Unidad 5: Montaje básico de equipos frigoríficos

UNIDAD 3: CÁLCULO BÁSIC0 DE RESISTENCIA DE MATERIALES.
IES BEatriu Fajardo. PMI Rafael Ferrando 2011
Teoría:
- Tipos de esfuerzos.
- Elasticidad, ley de Hook. Módulos resistentes.
- Resistencia de los aceros, y otros materiales.
- Cálculo de elementos a tracción y compresión.
- Estudio de la flexión. Módulo de inercia y Módulo resistente. Flecha.
- Piezas en voladizo.
- Cálculo de soportes para tuberías.
- Cálculo de bancadas de máquinas.
INTRODUCCIÓN.En esta unidad vamos a aprender a calcular elementos básicos en las instalaciones térmicas
y de fluidos, como son pilares, vigas, bancadas de equipos, soportes de tuberías, etc.
Se trata de unos conceptos sencillos de resistencia de materiales y estructuras, adaptados a
las instalaciones que puede proyectar o dirigir un Titulado Superior en FP.
La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las
deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores, y su capacidad
para resistir esfuerzos sin romperse..
1.- ESFUERZOS SOBRE LOS MATERIALES.
Las fuerzas que aplicamos a los materiales les llamamos acciones o cargas.
Los materiales por el efecto de las fuerzas o cargas, responden con una fuerza interna, que
contrarresta la carga exterior.
Cargas:
Las cargas pueden ser:
- Puntuales, cunado se aplican sobre un punto del material.
- Uniformemente repartida, cuando se aplica por igual a lo largo de la pieza, por
ejemplo una capa que pesa sobre una viga. Se expresa en kN/m.
- Uniformemente variada, cuando la carga va creciendo o disminuyendo de forma
uniforma.
Esfuerzos:
Si a una pieza de sección A, le aplicamos una fuerza F, el esfuerzo que recibe el material lo
denominamos σ (sigma) o esfuerzo unitario, ya que es la fuerza por unidad de superficie.
F
σ = ----A
Si F se da en kN y A en cm2, σ en kN/cm2
El esfuerzo es la fuerza que recibe un material por unidad de superficie.
Cada material tiene un límite de resistencia para suportar esfuerzos, a partir del cual se
rompe.
Por ejemplo un acero normal resiste sobre 42 kN/cm2 antes de romperse.
La madera resiste de 0,4 a 0,7 N/cm2
1
2.- LEY de HOOK
Alargamiento:
Al someter una barra de acero de longitud L a unas fuerzas de
tracción opuestas, se produce un alargamiento δ (delta)
El alargamiento unitario ε (epsilon) sería la relación entre este
alargamiento y la longitud L de la barra.
δ
ε
= --------L
Ejemplo: Si la barra tiene 200 mm, y se alarga 1 mm:
δ = 0,1 mm, ε = 1 / 200 = 0,005
La denominada Ley de Hook constituye la base de la Resistencia
de Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico.
Esta ley establece que si la tensión normal σ se mantiene por debajo de un cierto valor,
llamado límite elástico, las deformaciones unitarias y las tensiones son directamente
proporcionales.
σ
---- = constante
ε
Para obtener los datos antes mencionados se
pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los
cuales uno muy difundido es el de tracción. Para
este ensayo usualmente se emplean probetas
especiales, que consisten en barras de sección
circular, las cuales son estiradas en una máquina
especialmente diseñada para el ensayo, hasta su
rotura. La máquina mide la fuerza realizada, y el
estiramiento de la pieza o probeta.
Si le introducimos la sección de la pieza y su
longitud, esta máquina realiza un gráfico en que se
muestra la relación entre el esfuerza de la pieza σ y
alargamiento unitario ε.
2
su
En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características:
a) Zona elástica
Esta zona queda delimitado por la tensión σe (límite de elasticidad). El límite de elasticidad
se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir
que producida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial.
Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el σp (límite de proporcionalidad),
dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre σp y σe, si bien es elástica, no
manifiesta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones.
En la primera zona se manifiesta que:
σ
---- = constante = E
ε
Este valor E lo llamamos módulo de elasticidad, y tiene un valor
distinto para los diferentes materiales. En el caso del acero es:
21000 kN/cm2
En la segunda zona el módulo de elasticidad se llama reducido, y
es muy similar al primero.
b) Zona plástica (fluencia)
Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el
material fluye, es decir,
aumentan las deformaciones sin que existe aumento de tensión.
c) Zona de endurecimiento y de estricción
Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico,
después de la fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que
le confiere la capacidad de incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento
de carga. Sin embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas.
La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado “tensión de rotura”, a
partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada deformación de
rotura, produciéndose la rotura física. Este descenso es ficticio, pues en realidad lo que está
disminuyendo es la sección neta de la barra que ha sufrido una estricción.
3
Otros materiales muestran curvas diferentes:
Valores del módulo de elasticidad de diferentes materiales:
El módulo de elasticidad se puede indicar con diferentes unidades, por ejemplo para el acero
es:
Sistema
Módulo elasticidad E
Técnico
2,1.106 kg/cm2
Internacional
2100 MPa
“
21000 kN/cm2
“
210 kN/mm2
3.- RESISTENCIA DE LOS ACEROS DE CONSTRUCCION.En la norma AIS-SAEI los aceros se denominan según su composición:
Nº AISI:
Descripción
Ejemplo
10XX
Son aceros sin aleación con 0,XX % de C
(1010; 1020; 1045)
41XX
Son aceros aleados con Mn, Si, Mo y Cr
(4140)
51XX
Son aceros aleados con Mn, Si y C
(5160)
4
La segunda forma de designar los aceros es a través de su resistencia mecánica en tracción, es el
caso de los aceros de uso estructural:.
Grados del
Acero
Resistencia
a la tracción
Rm
Límite de
fluencia
Re
Alargamiento
en 50 mm
Kgf/mm2 Mpa Kgf/mm2 Mpa
%
A37-24ES
37
363
24
235
22
A42-27ES
42
412
27
265
20
A52-34ES
52
510
34
324
18
A44-28H
44,9
440
28,6
280
16
A63-42H
64,2
630
42,8
420
(*)
A37-24ES A: Acero; A44-28ES ES: Estructural soldable; A63-42ES H: Para hormigón
En Europa se designan con la Norma UNE-EN 10027, que es obligatoria para todas las
empresas europeas.
4.- CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DE TENSIÓN
ADMISIBLE Y DE CARGA ADMISIBLE.
Al realizar el dimensionamiento de una pieza debemos crear seguridad ante posibles fallos,
lo cual puede producirse por coincidir varias circunstancias desfavorables.
Existen numerosas causas de incertidumbres:
� Las hipótesis de cargas
� Las hipótesis de cálculo
� Los errores de cálculos
� Defectos del material
� Errores de las dimensiones
� Errores de ejecución
El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el
basado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza
controlando el valor de la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura.
La tensión máxima de trabajo no debe superar cierto valor.
σ max ≤ σL / v
σL: valor límite de la tensión para el material dado
ν: un número mayor que la unidad denominado
“coeficiente de seguridad”
Para el caso de materiales dúctiles el valor límite σL es el límite de fluencia, en el caso de
materiales frágiles σL es el límite de resistencia o tensión de rotura. La relación σ / ν L recibe
el nombre de “tensión admisible”.
σL
----- = σ adm
v
5
La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor grado de incertidumbre
que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una serie de criterios, en general
basados en la experiencia o en la normativa de aplicación legal.
Valores que varían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de los
edificios y los estados de carga considerados. Para estructuras de hormigón armado, los
coeficientes de seguridad varían entre 1,75 y 2,10. Para el caso de la madera, material que
presenta muchas incertidumbres en cuanto a su comportamiento, los coeficientes de
seguridad suelen ser bastantes más grandes.
Las cargas sobre la pieza también se multiplican por un coeficiente para aumentarlas:
6
5.- CÁLCULO DE PIEZAS A TRACCIÓN O COMPRESIÓN SIMPLE.La resistencia de una pieza sometida a tracción o compresión simple es fácil, pues
utilizamos la fórmula del esfuerzo:
F
σ = ------A
Ejemplo: calcular el esfuerzo en un cable de acero de 0,5 cm2 de sección, que sostiene una
carga de 500 kg..
Solución:
Fuerza = m.g = 500 x 9,81 = 4905 N = 4,95 kN
Esfuerzo σ = 4,95 / 0,5 = 9,81 kN/cm2
En el ejemplo anterior comprobamos que el esfuerzo que está realizando el cable es
inferior al máximo permitido por el material. Sin embargo lo más frecuente es dimensionar el
cable dada una carga a transportar.
Ejemplo: Calcular el diámetro del cable de acero necesario para sostener una máquina de
5.000 kg de peso. Acero con tensión de rotura =180 kN/cm2. Coeficiente de seguridad = 4.
Coeficiente de mayoración de la carga 1,5
Solución:
Fuerza de cálculo = F . c = 5000 . 9,8 . 1,5 = 73500 N = 73,5 kN
Esfuerzo admisible σ adm = σ r / v ; σ adm = 180 / 4 = 45 kN/cm2
σ = F/S : S = F / σ = 73,5 / 45 = 1,63 cm2.
Sección S = Л .D2/4 ; D = √ (S . 4 / Л) = √ (1,63 . 4 / 3,14) = 1,44 cm
El mismo cálculo se aplica en el caso de piezas sometidas a compresión simple (sin
pandeo).
6.- ESTUDIO DE PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN.Si tenemos una pieza rectangular, y le marcamos unas líneas verticales y
horizontales, y después la sometemos a una flexión, podemos comprobar que:
1- Las líneas verticales se juntan en la parte superior, y se separan en la inferior.
2- Si medimos las líneas horizontales vemos que las superiores se acortan y las
inferiores se alargan.
3- La línea horizontal central no cambia de longitud.
Por lo tanto una flexión supone para la pieza dos esfuerzos:
1- Una compresión de su parte superior
2- Una tracción en su parte inferior
3- La zona central casi no tiene esfuerzo.
7
El esfuerzo en una viga sometida a flexión se calcula con la fórmula siguiente:
σ=
Mf . y
---------- ;
If
Siendo:Mf = momento flector aplicado a la pieza.
If = Momento de inercia de la sección de corte.
y = dist del centro de gravedad a la fibra más alejada
Como el momento resistente de la sección
If
W = -------y,
La fórmula queda :
Mf
σ = -----------W
Mf momento flector en Newton por metro N.m
W momento resistente en cm3
En las tablas de perfiles normalizados podemos obtener W.
7.- CÁLCULO DE LA FLEXIÓN.Los apoyos en una flexión pueden ser:
1- Apoyo simple, que permite a la pieza girar. Se representa por ▲
2- Apoyo empotrado, no permite giro. Se representa por │≡
3- Apoyo en voladizo, falta el apoyo de un lado
8
La distancia entre apoyos la llamamos Luz.
Las cargas pueden ser:
1- Concentradas, cuando son fuerzas que se aplican en un punto de la pieza.
2- Repartidas, cuando son uniforma a lo largo de la pieza.
Los momentos flectores Mf son el resultado de multiplicar la fuerza por la distancia
hasta el apoyo.
Seguidamente se indica un formulario con las situaciones más comunes en flexión de
vigas.
El proceso para el cálculo será el siguiente:
A) Para hallar la tensión de una viga ya seleccionada:
12345-
Ver el tipo de viga: si está apoyada, empotrada o en voladizo.
Ver el tipo de carga: puntual o repartida.
Aplicar la fórmula de la segunda columna para obtener el momento flector M.
Buscar el momento resistente W en las tablas del perfil de la viga (IPN, IPE..)
Aplicar la fórmula de la flexión σ = M / W, y obtener la tensión que soporta el
material.
6- Comprobar si el material resiste la tensión σ, y en ese caso hallar el coeficiente de
seguridad V = σadm./ σ
B) Para hallar seleccionar una viga dada la carga y el coeficiente de seguridad:
123456-
Ver el tipo de viga: si está apoyada, empotrada o en voladizo.
Ver el tipo de carga: puntual o repartida
Aplicar la fórmula de la segunda columna para obtener el momento flector M.
Hallar la tensión admisible del material σadm = σe / v
Hallar el momento resistente W = Mf/ σadm
Buscar en las tablas el perfil de la viga (IPN, IPE..) con W mayor el hallado.
Ejemplo:
Calcular una viga bi-apoyada, con una luz de 5 m, y una carga puntual de 2 Tm en su centro.
Acero σadm = 24 kN/cm2
Solución:
Fuerza = 2000 . 9,81 = 19,62 kN. Luz 5 m = 500 cm
Buscamos en el formulario la viga en cuestión, resultando la fórmula del momento la
siguiente:
M = F . L / 4 = 19,6 . 500 / 4 = 2450 kN.cm
9
Como conocemos σadm , hallamos el
momento resistente W:
W = Mf/ σadm = 2450 / 24 = 100 cm3
Elegimos un perfil IPE 160, con un W =
109
(si nos exigieran un determinado
coeficiente de seguridad, rebajaríamos
σadm)
Ejemplo:
Calcular una viga bi- empotrada, con una luz de 4 m, y una carga repartida de 4000 kg/m..
Acero S-355. Coeficiente de mayoración 1,5
Solución:
Fuerza = 4000 kg/m . 9,81 = 39,24 kN/m. F cálculo = F . c = 39,24 . 1,5 = 58,86 kN/m
Buscamos en el formulario la viga en cuestión, resultando la fórmula del momento la
siguiente:
M =Q . L2 / 12
M = ,58,86 .42 / 12 = 78,48 kN.m = 7848
kN.cm
Para el acero S-355 σe = 345 N/mm2 =
34,5 kN/cm2
Con un coeficiente de seguidad v = 1,5
σadm = 24,5 / 1,5 = 23 kN/cm2
W = Mf / σadm = 7848 kNcm / 23 = 341
cm3
Elegimos un perfil IPE 330, con un W =
402 cm3
7.- CÁLCULO DE LA FLECHA.Las piezas sometidas a flexión se curvan en el sentido de la fuerza , en un descenso que
llamamos flecha.
La flecha máxima tolerable suele se un quinientosavo de la luz: f < Luz / 500
Ejemplo: Flecha máxima tolerable para una viga de 6 m de luz:
Solución: 6 / 500 = 0,012 m = 12 mm.
Para calcular la flecha de viga utilizaremos el formulario indicado, buscando la fórmula de la
flecha f en la última columna.
10
En esta fórmula aparece el módulo de elasticidad E del material y el momento de inercia I del
perfil, que se puede leer en la tablas :
Ejemplo: Calcular la flecha de una viga bi-apoyada, con una luz de 5 m, y una carga puntual
de 2 Tm en su centro. Acero σadm = 24 kN/cm2. Perfil PE-160
Buscamos en el formulario la viga en cuestión, resultando la fórmula del momento la
siguiente:
f = F . L3 / 48 .E . I
Fuerza = 2000 . 9,81 = 19,62 kN. Luz 5 m
E = 21000 kN/cm2.
De las tablas IPE-160: Ix = 869 cm4
Sustituimos:
f = 19,62 . 5003 / (48 . 21000 – 869) = 2,79 cm
Flecha máxima 500/500 = 1 cm.
Luego la flecha es superior a lo admisible.
En este ejemplo vemos como al dimensionar una viga no sólo hay que tener en cuenta que
resista con seguridad las cargas, sino que además tiene que tener una deformación
admisible. La solución en este caso será el adoptar un perfil superior y volver a comprobar la
flecha.
Si adoptamos un IPE 220, con I = 2770 cm4, la flecha queda en 0,87 cm que es menor de 1.
8.- COMPRESIÓN CON PANDEO.El pandeo se produce cuando comprimimos una “esbelta”, es decir con poca anchura
respecto a su altura.
Al aplicar la carga de compresión, la pieza se
curva, con lo el material ya no resiste a
compresión, sino a una compresión y flexión.
En estos casos, la tensión de compresión se
incrementa en un valor que llamamos
coeficiente de pandeo ω, el cual depende
tipo de material, y de cómo esté anclada la
pieza.
F
σ = ---------S.ω
del
Para evitar esto, debemos de calcular la
carga crítica a partir de la cual la pieza
pandea.
Para calcular este coeficiente, primeramente
calcularemos la esbeltez de la pieza, que es
relación entre su anchura y la longitud del
arco de pandeo Sx
la
En la figura siguiente se pueden ver las
posibles variaciones del dicho arco de
pandeo Sx.
11
La esbeltez es la longitud de pandeo dividida por el radio de giro i de la sección (tablas
perfiles).
Sx
λ= ----------i
Una vez conocida la esbeltez, utilizaremos la tabla correspondiente al acero empleado, y de
ella obtenemos el coeficiente de pandeo ω.
Ahora ya calculamos la tensión real que es
F.ω
σ = ------------S
Ejemplo: Calcular a pandeo un pilar empotrado en ambos extremos, formado por un perfil
IPE 200, de 4 m de altura, y que soporta una carga de 20 Tm.
Solución: Sin pandeo, la tensión sería σ = F/s = 200 kN/ 28,5 = 5 kN/cm2.
Con pandeo debemos calcular la esbeltez:
Longitud de pandeo Sx = 0,5 L = 2 m = 200 cm
Radio de giro i (tabla perfiles IPE) iy = 2,24 cm (tomamos iy por ser menor que ix)
Esbeltez λ = Sx/i = 200 / 2,24 = 89,28
Con la tabla de acero A-42, para 80 y columna 9, el coeficiente de pandeo es 1,71.
La tensión del pilar será: σ = 5 kN . 1,67 / 28,5 = 8,3 kN/cm2 < 17 kN/cm2 admisibles.
12
Coeficientes de pandeo según la esbeltez λ para los aceroa A-37 y A-42
13
9.- OTROS CÁLCULOS POR RESISTENCIA.CORTADURA:
Es cuando una pieza es sometida a fuerzas transversales de sentidos opuestos.
Se produce en piezas sometida a una zizalladura, como un tornillo que una dos piezas a
tracción.
TORSIÖN:
Se produce al girar una pieza sobre si misma. Es el esfuerzo predominante en ejes de
transmisión.
ESFUERZOS COMBINADOS:
Es cuando una pieza soporta al mismo tiempo esfuerzos de tracción, torsión o flexión.
El cálculo de estas piezas excede el ámbito de este curso.
14
UNIDAD 3-2: ESTATICA DE FUERZAS.
IES BEatriu Fajardo. PMI Rafael Ferrando 2011
Teoría:
- Suma de fuerzas. Resultante.
- Descomposición de fuerzas.
- Cálculos con cables.
- Cálculo de soportes.
15