APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 6

APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 6
1-T6
RECORDATORIO INICIAL:
Antes de empezar de lleno con
este tema, os digo que, ocasionalmente, se van a trabajar ciertos conceptos que ya han sido explicados en
cursos anteriores y que no deben olvidarse por tanto. Dichos conceptos son
a) Elementos geométricos (plano, punto, recta, semirrecta, segmento). Saberlos definir y nombrarlos.
b) Nombre de la posición en la que nos podemos encontrar 2 rectas (paralelas, secantes,...)
c) Clasificación de los ángulos según su medida (agudos, rectos, convexos, completos,...)
d) Clasificación de los triángulos según los lados y los ángulos (acutángulo, isósceles,...)
e) Clasificación de los cuadriláteros (paralelogramos, trapecios,...)
f) Rectas notables de un triángulo (mediatrices, circuncentro, ortocentro,...)
g) Teorema de Pitágoras ( h2 = c2 + c2 ,...). Sólo para los triángulos rectángulos.
Finalmente, os comento, aunque ya lo sabéis la mayoría, que la suma de los tres ángulos de
cualquier triángulo siempre saldrá 180 º, ni un minuto o segundo más, ni menos. Pero lo que no sabéis,
aunque lo habréis intuido por ser de sentido común, es que no siempre que me den la medida de los 3
lados de un triángulo existe ese triángulo. Para que exista un triángulo debe cumplir la propiedad que
dice que la suma de 2 de los lados de un triángulo tiene que ser mayor que el tercero de los lados.
También se puede decir que la resta de 2 de los lados de un triángulo debe ser menor que el lado que
nos queda.
Ejemplos: “¿Existe un triángulo cuyos lados miden 4, 7 y 10 cm, respectivamente?”
En principio, parece que sí, y al comprobar si la suma de 2 de los lados sale mayor que el tercero,
efectivamente sale mayor. Por ello, afirmamos que ese triángulo EXISTE PERFECTAMENTE.
“¿Existe un triángulo cuyos lados miden 4, 5 y 10 cm, respectivamente?”
En principio,
parece que sí, y al comprobar si la suma de 2 de los lados sale mayor que el tercero, observamos que si
sumo los 2 primeros (4 cm + 5 cm) no sale mayor que el tercero (10 cm), y por tanto afirmamos que
dicho triángulo NO EXISTE. También, si resto el 3º con el 1º (10 cm – 4 cm) no nos sale menor que el 2º
(5 cm), y por lo mismo afirmamos que no existe.
RAZÓN Y PROPORCIÓN ENTRE SEGMENTOS:
Sabemos del tema anterior que
os
una razón (división de 2 n ) se puede sacar de la división de 2 cantidades de 2 magnitudes diferentes las
cuales están relacionadas o son dependientes (al cambiar el valor de una de ellas eso hace que cambie el
valor de la otra). Pues también podemos coger una serie de segmentos que nos dan y hacerles razones,
simplemente dividiendo lo que mide uno entre lo que mide otro. Si tenemos 5 segmentos cuyas medidas
son “4 cm, 5 cm, 6 cm, 8 cm y 10 cm” podríamos hacer esta serie de razones
4 cm 4 cm
4 cm
8 cm 10 cm 8 cm
,,
,,
,,
,,
,,
y todas las demás que se nos ocurran
5 cm 6 cm 10 cm 5 cm
6 cm 10 cm
¿Y qué tal si nos fijamos en la 1ª y la última razón? ¿Qué me podéis decir? _______¿?_________
4 cm 8 cm
Pues creo que las vamos a poner una al lado de la otra y así ya lo sabréis:
=
Efectivamente,
5 cm 10 cm
esas 2 razones de segmentos forman una proporción. Eso quiere decir que, en ocasiones, al tener 4
segmentos podremos formar una proporción siempre y cuando se cumpla la propiedad que dice “la
multiplicación de los extremos es igual a la de los medios”.
EJERCICIOS
1.- De la página 122 del libro, los nos 1 y 2. En este último ejercicio, los 6 segmentos deben ser distintos.
EL TEOREMA DE THALES:
Antes de explicar este teorema,
hay que saber que “si una de las 2 rectas secantes/convergentes que nos encontramos en un dibujo
está dividida en segmentos iguales, y le hacemos pasar paralelas por los extremos de esos segmentos
y que corten a la otra recta secante/convergente, los segmentos que nos salen en ésta otra son
también iguales (ya sean del mismo tamaño que los anteriores o de diferente tamaño)”. Se entiende
mejor con el dibujo/experiencia que propongo en clase (viene en la página 124 del libro).
Siguiendo con este dibujo, llegaremos a darnos cuenta que con los segmentos
2-T6
que nos salen en las rectas secantes podemos obtener proporciones, siempre y cuando guardemos un
orden. Ese orden para sacar proporciones se puede entender de dos maneras diferentes:
a) Orden del libro  en cada razón coge un segmento de una de las rectas y el correspondiente de la
otra recta.
b) Orden del profesor  en cada razón coge dos segmentos de la misma recta, para luego, en la otra
razón, coger sus correspondientes de la otra recta.
Ni que decir tiene que os “recomiendo el orden del profesor”
Pues en esto consiste el Teorema de Thales, en coger razones que formen proporciones en dos
rectas secantes que estén cortadas por paralelas. Teóricamente lo diríamos así: “cuando dos rectas
secantes/convergentes estén cortadas por una serie de paralelas, los segmentos que nos salen en las
rectas sec./con. son proporcionales, es decir, se pueden sacar proporciones, siempre y cuando
guardemos un orden (el del libro o el del profesor)”.
Miremos este ejemplo
A
B
AB A´B´
=
CD C´D´
C
o
AC A´C´
=
BD B´D´
D
A´
B´
C´
D´
“Orden del profesor”
Si nos fijamos en el “ejemplo 1” de la página 125 del libro, nos daremos cuenta de que el orden
que aplica en la proporción, como no puede ser de otra manera, es “el orden del libro”. De mi manera, “el
orden del profesor”, la proporción quedaría así
=
(os lo dejo en blanco para que lo rellenéis).
En el “ejemplo 2” de la misma página, cuando el libro obtiene el primer resultado, la división de
50 : 7 no es exacta, por lo que habría que poner antes de ese resultado el simbolito “  ”.
EJERCICIOS
2.- De la página 125 del libro, los nos 4 y 5. En el nº 4, le debéis añadir un par de apartados más, que son:
c)
d)
A
OR = 10´8 cm
“y”
6
AF = 4´2 cm
F
V
FM = 3´36 cm
4
O
“x”
P
“y”
R
3´6
“x”
4´8
APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES:
El teorema de Thales, además
de servir para encontrar distancias de segmentos nos sirve para poder dividir ciertas distancias
(segmentos) en las partes proporcionales que nosotros queramos. Podemos hacer las siguientes proezas:
a) Dividir un segmento en una serie de partes iguales  para hacerlo, se empieza dibujando el segmento
que queremos dividir. A continuación, desde el extremo de la izquierda dibujamos una semirrecta con la
inclinación y la longitud que queramos. Con el compás, tomando una medida arbitraria, trazamos desde el
mismo extremo una cantidad de arcos igual a la cantidad de veces que tengo que dividir el segmento.
Después, unimos el último arco con el extremo de la derecha del segmento y, por último, trazamos
paralelas al segmento que nos ha salido que empiecen en los demás arcos dibujados, y que lleguen hasta
el segmento inicial. Los dibujos aclaratorios vienen en el libro perfectamente (pág. 127).
b) Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados  para hacerlo, se dibuja el segmento que
tenemos que dividir. Después, se vuelve a hacer una semirrecta como la que se ha hecho en el apartado
anterior, para, a partir del extremo de la izquierda, pintar en ella los demás segmentos de forma seguida.
A continuación, el extremo derecho del último segmento dibujado
3-T6
se une con el extremo derecho del segmento que hay que dividir. Finalmente, se trazan paralelas a este
segmento que nos ha salido que empiecen en los extremos libres que haya en la semirrecta y que lleguen
hasta el segmento inicial. En el ejemplo 3 de la página 26, podríamos sacra otra razón más fácil a mi
modo de ver. Si sumamos los segmento de 4 y 8 m (sale 12 m) la proporción que yo sacaría sería
12 20

4
x
Los dibujos aclaratorios vienen en el libro perfectamente (pág. 126).
c) Dibujar un segmento cuarto proporcional  para hacerlo, como ya sabemos colocar los 3 segmentos
que nos dan en una proporción, dibujarlo será fácil. Tendría dos variantes, ya que si entendemos la
proporción según “el libro”(espero que no) habrá que colocar los segmentos de una manera, pero si
entendemos la proporción según “el profesor” colocaríamos los dos segmentos de la primera razón en una
misma recta, y el 3º que conocemos en la otra recta. Luego, uniríamos el extremo derecho de este 3 er
segmento con el extremo central de la otra recta. Por último, le haremos una paralela a este segmento que
nos ha salido empezándolo el en extremo derecho de la 1ª recta y que llegue hasta la 2ª recta. El segmento
que nos sale en la 2ª recta será el “cuarto proporcional”. Los dibujos aclaratorios vienen en el libro
perfectamente (pág. 128).
d) Dibujar un segmento tercero proporcional  es lo mismo del apartado anterior pero sabiendo que
nos darán 2 segmentos solo y que el segmento que hay que repetir, si no nos dicen nada, es el 2º de ellos.
Los dibujos aclaratorios vienen en el libro perfectamente (pág. 126).
EJERCICIOS
3
7´2
os
3.- De la página 127 del libro, los n 6, 7 y 8.
5
x + y = 7´2
4.- Calcula el valor de los segmentos “x, y, z” de esta figura:
5.- Divide un segmento de 12 cm en partes proporcionales
“x”
“y”
“z”
a 2, 3, 4 y 10 cm. Dibuja otro igual y divídelo en 10 partes iguales.
Luego, divide un segmento de 9 cm en partes proporcionales a 1, 4 y 10 cm.
6.- De la página 28 del libro, los nos 10 y 11.
7.- Construye 2 veces el segmento 4º proporcional a 4, 5 y 6 cm siguiendo primero el “orden de Juan”, y
el “orden del libro” después.
TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES:
Si nos fijamos bien en la
figura que viene a continuación, en la siguiente que aparece le hemos borrado las prolongaciones. Lo
vemos.
(Figura 1)
B
C
M
O
(Figura 2)
X
¿Y qué hemos obtenido? ¿Qué es lo que veis? ¿No veis dos triángulos, uno grande y otro más pequeño
en su interior? Pues lo que tenemos en esa 2ª figura son 2 triángulos en posición de Thales. Y ¿Cuándo
2 triángulos están en posición de Thales? Pues como se ve, “cuando están compartiendo un ángulo
( X̂ ) y los lados que están enfrente de dicho ángulo, opuestos al ángulo, (CO // BM) son paralelos”.
Y, ¿Qué les pasa a 2 triángulos cuando están en posición de Thales?
4-T6
Pues que “los 3 ángulos son iguales, es decir, miden lo mismo ( X̂ = X̂ ,, Ĉ = Ô ,, B̂ = M̂ ), y que los
MX BM BX
lados homólogos o correspondientes son proporcionales (
=
=
)”.
Como se aprecia en
OX CO CX
esas 3 razones que he sacado, la primera corresponde a las dos bases, la segunda a los dos lados de la
izquierda, y la tercera a los dos lados de la derecha. Cuando vayamos a hacer ejercicios de este tipo y
nos pidan que calculemos ciertas medidas que faltan, lo primero y más importante es saber sacar y poner
esas 3 razones juntas. A partir de ahí, todo resulta más fácil.
EJERCICIOS
R
1
T
8.- Ejercicio nº 14 de la página 129 del libro.
9.- Calcula las medidas de los lados que faltan en esta figura:
2´4
5
Z
5´5
X
M
EJERCICIOS DEL TRABAJO:
20, 22, 23,24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 37, 38, 40, 42, 45, 46, 47,
49, 51 y 53.
Debes explicarlos todo lo que puedas y sea necesario.
EJERCICOS CAMBIADOS O MODIFICADOS:
20.- Es el mismo que tenéis en el libro, pero, al igual que el primero que hicimos al principio del tema, no
valen repetir medidas.
5
4
24.- Es el que hay en el libro pero en vez de ser la razón
es .
4
5
32.- Saca 10 proporciones distintas, siguiendo el orden del profesor, a esta figura:
V
Y
X
T
S
O
s
R
m
A
Z
Q
P
a
b
e
c
d
¿Cuándo se puede aplicar el teorema de Thales? En el dibujo, ¿cuáles son las rectas secantes?
42.- Es el que hay, pero hay que meterle este otro apartado:
b)
y
3´6 cm
7´2 cm
X
3 cm
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez
Profesor de matemáticas de 2º de ESO
6 cm