El kiosco Escuela: Profesor (a):

El kiosco
Plan de Clase (1/5)
Escuela: ______________________________________________ Fecha: ______________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan, tracen y exploren las mediatrices de los
lados de un triángulo.
Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas:
1. En una ciudad pequeña se quiere construir un kiosco que quede a la misma distancia del
Palacio Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso. El siguiente
dibujo representa con puntos estos tres lugares, marca el lugar donde deben construir el
kiosco para que cumpla con la condición pedida.
Palacio Nacional
Secretaría de Educación
Edificio del Congreso
2. Con sus instrumentos geométricos realicen los siguientes trazos. Después, respondan las
preguntas.
 Apoyen el compás en el punto A y con una abertura mayor a la mitad del segmento AB
tracen un arco.
 Con la misma abertura tracen un arco que corte al anterior en dos puntos, ahora
apoyándose en el punto B.
 Anoten P y Q a los dos puntos donde se cortan los arcos.
 Tracen la recta que pasa por P y por Q.
A
B
a) Elijan varios puntos de la recta que trazaron y midan la distancia de cada uno a los
extremos del segmento.
b) ¿Qué relación encuentran? __________________________________________________
c) La recta que trazaron recibe el nombre de mediatriz del segmento. Regresen al primer
problema y traten de resolverlo usando mediatrices, si es que lo resolvieron de otra
manera.
Consideraciones previas:
Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos
geométricos.
Es muy probable que resuelvan el primer problema “al tanteo”, usando sólo su percepción
visual para ubicar el punto pedido y no apliquen el trazo de las mediatrices para resolverlo.
Por el momento se trata que lo hagan de cualquier manera, por lo que es conveniente
permitir que concluyan y definan una respuesta.
El propósito de los trazos planteados en el problema 2 es que los alumnos aprendan a trazar
la mediatriz de un segmento y que exploren una de sus definiciones: Conjunto de puntos que
están a la misma distancia de los extremos del segmento. El concepto de mediatriz como la
perpendicular en el punto medio se trabajará más adelante.
Una vez que los alumnos saben cómo encontrar los puntos que están a la misma distancia
de otros dos, se les invita a retomar el primer problema para que traten de aplicar lo
aprendido para resolverlo. Esto no siempre es un paso sencillo, debido a que lo que los
alumnos aprenden para los puntos no lo transfieren de manera inmediata a los segmentos y
viceversa. Es probable que algunos no logren visualizar los tres puntos del primer problema
como los tres vértices de un triángulo y como los extremos de sus lados. Si se observa que
tienen dificultad en esto, se puede:
 Invitar a que tracen el triángulo que forman los tres puntos.
 Motivar la reflexión con preguntas como: Los lados del triángulo, ¿son segmentos?
¿Podrían encontrar los puntos que están a la misma distancia de los extremos de los
lados? ¿Cómo? ¿Servirá de algo trazar las mediatrices de los lados del triángulo?
En la puesta en común es importante retomar:
 El concepto estudiado de mediatriz de un segmento (conjunto de puntos que
equidistan de los extremos del segmento).
 Que las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto (donde
queda el kiosco) que recibe el nombre de circuncentro y es el centro de la
circunferencia que toca los tres vértices del triángulo y que se llama circunferencia
circunscrita.
Finalmente, para que los alumnos practiquen lo estudiado es recomendable que tracen las
mediatrices de los lados de un triángulo acutángulo, uno rectángulo y otro obtusángulo;
anoten dónde quedó ubicado el circuncentro y tracen la circunferencia circunscrita.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
La fuente del jardín
Plan de Clase (2/5)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan, tracen y exploren las bisectrices de los
ángulos de un triángulo.
Consigna 1: En equipo resuelvan los siguientes problemas:
1. Se tiene un jardín de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de tal
manera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto. El
siguiente triángulo es un croquis del jardín, traza la fuente.
2. Con sus instrumentos geométricos realicen los siguientes trazos. Después respondan las
preguntas.




Apoyen el compás en el vértice del ángulo y tracen un arco que corte a los dos
lados del ángulo. Anoten A y B en los puntos de corte.
Apoyen el compás en A y tracen un arco.
Apoyen el compás en B y tracen otro arco que corte al anterior. Anoten P en el
punto de corte.
Tracen la recta que pasa por V y por P.
V
a) Elijan varios puntos de la recta que trazaron y midan la distancia a los lados del triángulo.
b) ¿Qué relación encuentran? ____________________________________________
c) La recta que trazaron recibe el nombre de bisectriz. Regresen al primer problema y traten
de resolverlo usando bisectrices, si es que lo resolvieron de otra manera.
Consideraciones previas:
Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos
geométricos.
Debido a que este desafío tiene la misma estructura que el anterior, quizá algunos alumnos
quieran pasar directamente al problema 2 para resolver el problema 1. Es importante que se
les pida que primero traten de usar sus propios recursos para tratar de crear en ellos la
necesidad de un conocimiento nuevo que aprenderán después. Lo más probable es que
traten de ubicar “al tanteo” usando su percepción visual el punto donde deben colocar el
compás y luego tendrán que decidir cuánto lo abren, notarán que no es una tarea sencilla.
El propósito de los trazos planteados en el problema 2 es que los alumnos aprendan a trazar
la bisectriz de un ángulo y que exploren una de sus definiciones: Conjunto de puntos que
están a la misma distancia de los lados del ángulo. Una de las dificultades en esta parte del
trabajo es que los alumnos observen que la perpendicular de un punto a una recta es su
distancia. Si se considera necesario se puede dar una breve explicación grupal de cómo se
usa la escuadra para tomar esta medida:
En la puesta en común es necesario retomar:
 El concepto estudiado de bisectriz de un segmento (conjunto de puntos que equidistan
de los lados del segmento).
 Que las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto (donde
colocan el compás para trazar la fuente circular) que recibe el nombre de incentro y es
el centro de la circunferencia que toca en un punto de cada lado del triángulo y que a
ésta se le llama circunferencia inscrita.
Finalmente, con el propósito de que los alumnos practiquen lo estudiado es conveniente que
tracen las bisectrices de los ángulos de un triángulo acutángulo, uno rectángulo y otro
obtusángulo; anoten dónde quedó ubicado el incentro y tracen la circunferencia inscrita.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Un triángulo zen
Plan de Clase (3/5)
Escuela: ______________________________________________ Fecha: ______________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan, tracen y exploren las medianas en un
triángulo.
Consigna: En equipo, realicen lo siguiente:
1. Recorten en cartón o cartulina gruesa un triángulo cualquiera. De preferencia que sus tres
lados sean de diferente medida. Después, hagan un orificio por el cual pasarán un hilo
para colgar el triángulo. El desafío es encontrar dónde hacer el orificio de tal manera que
el triángulo quede horizontal, es decir, en equilibrio.
2. Con sus instrumentos geométricos realicen los siguientes trazos:
 Localicen los puntos medios de los lados del siguiente triángulo.
 Unan cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
Los segmentos que trazaron en el problema anterior reciben el nombre de medianas.
Regresen al primer problema y traten de resolverlo usando las medianas del triángulo, si es
que lo resolvieron con otro procedimiento.
Consideraciones previas:
Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos
geométricos.
Si se ha trabajado los dos desafíos anteriores a éste, quizás los alumnos quieran ir directo al
problema 2 porque saben que resolviéndolo podrán encontrar el punto pedido en el primer
problema. Por esa razón se podría plantear el problema 1 de manera oral.
Con el problema 2 los alumnos conocerán cómo trazar las medianas en un triángulo y una
vez que lo hayan hecho podrán aplicar estos trazos en su triángulo de cartón para encontrar
su centro de gravedad que es el punto de equilibrio que se busca.
Una dificultad que pueden tener los alumnos para el trazo de la mediana es la localización de
los puntos medios de los lados del triángulo cuando las medidas no son cantidades fáciles de
manejar. Los alumnos podrán usar su regla graduada si así lo desean, aunque no siempre
encuentren con exactitud el punto medio. Una manera más precisa es con un procedimiento
similar al del trazo de la mediatriz:
Es importante que ellos decidan qué procedimiento quieren seguir.
En la puesta en común se mencionará que el punto que encontraron y que es la intersección
de las medianas recibe el nombre de baricentro o centro de gravedad.
Si el tiempo lo permite pida que tracen medianas en diferentes triángulos y exploren dos
hechos interesantes:
 ¿Hay alguna relación entre la distancia de un vértice al baricentro con la distancia del
baricentro al punto medio del lado opuesto?, ¿cuál?
Para dar respuesta a estas preguntas, es muy probable que los alumnos acudan a la
medición para encontrar alguna relación, pues es el recurso que conocen. Se espera que
ellos concluyan que sí existe una relación y que ésta es que la primera distancia
corresponde al doble de la otra; por lo que, tomando como unidad la mediana, la distancia
del vértice al baricentro corresponde a
del lado opuesto, a
2
de ésta, y la longitud del baricentro al punto medio
3
1
.
3
 Al trazar las 3 medianas en un triángulo, éste queda divido en 6 triángulos pequeños, ¿qué
relaciones hay entre las áreas de estos triángulos?, ¿por qué sucede esto?
Si se considera que cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área, los
seis triángulos que se generan a partir de ellas también guardan la misma relación. Esto se
puede observar si para cada par de triángulos que tienen la misma medida en su base, se
identifica la altura; por ejemplo, en las siguientes figuras, los triángulos 4 y 3, 5 y 6, 1 y 2:
C
C
6
1
F
E
6
2
F
D
5
B
3
4
E
2
5
A
1
3
4
D
A
C
6
1
F
B
E
2
5
4
A
3
B
D
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Diferente base, diferente altura
Plan de Clase (4/5)
Escuela: ________________________________________________ Fecha: ____________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan, tracen y exploren las alturas de un
triángulo.
Consigna: En equipo completen la tabla. En cada caso tomen como base el lado que se
indica.
R
P
Q
Tomar como
base:
Lado QR
Lado PQ
Lado PR
Medida de la
base
Medida de la
altura
Área del triángulo PQR
Consideraciones previas:
Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos
geométricos.
Lo que más puede desconcertar a los alumnos al plantearles este reto es el hecho de que se
les pida el área de un triángulo que no está apoyado en ninguno de sus lados. Esto es
porque están acostumbrados a que la “base” del triángulo es uno de los lados en el que
parece apoyarse porque está horizontal. Otro hecho que también puede desconcertarlos es
la idea de que cualquier lado puede ser tomado como base y, por lo tanto, no hay una única
altura sino tres: una por cada lado del triángulo.
No obstante que los estudiantes han trabajado la altura de un triángulo desde la primaria, en
realidad se trata de un concepto que les cuesta mucho trabajo y sobre el que han construido
algunas ideas erróneas. Por ejemplo, creen que la altura siempre está dentro del triángulo y
que es vertical, estas ideas se forman porque generalmente así se les presentan en clase y
en los libros de texto.
Por otro lado, el trazo de las alturas no es una cuestión sencilla, mucho menos si se trata de
triángulos obtusángulos (como el del problema). Si es necesario se puede invitar a que entre
todos definan la altura de un triángulo, considerando que es la perpendicular que va del lado
que se va a tomar como base al vértice opuesto y puede trazarse usando regla y compás o
con regla y escuadra como se muestra a continuación:
R
P
Q
Otro hecho que puede confundir a los alumnos es que la palabra “altura” se emplea de dos
maneras: es un objeto geométrico (un segmento) y también es un número (la medida de ese
segmento), ambas correctas.
Se espera que los alumnos se den cuenta de que no importa cuál lado tomen como base, el
área debe ser la misma siempre y cuando consideren la altura correspondiente a esa base al
realizar el cálculo. Es importante hacer notar que las diferencias encontradas en los
resultados pueden deberse a las limitaciones de los instrumentos de medida, al grosor del
lápiz, a la lectura de las medidas (porque se presenta lo que se llama error de paralaje:
desde diferentes posiciones se ven diferentes medidas), etc.
Para practicar el trazo de alturas, se puede pedir a los alumnos que tracen las alturas de un
triángulo acutángulo, uno rectángulo y uno obtusángulo y encuentren el punto donde se
cortan. Comente que ese punto recibe el nombre de ortocentro y que para encontrarlo a
veces es necesario prolongar las alturas.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Analizamos propiedades
Plan de Clase (5/5)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y comparen las características y
propiedades de las rectas y los puntos notables del triángulo.
Consigna: En equipo completen las siguientes tablas. Anoten una  cuando la característica
sí se cumpla y una X cuando no se cumpla.
Mediatrices
Medianas
Incentro
(bisectrices)
Baricentro
(medianas)
Alturas
Bisectrices
Son perpendiculares a los
lados del triángulo o a la
prolongación de éstos.
Pasan por un vértice del
triángulo
Cortan los lados del triángulo
en los puntos medios
Dividen a la mitad los ángulos
del triángulo
Se cortan en un punto
Son paralelas a los lados del
triángulo
Cortan los lados del triángulo
en una razón de 2 a 1
Siempre se encuentra en el
interior del triángulo
Se puede localizar en un vértice
del triángulo
Puede localizarse fuera del
triángulo
Es el centro de un círculo que
toca los tres vértices de
triángulo
Es el centro de un círculo que
toca los tres lados del triángulo
Es el punto de equilibrio de un
triángulo
Está a la misma distancia de los
vértices del triángulo
Ortocentro
Circuncentro
(alturas o su
(mediatrices)
prolongación)
Consideraciones previas:
Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos
geométricos.
Se espera que con lo trabajado en los planes anteriores los alumnos puedan completar estas
tablas que les servirán como resumen de las propiedades de las rectas y los puntos notables
del triángulo. Aunque si es necesario, podrán consultar sus respuestas a los problemas de
los planes anteriores y los trazos que hicieron en su cuaderno.
En caso de que en una característica todos los alumnos del grupo hayan decidido poner
palomita en un lugar donde no debe ir, se puede plantear un contra-ejemplo para que noten
su error.
Por ejemplo, si deciden que el ortocentro siempre se encuentra en el interior de un triángulo,
entonces se puede proponer el caso del triángulo rectángulo en el que dos lados (los catetos)
al mismo tiempo son alturas del triángulo, por lo que el ortocentro queda en el vértice que
corresponde al ángulo recto.
Ortocentro
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
14/15