S - FerChaMat

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una
distribución N (65; 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja
cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo
que haya en el primero un 20% de la población, un 65% en el segundo y un 15% en el
tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al
otro?
Supongamos para mayor sencillez que se trata de una distribución N (0, 1) y luego haremos
el proceso contrario a la tipificación
► p (Z  z1) = 0,2, hallaremos la probabilidad del suceso contrario: p (Z  z1) = 0,8.
Buscando en las tablas se tiene que z1 = 0,84 de donde z1 = 0,84
Al destipificar se obtiene: x1 = 65 + 18 • (0,84) = 49,88
► p (Z  z2) = 0,85, Buscando en las tablas se tiene que z2 = 1,04
Al destipificar se obtiene: x2 = 65 + 18 • 1,04 = 83,72
En resumen:
Baja cultura hasta 49 puntos.
Cultura aceptable entre 50 y 83.
Excelente cultura a partir de 84 puntos.
Aplicado un test a un grupo de 300 personas, se ha obtenido una distribución
normal de media 50 y desviación típica 5. Se pide:
a) Calcular el percentil 33.
b) Calcular las puntuaciones que delimitan el 30% central de la distribución.
c) Calcular el número de personas que obtiene en el test más de 47 puntos y
menos de 56.
Se trata de una distribución N (50, 5).
Sea X la variable aleatoria que expresa la puntuación de una persona.
a) p(X  P33) = 0,33;
p (Z 
P33  50
) = 0,33
5
Como en las tablas los valores son superiores a 0,5. Trabajaremos con la
probabilidad del suceso contrario:
p (Z  z) = 0,67  z = 0,44 entonces
P33  50
= 0,44, de donde se deduce:
5
P33 = 50 + 5 (0,44) = 47,8
Es decir, P33 = 47,8
b) Sea (k, k) el intervalo en el que se distribuye el 30% de la distribución
p (k  X  k) = 0,30
2 p (0  X  k) = 0,30
2 [p (X  k)  0,5] = 0,30
2p (X  k) = 1,30
=>
p (X  k) = 0,65 en las tablas se obtiene k = 0,39
destipificando resulta:
x2 = 50 + 5 · 0,39 = 51,95
x1 = 50  5 · 0,39 = 48,05
Por tanto, el 30% central de la distribución se encuentra en el intervalo (48,05 , 51,95).
47  50
56  50
Z
) = p (0,6  Z  1,2)
5
5
= p (Z  1,2) – p (Z  –0,6) = 0,8849 – (1 – 0,7257)
= 0,6106
c) p (47  X  56) = p (
Por tanto de 300 personas se espera que haya aproximadamente:
300  0,6106  183 personas