TEMA 8 FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO 1. LEY DE BIOT

TEMA 8
FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO
1. LEY DE BIOT-SAVART
Un experimento relativamente simple realizado por primera vez por Oersted, en
1820, demostró claramente el hecho de que un alambre portador de corriente produce un
campo magnético. En este experimento se colocan varias agujas de brújula, en un plano
horizontal, en la proximidad de un alambre muy largo y vertical.
Cuando el alambre no lleva corriente, todas las brújulas en una trayectoria
circular apuntan en la misma dirección (la correspondiente al campo magnético de la
tierra), como era de esperarse. Sin embargo, cuando el alambre transporta una corriente
fuerte y constante, las agujas de las brújulas se alinearán y se desviarán en una dirección
tangente a la circunferencia, como se ve en la figura. Estas observaciones demuestran
que la dirección de B es compatible con la regla de la mano derecha. Si se toma el
alambre con la mano derecha, en forma tal que el pulgar apunte en la dirección de la
corriente, los dedos curvados definirán la dirección de B. Cuando la corriente se
invierte, las agujas de las brújulas se invertirán también.
Poco después del descubrimiento de Oersted, Jean B. Biot y Felix Savart,
informaron que un conductor
portador de una corriente
contínua produce una fuerza
sobre un polo magnético. De sus
resultados experimentales, Biot y
Savart llegaron a una expresión
conocida como “ley de BiotSavart” que establece que si por
un alambre circula una corriente
constante I, el campo magnético
dB en un punto P debido a un
elemento de corriente I dl puede
sintetizarse en la expresión
dB  k m
I dl x u r
r2
en donde ur es el vector unitario que señala desde el elemento de corriente hasta el
Tm
o 10-7 N A 2 . En
punto del campo y k m es una constante que en el SI vale 107
A
vez de utilizarse k m es costumbre escribir

km  0
4
donde 0 es otra constante denominada “permeabilidad magnética del vacío” (o espacio
libre).
El campo magnético debido al elemento de corriente será perpendicular a I dl y
a r. En consecuencia en P apunta hacia fuera y en P hacia adentro.
Es importante observar que la ley de Biot-Savart expresa el campo creado por un
elemento de corriente, pero en un conductor no tiene sentido calcular el campo creado
por una porción aislada del mismo ya que los elementos de corriente no son entidades
físicas separadas. Por lo que el campo magnético producido por todo el conductor será
la integral de la última expresión
B
0
4

I dl x u r 0

r2
4

J x ur
dV
r2
extendida a todo el conductor.
Si en vez de ser un chorro de partículas cargadas en movimiento, es solo una
partícula cargada, también genera un campo magnético a su alrededor dado por
B
 0 qv x u r
4
r2
Se presentan rasgos similares entre la ley de Biot-Savart del magnetismo y la ley
de Coulomb en electrostática. Es decir, el elemento de corriente I dl produce un campo
magnético, mientras que una carga puntual q produce un campo eléctrico; además, la
magnitud del campo magnético varía en proporción inversa con la distancia del
elemento de corriente, como lo hace el campo eléctrico debido a una carga puntual.
2. CAMPO MAGNETICO DE UNA CORRIENTE RECTILINEA
Se tiene un alambre conductor recto, muy delgado, tal que pueda considerarse
como una línea de corriente y que esté colocada a lo largo del eje X. Se va a determinar
el campo magnético total en un punto P situado a una distancia “a” del alambre.
Un elemento de corriente I dl está a una distancia r del punto P. La dirección del
campo en P, debido a este elemento de corriente I dl x ur , está dirigido saliendo del
papel. Por consiguiente, solo se tiene que determinar la magnitud del campo saliente en
P. Ahora, si se considera el origen en O y situado a P en el eje Y positivo, con k, como
vector unitario saliendo del papel, se observa
dB  dB k ;
dB 
0 Idl x u r 0 I dx sen

4
r2
4
r2
Para integrar esta expresión, se deben relacionar las variables x, r y  . De la
geometría de la figura se obtiene
a
a
sen 
 r
(1)
r
sen
a
a
a
tag 
 x
 dx 
d (2)
x
tag
sen 2
sustituyendo estos valores en la expresión de dB
dB 
0 I a sen sen 2
I
d  0 sen d
2
2
4 sen  a
4 a
Se puede ahora obtener el campo total en P al integrar sobre todos los elementos
que subtienden ángulos comprendidos entre 1 y 2
B
0 I
4 a

2
1
sen d 
0 I
 cos1  cos2 
4 a
Este resultado puede aplicarse para encontrar el campo magnético de cualquier
alambre recto, cuando se conoce la geometría, o sea 1 y 2 .
Considérese el caso especial de un alambre recto, infinitamente largo. En este
caso 1  0 y 2   , para segmentos que varían desde x   hasta x   . Puesto
que  cos1  cos2    cos0  cos   2 , la ecuación anterior se convierte en
B
0 I
2 a
La figura siguiente muestra una perspectiva tridimensional de la dirección de B
para un alambre recto y largo. Las líneas del campo son circunferencias concéntricas
con el alambre y están en un plano perpendicular al conductor.
la magnitud de B es constante en cualquier circunferencia de radio a.
3. FUERZA MAGNETICA ENTRE CONDUCTORES
PARALELOS. DEFINICION DE AMPERIO.
RECTILINEOS
Puesto que la corriente en un conductor genera su propio campo magnético,
resulta fácil comprender que dos conductores portadores de corriente ejercerán fuerzas
magnéticas entre si. Fue Ampere quien demostró lo que se acaba de afirmar.
Considérense dos conductores rectilíneos largos y paralelos, separados por una
distancia
“a”,
que
conducen las corrientes
I1 e I2 en la misma
dirección. Se puede
determinar fácilmente
la fuerza sobre un
conductor debida al
campo magnético que
crea el otro conductor.
El conductor 2
genera
un
campo
magnético B2 en la
posición del conductor 1, siendo su dirección perpendicular al conductor 1. La fuerza
magnética sobre una longitud l del conductor 1 es F1  I1l x B2 y al ser l y B2
perpendiculares F1  I1 l B2 . Como hemos visto en el apartado anterior B2 
lo cual sustituyendo
F1 
0 I 2
con
2 a
 0l
I1I 2
2 a
dirigida del conductor 1 al conductor 2. Si determinamos la fuerza por unidad de
longitud

F1
 0 I1I 2
l 2 a
Si se considera el campo creado por el conductor 2 por el conductor 1, la fuerza
F2 sobre el conductor 2 se encuentra que es igual y opuesta a F1 . Esto era lo que se
esperaba de la tercera ley de Newton (o sea acción y reacción). Cuando las corrientes
tengan sentidos contrarios, las fuerzas se invierten y los conductores rectilíneos se
repelen el uno al otro. Por lo tanto se concluye que conductores paralelos que
transportan corriente en el mismo sentido se atraen, mientras que si las corrientes son de
sentidos contrarios los conductores se repelen.
La fuerza que se produce entre conductores rectilíneos paralelos que conducen
corrientes se utiliza para definir el amperio como sigue: “si dos conductores rectilíneos
paralelos, separados una distancia de 1m, transportan la misma corriente y la fuerza por
unidad de longitud sobre cada conductor es de 2 10-7 N m , entonces la corriente se
define como 1 Amperio”. Esta definición permite determinar la unidad de corriente (y
por tanto la unidad de carga eléctrica) mediante un experimento mecánico. En la
práctica se escogen las corrientes de modo que estén mucho mas próximas que 1m, así
no es necesario que los conductores sean tan largos y la fuerza resulta suficientemente
grande para poder medirse con exactitud.
4. CAMPO MAGNETICO DE UNA ESPIRA
Considérese una espira de alambre de forma circular de radio R situada en el
plano YZ y por el cual
pasa una corriente
constante I. Se va a
calcular el campo
magnético en un punto
axial P a una distancia
x del centro de la
espira.
Se observa que
cualquier elemento de
corriente I dl es
perpendicular a ur .
Además todos los
elementos
que
se
encuentran alrededor
de la espira están a la misma distancia r de P, donde r 2  x 2  R 2 . En consecuencia, la
magnitud de dB, debida al elemento de corriente será
0 I dl x u r 0 I dl

4
r2
4 x 2  R 2
dB 
La dirección del campo magnético dB debida a I dl es perpendicular al plano
formado por ur y I dl. El vector dB puede descomponerse en una componente dBx a lo
largo del eje X y una componente dB , perpendicular al eje X. Cuando las
componentes perpendiculares al eje X se suman sobre toda la espira, el resultado es
cero. Esto es, por razones de simetría, cualquier elemento que está a una lado de la
espira generará una componente creada por un elemento diametralmente opuesto. Por lo
tanto, se observa que el campo resultante en P debe estar a lo largo del eje X y se puede
determinar al integrar dBx  dB cos

Bx 
dB cos 
0 I
4

dl cos
x2  R2
aquí la integral se debe tomar sobre toda la espira. Puesto que  , x y R son constantes
R
para todos los elementos de la espira, ya que cos 
, se obtiene
x2  R2
Bx 
0 I R
4  x 2  R 2 
32

dl 
B
0 I R 2 R
4  x 2  R 2 
32
0 I R 2
2  x2  R2 
32

0 I R 2
2 x2  R2 
32
i
Para encontrar el campo magnético en el centro de la espira, se toma x  0 . Para
este punto particular resulta
I
B 0
2R
También es interesante determinar el comportamiento del campo magnético a
grandes distancias de la espira, es decir, cuando x sea muy grande en comparación con
R. En este caso se puede despreciar el término R 2 del denominador y se obtiene
B
0 I R 2
2x 3
(para x
R)
Puesto que la magnitud del momento magnético de la espira es
m  I S  I( R 2 )
la ecuación anterior se puede
expresar de la forma
B
0 m
2 x 3
El patrón de las líneas de
campo magnético de una espira
circular se ve en la figura. Por
claridad las líneas se trazan
solamente para el plano que
contiene al eje de la espira. El
patrón del campo tiene simetría
axial.
5. LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es una relación útil, similar a la ley de Gauss. Relaciona la
componente tangencial del campo magnético en los puntos de una curva cerrada y la
corriente neta que atraviesa la superficie limitada por la curva. Se formula en función de
la integral de línea de B en torno a una trayectoria cerrada
 B  dl
integral que es del mismo tipo que las utilizadas para definir el trabajo o el potencial
eléctrico. Se divide la trayectoria en segmentos infinitesimales dl y se calcula el
producto B  dl para cada uno de ellos.
Considérese primero un
conductor rectilíneo largo por el
que circula una corriente I, que
pasa por el centro de un círculo
de radio r situado en un plano
perpendicular al conductor. En
esta trayectoria circular cerrada
los vectores B y dl son paralelos
en cada punto y se sabe
I
que B  0 es constante, luego
2 r


B  dl  B dl  Bl 
0 I
2 r  0 I
2 r
Este resultado se conoce como la “ley de Ampere” y fue calculada para el caso
especial de una trayectoria circular cerrada que rodea al conductor. Si embargo, el
resultado puede aplicarse como caso general para una trayectoria arbitraria cerrada,
recorrida por corrientes constantes
 B  dl   I
0
Como se puede observar que la integral es la circulación del campo magnético a
lo largo de una línea cerrada y como es distinta de cero, indica que el campo magnético
no es conservativo en general.
Deber reconocerse que la ley de Ampere solo es util para configuraciones
geométricas de corriente que tienen un alto grado de simetría, exactamente como la ley
de Gauss.
6. CAMPO MAGNETICO CREADO POR UN SOLENOIDE
Un solenoide es un conductor enrollado en forma de hélice como se ve en la
figura. Se utiliza para producir un campo magnético intenso y uniforme en una pequeña
región del espacio.
El campo magnético de un solenoide
es esencialmente el de una serie de espiras
idénticas situadas unas junto a otras. En el
espacio existente entre ellas y cerca del eje
se suman los campos originados por cada
una de ellas; entre las espiras pero a
distancias del eje mayores que el propio radio de las espiras, los campos aislados
tienden a anularse. En la figura se aprecian las líneas de campo de un solenoide
compactamente enrollado. Dentro del solenoide, las líneas son aproximadamente
paralelas al eje y están espaciadas estrecha y uniformemente. Fuera del solenoide las
líneas son mucho menos densas.
Debido a que el campo magnético es muy intenso y casi uniforme dentro del
solenoide como indican las líneas de campo, y es muy débil en el exterior, podemos
utilizar la ley de Ampere para hallar el
valor de B. Supongamos que el
solenoide tiene radio r y una longitud l,
siendo l r (solenoide ideal), para que
el campo magnético en el interior se
pueda considerar uniforme y paralelo al
eje y nulo en el exterior. Aplicando la
ley de Ampere a la curva C de la figura,
que es un rectángulo de lados a y b. La única contribución a la integral
 B  dl a lo
largo de C tiene lugar en el lado 1 puesto que a lo largo de 3 el campo es nulo y a lo
largo de 2 y 4 B es perpendicular a dl. Como B se admite que es uniforme
 B  dl  B b
La corriente total a través de esta curva es I multiplicada por el número de
vueltas del conductor. Suponiendo que existen N vueltas en la longitud l, el número de
vueltas en la longitud b es Nb l y la ley de Ampere nos proporciona
NbI
B  dl  B b   0
l
o sea
N
B  0 I  0 n I
l

donde n es el número de espiras por unidad de longitud.
La figura nos muestra como varía B en el eje del solenoide real respecto a la
distancia a los extremos. La aproximación de que el campo es constante e independiente
de la posición a lo largo del
eje es muy buena excepto
cerca de los extremos. En un
punto próximo al extremo el
módulo
de
B
es
aproximadamente la mitad
que en el centro de un
solenoide largo.
La ecuación del campo obtenida para un solenoide recto es también válida si el
solenoide es toroidal.
N
B  0
I  0 n I
2 r
en el cual además eliminamos los efectos de los extremos.
La ecuación deducida para el campo magnético en un solenoide solo son
estrictamente correctas para bobinados en el vacío. Si embargo, en la práctica pueden
utilizarse para bobinados en el aire o en un núcleo de cualquier material no
ferromagnético como se vera más adelante.
7. FLUJO MAGNETICO. LAY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO
El flujo asociado con un campo magnético se define en forma similar a la que se
utiliza para la definición del flujo eléctrico.
Considérese un elemento de área dS sobre una
superficie de forma arbitraria. Si el campo magnético
en este elemento es B, entonces el flujo magnético a
través del elemento es B  dS , donde dS es el vector
superficie. En consecuencia el flujo magnético total
m a través de toda la superficie es
m 
 B  dS
S
la unidad del flujo en el SI es el Weber (wb) donde
1 wb  1 T m2 .
Al hablar del campo eléctrico veíamos que el flujo a través de una superficie
cerrada que encerraba una carga neta, era proporcional a esa carga (ley de Gauss). En
otras palabras, el número de líneas del campo eléctrico que salen de una superficie
dependen únicamente de la carga neta dentro de ella. Esta propiedad se basa en que las
líneas del campo eléctrico se originan en las cargas eléctricas.
La situación es completamente diferente para los campos magnéticos, los cuales
son continuos y forman trayectorias cerradas. Las líneas del campo magnético debidas a
corrientes no tienen punto donde principian
ni punto donde terminan. Las líneas del
campo magnético de la barra magnética de
la figura, ilustran esta afirmación. Se
observa que para cualquier superficie
cerrada, el número de líneas que entran a la
superficie es igual al número de líneas que
salen de ella y así el flujo magnético neto es
cero.
Se ve que el flujo neto a través de la
superficie cerrada que rodea a uno de los
polos (o cualquier otra superficie carrada) es
cero.
La ley de Gauss del magnetismo
establece que el flujo magnético neto a
través de cualquier superficie cerrada
siempre es cero.
 B  dS  0
Esta proposición se basa en el hecho experimental de que no han sido detectados
polos magnéticos aislados y quizás nunca existirán.