Teoremas de cuerdas

Liceo Nocturno de Puriscal
Profesor: José Pablo Vargas Vargas
Departamento de Matemática
NIVEL: UNDÉCIMO AÑO
Tema: Geometría (Teoremas de Cuerdas en la Circunferencia)
TEOREMA 1
D
a) Toda recta tangente a una
circunferencia es perpendicular al
radio en su punto de tangencia.
b) Una recta perpendicular a un radio
en su punto de intersección con la
circunferencia, es tangente a la
circunferencia.
A
B
A: Centro de la circunferencia
B: Punto de Tangencia
AB  CD
C
Ejemplos:
1. Una recta AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto T. Si
el radio de la circunferencia es de 5 cm y mAT  12cm encuentre la medida de
OA .
2. La recta LP es tangente a la circunferencia de centro O en el punto T ,
mTP  24cm y mOP  25cm encuentre la medida del diámetro de la
circunferencia
A
TEOREMA 2:
La menor distancia entre un punto y
una recta es el segmento de recta
que pasa por el punto y es
perpendicular a la recta .
C
AB  CD
TEOREMA 3:
Todo segmento de recta
perpendicular a una cuerda y que
pasa por el centro de la circunferencia
divide a la cuerda en dos segmentos
congruentes.
O: Centro de la circunferencia
B
D
O
A
OC  AB  AD  DB
D
B
C
Ejemplos:
1. Una cuerda de 16cm está a 15cm del centro de una circunferencia. ¿Cuál
es la medida del radio de la circunferencia?
2. Un diámetro y una cuerda de una circunferencia tienen un extremo en
común. Si el diámetro es de 40cm y la longitud de la cuerda es 24cm ¿A qué
distancia del centro de la circunferencia?
1
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Tema: Geometría (Teoremas de Cuerdas en la Circunferencia)
TEOREMA 4:
En una misma circunferencia o en
circunferencias congruentes, las
cuerdas equidistantes del centro son
congruentes y viceversa.
E
A
B
O
C
O: Centro de la circunferencia
F
OE  OF  AB  CD
D
Ejemplos:
1. Encuentre la distancia a que se encuentran dos cuerdas del centro de una
circunferencia de centro O si el radio de esta mide 10 cm y cada una de las
cuerdas mide 16cm.
2. Encuentre el diámetro de una circunferencia si posee dos cuerdas de 48 cm
c/u y se encuentran a una distancia de 7 cm del centro cada una.
T
TEOREMA 5:
a. Las dos tangentes a una
circunferencia, desde un punto P
exterior a ella, son congruentes. Es
decir
TP  MP
P
O
b. Las dos tangentes a una
circunferencia, desde un punto P
exterior a ella, forman con la cuerda a
la que pertenecen los puntos de
tangencia un triángulo isósceles.
M
O: Centro de la circunferencia
PT  PM
PTM  PMT
c. Los triángulos que se forman con
los radios de la circunferencia y las
rectas tangentes son congruentes, es
decir, PTO  PMO
Ejemplo:
1. Considere la figura adjunta y los datos que
se proporcionan a continuación
y PM son tangentes a la circunferencia.
Halle la medida del TPO
si mTOM  140º
T
PT
P
O
M
2
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NIVEL: UNDÉCIMO AÑO
Tema: Geometría (Teoremas de Cuerdas en la Circunferencia)
PRÁCTICA #2
EJERCICIOS SOBRE APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE CUERDAS
EN LA CIRCUNFERENCIA
1. AP es tangente a la circunferencia de radio O.
Hallar mA si las medidas de los ángulos A y
están a razón 2 : 3
Respuesta\
mA  36º
O
O
A
P
2. Considere la siguiente figura.
Tomando en cuenta los siguientes datos
C
m AB  15cm
mBR  4cm
mRC  8cm
R
P
Averigüe la medida de
Respuesta\
O
B
AC
Q
X  19cm
A
ABC es circunscrito
3. De acuerdo con los datos de la figura averigüe
B
5
C
Q 4
R
P
O
a) Determine
AB  CD
A
7cm
6cm
S
D
b) Determine el perímetro de □ ABCD
□ ABCD es circunscrito
BC, AB, CD , AD
son tangentes
a la circunferencia
Respuesta\ a ) AB  CD  22cm b) Perímetro  44cm
4. Desde un punto B situado a 14dm del centro de una circunferencia se de
6dm de radio se traza a ella una tangente en el punto A. Calcular
R\
4 10
3
AB
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Tema: Geometría (Teoremas de Cuerdas en la Circunferencia)
5. Desde un punto ubicado en el exterior de una circunferencia de 10cm de
radio, se trazan dos tangentes. Calcule la longitud de la cuerda que une los
puntos de tangencia y que está a 6cm del centro. R\ 16cm
6. En una circunferencia con radio de 10cm una cuerda está a 6cm del centro.
¿Cuál es la longitud de la cuerda? R\ 24cm
7. En una circunferencia de 15cm de radio se traza una cuerda de 18cm. Halle
la longitud de esta cuerda al centro de la circunferencia.
R\ 12cm
8. En una circunferencia de 13cm de radio, hay una cuerda que dista 12cm del
centro de la circunferencia. Halle la medida de dicha cuerda. R\10cm
9. Desde un punto situado a 20cm de una circunferencia se traza un segmento
tangente a una circunferencia. Si se sabe que el segmento mide 4cm más que
el radio de la circunferencia, determine la longitud del diámetro de la
circunferencia.
R\ 24cm
10. Desde un punto de una circunferencia se traza un segmento de 8cm
perpendicular a un radio de la misma, que lo divide (al radio) en dos
segmentos tales que uno de ellos mide 2cm más que el otro. Determine la
medida del radio de la circunferencia.
R\ 10cm
11. Desde un punto P que dista 18cm del centro de una circunferencia de 9cm
de radio, se traza a ella una tangente en el punto Q. ¿Cuál es la longitud de
PQ ?
R\
12. Desde un punto ubicado en el exterior de una circunferencia de 13cm de
radio, se trazan dos tangentes. ¿Cuál es la longitud de la cuerda que une los
puntos de tangencia y que está a 5cm del centro?
13. Una cuerda de 12cm está a 8cm del centro de una circunferencia ¿Cuál es
la medida del radio de la circunferencia?
14.
a) En la figura CA es tangente a la circunferencia en el punto A.
diámetro. Si BC=15cm, AC=9cm. ¿Cuál es el área del círculo?
b) Si las medidas de los ángulos C y B están a razón 4:3
Calcule sus respectivas medidas
AB es un
C
B
4
A
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Tema: Geometría (Teoremas de Cuerdas en la Circunferencia)
15. El radio de la circunferencia de centro O mide 4cm y es perpendicular a la
cuerda
c
AB . Si AOG  60º encuentre la medida de la cuerda AB
C
A
G
O
D
5
B
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Tema: Geometría (Teoremas de Cuerdas en la Circunferencia)
BC son tangentes a la circunferencia de
centro O. Si la medida del radio es 3 cm y el AOC mide 120º . ¿Cuál de
16. En la figura siguiente AB y
las siguientes proposiciones es falsa?
A
B
O
C
I. El ABC es equilátero
II. ABC es exterior a la circunferencia y mide
III.
AB
y
60º
BC miden 3cm cada una
17. Analice las siguientes proposiciones e indique cuáles
son verdaderas
I. PRS  SPQ
II.
RSP  RPQ
T
O
R
P
S
Q
AD y BC son tangentes comunes a los
círculos con centros Q y P. Si mPA  12cm , mQB  10cm y
m  60º . Averigüe la medida de PQ .
A
18. En la figura siguiente las rectas
B
a
Q
P
D
C
6
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Tema: Geometría (Teoremas de Cuerdas en la Circunferencia)
AB es tangente común a las circunferencias de
centros P y Q. Si m AP  16cm , m BQ  6cm y m PQ  26cm
entonces determine la medida de AB .
A
19. En la figura adjunta
B
Q
P
20. Utilizando los datos de la figura, en la cual D, E Y F son puntos de
mCB  12cm , mCF  5cm, m AF  2cm
encuentre la medida de AB .
C
tangencia y
entonces
F
A
E
D
B
21. En la figura las circunferencias de centro O son concéntricas y
tangente. Si
de
m AB  5cm y m AQ  30cm
AO es
entonces encuentre la medida
BC .
Q
A
B
O
7
C
D
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Tema: Geometría (Teoremas de Cuerdas en la Circunferencia)
22. Las circunferencias de centro P y de centro O son tangentes interiores en
el punto D,
encuentre
OA y OB son segmentos tangentes. Si
PD 1

CD 8
y
PD  k ,
OA en términos de k .
A
C
P
O
D
B
23. El segmento tangente PQ mide 12cm y es perpendicular al radio OP
que mide 9cm. ¿Cuál es la menor distancia del punto Q a la circunferencia?
P
Q
O
24. El AQ es cuerda del círculo concéntrico mayor y tangente del menor. Los
radios de los círculos de centro O miden 7 y 3 unidades respectivamente,
¿Cuánto mide la cuerda AQ?
A
O
Q
8
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