Trabajo con máquinas Escuela: ______________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): Plan de clase (1/3)
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Trabajo con máquinas Plan de clase (1/3) Escuela: ______________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): __________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan sucesiones de números con progresión aritmética y con progresión geométrica a partir de la regla general o de la regla que representa la regularidad, respectivamente, dadas en lenguaje común. Consigna: Organizados en equipos realicen lo que se indica a continuación. 1. El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión. ENTRADA Posición 1, 2, 3, 4, 5,... MÁQUINA Regla general: Al número de la posición se multiplica por dos y al resultado se le resta dos. SALIDA Sucesión 0, 2, 4, 6, 8,... a) Aplica la regla que sigue la máquina y determina los términos que están en las posiciones 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 de la sucesión. _____________ ___________________________________________________________________ b) Si se introducen los números 50, 100, 500 y 1000, ¿cuáles son los términos de la sucesión que corresponden a estas posiciones? ___________________________ 2. Otra máquina se basa en la regularidad siguiente: “El número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término”. Si el primer término de la sucesión es 5, determina los primeros 6 términos de la sucesión: _________________________ Consideraciones previas: Es importante dejar claro que cuando se dice “regla general”, se hace referencia a la regla que permite determinar cualquier término de una sucesión en función de su posición. Y cuando se dice “regularidad”, se refiere al patrón de comportamiento de los términos de una sucesión, por ejemplo, en la sucesión: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,…, la regla general es 3n + 2, en donde n es el número de la posición. Si deseamos conocer el término de la posición 20, basta sustituir a n por 20 en 3n + 2. La regularidad de los elementos de la sucesión puede enunciarse de varias maneras, por ejemplo: “va de tres en tres”, “al término anterior se le suma 3 y se obtiene el siguiente”, etcétera. Dicho lo anterior, en la sucesión del primer problema representa una progresión aritmética, se pedirá la regla general; mientras que la sucesión del segundo problema cuya progresión es geométrica, se solicitará sólo que se enuncie la regularidad. La razón por la cual en el segundo problema no se llega a la regla general es porque su deducción es compleja para este nivel ya que su representación simbólica es una función exponencial. En el primer problema se espera que los alumnos no tengan ninguna dificultad para determinar los términos de la sucesión que están en las posiciones 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20. Por ejemplo, para el término que está en la posición 10, basta multiplicar este número por 2 y al resultado restarle 2; en este caso, el término que resulta es 18. Lo mismo se debe hacer para calcular los números de la sucesión que están en las posiciones 50, 100, 500 y 1000. Es probable que algunos alumnos confundan entre el número de la posición y el término de una sucesión, por lo que hay que estar pendiente de esta situación y en caso de que suceda, vale la pena aclararlo desde un principio y que no sea obstáculo para que los alumnos realicen adecuadamente los cálculos. En el segundo problema se trata de que los alumnos a partir de la regla de regularidad, determinen los primeros seis términos de la sucesión geométrica (5, 15, 45, 135, 405, 1215,…). Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se sugiere proponer los siguientes problemas: Si la regla que permite determinar cualquier término de una sucesión dice: el número de la posición se multiplica por 2 y al resultado se le suma 3. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión. Una sucesión está determinada por la siguiente regularidad: el número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término. Si el primer término de la sucesión es 10, ¿cuáles son los primeros 5 términos de la sucesión? Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Con un poco de ayuda Plan de clase (2/3) Escuela: _____________________________________ Fecha: _______________ Profesor (a): ________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen, en lenguaje común, reglas generales que permitan determinar cualquier término de sucesiones con progresión aritmética. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: Cada vez que Claudia resuelve problemas de sucesiones, la estrategia que le funciona es representar la información en una tabla para relacionar el número de la posición de la figura y el número de elementos que la componen; por ejemplo, para la sucesión: La tabla que construyó en su análisis de la sucesión es la siguiente: Número de la posición de la figura. Número de cuadrados Diferencia del número de cuadrados entre dos figuras consecutivas 1 5 2 9 4 3 13 4 4 17 4 5 21 4 6 25 4 Formulen, en palabras, una regla que permita determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión. Regla: ___________________________________________________________ ____________________________________________________________ Consideraciones previas: Para encontrar la regla de formación de la sucesión es necesario relacionar el número de la posición de la figura con el número de elementos que la conforman; por lo que si a los alumnos no se les ocurre cómo relacionar el número de la posición con cada término de la sucesión, se les puede plantear la siguiente pregunta: ¿Qué operación hay que hacer con el número de la posición de la figura para obtener el número de cuadrados que la conforman? A partir de esta pregunta, se espera que los alumnos prueben con varios cálculos; por ejemplo, que multipliquen por 5 el número de la posición. Cada vez que den una respuesta verbal, se les pedirá que verifiquen si se cumple con las otras parejas de números de la tabla, si no es así, que continúen en la búsqueda. Es probable que surjan respuestas verbales que corresponde a la regularidad que encuentran en la sucesión, pero que no es la regla general; por ejemplo: “Le va sumando de cuatro en cuatro”. “Le suma cuatro al término anterior para obtener el siguiente término”. “Sumarle cuatro al término”. En caso de que a nadie se le ocurra, se les puede solicitar que prueben multiplicar el número de la posición por la constante aditiva (4), que lo hagan y luego que vean cuánto se debe sumar o restar al producto para obtener el número de la sucesión. La regla que permite determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión es: “multiplicar por 4 la posición del término y al resultado sumarle 1”. Se pretende que a partir de resolver varios problemas, los alumnos lleguen a darse cuenta que una forma de encontrar la regla general de una sucesión con progresión aritmética consiste en multiplicar el número de la posición del término por la constante aditiva y analizar cuánto se tiene que sumar o restar al resultado para obtener el término de la sucesión; por lo que es importante no darles la receta. Si el tiempo lo permite se les puede pedir que, a partir de la regla que determinaron, encuentren los términos de la sucesión que están en las posiciones 10, 50, 100 y 1000. Para reafirmar los conocimientos adquiridos se podrían plantear los problemas siguientes: Escribe la regla general que permita determinar el número de cuadrados de cualquier figura de cada una de las siguientes sucesiones: a) Regla: _____________________________________________________________ b) Regla: _____________________________________________________________ Genera una sucesión de números cuya diferencia entre dos términos consecutivos sea siempre 5. Luego escribe con palabras la regla que permita calcular cualquier término de la sucesión. Para cada caso, escribe la regla general que permite determinar cualquier término de la sucesión. a) 6, 10, 14, 18, 22, 26, … Regla: _____________________________________________________ b) 3, 5, 7, 9, 11, 13, … Regla: _____________________________________________________ c) 1/12, 4/12, 7/12, 10/12,… Regla: _____________________________________________________ Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Encuentra la regularidad Plan de clase (3/3) Escuela: __________________________________ Fecha: _________ Profesor (a): ____________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen, en lenguaje común, la regla de la regularidad o del patrón de comportamiento de los elementos de una sucesión con progresión geométrica. Consigna. En equipo, completen las siguiente sucesiones y escriban con palabras una regla que defina la regularidad de cada una. Regla: _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ Regla: _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ Consideraciones previas: Las sucesiones que se plantean en este plan son de progresión geométrica. En el primer caso se trata de una sucesión con progresión geométrica creciente porque su razón es mayor que 1, en este caso es 2. En el análisis que hagan de esta sucesión se espera que puedan darse cuenta que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando por 2 al anterior, excepto el primer término. Las reglas generales de este tipo de sucesiones son exponenciales; por lo que es difícil que los alumnos de este nivel puedan obtenerla por los conocimientos necesarios para tal fin. Por ejemplo, para esta sucesión, la regla general para determinar cualquier término de la sucesión es: “dos elevado al número de la posición del término”; esto es, (an = 2n). Como puede verse, esta expresión es exponencial. En este tipo de sucesiones es suficiente con que los alumnos lleguen a identificar el comportamiento de los términos, no se les pedirá la regla general; sólo se espera que lleguen a escribir la regla que corresponde a la regularidad o patrón de comportamiento entre los términos como: “cada término se obtiene multiplicando por 2 al término anterior.” Con respecto a la segunda sucesión, se espera que los alumnos determinen que la razón 1 de crecimiento es , es decir, que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el 2 1 término anterior por , por lo que la regla que corresponde a la regularidad o patrón de 2 comportamiento entre los términos es la siguiente: “cada término se obtiene multiplicando 1 por al término anterior.” 2 Para reafirmar los conocimientos adquiridos se podrían plantear los problemas siguientes: Encuentra el octavo término de cada una de las siguientes sucesiones. a) 3, 9, 27, 81, 243,… b) 3, 6, 12, 24, 48,... c) 1, 0.1, 0.01, 0.001,... d) 1, e) 2, 6, 18, 54, 162,... f) 5, g) 54, 36, 24, 16, … 1 1 1 , , ,... 4 16 64 5 5 5 , , ,… 3 9 27 El cuarto término de una sucesión con progresión geométrica es 40. Si cada término se obtiene multiplicando al anterior por 2, encuentra el primero, segundo y tercer términos de la sucesión. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15