Actividades de la unidad TRIGONOMETRIA

Actividades de la unidad TRIGONOMETRIA
Ángulos
1. Reduce al primer giro:
14
rad
3
2. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 9 y 20? ¿Y a las 9 y 15? ¿Y a las 6 y
media?
a)1230º
b) -730º
c) 9,63 rad,
d)
3. En una circunferencia de radio 10 cm, un arco mide 20 cm. Averiguar el valor del
ángulo central correspondiente y qué longitud tiene la cuerda que determina.
Razones trigonométricas
4. A partir de las razones trigonométricas de 0º, 30º y 45º calcula
a) sin 135º
b) cos 720º
c) cos 210º
d) tg 300º
e) cos 450º
f) tag 135
g)tag 210
5. Calcula los ángulos que cumplen:
a) cos  = 0,989
b) tan  = 2,5
6. Utilizando la calculadora, averigua el valor del ángulo 
a) sin = - 0,15
< 3/2
b) cos = - 0,92
> 
c) tg = 2,35
> 
d) cotg = 0,36
< /2
Triángulos rectángulos
7. En un triángulo ABC, rectángulo en A, conocemos la altura correspondiente al
vértice A, 7cm, y el cateto b, 9 cm. Calcula el valor de los ángulos B y C, del cateto c, y
de la hipotenusa, a.
8. En un triángulo rectángulo, conocemos la altura correspondiente relativa a la
hipotenusa, 3cm, y la hipotenusa, a = 10 cm. Calcula el valor de loa ángulos agudos, y
la medida de los catetos.
9. Conociendo la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, 16 cm, y que la
proyección ortogonal de uno de los catetos sobre ella es de 9 cm, calcula el área del triángulo
10. En un triangulo rectángulo, un cateto mide 5 cm, y su proyección sobre la hipotenusa, 4 cm.
Calcula la longitud de la hipotenusa y del otro cateto
11. Construye un triángulo rectángulo de catetos 5 y 12 cm. Calcula la longitud de la
hipotenusa, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, la altura correspondiente a la
hipotenusa y los ángulos agudos de dicho triángulo.
12. En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa, la divide en dos segmentos de 4,3 y
7,8 cm, respectivamente. Calcula la longitud de los catetos, los ángulos agudos del triángulo y
su área.
13. Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 27º 45' 12'',y su cateto
opuesto, 4 cm. ¿Cuánto miden los otros lados y ángulos del triángulo?
14.Calcula el perímetro del triángulo rectángulo ABC, sabiendo que la longitud del
segmento CP es 2 3 cm
Problemas de aplicación
15. Una circunferencia mide 48,56 cm y las dos tangentes trazadas desde un punto
exterior forman un ángulo de 25º. Calcula la distancia del centro de la circunferencia a
dicho punto.
16. Los radios de dos circunferencias tangentes exteriormente son de 15 cm y 8 cm,
respectivamente. Calcula el ángulo que forman sus tangentes comunes.

17. Bajo un ángulo de 90º, un barco divisa dos plataformas petrolíferas. Sabe que la
distancia a una de las plataformas es de 6,8 km, y que la distancia ala línea imaginaria
que las une es de 6 km. Calcula la distancia entre las plataformas y la distancia del barco
a la segunda plataforma..
18. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 32º 24' 36''. El lado desigual mide
7 cm. Calcula el área del triángulo
19. El área de un triángulo rectángulo es 30 cm2, y su hipotenusa mide 13 cm. Averigua
el valor de los ángulos agudos de dicho triángulo.
20. Situados en un punto de un terreno horizontal, el ángulo que forma la visual dirigida al
punto más alto de un árbol con la horizontal, es de 60º. ¿Cuál será el ángulo que formará si nos
alejamos una distancia el triple de la inicial?
21. Desde el suelo, vemos la terraza de un rascacielos bajo un ángulo de 40º. ¿Con qué ángulo
la veríamos desde una distancia que fuera la mitad de la anterior?
22. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide el triple que uno de los catetos.
Averigua el valor de los ángulos de este triángulo y la relación entre la hipotenusa y el
otro cateto.
23. Calcula los ángulos que determina la diagonal de una caja de zapatos de 35x20x15
cm con cada una de las caras.
24. Un rectángulo de 3cmx4cm está inscrito en una circunferencia. Calcula cuánto
miden los arcos que determina en ella.
25. Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Calcula:
a) el área del pentágono
b) el área de la corona circular que forman dicha circunferencia y la circunferencia
inscrita en el pentágono.
26. Calcula el área del segmento circular correspondiente a un ángulo central de 115º en
una circunferencia de 15 cm de radio
27. Dos observadores ven el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 58º y 75º,
respectivamente, tal como indica la figura. La distancia que los separa es de 25 metros.
Calcula la altura de la torre.
28. Se observa la cima de un promontorio de altura 100m bajo un ángulo de 17º. Nos
acercamos una cierta distancia y entonces el ángulo de elevación es de 30º. Calcula qué
distancia nos hemos acercado.
29. Para medir la anchura de un río, dos amigos se colocan en una de las orillas
separados una distancia de 150m. Los dos miden el ángulo que forma su visual a un
mismo punto de la orilla contraria con la recta que los une y resultan 39º y 75º, tal como
indica la figura. ¿Cuál es la anchura del río?
30. Desde un punto situado a una cierta distancia de la fachada de un edificio,
observamos su punto más alto bajo un ángulo de 49º, tal como se indica en la figura.
Nos alejamos 60 m, bajando unas escaleras, y desde un punto 10 m por debajo del
anterior, vemos el mismo punto en lo alto del edificio bajo un ángulo de 26º. Calcula la
altura del edificio.
31. Para calcular la altura de un mural, realizamos dos mediciones desde dos puntos A y
B, como se indica en la siguiente figura. Calcula la distancia de ambos puntos al mural,
y la altura de este.
32. El poste central de una carpa se sujeta con cables al suelo. Si en el punto de fijación
del cable con el suelo, el ángulo que forma el cable con el terreno, supuestamente
horizontal, es de 45º, se gastan 2 m más de cable que si el cable y el terreno forman un
ángulo de 55º. Si hacen falta 6 cables para realizar una sujeción segura del poste,
averigua cuanto cable hace falta si gastamos la menor cantidad posible, y cuál es la
altura del poste.
33. Queremos averiguar la anchura de un voladizo situado a 8 m de altura. Desde un
mismo punto realizamos dos mediciones y obtenemos los ángulos que se indican en la
figura. Calcula la anchura del voladizo.
34. Desde un barco A se divisa la luz de un faro bajo un ángulo de 45º, y su base que
está en una pequeña elevación de la costa, bajo un ángulo de 20º. Una barca, B, situada
a 15 m del punto de la costa en que está el faro, ve su luz bajo un ángulo de 65º. Calcula
cuanto mide el faro desde su base hasta su luz
35. Para calcular la altura de un punto P inaccesible, dos amigos, A y B, han realizado
las mediciones que se reflejan en la figura. Sabiendo que el ángulo OAB es recto,
calcula la altura del punto P, perpendicular al plano OAB.
Fórmulas trigonométricas
36. Si  es un ángulo del que se conoce que /2 < , y tg  = -10, calcula sen (cos
( y tg (
37. Sabiendo que sen  = 3/4 , /2 < , y cos  = -1/3, /2 < , averigua:
a)
b)
sen 2cos 2 y tg 2
sen(), cos ( b) y tg ()
c)

sen (/2), cos 2
38. Sabiendo que dos ángulos son agudos y que sus tangentes son 3 y 0,75, respectivamente,
calcula el seno de su suma , el coseno de su diferencia y la tangente de su semisuma
39. Conocemos que tg  = 14/5,  < , y que sen  = -2/7,  <  < 3/2. Averigua:
a)
b)
c)
sen 2, cos 2 y tg 2
sen /2 , cos/2 y tg/2
sen (), cos () y tg (2/2)
40. Demuestra que si A+B =  / 2, se cumple que:
(sen A + sen B) · (cos A + cos B) = 1 + sen 2A
41. Simplifica:
tg 2a
sin(a  b)

 (tg a  tg b)
1  sec 2a cos a  cos b
42. Sin utilizar la calculadora , averigua el valor de las siguientes expresiones:
a)
sen105 º  sen15º
 tg15º
cos 105 º  cos 15º
b) (sen 75º · sen 45º)· ( cos 75º · cos 45º) · ( 1- cos 15º)
43. Halla el valor del seno de 2x sabiendo que sen x - cos x = 1/3
Ecuaciones trigonométricas
44. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
 5senx  15 cos y  1
a) 
10senx  20 cos y  13
 2 x 
1
sen    seny 


4
2
b) 
1
2
 cos x  cos y 

4

2
cos
2
x

tgy

c) 
2
4 sin 2 x  2tgy  1
Resolución de triángulos. Teoremas del seno y del coseno
45. Calcula el área de cada uno de los triángulos siguientes, sabiendo:
a)
b)
c)
d)
e)
b = 30 cm, A = 50º y B = 74º
a = 41 cm, C = 45º, y B = 75º
a = 18 cm, b = 15 cm, C = 19º 42'
a = 6 cm, b = 12 cm, A = 17º30'
a = 33 cm, b = 24 cm, c = 20 cm
46. El ángulo entre los dos lados iguales de un triángulo isósceles es de 40º y el lado desigual
tiene una longitud de 40 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados iguales del triángulo?
47. El ángulo agudo de un rombo mide 25º. El lado mide 13 cm. Calcula el área del rombo.
48. Los lados de un triángulo miden 8 cm, 11 cm y 13 cm, respectivamente. Calcula el valor
del seno del ángulo más pequeño.
49. Los tres ángulos de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 9 cm. Calcula sus ángulos y su área.
50. En un triángulo ABC, conocemos A = 34,5º, B = 78º y a + b = 43 cm. Calcula cuánto miden
los lados a y b.
51. En un triángulo ABC, conocemos a = 15 cm, b = 11 cm y A + B = 104º. Calcula cuánto
miden los ángulos A y B.
52. En un triángulo ABC, conocemos A - B = 16º, a = 23 cm y b = 19 cm. Calcula los ángulos
del triángulo.
53. Demuestra que en todo triángulo ABC, se cumple la igualdad:
A B
2 , conocida como Teorema de Nepper. (Indicación: debes usar el teorema del
A B
tg
2
seno para escribir la relación entre a y b)
ab

ab
tg
54. En los lados de un triángulo ABC se cumple que b - a = 1 y c - b = 1, y se tiene que cos A
= 0,6. Calcula a, tg (B/2) y sin 2C
55. De un triángulo se conocen los lados b = 2,5 cm y c = 3,5 cm y se sabe que el ángulo B es la
mitad del ángulo C. Calcula a y los ángulos A, B y C.
56. Un triángulo de lados 3 cm , 4 cm y 6 cm, está inscrito en una circunferencia. Averigua el
perímetro y el área de dicha circunferencia.
57. En una circunferencia de radio 10 cm, hay inscrito un triángulo isósceles cuyo lado desigual
también mide 10 cm. Calcula el área de dicho triángulo.
58. Determina el área de un triángulo inscrito en una circunferencia de radio 3 cm, sabiendo
que dos de sus lados miden 2 y 4 cm, respectivamente.
59. Calcula el área del triángulo ABC representado en la siguiente figura:
60. El área de un triángulo de vértices A, B y C, tiene una superficie de 50 m2. El ángulo A de
este triángulo es de 45º y el ángulo B es de 30º. Sea D el pie de la altura desde el vértice C, es
decir, el punto del segmento AB en que se cumple que CD es perpendicular a AB. Calcula la
longitud de los segmentos CD, AD, BD, AB, BC y AC.
61. Las manecillas de un reloj de pared miden 10 y 12 centímetros, respectivamente.
a)
b)
¿Cuál es la distancia entre sus extremos cuando son las 16:00?
¿Qué área tiene el triángulo que determinan a esta hora?
62. De un triángulo conocemos la suma de la longitud de dos lados a y b, que es 11 cm, el
ángulo C, 30º, y el área, 7 m2. Calcula:
a)
b)
La longitud de cada uno de los lados del triángulo.
Los ángulos del triángulo.
63. El lado más largo de un paralelogramo mide 20 cm, su área es de 120 cm2 y su ángulo
menor, 30º. Determina:
a)
b)
c)
El ángulo mayor del paralelogramo.
La longitud del lado menor.
La longitud de la diagonal mayor
64. Sobre una circunferencia de radio 1 m y centro en el punto O, consideramos los cinco
vértices A, B, C, D y E de un pentágono regular, como el de la figura:
Calcula:
a)
El ángulo que forma el radio que acaba en el vértice A con el lado AB y el ángulo que
forman en el vértice A los dos lados que lo tienen como extremo.
b)
La longitud de cada uno de los lados del pentágono.
c)
La longitud de cualquiera de las diagonales.
d)
El área del triángulo EAB
Aplicaciones de la trigonometría
65. En un cierto lugar de su recorrido un río tiene sus orillas paralelas. En ese punto se desea
medir su anchura. Para ello desde dos puntos A y B de una de sus orillas, que están separados 25
m, se observa un punto P de la otra orilla, situado río abajo. Si las visuales desde A y B a P
forman con la orilla unos ángulos de 39º 25' y 52º 48' respectivamente, averigua la anchura del
río en ese punto.
65. Averigua el ángulo que forman dos fuerzas de 52 N y 31 N, cuya resultante es de 70 N.
66. Queremos colgar una lámpara a una determinada distancia del techo de una habitación. Para
ello, cogemos un cable, fijamos la lámpara y lo clavamos por sus extremos en dos puntos del
techo que están separados 140 cm, de modo que los ángulos entre el cable y el techo son de 40º
y 60º en cada uno de los puntos de fijación.
a)
b)
¿Cuál es la longitud del cable?
¿A qué distancia del techo quedará la lámpara?
68. Para medir la altura de una nube se han hecho dos observaciones simultáneas desde los
puntos A y B, que distan entre si 1 km, y que están situados los dos al nivel del mar. La
inclinación de la visual desde A a la nube, respecto de la horizontal, es de 47º. Los ángulos que
forman las visuales desde A y desde B con la recta AB son, respectivamente, 38º y 53º, tal como
se indica en la figura. Calcula la altura de la nube respecto del nivel del mar.
69. Dos amigos están cada uno de ellos en la terraza de su casa y observan un barco. Quieren
determinar a qué distancia se encuentra y para ello disponen cada uno de un teodolito.
a)
En primer lugar quieren conocer qué distancia hay entre ellos. Llamemos A y B a los
puntos en que se encuentran sus respectivos teodolitos. Desde el punto A miden una distancia de
10 m a un punto C, AC = 10 m, de manera que el triángulo ACB es rectángulo en A. Desde el
punto B resulta que el ángulo B de este triángulo es de 5,6º. Calcula la distancia entre A y B.
b)
Para determinar a qué distancia está el barco, desde el punto A miden el ángulo que
forman las visuales barco-A y AB, y desde el punto B hacen lo mismo con las visuales barco-B
y BA, y obtienen unos ángulos de 75,5º y 81,6º, respectivamente. ¿A qué distancia está el barco
de cada uno de ellos? ¿Podemos saber, sin hacer cálculos, quien está más cerca del barco? ¿Por
qué?
70. El circo ha llegado a una ciudad y hay que instalarlo. El especialista que lo monta no ha
llegado y los operarios no saben cuánto cable necesitan. Hay uno que recuerda que, una vez
tensado el cable desde el extremo del palo principal hasta un punto determinado del suelo, con
el cual forma un ángulo de 60º, hacen falta 2 m más de cable que si forma con el suelo un
ángulo de 70º. En total han de colocar 6 cables tensados formando con el suelo un ángulo de 60º
cada uno de ellos. ¿Cuántos metros de cable necesitan?
71. Hay que realizar un mapa de una cierta zona montañosa y A; B y C son las cimas de tres
montañas de la misma altura, de manera que la situación de A y B están bien determinadas y
representadas en el mapa, mientras que la situación de C está por determinar. Subimos a lo alto
de la cima A y medimos el ángulo entre la línea AB y la línea AC, que resulta de 68º. Subimos a
B y el ángulo entre las líneas BC y BA es de 35º. En el mapa la distancia entre A y B es de 3 cm
a)
Haz un diagrama de la situación, anotando el ángulo que forman en C las líneas CA y
CB.
b)
Halla, sobre el mapa, las distancias entre A y C y entre B y C.
c)
Si la escala del mapa es 1:50 000, calcula la distancia entre las cimas de las tres
montañas.
72. En el momento de marcar el último gol de Alemania en la final de la Eurocopa de
Inglaterra, Bierhoff estaba situado a 5 metros de uno de los palos y a 8 metros del otro, y veía la
portería bajo un ángulo de 60º. Calcula la distancia del jugador a la línea de gol.
73. En la terraza de un edificio hay instalada una antena de telefonía móvil. Desde un punto P
de la calle, el ángulo entre la horizontal y la línea que va desde P hacia el extremo superior de la
antena es de 34º. Nos acercamos a un punto Q que está 15 metros más cerca del edificio y en
este punto Q el ángulo entre la horizontal y la línea que va al extremo superior de la antena es
de 42º, mientras que con el extremo inferior de la antena es de 35º.
a)
Haz un esquema de la situación, señalando todos los ángulos que se dan en el enunciado
y todos los que se pueden deducir.
b)
Calcula la distancia de Q a los dos extremos de la antena.
c)
Averigua la altura del edificio y de la antena.
74. Las diagonales de un paralelogramo miden 16 cm y 12 cm, respectivamente. Uno de los
ángulos que determinan es de 40º. Calcula su perímetro.
75. Dos vías de tren se cortan con un ángulo de 20º 16'. Del cruce salen al mismo tiempo dos
locomotoras, una por cada vía. Una de las locomotoras va a una velocidad de 100 km/h. ¿A qué
velocidad debe ir la otra para que a las 3 horas estén separadas 150 km?