Documento 239533

ECUACIONES POLINÓMICAS EN UNA
VARIABLE
Ecuaciones en una variable: Son aquellas en
Las ecuaciones en general, son igualdades
intervienen en la ecuación, contienen una sola
entre expresiones algebraicas en las que
variable.
intervienen
Ejemplos de ecuaciones en una variable, no
ecuaciones
una
o
más
constituyen
variables.
una
las que las expresiones algebraicas que
Las
importante
herramienta en el álgebra. Adquirir habilidad
para resolverlas resulta de suma importancia,
por cuanto ello facilita la solución a múltiples
problemas que se presentan en las aplicaciones
de matemática. POR CONSIGUIENTE UNA
ECUACIÓN
ES
MATEMÁTICO
UN
PARA
ENUNCIADO
RESOLVER
UN
PROBLEMA DE LA VIDA REAL.
polinómicas:
a) 2 x 
también: 2 x 
3
r2 1
b) 2r   
que puede expresarse
2
r
particulares. De esta manera:
Ecuaciones Polinómicas: Son aquellas en las
que las expresiones algebraicas que intervienen
en la ecuación, son polinomios (existen otras
expresiones algebraicas que no son polinomios,
tales
como
las
expresiones
algebraicas
racionales y otras).
Ejemplos de ecuaciones polinómica:
1
2
a) 2 x  y  4 x que puede expresarse
2
1
2
también: 2 x  y  4 x  0
2
1 3
4
2
b)  x  3 xy   x 
que puede
3
3
1 3
4
2
expresarse también:  x  3 xy  x   0
3
3
7
c) 3 x  y  z  5 que puede expresarse
3
7
también: 3 x  y  z  5  0
3
2r 2 
3t 
c)
miembro de la igualdad cumplen con ciertas
condiciones, las ecuaciones reciben nombres
1
 4x  0
2
2
también:
Cuando las expresiones algebraicas de cada
1
 4 x que puede expresarse
2
3 r2 1

0
2
r


7 2
1
t 1 
3
t 1
expresarse
3t 

que
puede
también:

7 2
1
t 1 
0
3
t 1
Ecuaciones Polinómicas en una Variable:
Son ecuaciones en las que las expresiones
algebraicas que intervienen son polinomios que
poseen una sola variable.
En general, son expresiones de la forma:
P x   0
El primer miembro es un polinomio en la
variable x (puede indicarse con cualquier otra
letra). Esa variable es la incógnita de la
ecuación y el grado de la ecuación, es el grado
del polinomio
P x  .
Ejemplos de ecuaciones polinómicas en una
variable:
a) 3x  10  0
es una ecuación
de primer grado.
b) 2 
1
x  x2  0
2
ecuación de segundo grado.
es una
c) 3m  1 
4
3 2
m 0
4
Propiedades de las operaciones en el
es una
conjunto de números reales
ecuación de cuarto grado (o de grado cuatro)
En R se definen las operaciones
adición y
Resolución de ecuaciones polinómicas en
multiplicación
siguientes
una variable en R
propiedades:
Resolver una ecuación, significa determinar
Propiedades de la adición
el/los valor/es de la incógnita que verifica/n la
1. Ley de cierre: Si a  R y b  R entonces
igualdad. Y hacerlo en el conjunto numérico R
implica
que
propiedades
es
de
posible
las
usar
todas
operaciones
de
las
este
conjunto.
Se denomina conjunto solución al conjunto
formado por los valores de la incógnita que
satisfacen la igualdad, que no es otra cosa que
el conjunto de raíces de P
x  , y se denota con
que
las
a bR
2. Ley uniforme: Si
a  R, b  R y c  R y a  b entonces
ac bc
3. Ley conmutativa: a  b  b  a
cualesquiera sean los números reales
a yb
4. Ley asociativa:
la letra S.
verifican
a  b  c   a  b  c
cualesquiera sean los números reales
ECUACIONES POLINÓMICAS DE PRIMER
GRADO CON UNA INCÓGNITA
5. Existencia del elemento neutro: Existe el
Estas ecuaciones también reciben el nombre de
ecuaciones lineales. Son expresiones de la
forma
a, b y c
Px   0 , donde Px  es un polinomio
de primer grado.
número 0 tal que a  0  0  a  a
cualquiera sea el número real
6. Existencia del inverso aditivo: Cualquiera
sea el número real
Por lo tanto, toda ecuación de primer grado con
una incógnita se puede escribir en la forma:
ax  b  0 siendo a y b números reales y
a0
ax es el término lineal y b el término
independiente
a
a , existe un único
número real b tal que
ab  ba  0
b  a
Propiedades de la multiplicación
1. Ley de cierre: Si a  R y b  R entonces
a b R
Resolución de ecuaciones lineales en R
2. Ley uniforme: Si
Para resolver una ecuación lineal con una
a  R, b  R y c  R y a  b entonces
incógnita en R, se recurre a la aplicación de las
ac  bc
propiedades que resulten necesarias para ir
obteniendo ecuaciones equivalentes a la inicial,
hasta
reducirla
a
la
expresión
general
3. Ley conmutativa: a  b  b  a cualesquiera
sean los números reales a y b
a  b  c  a  b  c
ax  b  0 . Una vez obtenida esta expresión,
4. Ley asociativa:
se continuará aplicando propiedades hasta
cualesquiera sean los números reales a, b y c
obtener la solución.
5. Existencia del elemento neutro: Existe el
multiplicativo
número 1 tal que a  1  1  a  a cualquiera
sea el número real
6. Existencia
1
1 
  3   x    6
3
3 
a
del
inverso
multiplicativo:
Cualquiera sea el número real
asociativa de la multiplicación
1 . x  2
a distinto de
cero, existe un único número real b 
Propiedad
Propiedad de la
1
tal
a
multiplicación de
un número con
que a  b  b  a  1
su
inverso
multiplicativo en
7. Ley distributiva de la multiplicación con
el
respecto a la adición
a  b  c  a  b  a  c cualesquiera sean
primer
miembro,
y
multiplicación en
los números reales a, b y c
el
miembro.
Ejemplo de resolución de una ecuación:
x  2
2  x  3  x  0
2x  6  x  0
segundo
Propiedad
del
neutro multiplicativo
Propiedad
Verificación
distributiva de la multiplicación con respecto a la
La verificación es un procedimiento que permite
suma
saber si el valor obtenido para la incógnita es o
2x  x  6  0
Propiedad
no el correcto.
El procedimiento consiste en reemplazar dicho
asociativa de la suma
3x  6  0
Suma dentro del
valor en la expresión original de la ecuación, y
paréntesis (se llegó a la expresión general)
resolver cada miembro hasta llegar a una
3x  6   6  0   6
identidad, lo que confirmaría que el valor hallado
Propiedad
es solución.
uniforme de la suma y existencia del inverso
aditivo
3x  6   6  0   6
Ejemplo: Verificación del valor x  2 como
solución de la ecuación
Reemplazando x  2 en la ecuación
Propiedad asociativa de la suma
original y operando, se obtiene:
3x  0  6
Propiedad de suma de un número con su
2 2  3  (2)  0
inverso aditivo en el primer miembro, y suma en
2 (1)  2  0
el segundo miembro
3 x  6
Propiedad
Como se llegó a una identidad, se concluye que
Propiedad
uniforme de la multiplicación y existencia del
inverso
22  0
del
neutro aditivo
1
1
 3 x    6 
3
3
2  x  3  x  0
x  2 es solución y el conjunto solución es S
={ -2}
A veces no es necesario llegar a la expresión
. Solución vacía.
igualada a cero (expresión general), ya que
. Infinitas soluciones.
resulta conveniente que los términos lineales
Ecuaciones con única solución
(que contienen la incógnita) se agrupen en el
Una ecuación tiene única solución si existe
primer miembro, mientras que los términos
solamente un número real que satisface la
independientes (que no contienen la incógnita)
igualdad. En este caso, el conjunto solución es
se agrupen en el segundo miembro.
el conjunto unitario formado por dicho número
Ejemplo:
Resolver
la
ecuación 4( x  1)  3  2 x  9 .
real.
Ejemplo: 7 x  4  1
Verificación
(en la resolución se aplican las propiedades sin
7x  4  4  1  4
indicarlas)
5
7   4  1
7
4   x  1  3  2 x  9
4x  4  3  2x  9
4x  1  2x  9
7x  0  5
54 1
4 x  1   1  2 x  9   1
7x  5
4x  0  2x  8
4x  2x  8
11
1
1
 7 x   5
7
7
4 x   2 x   8  2 x   2 x 
2x  8
1.x 
1
1
 2x   8
2
2
1.x  4
x
x4
5
7
5
7
Verificación
Luego de verificar, el conjunto solución es
Reemplazando x  4 en la ecuación original y
 5 
S 
 7 
operando, se obtiene:
4  4  1  3  2  4  9
45  3  8  9
20  3  17
17  17
Como se llegó a una identidad, se concluye que
x  4 es solución y el conjunto solución es S ={
Ecuaciones con solución vacía
Una ecuación tiene solución vacía cuando no
existe ningún número real que satisface la
igualdad. En este caso se dice que la ecuación
no tiene solución y el conjunto solución es el
conjunto vacío.
x  3  x  2x  4
4}
Ejemplo: 3 
Distintos tipos de solución
Resolviendo la ecuación resulta:
Las ecuaciones pueden presentar tres tipos de
solución:
. Única solución.
de
las
operaciones),
tal
es
el
caso
de
3x  9  x  2 x  4
igualdades en las que aparecen expresiones
2x  9  9  2x  4  9
algebraicas racionales. En estos casos, antes
2x  0  2x  5
de
2x  2x  2x  5  2x
determinarse el o los valores de la variable que
0 x  5  0
0 x  5
anulan los divisores (denominadores) para no
comenzar
se
debe
por cero no está definida.
igualdad obtenida 0 x  5 no se cumple para
Ejemplos:
ningún número real x, ya que para cualquier
a)
0  5 lo cual es un
absurdo, por lo que el conjunto solución es
vacío. Es decir S  
3x  3
0
x 1
condición a tener en cuenta es que x no puede
tomar el valor 1
resolver
Ecuaciones con infinitas soluciones
Una ecuación tiene infinitas soluciones cuando
propiedad:
existen infinitos números reales que satisfacen
real B  0
la igualdad. En este caso la ecuación recibe el
Se observa que el
denominador se anula para x = 1, entonces la
Para
nombre de identidad, y el conjunto solución es
la
ecuación,
se
2  x  5  5x  10  3x
la
A
 0  A  0 para todo número
B
3x  3  0
2 x  10  5 x  10  3 x
 3 x  10  10  3 x
 3 x  10  10  10  3 x  10
 3 x  0  3 x  0
 3 x  3 x
 3 x  3 x  3 x  3 x
0x  0
condición x  1
3x  3  3  0  3
3x  0  3
3x  3
1
1
 3x   3
3
3
3
1 x 
3
Esta ecuación tiene infinitas soluciones porque
x 1
para cualquier número real x, se obtiene 0 = 0
que es una identidad. El conjunto solución es S
=R
aplica
3x  3
0
x 1
el formado por todos los números reales.
Ejemplo:
resolución,
considerarlos como solución, ya que la división
Esta ecuación no tiene solución porque la
valor de x se obtendría
la
Valor que no es admitido como solución
por la condición
Por lo tanto en conjunto solución es S  
Casos particulares
Algunas ecuaciones que no son lineales,
pueden llevarse a la forma lineal mediante
pasos algebraicos (aplicación de propiedades
b)
2
1 x
0
x2
En esta ecuación el
valor no permitido para x es –2.
Resolviendo la ecuación, se obtiene:
Resulta una ecuación lineal:
 2x  5  0
2 ( x  2)  1  x
0
x2
Aplicaciones
Ya se mencionó la importancia de las
2x  4  1  x
0
x2
ecuaciones en la resolución de problemas.
3x  5
0
x2
ecuaciones con una incógnita, se procede de la
3x  5  0
1.
Para
problema
aplicando
Leer e interpretar el enunciado, para
poder
identificar
datos
e
incógnita
determinando las relaciones que existen
3x  0  5
entre ellos.
2.
1
1
  x     5
 3
 3
x
un
siguiente manera:
3x  5  5  0  5
1. x  
resolver
Cuando
se
trate
de
un
problema
geométrico, es conveniente realizar un
dibujo (esquema gráfico) donde se
anoten los datos e incógnita.
5
3
3.
Escribir la ecuación que corresponda a
la relación encontrada entre los datos y
5
3
la incógnita.
En este caso el valor de x cumple con la
4.
Resolver la ecuación.
condición de ser distinto de –2. Por lo tanto se
5.
Analizar la solución algebraica, para
puede verificar que el conjunto solución es
determinar si el valor obtenido responde
 5
S   
 3
a las condiciones del problema. En caso
afirmativo, se procederá a enunciar la
respuesta del mismo.
También pueden presentarse ecuaciones que
en principio parecen ser de segundo grado (o
más), pero que al llevarlas a su expresión
general, resultan ser lineales al anularse el/los
término/s
de
mayor
grado.
Por
ejemplo:
Ejemplo: El perímetro de un triángulo isósceles
es de 50 cm y la base mide 11 cm más que uno
de los lados iguales. Halle la longitud de los
lados.
2x  x  1  5  2x 2
En este caso, un gráfico permite ilustrar la
Aplicando propiedades se obtiene:
Llamando x a la longitud de los lados iguales, la
situación.
x
x
base
2x 2  2x  5  2x 2
quedará identificada con x + 11; y el perímetro
2x 2  2x  5  2x 2  5  2x 2  5  2x 2
será:
2x 2  2x  5  2x 2  0
Según los datos del problema, el perímetro es
x + 11
P  x  11  2  x
de 50 cm.
Por lo tanto, reemplazando este valor en la
expresión anterior, se obtiene la ecuación cuya
resolución
problema.
permitirá
dar
la
respuesta
al
50  x  11  2  x
La solución de esta ecuación es:
x = 13m
La respuesta del problema será entonces: La
base mide 24 cm (se obtiene al reemplazar el
valor de x en la expresión de la base) y los
lados iguales miden 13 cm cada uno.