Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase de modelación 1

Matemática básica para ingeniería (MA105)
Clase de modelación 12.2
1. Resuelva los siguientes SEL y clasifíquelos según su solución:
x  2 y  z  1

 y  2z  5
 x  y  3z  8

a.
3x  6 y  6 z  9

b. 2 x  5 y  4 z  3
5 x  28y  26z  8

En cada caso; obtenemos la matriz aumentada:
a)
 1 2 1
0 1 2

 1 1 3
 1 2 1
1

5
0 1 2

 1 R1  R3
8  
  0 3 2
1
0

 0, 25 R3

  0

x=1
2 1
1 2
0 1
1

5
3  R2  R3
7  

2 1 1 
1 2 5 
0  4  8
1
0

 0
1
5  Se tiene z = 2; y +2(2) = 5 y = 1; x-2(1)+1(2) = 1

2 
Por lo tanto se obtiene:
Sistema compatible determinado, solución única C.S   1;1; 2 
 3

b)  2
 5

 3 R1
9  


5 4
3 
28 26 8 

6
6
1
 1

 2
 5

3   2  R  R
 
3 
4
 5  R  R

28 26 8  

2
5
2
1
2
1
3
 1

 0
 0

2 2 3 

9 8 3 
18 16 23
 1
2 2 3 


 0 9 8 3  Como am = 0 y bm ≠ 0
 2  R2  R3


0
0 29
 0
Se tiene un sistema Incompatible que no tiene solución.
MA105
1
2. Un viajero acaba de regresar de Europa. Gastó $30,00 diarios en Inglaterra, $20,00 diarios en
Francia y $20,00 diarios en España por concepto de alojamiento. En alimentación gastó5 $20,00,
$30,00 y $20,00 diarios en Inglaterra, Francia y España respectivamente. En cada país gastó
$10,00 diarios en otros menesteres. Los gastos totales fueron $340,00 por alojamiento, $320,00
en comidas y $140,00 en otros gastos. ¿Cuántos días pasó el viajero en cada país?
Sea x: El número de días que está el viajero en Inglaterra.
y: El número de días que está el viajero en Francia.
z: El número de días que está el viajero en España.
Realizamos una agrupación de la información y se obtiene el sistema de ecuaciones
lineales:
INGLATERRA
FRANCIA
ESPAÑA
TOTAL
ALOJAMIENTO
30
20
20
340
ALIMENTACION
20
30
20
320
OTROS
10
10
10
140
Las restricciones del problema: x  0; y  0 ; z  0
La matriz aumentada es:
 1 1 1 14
 1 1 1 14 
1
 2 3 2 32  2 R1  R2


0
 0 1 0 4

 



 1 R3
 3 R1  R3
 3 2 2 34 


0

8

1

1
 
   0
10x  10 y  10z  140

20x  30 y  20z  320
30x  20 y  20z  340

1
1
1
1 14
0 4

1 8 
 1 1 1 14
 0 1 0 4  Se tiene z = 4; y = 4; x = 6  C.S   6 ; 4 ; 4  


 1 R2  R3


0
0
1
4
 
Se recomienda verificar los valores de las variables que se obtienen en el S.E.L.
Rpta: El viajero pasó 6 días en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España.
MA105
2
3. Kimberly Clark vende máquinas limpiadoras de alfombras. El modelo EZ-1000 pesa 10
kilogramos y viene en una caja de 10 pies cúbicos. El modelo compacto pesa 20 kilogramos y
viene en una caja de 8 pies cúbicos. El modelo comercial pesa 60 kilogramos y viene en una
caja de 28 pies cúbicos. Cada uno de sus camiones de entregas tiene 248 pies cúbicos de espacio
y puede contener un máximo de 440 kilogramos. Para que un camión esté totalmente cargado,
encuentre el número de cajas de cada modelo que debe llevar un camión de acuerdo a lo
siguiente:
a) Asigne variables a las incógnitas respectivas y formule el modelo matemático que involucre a
todas las incógnitas.
Sea x: El número de cajas del modelo EZ-1000.
Sea y: El número de cajas del modelo compacto
Sea z: El número de cajas del modelo comercial.
Realizamos una agrupación de la información y se obtiene el modelo matemático
solicitado:
PESO (Kg)
Modelo
EZ-1000
10
Modelo
COMPACTO
20
Modelo
COMERCIAL
60
VOLUMEN(pie3)
10
8
28
x
y
z
TOTAL
440
10 x  20 y  60 z  440

10 x  8 y  28 z  248
248
Las restricciones del problema x  0; y  0 ; z  0
b) Resuelva el modelo obtenido en (a) y determine el número de cajas que debe llevar cada
camión, si este número debe ser el mayor posible.
.
La matriz aumentada es:
1
1 2 6 44 
6
44   12  R2 
 1 2 6 44   10 R1  R2 1 2


8
10 8 28 248  0 12 32 192 

0 1
16 




3


La condición del problema es que el número de cajas sea el mayor posible.
8
2
2
z  t ; y  16  t ; x  12  t
Como x  0  12  t  0  t  18
3
3
3
8
z  0  t  0 luego: 0  t  6
Además y  0  16  t  0  t  6
3
Analizando se tiene:
Si: t  0  z  0 ; y  16 ; x  12  28cajas Si: t  3  z  3 ; y  8 ; x  10  21cajas
Si: t  6  z  6 ; y  0 ; x  8  14cajas
Rpta: El mayor número de cajas que puede llevar cada camión es 16 cajas del modelo
compacto ,12 cajas del modelo EZ-1000 y ninguna caja del modelo comercial.
MA105
3
 5  3 10
3 0,5 5
  1  3 2

1
0  ; D  
4. Dadas las matrices: A  
; B 6
:


 3 1 4
1  1 3

 5 2 2 
a) Determine AB .
 5 3 10 
c12 c13 
c
3 0,5 5 
A.B  A 2 X 3B3 X 3  C2 X 3  
.  6 1 0    11


1 1 3  5 2 2  c 21 c22 c23 


c11  (3)(5)  (0,5)(6)  (5)(5)  7 , c21  (1)(5)  (1)(6)  (3)(5)  16
c12  (3)(3)  (0,5)(1)  (5)(2)  1,5 ,
c22  (1)(3)  (1)(1)  (3)(2)  2
c13  (3)(10)  (0,5)(0)  (5)(2)  40,
c23  (1)(10)  (1)(0)  (3)(2)  16
 7 1,5 40
La respuesta que se obtiene al multiplicar las matrices es: A.B  

 16 2 16 
b) Determine el cofactor del elemento b32 .
Cofactor b32   1
3 2
M32   1
5 10
6 0
Cof (b32 )    5  .  0   10  .  6    60
c) Determine el detB utilizando el desarrollo por menores.
det B  B  5
1 0
6 0
6 1
  3
 10 
2 2
5 2
5 2
det B  B  5 1 2    0  2    3  6  2    0  5    10  6  2   1 5  
det B  B  10  36 170  216
d) Determine 2A  3D .
6 1 10 3 9 6   9 10 4 
2A  3D  



2 2 6  9 3 12 11 5 6
Tener en cuenta, que la matriz D se multiplica por el escalar (-3) para que se evaluara como
suma de matrices.
MA105
4
5. Una empresa quiere comprar 24 carros-tanque con una capacidad de carga combinada de 350 000
galones.
Se dispone de carros-tanques con tres diferentes capacidades de carga: 6 000, 8 000 y 18 000
galones.
a) ¿Cuántos carros tanques de cada tipo se deben comprar, si queremos la mayor cantidad
posible de los carros tanques de 6 000 galones?
b) ¿Cuántos carros tanques de cada tipo se deben comprar, si queremos la menor cantidad
posible de los carros tanques de 18 000 galones?
Sea x: El número de carros-tanque con capacidad de 6 000 galones.
y: El número de carros-tanque con capacidad de 8 000 galones.
z: El número de carros-tanque con capacidad de 18 000 galones.
Las restricciones del problema son: x  0; y  0 ; z  0 .
De la carga combinada: 6 000x  8 000y  18000z  350000  3x  4 y  9 z  175
Compra total de carros-tanque: x  y  z  24
Se obtiene el sistema de ecuaciones lineales y la matriz aumentada:
1x  1y  1z  24
1 1 1 24  ( 3) R  R 1 1 1 24 
 


 

3x  4 y  9 z  175
3 4 9 175
0 0 6 103
1
2
z  t , y  6 z  103  y  103 6t ; x  24  y  z  x  5t  79
103
79
 t
Como: z  0  t  0 , 103  6t  0  5t  79  0  t 
6
5
15,8  t  17,17 como son carros –tanque lo que se desea
Se tiene como intervalo:
Sea
determinar, los valores pueden ser t = 16 o 17.
a) Si se quiere x sea máximo entonces t es el mayor posible,
x  517  79  6 ; y  103 617  1 ; z  17
Rpta: Se debe comprar 6 carros- tanque con capacidad de 6 000 galones, 1 carros- tanque con
capacidad de 8 000 galones y 17 carros- tanque con capacidad de 18 000 galones.
b) Si se quiere z sea mínimo, entonces t es el menor posible: t = 16
x  516  79  1 ; y  103 616  7 ; z  16
Rpta: Se debe comprar 1 carros- tanque con capacidad de 6 000 galones, 7 carros- tanque con
capacidad de 8 000 galones y 16 carros- tanque con capacidad de 18 000 galones.
MA105
5
6. Una compañía constructora "Ingenieros asociados S.A" está proyectando un complejo
habitacional, planea construir departamentos de 1, 2, y 3 dormitorios, los que deben ser vendidos
en $20 000; $30 000 y $40 000 respectivamente, esperando obtener un ingreso total de $ 7 500
000.
El número de departamentos de 2 dormitorios debe ser el 50% del total y deberá construir la
menor cantidad de departamentos de 1 dormitorio por ser los de menor demanda ¿Cuántos
departamentos de cada tipo debe construir la compañía constructora?
Sea x: El número de departamentos de un dormitorio. Precio de venta: $20 000
y: El número de departamentos de dos dormitorios. Precio de venta: $30 000
z: El número de departamentos de tres dormitorios. Precio de venta: $40 000
Las restricciones del problema son: x  0; y  0 ; z  0 .
De los ingresos: 20000x  30000y  40000z  7 500000 2 x  3 y  4 z  750
Cantidad de departamentos: z  0,50   x  y  z   x  y  z  0
Realizamos una agrupación de la información y se obtiene el sistema de ecuaciones
lineales y se obtiene la matriz aumentada:
1x  1y  1z  0


2 x  3 y  4 z  750
Sea
1 1 1 0  ( 2) R1  R2
1 1 1 0 


2 3 4 750
0 5 2 750




z  t , 5 y  2 z  750  y 
Como: t  0 ,
750  2t
0
5

750  2t
5
; x yzx
750  7t
5
750  7t
 0  t  375  t  107
5
además t  m5
Para que el número de departamentos de un dormitorio sea mínimo el valor de t debe ser el mayor
posible y múltiplo de 5 donde t = 105 y remplazando se tiene.
x3 ;
y  108 ; z  105
Rpta: Se debe construir 3 departamentos de un dormitorio, 108 departamentos de dos dormitorios y
105 departamentos de tres dormitorios.
MA105
6
5
 3 7
 4  2
5 4 3 




4
8
7. Dadas las siguientes matrices: A  2
; B  7 6 ; C  





 0 7  2
 3  5  2 
 8 9 
a. Determinar BC
 4 2 
a
 5 4 3  


BC   7 6  
 d
0 7 2  

 8
 g
9 
b
e
h
c   20 2 16 
f    35 14 33
l   40 95 6 
Donde se obtiene
los valores:
a   4 5   2 0  20 b   4 4   27   2 c   43   2 2  16
d   7 5   6 0  35 e   7 4  67  14
f   7 3  6 2  33
g  8 5  9 0  40 h  8 4  97  95 l  83  9 2  6
b. Determinar el det A utilizando el desarrollo por menores
det A  a11M11  a12 M12  a13 M13
M 11 
4 8
2 8
 8  (40)  32 M 12 
 4  (24)  28
5 2
3 2
M 13 
2
4
3 5
 10  (12)  22 det A   3 32    7  28    5  22   182
c. ¿Existe la inversa de A ?
Como el determinante de la matriz A resulta 128 que es diferente de cero, por lo tanto, si
tiene matriz inversa.
MA105
7
8. Un departamento de pesca y caza proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres
especies de peces. Cada pez de la especie A consume cada semana un promedio de 1 unidad del
alimento I, 1 unidad del alimento II y 2 unidades del alimento III. Cada pez de la especie B
consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento I, 4 del II y 5 del III. Para un pez de
la especie C, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento I, 1 unidad del
alimento II y 5 unidades del III. Cada semana se proporcionan al lago 15 000 unidades del alimento
I, 10 000 unidades del alimento II y 35 000 del III. Si suponemos que los peces se comen todo el
alimento ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
Ordenando la información en un cuadro de doble entrada tenemos:
Alimento I
Alimento II
Alimento III
Especie A
x
1
1
2
Especie B
y
3
4
5
Sea x: El número de peces de la especie A.
Sea y: El número de peces de la especie B.
Sea z: El número de peces de la especie C.
1x  3 y  2 z  15 000

1x  4 y  1z  10 000
2 x  5 y  5 z  35 000

Especie C
z
2
1
5
TOTAL
15 000
10 000
35000
Se obtiene el sistema de ecuaciones lineales:
Las restricciones del problema x  0; y  0 ; z  0
La matriz aumentada de SEL es:
1 3 2 15 000 
1 3 2 15 000 
1 3 2 15 000 
1 4 1 10 000  


 0 1 1 5 000 
 1 R1  R2
 0 1 1 5 000 




1 R2  R3
 1 R1  R3
 2 5 5 35 000  




0

1
1
5
000
0
0
0
0


 
Como la última fila los elementos son ceros se tiene un sistema compatible indeterminado
Sea
z  t  y  z  5 000  y  t  5 000  como y  0  t  5 000  0  t  5 000
z  0  t  0 x  3t  5 000  2t  15 000  x  30 000  5t  x  0  t  6 000
5 000  t  6 000
Luego:
Si t  5 000  z  5 000  y  0  x  5 000
t  5100  z  5100  y  100  x  4 500
.
.
t  6 000  z  6 000  y  1000  x  0
Como:
Rpta: Para que el número de peces puedan coexistir el valor mínimo t debe ser 5 000 y el valor
máximo es 6 000. Se tiene 1000 posibilidades en el problema.
MA105
8
9. Una fábrica de muebles manufactura mesas, sillas y armarios. Cada pieza requiere tres operaciones:
corte de la madera, ensamble y acabado. Cada proceso requiere la cantidad de horas (h) que se da en
la tabla adjunta. Los trabajadores de la fábrica pueden proporcionar 480 h de corte, 760 h de
ensamble y 855 h de acabado cada por semana. ¿Cuántas mesas, sillas y armarios se deben producir
de modo que todas las horas de mano de obra se utilicen?
Corte (h)
Ensamble (h)
Acabado(h)
Mesa
½
½
1
Silla
1
1½
1½
Armario
1
2½
3
Sea x: El número de mesas que se produce en la fábrica de muebles.
Sea y: El número de sillas que se produce en la fábrica de muebles.
Sea z: El número de armarios que se produce en la fábrica de muebles.
Se obtiene el sistema de ecuaciones lineales:
Las restricciones del problema son: x  0; y  0 ; z  0 .
De las horas de corte: 0,5x  1,0y  1,0z  4801x  2 y  2 z  960
De las horas de ensamble: 0,5x  1,5y  2,5z  7601x  3 y  5z  1 520
De las horas de acabado: 1,0x  1,5y  3,0z  855 2 x  3 y  6 z  1 710
Realizamos una agrupación de la información y se obtiene el sistema de ecuaciones lineales
y se obtiene la matriz aumentada:
 1x  2 y  2 z  960

 x  3 y  5 z  1 520  La matriz aumentada es:
2 x  3 y  6 z  1 710

 1
 1

 2
2
3
2
5
3
6
960 
1R1  R2
1 520 




2

R
1  R3
1 710  


 1
 0

 0
2
1
2
3
1
2
960 
1

0
560 

1R2  R3

 210 
  0
2
1
0
2
3
5
960
560
350
Sistema compatible determinado,
5z  350  z  70 , y  3z  560  y  560 370  350
Como: x  2 y  2 z  960  x  960 2350  270  120
Solución única C.S   120 ; 350 ; 70  
Sí:
Rpta: Se debe fabricar 120 mesas, 350 sillas y 70 armarios para emplear toda las horas de mano de
obra disponible.
MA105
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10. La fábrica textil "Santa Catalina S.A." en su proceso productivo combina hilos de algodón, lino
y lana en diferentes proporciones para obtener sus telas: polystel, casimir, polypima y lanilla.
La siguiente tabla nos muestra los porcentajes exactos en lo que se deben mezclar los hilos para
obtener sus telas respectivas.
TELAS
Hilos de
Algodón
Lino
Lana
POLYSTEL
CASIMIR
POLYPIMA
LANILLA
40%
20%
40%
50%
10%
40%
40%
10%
50%
20%
20%
60%
Para la presente temporada la compañía "Santa Catalina S.A" dispone de 160, 80 y 180 toneladas
de hilos de algodón, lino, y lana respectivamente, la compañía desea saber las cantidades de
polystel, casimir, polypima y lanilla que obtendrá al combinar exactamente los hilos en las
proporciones especificadas. Además, se sabe que debe fabricar la menor cantidad posible de
polystel por estar en época no escolar.
Sea x: La cantidad de tela polystel que produce la fábrica textil en toneladas.
Sea y: La cantidad de tela casimir que produce la fábrica textil en toneladas.
Sea z: La cantidad de tela polypima que produce la fábrica textil en toneladas.
Sea w: La cantidad de tela lanilla que produce la fábrica textil en toneladas
Obtenemos el SEL:
0, 40 x  0,50 y  0, 40 z  0, 20w  160
4 x  5 y  4 z  2w  1 600


x10
0, 20 x  0,10 y  0,10 z  0, 20w  80  2 x  1y  1z  2w  800
0, 40 x  0, 40 y  0,50 z  0, 60w  180
4 x  4 y  5z  6w  1 800


Las restricciones del problema x  0; y  0 ; z  0 ; w  0
La matriz aumentada de SEL es:
4 5 4 2
2 1 1 2

 4 4 5 6

1
 4  R1  R2


0
 4  R1  R3


0


MA105

1
1 600   1 
  R2 xR1

2
800  
 4
4
1800 


1 1

1 400 
2 2

3 2 2 0 
2 3 2 200 


1
2
5
4
1

1 400 
2

4 2 1 600 
5 6 1 800 


10

1

1
  R3 XR2
2

 0

0



1

 2
   R3
 5
0


0


1
2
1
2
3
2
2
1
3
1
2
1
0
1
2
3
2
1

400 

1 100   3 R  R
2
3
 


2 0 

1

1

0


0

1
2
1
0
1
2
3
2
5

2

400 

1 100  Luego se tiene:


5 300 

1

1 400  Se tiene un sistema compatible indeterminado

1 100 

Hay infinitas soluciones

2 120 

w  t  z  2t  120  z  120  2t  z  0  t  60
3
Como: y  120  t   t  100  y  2t  80  y  0  t  40
2
1
1
Además: x   2t  80   120  2t   t  400  x  380  t  x  0  t  380
2
2
Sea
Con las restricciones se concluye: 40  t  60
Por condición del problema tenemos: x el menor valor posible por no estar en campaña
escolar.
Se toma el valor máximo de t  60 debido x  380  t  x  320
Remplazando valores se tiene
y  2t  80  y  40 z  120  2t  z  0 w  t  w  60
Rpta: La fábrica textil debe producir 320 toneladas de tela polystel, 40 toneladas de casimir, ninguna
cantidad de polypima y 60 toneladas de lanilla.
Monterrico, 08 de junio de 2009
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