102. Pag. 126 En adelante: PY ( y ) PVˆ En una localidad determinada se miden velocidades ,en N años, de igual tamaño T (período de observación) que puede ser 1 mes o 1 año generalmente. No todos los valores leídos en el período T se utilizan, sino solamente aquellos que son estadísticamente independientes En cada año se busca el máximo valor Se utilizará el ejemplo dado en Cook [1] correspondiente a velocidades medidas en el aeropuerto de Jersey – USA (1959/78) N = 21 años. Estos valores se colocan en la Tabla 11.1 en orden creciente del 1 al 21. Gumbel [2] utiliza un método aproximado basado en el modelo de mínimos cuadrados para determinar analíticamente U y a. Se minimizan los cuadrados de las desviaciones de la recta medidas en dirección perpendicular a la recta que se obtendría de los valores de V y z, volcados en un sistema de coordenadas. (Fig. 11.3) V̂ Fig. 11.3 z = a ( V̂ - U) Las ecuaciones halladas son las siguientes: U Vˆ - σ V̂ V̂N σN σ a= N σ V̂ (11.6) (11.7) V̂ = velocidad pico de ráfaga ˆ = velocidad promedio de las velocidades pico de ráfaga V σ V̂ = desviación Standard de la velocidad σN = desviación Standard esperada VN = valor medio esperado En la Tabla 11.2 figuran los valores de VN y σN en función del número de mediciones para N = 20, N = 1,06 y VN = 0,52. Pag. 127 TABLA 11.1 V̂ Vˆ V̂ Vˆ 2 N V̂ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 28.5 -6.67 44.49 29 -6.17 38.07 30 -5.11 26.73 31 -4.12 19.97 31.5 -3.67 13.47 31.5 -3.67 13.47 32.5 -2.17 7.13 34 -1.17 1.37 34 -1.17 1.37 35.5 -0.33 0.23 36 0.83 0.11 36.5 1.33 1.77 37 1.83 3.35 38 2.83 8 38 2.83 8 38.5 3.33 11.09 38.5 3.33 11.09 39 3.83 14.67 39 3.83 14.67 40 4.83 23.33 40.5 5.33 28.41 = 738,50 = 290,79 V̂ U z a V̂ U -4.8 -4.3 -3.3 -2.3 -1.8 -1.8 -0.8 0.7 0.7 2.2 2.7 3.2 3.7 4.7 4.7 5.2 5.2 5.7 5.7 6.7 7.2 -1.344 -1.204 -0.924 -0.644 -0.504 -0.504 -0.224 0.196 0.196 0.616 0.756 0.896 1.036 1.316 1.316 1.456 1.456 1.596 1.596 1.876 2.016 738,50 m Vˆ 35,17 21 seg Vˆ 1,06 m 0,28 3,81 seg U 35,17 a PVˆ p Vˆ 0.022 0.036 0.080 0.149 0.191 0.091 0.286 0.439 0.439 0.525 0.625 0.665 0.70 0.764 0.764 0.792 0.792 0.818 0.818 0.858 0.875 0.001 0.012 0.020 0.087 0.10 0.085 0.056 0.045 0.039 290,79 3,81 20 3,81.0,52 m 33,30 1,06 seg Tabla 11.2 N VN N 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200 500 0,51 0,52 0,54 0,54 0,55 0,55 0,55 0,56 0,56 0,56 0,56 0,57 0,57 0,57 1,02 1,06 1,11 1,14 1,16 1,17 1,19 1,19 1,20 1,21 1,23 1,24 1,26 1,28 Pag. 128 Media esperada VN y desviación standard N (i) En fig. 11.4 se presenta el diagrama de la función de densidad de probabilidades (FDP) para lo cual se aplica la (11.4) Pyy e z e z Para simplificar, solamente se utilizan algunas velocidades que sean suficientes para trazar la curva que posee la cola extendida hacia la derecha. El eje z coincide con el valor de la moda U = 33.3 m/seg. Si se desea, por ejemplo, alcanzar la velocidad de 39 m/seg. Se debe calcular el área de la superficie rayada, que es la integral del FDA. PVˆ 3 0 p Vˆ dv 1,596 p Vˆ dv 0,81 (11.8) 0 Pag. 129 Pag. 130 Pag. 131 La ordenada del diagrama FDA (Fig. 11.5) indica la probabilidad que la velocidad extrema anual V̂ sea inferior a un valor v PV̂ = prob (V̂ < v ) (11.9) Pa 1 PV̂ indica la probabilidad que esa velocidad v sea superada. Se define como “intervalo medio de recurrencia” R medida en años ,la relación R = 1/ Pa De donde R = 1/Pa El CIRSOC adopta R = 50 años, con lo cual Pa = 1/50 = = 0,02 Existe una probabilidad del 2 % que la velocidad v sea superada un a vez en un año cualquiera de los R Se denomina “período de retorno” S = R. T Generalmente se considera T = 1 año, por lo cual S = R y se puede,en adelante, llamar a R= “período de retorno” Pa prob V̂ v 1 PV̂ PV̂ 1 Pa (11.10) (11.11) Si se consideran otros n años (período de exposición) durante la vida de la construcción, la probabilidad que la velocidad v no sea superada por lo menos una vez en n años será: (PV̂ )n = prob(V < v)n = (1 Pa )n (11.12) La probabilidad de ser superada: 1 P 1 1 P n V̂ a n (11.13) En la Tabla 11.2, el máximo valor registrado es V = 40,5 m/seg que corresponde a una probabilidad 0,875 de no ser superada y 1-0,875 = 0,125 (12,5 %) de ser superada en un año cualquiera en el período de retorno R = 1/ 125 = 8 años La probabilidad que la velocidad V sea igualada o superada por lo menos una vez en un período de exposición n = 20 años será: Pa 1 1 0,125 20 0,93 93% (11.14) El Reglamento CIRSOC 102 establece velocidades pico de ráfaga de 3 segundos asociadas con una probabilidad anual del 2% de ser superada en un período de retorno R = 50 años en un período de exposición n = 50 años. Pa 1/ R 1 50 0,02 (11.15) Pag. 132 Pn 1 1 0,0250 0,6358 0,64 (11.16) Existe una probabilidad Pn del 64% que la velocidad del viento (asociada con una cierta probabilidad anual Pa = 2%), sea excedida o igualada por lo menos una vez durante un período de n años. Si se desea determinar analíticamente que velocidad de la Tabla 11.2 corresponde a Pa = 0,02. PV̂ 1 Pa e e De (11.8) z (11.17) Si se aplican logaritmos: ln(1 Pa ) = e z - ln(1 Pa ) = e z ln( ln(1 Pa )) = z z = ln[ ln(1 Pa )] = a(V̂ U) (11.18) aV̂ = aU ln[ ln(1 Pa )] 1 ln[ ln(1 Pa )] a V̂ = U V̂ = 33,3 (11.19) 1 ln[ ln(1 0,02)] = 47,23 0,28 Si se busca en el diagrama FDA, se obtiene un valor parecido. De (11.18): z = ln[ ln(1 Pa )] 1 Pa = PV̂ z = ln ln PV̂ ( ) PV̂ = 0,98 z = ln( ln 0,98) = 3,9 Se puede generar un gráfico que linealiza la curva FDA colocando en abscisa ln lnPV̂ y en ordenada las velocidades V̂ (Fig. 11.6). ( ) Una vez ubicados los puntos correspondientes se traza la recta de ajuste en base a mínimos cuadrados. Pag. 133 V̂ 50 47,23 45 1 y zU a 40 0,33 35 33,5 30 Fig. 11.6 25 20 15 10 5 0 -1 0 1 2 3 3,9 4 z ln ln PV̂ Para z = 3,9 corresponde V̂ 47m / seg Donde z= 0 V = 33 m/seg (moda) La tangente a la recta mide 1 a En el gráfico hallamos 1/a = 0,30 La expresión de la tangente será: 1 1 z U 3,9 33,3 47,23 a a 1 47,23 33,3 3,57 a 3,9 1 a 0,28 valor similar al hallado anteriormente 3,57 y 11.2.- Estimacion De Probabilidades (Metodo de Gumbel) En realidad los valores experimentales no siguen exactamente la distribución teórica y se puede buscar una forma de determinar las probabilidades, basada únicamente en la ubicación de la variable. Dice Cook [7]: “Los extremos son ranqueados hacia ascendente orden de magnitud. La posición de cada extremo en esta secuencia lograda se define como rango m. El menor tiene el rango m = 1, el segundo tiene el rango m = 2 y el más alto m = N, si hay N valores Pag. 134 extremos en los datos. Es conveniente usar el símbolo υ̂(m) para denotar el valor del extremo de rango m en la ecuación (entonces υ̂(m) es V̂2 o V 2 en los ejemplos) Usando el conocimiento de N observaciones pasadas es posible sacar conclusiones sobre el probable valor de cada siguiente observación, la N+1 observación. Si es menor que el primer extremo ranqueado υˆ (m = 1) habrá solamente un valor afuea de N+1 extremos. La estimación de esta ocurrencia es: 1 Pυ(m 1) = N +1 (11.20) . Similarmente, si es mayor que el último ranqueado υˆ (m = N) , luego N fuera de N+1 es menor y el estimativo de este rango es Pυˆ (m =1) = N N +1 En el caso general de υ̂(m) el estimado es Pυˆ (m =1) = (11.21) m N +1 (11. 22) La palabra “estimado” se usó deliberadamente para indicar que los valores resultantes de Pυ̂ no son exactos por las siguientes razones: 1 El valor Pυˆ (m) sólo puede ser discriminado para incremento de . N +1 El correspondiente valor de υ̂ solamente puede ser discriminado para incremento que dependen del anemómetro utilizado El registro puede no ser representativo de la distribución total. “Nótese que el rango de los extremos es el mismo si υ̂ es V o V2, luego la estimación de P es la misma en ambos modelos. El método de Gumbel se aplica usualmente a un grupo de velocidades máximas anuales, esto es que cada valor es la máxima velocidad del viento que produce en un período de 1 año. Pag. 135 TABLA 11.3 Maximum gust wind speeds for Jersey: Intermediate data for Gumbel plot Gust Reduced Rank CDF speed2 variate PV̂ 2 m 2 2 z V̂ (m/s) 812 1 0.045 -1.129 841 2 0.091 -0.875 961 3 0.136 -0.689 961 4 0.182 -0.533 992 5 0.227 -0.393 992 1056 1156 1156 1260 6 7 8 9 10 0.273 0.318 0.364 0.409 0.455 -0.262 -0.136 -0.012 0.122 0.238 1296 1332 1369 1444 1444 11 12 13 14 15 0.500 0.545 0.591 0.636 0.682 0.366 0.501 0.642 0.784 0.960 1482 1482 1521 1521 1600 1640 16 17 18 19 20 21 0.727 0.772 0.818 0.864 0.909 0.955 1.144 1.355 1.606 1.920 2.351 3.068 Se reproduce la Tabla C2 de Cook [7] donde las velocidades están al cuadrado y la probabilidad es la correspondiente a V2 (Tabla 11.3 ). En la Fig. C1 de Cook [1] se colocan en ordenadas las velocidades al cuadrado y en abscisas la variable reducida z = ln ln PV 2 .(Fig. 11.7) Así se obtiene gráficamente la recta representativa de la variación. ( ) Pag. 136 Re duced variate,z ln ln P lnnm / lN l Fig. 11.7 [Ref. 7] Para z = 0, se obtiene el valor de UV 2 y la pendiente de la recta determina el valor de 1 aυ2 . 1 a υ 2 = 245(m / s)2 UV 2 = 1120(m / s)2 Para hallar la velocidad correspondiente a un período R partimos de la (11.19) V̂ = U 1 a [ ln( ln(1 Pa ))] = U + 1 a [ ln( ln(1 1 R))] Esta expresión es similar a: V̂ = U ( ln R) Cook trabaja con velocidades al cuadrado. V̂ 2 = UV 2 V̂ = Uυ 2 1 aU2 1 aU2 ( ln R) R = 50 años 0,5 ( ln R) = [1120 245( ln 50)]0,5 = 45,6 m s 46 m s z = ln( ln 0,98) = 3,90 En la Fig. 11.7 se obtiene valores similares V 2 = 2116 11.3.- Aplicaciones Al Reglamento Cirsoc 102 El Reglamento CIRSOC 102 (94) [0] que se denominará en adelante C-94 fue reemplazado por el Reglamento CIRSOC 102 (01), en adelante C-01 [1]. El mapa de la República que presenta el C-94 contiene curvas de nivel de velocidades instantáneas máximas anuales obtenidas utilizando una distribución de extremos Tipo Pag. 137 II, sin considerar el período de exposición n, que luego es tenido en cuenta mediante un coeficiente de velocidad probable Cp. La mayoría de los Reglamentos (ASCE, British Standard, NB, etc.) utilizan la distribución Tipo I y los mapas ya están incluyendo el tiempo de exposición n. Cuando se cambió el Reglamento, CIRSOC decidió aplicar este último criterio para lo cual era necesario modificar el mapa. Raimundin y Cudmani [27], aconsejaron determinar un nuevo valor de Cp en base a la distribución Tipo I y ya con el tiempo de exposición incluido. C-94 V0 = velocidad básica de diseño C-01 V: velocidad básica de viento velocidad de ráfaga de 3 seg. para V0 .Cp Categoría de exposición C. Cp : coeficiente de velocidad probable en Pa = 0,02 n = 50 años función de n y : Pn Pn = 0,64 velocidad promedio de velocidades instantáneas pico de ráfaga sobre 3 seg. para Pa = 0,02 Pm de 0,01 a 0,50 m de 2 a 100 años Valores Extremos Tipo II PVˆ ˆ V e Valores Extremos Tipo I = 7,14 PVˆ e e a V U ˆ (11.26) (11.23) Valor Medio: ˆ 1 1 V (11.24) ˆ U 0,577276 V a (11.27) (11.25) Vˆ 6a (11.28) Desviación Standard: 2 1 V̂ 1 1 : Función gamma de Gauss Fx e t .e x 1dt 0 Si se igualan (11.24) con (11.27) y (11.25) con(11.28) Pag. 138 1 0,577216 1 7,14 a 3,14 1 2 2 1 1 2,4494 .a 7,14 7,14 (11.29) (11.30) Desarrollando la (11.29) 0,57726 a 0,157726 1,103 U a 0,8599 U (11.31) Desarrollando la (11.30) 1,2885 0,7199 2 0,8599 a 1,2885 0,05139 a 25,0730 a (11.32) Reemplazando la (11.32) en la (11.31) 0,577276 25,073 U 1,0799 1,103 U Raimundin obtiene un valor menor: U 1,001898 Se puede aceptar que la moda de la del Tipo I es igual a la velocidad de referencia de la del Tipo II. Viollaz y Salvatierra [26], revisaron los valores de velocidades de las 19 ciudades incluídas en el C-94 y agregaron otros con la contribución de la Dra. Schwartzkopf, dibujando un mapa con mayor densidad de isopletas y colocando los nuevos valores adecuados a la distribución Tipo I. Si se aplican logaritmos a la (11.1) z ln ln PVˆ (11.33) Pag. 139 De (11.11): Pn 1 PVˆ n } aV a V U ln ln{1 P } De donde: z ln - ln{1 Pn 1 n n U (11.34) 1 n Despejando V 1 1 V U 1 ln1 Pn n Ua (11.35) 1 1 Cp 1 ln1 Pn n Ua V .Cp (11.36) Para el aeropuerto de Córdoba se encontró U 27 m seg 1 3,8 m a seg Reemplazando en la (11.26) 3,8 Cp 1 ln ln1 0,64 27 Cp 1,55 V 27.1,55 41,85 42 m seg que es el valor hallado por Viollaz. En el C-01 figura para la ciudad de Córdoba 41 m seg En el C-01 se utiliza la nomenclatura “intervalo medio de recurrencia “R que es similar a “período de recurrencia” Figura la Tabla A-1(Tabla 11.4) en el Apartado A en función del riesgo de la construcción. Categoría I I II III IV 0,87 1 1,15 1,15 Pa 0,04 0,02 0,01 0,01 Tabla 11.4 N 25 50 100 100 Si la construcción es de bajo riesgo (Categoría I), se puede reducir el intervalo de recurrencia a R = 25 años ,por lo cual las presiones pueden modificarse a través de I = 0,87, donde Pa = 1/25 = 0,04 con lo cual ya hay una probabilidad mayor de ser excedida la velocidad en cualquier año en 25 años. Pag. 140 Si la construcción es de alto riesgo ,debe tenerse en cuenta un intervalo de recurrencia mayor, que es de 100 años. En ese caso, Pa= 1/100 = 0.01 con lo cual el riesgo sería del 1 % e I = 1,15. En los Comentarios del CIRSOC 102 figura la Tabla C2 donde figuran diversos valores de período de exposición n en relación a la probabilidad anual Pa (Tabla 11.5) y se obtienen los valores de la probabilidad de ocurrencia Pn . Tabla 11.5 Probabilidad anual, Pa Período de referencia (exposición), n (años) 1 5 10 25 50 100 0,04 (1/25) 0,02 (1/50) 0,01 (1/100) 0,005 (1/200) 0,04 0,02 0,01 0,005 0,18 0,10 0,05 0,02 0,34 0,18 0,10 0,05 0,64 0,40 0,22 0,10 0,87 0,64 0,40 0,22 0,98 0,87 0,64 0,39 Si usáramos otra probabilidad, por ejemplo para Pa = 0,02 = 1/125 (intervalo de recurrencia 25 años) Pn = 1 – (1-0,02)25 = 0,40 Probabilidad del 40% que esa velocidad sea igualada o excedida una vez a lo largo de un período de exposición n = 25 años. Si se usan valores de Pa distintos a 0,02 , deben afectarse los valores de los coeficientes I de la Tabla 11.4 mediante el factor de conversión establecido en la Tabla C3 de los Comentarios (Tabla 11.6) Tabla 11.6 Velocidad de pico de ráfaga para un intervalo medio de recurrencia de N = 50 años Intervalo medio de Factor de Pa recurrencia (R conversión años) 500 1,23 0,002 200 1,14 0,005 100 1,07 0,010 50 1,00 0,02 25 0,93 0,04 10 0,84 0,10 5 0,78 0,20 Pag. 141