Operaciones con Matrices.

Operaciones con Matrices.
1.- Suma de matrices.
 a11  a1n 


Dadas las matrices mxn: A =      y B =
a

 m1  a mn 
 b11  b1n 


     la suma de ambas
b

 m1  b mn 
es la matriz mxn cuyas entradas se obtienen sumando las entradas de A y B:
 a11  b11  a1n  b1n 


A+B= 



  Mmxn.
a  b

m1  a mn  b mn 
 m1
Ejemplos:
i)
1
1


La suma de las matrices A =  1  1  y B =
 2 1 2


  2 1


 2 3 1 es
  2 1


1  1   1 2 
 1 2

 

A + B = 1  2 3  1  1  =  5 3 0 
 2  2 1 2  1  0 3 2 

 

ii)
Sumar la matriz nula a cualquier otra matriz de igual tamaño no altera a esta
última:
 a11  a1n   0  0 

 

A + O =     +    =
a
 

 m1  a mn   0  0 
=A
iii)
 a11  0  a1n  0   a11  a1n 

 


  =    
 
a  0  a  0 a

mn
 m1
  m1  a mn 
La suma de vectores fila o columna no es más que la conocida suma de vectores
en ℝn (o en ℂn):
a1
 a n  + b1  b n  = a1  b1  an  bn 
 a 1   b 1   a1  b1 
    

   +   =  
a  b  a  b 
n
 n  n  n
2.- Multiplicación de un escalar por una matriz.
 a11  a1n 


Sean ℝ (o ℂ) y A =      , entonces A =
a

 m1  a mn 
 a11  a1n 



 .
 
 a

 m1  a mn 
A es la matriz que se obtiene de multiplicar cada entrada de A por .
Ejemplos:
  1 0  4
 por 4, resulta:
Multiplicar la matriz A = 
2 3 1 1 3
i)
 3  ( 1) 3  0 3  ( 4) 
 =
3A = 
 3  (2 3) 3  1 3  (1 3) 
  3 0  12 


1 
 2 3
3.- Multiplicación de matrices.
 a11  a1n 
 b11  b1k 




Dadas matrices Amxn =      y Bnxk =      el producto A  B
a

b

 m1  a mn 
 n1  b nk 
 c 11  c 1k 


es la matriz Cmxk =      , en donde la entrada i, j de esta matriz es
c

 m1  c mk 
n
cij =
a
il
bl j .
l 1
Ejemplos:
i)
1  2 1 1 


1  1 0 0  , entonces
1 2 3 2 0 


 2 3  9 1

 19 9 4 3 2 3 
  1 0  4
 y B3x4 =
Si A2x3 = 
2 3 1 1 3
 5
(A  B)2x4 = 
 2
ii)
iii)
iv)
Multiplicación de un vector fila por un vector columna: Sean u = a1  a n  y
 b1 
 
v =    , el producto u  v es (la matriz 1x1) (a1 b1 + … + an bn). Note que el
b 
 n
producto de un vector fila por otro columna de igual tamaño coincide con el
producto escalar en IRn (habida cuenta que identificamos ambos conjuntos;
M1xn y Mnx1 con IRn). Con esta observación una forma práctica de multiplicar
dos matrices de tamaño apropiado consiste en multiplicar la fila i de la primera
por la columna j de la segunda, para así obtener la entrada i, j de la matriz
producto de ambas. Por ejemplo, en la entrada 2, 3 del producto A por B en
el ejemplo i) se obtiene multiplicando la fila 2 de A por la columna 3 de B:
 1
 
2 3 1 1 3   0  = 2 3  1  1 0  1 3  2 = ( 4 3 )
2
 
Multiplicar una matriz A por ambos lados por la matriz nula O, de tamaño
apropiado, siempre resulta la matriz nula, mientras que multiplicar por la
identidad de tamaño apropiado, también a ambos lados, siempre resulta la
matriz A.
  1 0  4
 y
Multiplicación de una matriz 3x2 por una 2x3: Sean A2x3 = 
  2 1  1
  1 2


  7  5
 , mientras que
B3x2 =   1 0  , el producto A  B = 
  1  5
 2 1


2
 3 2


BA=  1 0
4  . Con este ejemplo se muestra que la multiplicación de
  4 1  5


matrices no es una operación conmutativa. Se puede mostrar otros ejemplos de
matrices A y B para las que ni siquiera se puede cambiar el orden de
multiplicación.
En efecto, se puede multiplicar una matriz A2x3 con una B3x4, pero el producto
B  A no tiene sentido, pues para multiplicar matrices, la matriz a la izquierda
debe tener tantas columnas como filas tiene la matriz a la derecha.
v)
Si se multiplican matrices cuadradas siempre se puede cambiar el orden, pero
incluso en este caso, aunque hay muchos ejemplos en que se verifica la
conmutatividad para la multiplicación de matrices: A  A = A2, A  I = A = I  A,
A  O = O = O  A, la multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa:
 0 1  1 2   3 0   0 1  1 2   0 1

  
 = 
  
 = 
  

 1 0 3 0  1 2  2 3 3 0  1 0