Conceptos: GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.
Actividad nº: 11
Nivel: 1er ciclo.
Tema: Geometría elemental I.
Objetivos: O88-O95
Metodología: Aula, Individual.
Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____
Nociones elementales sobre el plano y sus elementos.
Conceptos:
 Recta: Conjunto ilimitado de puntos colocados unos a continuación de los otros, sin
principio ni fin. Se las denomina por una letra minúscula, t, r, s, etc. ... tiene una
dimensión, nos podemos mover por ella en dos sentidos opuestos entre sí, adelanteatrás.
 Punto: Lugar de intersección de dos rectas. Se los denomina por una letra mayúscula, A, B, C, etc. .... no tiene dimensiones, no se puede mover.
 Plano: Superficie a la que pertenecen dos rectas coplanarias, que no se cruzan. Una
recta y un punto exterior a la misma, determinan un plano. También dos rectas paralelas, o que se corten, determinan un plano. Tres puntos no alineados determinan
un plano. Se los denomina por letras griegas minúsculas, , , , etc. ... tiene dos
dimensiones, nos podemos mover por el en dos direcciones perpendiculares entre
si, y en dos sentidos opuestos para cada una de ellas, adelante-atrás y derechaizquierda.
 Posiciones relativas de:
 Dos rectas en el plano:
 Paralelas, cuando no tienen ningún punto común.
 Secantes, cuando se cortan en un punto.
 Coincidentes, cuando tienen infinitos puntos comunes. Se trataría de la
misma recta.
 Dos rectas en el espacio:
 Además de los tres casos anteriores, se pueden cruzar, es decir, estar en
planos diferentes y al proyectarlas sobre un mismo plano se cortan. Por
ejemplo los pasos elevados, rectas, cruzan sobre otras vías de comunicación.
 Dos planos en el espacio:
 Paralelos, cuando no tienen ningún punto en común.
 Secantes, cuando tienen una recta en común.
 Coplanarios, cuando tienen infinitos puntos en común. Se trataría del
mismo plano.
 Tres planos en el espacio:
 Son varias los posibilidades, pero la más importante es que se pueden cortar
los tres en un punto común.
 Espacio tridimensional: es el medio físico en el que nos movemos, y lo podemos
hacer en tres direcciones y dos sentidos opuestos para cada una de ellas, adelanteatrás, arriba-abajo y derecha-izquierda. Tiene tres dimensiones. En el espacio de la
tierra tendríamos las direcciones Norte-Sur, Este-Oeste y subir-bajar o Cenit-Nadir.
Adaptaciones nivel 2
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 Segmentos: dos puntos sobre una recta determinan un segmento, a dichos puntos se
les denomina extremos del segmento y al segmento se de denomina por AB .
 Segmentos concatenados: son aquellos que tienen un extremo común, si además se
encuentran sobre la misma recta se les denomina consecutivos.
 Segmentos superpuestos: cuando además de tener un extremo común, todos los
puntos de uno están sobre el otro.
 Segmentos iguales: cuando superpuestos coinciden, en caso contrario se les denomina desiguales.
 Comparación de segmentos: según como sean entre sí escribiremos:
 AB  CD cuando son iguales.
 AB  CD cuando AB es mayor que CD .
 AB  CD cuando AB es menor que CD .
 Ángulos: dos semirrectas con un mismo origen determinan en el plano un ángulo.
Al origen común se le denomina vértice, mientras que a las semirrectas se la denominan lados.
B
M
A=M
B
N
Segmentos superpuestos
A
B
N
Segmentos concatenados
α
A
ángulo
C
 Denominación de los ángulos: se les denomina con tres letras, BAC ó CAB, siendo la letra central el vértice del ángulo, o bien solo con la letra del vértice, Â , o con
una letra griega minúscula, α.
 Ángulos en el plano: dos rectas que se cortan determinan cuatro ángulos en el plano iguales dos a dos. Si las rectas se cortan perpendicularmente, entonces los cuatro
ángulos son iguales y cada uno es un ángulo recto, 90o.
 Clasificación de los ángulos:
 Agudo: cuando es menor que un ángulo recto.
agudo
recto
obtuso
llano
convexo
cóncavo




consecutivos
adyacentes
Obtuso: cuando es mayor que un ángulo recto.
Llano: cuando sus lados forman rectas opuestas.
Convexo: cuando es menor que un ángulo llano.
Cóncavo: cuando es mayor que un ángulo llano.
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
Consecutivos: cuando tienen un vértice y un lado comunes, y los otros dos
están uno a cada parte del lado común.
 Adyacentes: cuando son consecutivos y los lados no comunes están en línea
recta, forman un llano.
 Complementarios: cuando entre los dos suman un recto, 90o.
 Suplementarios: cuando entre los dos suman un llano, 180o.
 Medida de ángulos:
 Grados sexagesimales: si dividimos una circunferencia en 360 partes, el
ángulo central que abarca un arco igual a una de esas partes se denomina
ángulo unidad, y representa un grado sexagesimal, el cual se subdivide a su
vez en sesenta partes iguales llamadas minutos de arco, y éstos a su vez en
otras sesenta partes llamadas segundos de arco. Así pues, cada parte consta de
sesenta unidades, de ahí el nombre.
 Notación compleja: 251236 , representa un ángulo de 25 grados, 12 minutos y 36 segundos. Para pasar a notación decimal haríamos:
3600 3600
 3600 0,01 para pasar los segundos a grados los dividimos por 3600
0
120 60
que son los segundos que tiene un grado, 120 0,2 para pasar los mi0
nutos a grados los dividimos por 60 que son los minutos que tiene un
grado, y por último sumamos ambos cocientes al número de grados y
obtenemos el ángulo en notación decimal, en este caso
25  0,01 0,2  25,21. Con la calculadora buscamos la tecla o ’ ” , y
realizamos la siguiente operación 25 o ’ ” 12 o ’ ” 36 o ’ ” y en pantalla tendremos la conversión ya realizada.
 Notación decimal: 25.21 , que es el ángulo anterior, para pasar de un ángulo decimal a uno en notación compleja haríamos:
 0,21 60  12,6 , multiplicamos la parte decimal por 60, la parte entera
del nuevo número serán los minutos de arco,12, y 0,6  60  36 , multiplicamos la parte decimal de nuevo por 60, el número así obtenido
serán los segundos de arco. Así pues, la parte entera del número original serán los grados, 25o, la parte entera del número que se obtiene al
multiplicar la parte decimal por 60 serán los minutos, 12’, y la parte
decimal de éste último número multiplicada por 60 serán los segundos,
36”. Utilizando la calculadora, haríamos 25.12 o ’ ” SHIFT o ’ ” , y
nos quedaría 251236 , donde debemos leer 251236 .
 Radián: es el valor del ángulo central de una circunferencia que abarca un
arco igual al radio. Como la longitud total de una circunferencia es 2 veces
el radio, entonces equivale a 2 radianes, de donde 2 radianes equivalen a

360o,  radianes serán 180o y radianes serán 90o o un ángulo recto.
2
 Bisectriz de un ángulo: es la recta equidistante de los lados del ángulo que divide a
éste en dos ángulos iguales.
 Suma y resta de ángulos: la forma más rápida y cómoda, aparte de con la calculadora, es hacerlas siempre en notación decimal, es decir, convertir todas las medidas
angulares a su notación decimal.
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
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Suma en notación compleja: sumaríamos grados con grados, minutos con
minutos y segundos con segundos, pero con las siguientes precauciones:
 Lo hacemos por columnas, así:
13 55 49

 131 25 17  como hay más de sesenta segundos,
144 80 66
restamos 60 a los que hay y añadimos un minuto más, luego hacemos
lo mismo con los minutos y añadimos un grado más, de este modo
144 80
66
144 81
6
 1  60   1  60
 que es el ángulo suma.
144 81
6
145 21
6
o
o
 Con la calculadora sería 13 ’ ” 55 ’ ” 49 o ’ ” + 131 o ’ ” 25 o ’ ”
17 o ’ ” = SHIFT o ’ ” , y nos quedaría el resultado obtenido antes.
 Resta en notación compleja: restaríamos por columnas, pero siempre que una
unidad del minuendo sea menor que su correspondiente del sustraendo debemos convertir una unidad superior del minuendo en 60 unidades que añadiremos a las que ya había.
 Por ejemplo, restar los ángulos 119 2503 y 255549 , para que las cantidades del minuendo sean siempre mayores que sus correspondientes del
sustraendo debemos pasar un minuto a segundos, así pasaríamos al ángulo
119 2463 , como siguen siendo los minutos del sustraendo mayores que
los del minuendo debemos pasar un grado a minutos y nos quedaría por fin
el ángulo 118 8463 , al cual ya le podemos restar sin problemas el otro
ángulo dado, así:
118 84 63


25 55 49 .
93 29 14
 Con la calculadora sería 119 o ’ ” 25 o ’ ” 3 o ’ ” – 25 o ’ ” 55 o ’ ” 49
o
’ ” = SHIFT o ’ ” .
 Multiplicación y división de ángulos: en notación decimal procedemos como lo
haríamos con un número decimal normal.
 Multiplicación en notación compleja: para multiplicar por un número natural
 Se multiplican los grados, minutos y segundos, por separado, por dicho número.
 Si los segundos obtenidos resultan ser más de 60, pasamos el excedente a
minutos y los agregamos a los mismos.
 Si los minutos obtenidos son más de 60, pasamos el excedente a grados y
los agregamos a los mismos.
79
35
50
 Así, el triple del ángulo 793550 será,
 3 , y a con237
tinuación
237
resultado final.
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105
2
107
237 105 150
150
237 107 30
 120   1  60
 que es el
30
238 47
30
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 Con la calculadora 79 o ’ ” 35 o ’ ” 50 o ’ ” X 3 = SHIFT o ’ ” .
 División en notación compleja: para dividir por un número natural
 Dividimos los grados por dicho número, división entera, el resto de la división lo pasamos a minutos multiplicándolo por 60 y se lo añadimos a los
minutos que ya teníamos. Dividimos dichos minutos por el número, división entera, el resto de la división lo pasamos a segundos multiplicándolo
por 60 y se lo añadimos a los segundos que ya teníamos. Por último dividimos éstos por el número, sacando a lo sumo tres decimales, es decir, milésimas de segundo.
175 3
 Así, la tercera parte del ángulo 175 1520 sería
, el resto por
1
58
75 3
60 lo añadimos a los minutos y obtendremos
, como el resto
0 25
es cero dividimos directamente los segundos que teníamos, que dándonos 6.666, así pues, la tercera parte del ángulo es 58256.666 .
 Con la calculadora 175 o ’ ” 15 o ’ ” 20 o ’ ” ÷ 3 = SHIFT o ’ ” .
Actividades de aplicación.
P1.- Sean los ángulos   451053 , B̂  57102 y Ĉ  2004 . Hallar el valor de
los ángulos   B̂  Ĉ , 2    B̂  Ĉ , los complementarios y suplementarios de
todos.


P2.- Dados los ángulo consecutivos   452010 y   1084220 , calcular el ángulo formado por las bisectrices a dichos ángulos.
P3.- Hallar el ángulo diferencia, y su complementario, de los ángulos   50 y
B̂  47252 .
P4.- Dado   102040 , calcular su triple y el suplementario del mismo.
P5.- Hallar la quinta parte del ángulo   50124 , y luego el quíntuplo del complementario de la quinta parte.
P6.- Halla el complementario y el suplementario de   422050 .
P7.- Cual es el valor del ángulo que son los 5/4 de   341220 .
P8.- ¿Qué ángulo forman entre sí las bisectrices de dos ángulos adyacentes?.
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ACTIVIDADES DE AULA
GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.
Actividad nº: 12
Nivel: 1er ciclo.
Tema: Geometría elemental II.
Objetivos: O96-O104
Metodología: Aula, Individual.
Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____
Nociones elementales sobre polígonos regulares y sus elementos.
Conceptos:
 Línea poligonal o quebrada: es la figura formada por varios segmentos concatenados. A los segmentos se les denomina lados y a los puntos de unión vértices. Pueden ser:
 Abierta: cuando el primer extremo del primer segmento no enlaza con el
segundo extremo del último segmento.
 Cerrada: cuando el primer y el último segmento enlazan.
 Polígono: parte del plano limitada por una poligonal cerrada.
 Convexo: es convexo cuando la recta determinada por la prolongación de uno
cualquiera de sus lados divide al plano de tal forma que todos los vértices del
polígono quedan en el mismo semiplano
 Cóncavo: cuando no ocurre lo anterior con uno o más lados.
 Perímetro: es la suma de todos los segmentos del polígono.
 Diagonal: todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
 Número total de diagonales de un polígono: d  n  n  3 , siendo n el número de lados o vértices del polígono, ya que si te fijas bien, por cada vértice
solo se pueden trazar n  3 diagonales.
n  n  3
 Número total de diagonales distintas: D 
, ya que todas se repi2
ten una vez.
 Ángulos:
 Interiores, î: son los que abarcan uno o más lados del polígono, están formados por dos lados consecutivos.

Exteriores, ê: los formados por un lado y la prolongación de su contiguo, o
bien, los suplementarios de los interiores. La suma de todos ellos, en un polígono convexo, es de cuatro rectos, 360o. Como î  ê  180 ,  ê  4  90 , y si
 
n es el número de lados o vértices, entonces  î  ê  n 180 , ya que hay
tantos ángulos internos como externos, y tantos como vértices. Juntándolo todo, tenemos que  î  ê  î  ê  n 180  î  n 180  2 180 , o
 
lo que es lo mismo  î  n  2 180 .
 Clases de polígonos: hay varias formas de clasificarlos:
 Atendiendo a la forma en sí:
 Equiláteros: cuando tienen los lados iguales entre sí, aunque no los ángulos.
Adaptaciones nivel 2
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acti12-Geometría II
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 Equiángulos: cuando tienen los ángulos iguales entre sí, aunque no los lados
 Regulares: son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales entre
sí.
 Irregulares: cuando los ángulos y los lados no son iguales entre sí.
 Atendiendo a sus ángulos:
 Convexos.
 Cóncavos.
Convexo.
Poligonal abierta.
Cóncavo.
Poligonal cerrada.

Atendiendo al número de lados:
A
 Triángulos, tienen tres lados.
 Cuadriláteros, tienen cuatro lados.
 Pentágonos, tienen cinco lados.
E
 Hexágonos, tienen seis lados.
D1
 Heptágonos, tienen siete lados.
D2
i
B
 Octágonos u octógonos, tienen ocho lados.
 Eneágonos, tienen nueve lados.
 Decágonos, tienen diez lados.
e
 Undecágonos, tienen once lados.
D
r
C
 Dodecágonos, tienen doce lados.
 Pentadecágonos, tienen quince lados.
Diagonales por el vértice A, D1 y D2.
 Icosígonos, tienen veinte lados.
i ángulo interno y e ángulo externo.
 ……………
 Para el resto de los casos se suelen nombrar como “polígono de n-lados”.
 Polígonos regulares:
 Centro: es el punto equidistante de los vértices, es el centro de la circunferencia circunscrita al mismo, y también el centro de la circunferencia inscrita.
 Un polígono se dice inscrito a una circunferencia cuando todos sus vértices
están situados sobre la misma y sus lados son cuerdas de ella. De tal circunferencia se dice que está circunscrita al polígono.
 Un polígono se dice circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes a la misma. De tal circunferencia se dice que está inscrita
al polígono.
 Radio, r: es la distancia del centro a un vértice, es el radio de la circunferencia
circunscrita al polígono.
 Apotema, a: es la distancia del centro a un lado, es el radio de la circunferencia inscrita al polígono.

Ángulo central, ĉ: es el ángulo formado por dos radios consecutivos. La suma
de todos ellos es de cuatro rectos, dos llanos o 360o. Luego, un ángulo central
360 
de un polígono de n-lados vale ĉ 
.
n
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
Ángulo interior, î: un ángulo interior de un polígono regular de n-lados vale
180   n  2
.
n
î 

ACTIVIDADES DE AULA
Ángulo exterior, ê: un ángulo exterior de un polígono regular de n-lados vale
ê 

360 
, luego se deduce que:
n
ê  ĉ , ê  î  ĉ  î  180 .
Actividades de aplicación.
P1.- El ángulo exterior de un polígono mide 85o. ¿Cuánto medirá el ángulo interior
correspondiente?.
P2.- Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono. Si fuera regular,
¿Cuánto mediría cada uno?.
P3.- ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular?.
P4.- ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260o?.
P5.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 45o?.
P6.- ¿Puede haber un polígono regular cuyo ángulo exterior mida 75o?. ¿Y con un
ángulo interior de igual medida?.
P7.- ¿Cuánto vale la suma del ángulo interior y del ángulo exterior de un decágono
regular?.
P8.- ¿Cuánto vale el ángulo interior de un polígono regular de doce lados?.
P9.- ¿Cuánto vale el ángulo exterior de un pentágono regular?.
P10.- El ángulo interior de un polígono regular mide 156o. ¿Cuántos lados tiene el polígono?.
P11.- El ángulo exterior de un polígono regular vale 20o. ¿Cuántos lados tiene el polígono?.
P12.- ¿Cuántos lados posee el polígono cuyos ángulos interiores suman 2340o?.
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acti12-Geometría II