autproc_prob1de2

Automatización de Procesos
1)
Dada la función de transferencia:
G(s) 
106 (s  102 )
s(s2  103s  106 )
a) Dibujar el diagrama de Bode (magnitud y fase).
b) Con la ayuda del diagrama anterior determinar aproximadamente la respuesta en régimen
permanente que corresponde a la entrada
u(t )  10sen(01
. t   / 4)  30sen(10t )
2) Un modelo simplificado del sistema de control para la regulación de la apertura de la pupila en un ojo
humano se muestra en la figura siguiente, donde se han obviado los efectos de retardo en la
transmisión de los impulsos nerviosos:
variacion
de intensidad
de luz.
I(s )
R (s) +
Controlador
Pupila
K
G (s)
Ip(s)
+
Y (s)
+
-
nervio optico
1
impulso
nervioso
el modelo de la pupila corresponde a:
G(s)=
1
(0.5s 1)3
y
K=1
Obsérvese que suponemos un determinada Intensidad de luz constante en el entorno del ojo por lo cual
bastará para obtener un determina intensidad sobre la retina del ojo ( R(s)) abrir o cerrar la pupila en la
cantidad adecuada. Ip(s) es la intensidad en la retina asociada a la apertura actual de la pupila . Sin
embargo en el modelo también se han tomado en consideración variaciones de la intensidad de luz del
entorno como una perturbación al sistema. Nótese que este sistema puede perfectamente ser
implementado en forma artificial mediante una cámara de vision. Se pide:
a) representar el diagrama de Bode de kG(s).
b) estudiar la estabilidad del sistema en función de k y calcular el margen de
ganancia.
3) Una unidad de disco flexible tal como se muestra en la siguiente figura, requiere un motor para
posicionar la cabeza de de lectura/escritura sobre las pistas de datos .
1
encuentra girando en torno a un eje central. El motor y la cabeza pueden ser representados por :
G(s)=
10
s( s 1)
Donde =0.001 seg. El controlador utilizado es un controlador proporcional, de tal forma que el error
entre posición deseada y posición actual es multiplicado por un constante de proporcionalidad K.
a) ¿Cual es el error de posición en estado estacionario para un cambio en la entrada deseada a un escalón
unitario?
b) ¿Calcular el K requerido para obtener un error en estado estacionario de 1 mm para una rampa de
entrada de 100 mm/seg ?
4) Sean los dos sistemas en lazo abierto y cerrado mostrados seguidamente donde Kc = 1/K:
R
Kc
k
T s+1
Calibración
planta
C
1.1 Sist ema en lazo abiert o
R
+
Kp
k
C
T s+1
Controlador
planta
1.2 Sist ema en lazo cerrado
a) Determinar el error en régimen permanente tanto para el sistema en lazo abierto como para el
sistema en lazo cerrado.
b) ¿ Como habría de tomar Kp para disminuir al máximo el error permanente ?
c) Si la constante k presente en la planta varia a k+k debido a cambios ambientales,
envejecimiento de componentes, etc. como se modificaría el error en régimen permanente en los
casos de lazo cerrado y abierto respectivamente. Particularizarlo para k=100 y k=10.
d) Si en vez de tomar un control proporcional como en 1.2 lo sustituimos por un control integral
¿ Cómo quedaría el error en régimen permanente ?
5) La figura representa el diagrama de Bode de la función de transferencia G(s).
2
a) Hallar G(s) si se sabe que esta función es de fase mínima.
b) Utilizando el diagrama de Bode, determinar la respuesta estacionaria del sistema a una
entrada sinusoidal de amplitud unidad y frecuencia 110 rad/sg.
c) Indicar el tipo de G(s) y suponiendo que G(s) es la función en lazo abierto de un sistema de
control proporcional con retorno unitario y K=1, determinar el error estacionario frente al escalón
unitario.
6) El sistemas mostrado en el esquema siguiente es un ejemplo típico sistema de reserva de un fluido que
se utiliza en la industria química. Al aplicar el principio de conservación de la masa para obtener la
ecuaciones del modelo obtenemos:
A
1
A
d h1
dt
d h2
2
dt

1
( h2  h1)  u ( t )
R
1

1
R
( h2  h1) 
1
1
R
h
2
1
Donde u(t) es el valor que controla el flujo en el tanque.
u(t )
A1
A2
R1
h1
R2
h2
a) Para los parámetros A1=A2=1; R1=1/2 R2=1/2 encontrar la función de transferencia
G( s ) 
H
2
( s)
U ( s)
.
b) Si el valor que controla el flujo en el tanque u(t) se realiza a través de un C D/A y la Respuesta h 2(t) se
muestrea a una frecuencia de 10 Hz (T=0.1seg), Obtener la función de transferencia discreta
u(k)
T
T
ZOH
h2(k)
G (s)
3
7) Obtener la función de transferencia del sistema discreto
T
R (s) +
T
ZOH
G (s)
H (s)
Y (z)
-
ZOH
F (z)
donde:
G ( s) 
1
;
s 1
H ( s) 
1
;
s2
F (z) 
z
;
z 1
ZOH ( s ) 
1  e Ts
s
8) Dado el sistema discreto en representación de variables de estado
d
2   x1 ( k ) 
2b 
 x1 ( k  1)   0

 

 

 x 2 ( k  1)   1 1 / 2 5   x 2 ( k )   1  b  u( k )

 

 

0
1 / 4  x3 ( k )  b3  b  2
 x3 ( k  1)  0
 x1 ( k )


y( k )  c c  1 c  2 x 2 ( k )


 x3 ( k )
a) Determinar los valores de d para los cuales el sistema es estable si b=1 y c=0.
b) Estudiar los valores de b y c para los que el sistema es estable supuesto d arbitrario.
9) Sea el sistema de control de temperatura que se muestra a continuación:
q
Suministro
de vapor
Amplificador de
P otencia
Microcomputador
Depósito
x
Vapor
empobrecido
D/A
0-5v
termopar
Bobina
Amplificador
A/D
0-5v
Fig. 1- Sistema de control de Temperatura
Como se observa en el diagrama la salida del microcomputador controla la posición de una electroválvula
la cual a su vez controla la cantidad de vapor a través del serpentín del depósito. Por otra parte mediante
el termopar podemos tener medidas de la temperatura . En la figura siguiente podemos observar el
diagrama de bloques correspondiente al sistema de control :
4
Microcomputador
Amplificador
de potencia
Válvula
x
R (s) +
D(z)
ZOH
1
Proceso
q
0.4
2.5
G(s)
Temperatura
T (z)
-
bobina
T
Voltios
grados Celsius
0.04
Fig. 2 -Diagrama de Bloques
Donde:
G(s)=
20
3s  1
ZOH=
1 eTs
s
D(z)=K
a) Determinar la estabilidad del sistema en función de K tomando para T el valor 0.5 seg.
b) Estudiar la estabilidad para el caso de T=3 seg. y comparar los resultados con los obtenidos en el
apartado a) .
10) En la Figura (3a) se observa un sistema de control de posicionamiento de cámaras con el fin de hacer
creer al espectador que los actores se encuentran inmersos dentro de un paisaje que realmente es un
decorado en miniatura. Las cámaras de primer y segundo plano visualizan respectivamente al actor en
movimiento y al decorado en miniatura , de tal forma que estas dos imágenes son superpuestas por un
sistema electrónico. Sin embargo para que el espectador le resulte real es necesario que la cámara de
segundo plano siga a los movimientos de la cámara de primer plano con rapidez y precisión aceptable. A
continuación presentamos el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control en donde por
simplicidad nos hemos restringido al caso unidimensional. Donde:
Gm( s) 
23. 2
s
Posicion de la
cámara de 1 er plano
R (s) +
K
Gc2( s ) 
5329
s2 87.6 s  5329
Motor
cámara de 2º plano
Gm (s)
Gc2 (s)
Posicion de la
cámara de 2º plano
r (s)
Amplificador
Fig. (3a)
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a) evaluar el rango de K para el cual el sistema es estable y el margen de ganancia para un valor de K=1.
b) Determinar el error estacionario para una entrada rampa u(t)=3t para el caso de que k sea igual a 1.
11) Como es bien sabido la respuesta en frecuencia de un determinado sistema puede ser utilizada en la
identificación del mismo (obtención de su representación ya sea en el plano-s o en el espacio de estados),
de hecho muchos fabricantes suministran las características de magnitud y fase de los dispositivos de
control que comercializan. En la figura 2 presentamos un diagrama de bode de un sistema lineal
desconocido a priori. Determinar a partir de la información suministrada en el mismo la funcion de
transferencia de dicho sistema (nota: observese que a la frecuencia de 0.1 rad/seg la magnitud es 60 dB).
12) Sea un sistema de control en lazo cerrado tal como se muestra en la fig.3, aplicado en este caso al
control del angulo de giro de las alas de un avión:
Fig 3
donde:
G(s)=K ; H(s) = 1/(s(0.5s+1)); ZOH=(1-e-Ts)/s
a) Determinar la función de transferencia del sistema.
b) Determinar la estabilidad en funcion de K y T.
c) que valor de K podriamos escoger para que el error en estado estacionario a una entrada
correspondiente a una rampa unitaria fuera inferior a 1.0 supuesto T=0.25.
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