PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO - Colegio Adventista La Serena

COLEGIO ADVENTISTA DE LA SERENA
DEPTO. DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
DOCENTE: HERNAN AROS NÚÑEZ
GEOMETRÍA, SEMEJANZA Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
CONTENIDO
I
:
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO.
SEGMENTOS PROPORCIONALES.
La razón entre dos trazos es el cuociente entre los números que expresan sus
longitudes, si se han medido en la misma unidad.
B
A
d
Ejemplo :
Los trazos A B y C D están en la razón de 3 : 4 , porque la
C
D
unidad “d” cabe 3 veces en A B y 4 veces en C D.
“ Dos trazos son proporcionales a otros dos , cuando la razón que existe entre las dos
primeras , es igual a la razón entre las dos últimas “ .
a
b
c
Ejemplo : Si se dan los 4 trazos siguientes :
a = 4 cm
;
b = 2 cm
c = 6 cm
;
d = 3 cm
a
4
La razón entre los dos primeros trazos es :
=
= 2
b
2
c
6
La razón entre los dos últimos trazos es :
=
= 2
d
3
Se dice , entonces que los trazos
“a” y “b”
a
c
PROPORCIONALES con “c” y “d” , es decir :

b
d
d
son
DIVIDIR UN TRAZO EN UNA RAZON DADA.
Problema:
Dividir un trazo AB en un número cualquiera de partes iguales.
Solución : Sea A B , el segmento.
Lo dividimos en 5 partes iguales.
Se traza un rayo indefinido AC ( línea auxiliar ).
A partir del punto
“A” , A C se divide en 5
partes de igual longitud arbitraria.
Se une C con B.
Por los puntos de división de A C,se trazan
A
B
paralelas a C B.
Estas paralelas , que determinan partes iguales
sobre A C, determinan también partes iguales sobre
A B.
C
Teorema :
En un trazo A B existe un sólo punto
extremos A y B del trazo , están en una razón dada.
Ejemplo : Dado el trazo A B
y sea C ese punto.
AC
Supongamos que
CB

C
cuyas
A
distancias
C
a
B
3
4
divide interiormente al trazo A B “ en la razón 3 : 4.
Se dice en este caso que “ C
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO INTERIORMENTE.
Problema : Dividir un trazo A B interiormente en la razón
Solución :
Sea
2 : 3.
A B el trazo dado .
E
Por los extremos del segmento A B se trazan
L1 y L2 tales que L1 // L2
Se hace : A E = 2 unidades arbitrarias
B
C
A
B F = 3 unidades arbitrarias
Se une E con F y se obtiene el punto C
AC 2
=
Resulta :
CB 3
L1
F
L2
Teorema : Sobre la prolongación de un trazo A B , existe un sólo punto cuyas
distancias a los extremos del trazo están en una razón dada.
A
B
C
Sea D el punto dado en la prolongación de A B .
Supongamos que
AC
BC
=
4
3
Se dice que “ D divide exteriormente al segmento A B “ en la razón de 4 : 3 .
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO EXTERIORMENTE.
L1
Problema : Dividir exteriormente un trazo A B
en la razón de 3 : 2 .
Solución :
Sea
L2
E
F
A B el trazo dado.
Por los extremos del segmento A B se trazan
L1 y L2 tales que L1 // L2
Se hace : A E = 3 unidades arbitrarias.
A
B
B F = 2 unidades arbitrarias.
Se une E con F y se prolonga hasta intersectar la proyección de A B en D.
Resulta :
AD
DB
=
AF
BE

3
2
D
los
DEFINICIÓN: Dividir un trazo armónicamente, es dividirlo interior y exteriormente en
una razón dada
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN SEGMENTO ARMÓNICAMENTE EN UNA
RAZÓN DADA
Problema : Dividir un trazo dado A B , armónicamente , en la razón de 5 : 3 .
Solución :
L1
-
Se dibuja el segmento A B .
-
En
ambos
extremos
copiamos
segmentos paralelos las longitudes
dando origen a los puntos R y T .
-
L2
R
sobre
5 y 3
S
Uniendo R y T se determina el punto P de
división interior de A B
A
B
P
A B en
D
-
Así , P divide interiormente al trazo
AP 5
la razón 5 : 3 es decir :
=
PB 3
-
En dirección opuesta a B T dibujamos B S de longitud 3.
-
Se une R con S y se prolonga hasta intersectar la proyección de A B en D y
encontramos el punto exterior D .
-
Así, D divide exteriormente al trazo A B en la razón 5 : 3 , es decir : A D  5
-
Luego , resulta : A P = A D  5
T
BD
PB
BD
3
3
LA CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
Es la circunferencia que tiene por diámetro el segmento o trazo formado por el punto
de división INTERIOR y el punto de división EXTERIOR de un trazo divido
armónicamente .
L1
Ejemplo :
Sea A B un trazo dado.
M es el punto de división interior en
m : n.
N es el punto de división exterior en
m : n.
Por lo tanto, el trazo A B está
armónicamente, en una razón dada,
por M y N .
Así ,
AM
MB
=
AN
BN

L2
la razón
la razón
dividido
m: n ,
A
B
M
O
T
m
n
Así , M N es el diámetro de la circunferencia de APOLONIO , cuyo centro es O .
N
E J E R C I C I O S.
I.
Divide en la forma indicada :
149. Divide el segmento dado en cinco partes iguales
150. Divide interiormente el trazo dado en la razón
3:5
151. Divide exteriormente el trazo dado en la razón
5:4
II.
Divide armónicamente los segmentos dados en la razón dada y además traza la
circunferencia de Apolonio :
152.
4:5
153.
5:3
TEOREMA DE THALES
40 cm
d
Teorema 1 : Si varias paralelas determinan segmentos
iguales en una de dos rectas transversales, determinan
también segmentos iguales en
la otra transversal.
t
t’
d
d
d
d
A
Es decir, según la figura :
A’
B
Si
A A' // C C' ;
transversales y
t
y
t’
A B = BC
si
son dos
B’
C’
C
entonces
A 'B'= B'C '
t
Teorema 2 : ( Teorema de Thales )
A
Si varias paralelas cortan a dos transversales
entonces estas determinan en ellas segmentos
correspondientes proporcionales.
Es decir :
AB
=
A’
B
Si t y t’ son dos transversales, y si
A B = B C entonces
A A' // B B' // C C' si
BC
t’
B’
C’
C
A 'B '
B 'C '
A
Teorema 3 : Si una recta es paralela a uno
de los lados de un triángulo, entonces los
otros dos lados quedan divididos en
segmentos proporcionales.
D
E
Es decir, en el triángulo ABC :
Si D E // B C
entonces
AD
DB
=
AE
EC
B
C
Teorema 4 : ( Recíproco ) Si una recta divide dos lados de un triángulo en
segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.
Es decir , en el triángulo ABC , anterior si
AD
Si
DB
=
AE
EC
D E // B C
entonces
A
Teorema 5 : El segmento que une los puntos
medios de un triángulo, es paralela al tercer lado
e igual a su mitad.
Es decir , en el triángulo ABC :
N
M
Si M y N son los puntos medios de A B y A C
BC
entonces M N // BC y
MN =
2
B
C
A
Teorema 6 : La bisectríz de un ángulo de un
triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos
proporcionales a los lados que forman ese ángulo.
Es decir, en el triángulo ABC :
Si A D biseca al ángulo A entonces
A B BD
=
A C DC
B
C
D
E J E R C I C I O S.
154. En la fig., si D E // B C , A C = 12
A
x
155.
A
5
D
E
B
X+4
E
4
2x+1
Para la siguiente figura,
L1 // L2 .
C
7
5x–4
F
D
C
B
156.
Si A B // E F // C D
Determina el valor de “x” en cada caso :
AE =
2x - 1 , A B = x + 3
D E= x + 4 , B C = x - 1
D
E
A
157.
A B = 2x
, A C = 3x
E B= x + 1
,
B
C D = 2x - 1
L1
C
L2
158.
En el triángulo ABC , B D biseca el 159.
ángulo B , entonces x = ?
B
Encuentra C D
, si D E // A B
A D = 9 , C E = 2 , BC = 8
C
E
D
A
D
2x
C
3x - 1
A
B
En los ejercicios 160 y 161, la recta que intersecta a dos de los lados del triángulo es
paralela al tercer lados. Encuentra la medida que falta
160.
161.
9
6
x
4
4
3
A
A
C
A
162.
A D es bisectriz
163.
C
x
9
C
A D es bisectriz
X+1
12
2x - 5
X+1
D
x-3
B
D
1
164.
AB
C
3
15
// C D
A
10
C
x+4
4
x + 13
B
A
D
B
Congruencia
de
triángulos.
De que somos
figuras, sí...
Pero...
¿
seremos
congruentes?
Oye...¿crees tú
que somos
figuras
congruentes ?
ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS
NO
SON FIGURAS CONGRUENTES
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño,
es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales :
C
C’
A B  A 'B' ;
A  A '
A C  A 'C ' ;
B  B'
BC  B'C ' ;
A
B
A’
C  C '
B’
La notación de que un triángulo es congruente con otro lo anotamos
 ABC
Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes :
  A’B’C’
1.
CRITERIO ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L .A)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos
adyacentes a él :
C
C’
A :   =  ’
L : A B = A' B'
A :   =  ’


’
’
A
B
B’
A’
2. CRITERIO LADO - ANGULO - LADO ( L . A .L )
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo
comprendido entre ellos :
C’
C
L : A C = A' C'
A :   =  ’
L : A B = A' B'


A
’
’
B
B’
A’
3. CRITERIO LADO - LADO - ANGULO
( L . L. A . )
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo
opuesto al mayor de ellos :
C
C’

L : A C = A' C'
’
L : B C = B' C'
A :   =  ’


A
’
’
B
B’
A’
4. CRITERIO LADO - LADO - LADO
( L . L. L . )
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales :
C’
C
L : A C = A' C'

’
L : B C = B' C'
L : A B = A' B'


A
’
’
B
B’
A’
EJEMPLOS DE APLICACIÓN :
C
TEOREMA : La bisectriz correspondiente al ángulo basal de
un triángulo isósceles es perpendicular a la base y la biseca.
Hipótesis :
Tesis :
 ABC es isósceles
1 2
C D es bisectríz
 ADC =  CDB = 90º
A D = DB
Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de
la hipótesis en la figura para luego darse cuenta cuál es el
criterio a utilizar , así :
A
D
B
L :
A:
A C = BC
1=2
L :
CD = CD
Por tanto :
 ADC
(lados iguales de un triángulo isósceles )
(por ser CD bisectríz )
( lado común a los dos triángulos )

 DBC
( por criterio L.A.L.)
Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos respectivos
son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) , así :
 ADC +  CDB = 180º
( son ángulos adyacentes )
y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los
opuestos a lados iguales ).
Además :
A D = DB
( por ser elementos homólogos )
Q . E . D.
( Queda Esto Demostrado )
E
F
2) En la figura :
AF = AD
Hipótesis :
Tesis :
i)
 ACF
y

 CFA =  EDA
A
 ADE
ii) A es el punto medio de C E
Demostración :
A :  CFA =  EDA
( por hipótesis )
( por hipótesis )
AF = AD
L :
A :
por tanto :
C
( ángulos opuestos por el vértice )
 CAF =  EAD
i)
ii)
 ACF

 ADE
D
( por criterio L.A.L.)
AC = AE
( lados homólogos )
Q . E . D.
C
3) En la figura :
AC = AD
Hipótesis :
Tesis
:
i)
ii)
y

BC = BD
 ABC
 ABD
 ACB =  ADB
A
Demostración :
L : AC = AD
( por hipótesis )
L : BC = BD
( por hipótesis )
L : AB = AB
( por hipótesis )
Así :
i)
ii)
 ABC   ABD
 ACB =  ADB
( por criterio L.L.L.)
( ángulos homólogos )
B
D
E J E R C I C I O S.
Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o
respectivamente congruentes. ¿ En qué casos se puede asegurar la congruencia del
par de triángulos ? Indica el criterio utilizado en cada caso :
E
F
B
C
165.
166.
D
A
E
C
D
A
A B D E
A C FE
F
A C D F
A B D E
BC  DF
C A B E D F
167.
168.
D
B
A
C
D
B
A
A B A B
D A B C BA
D BA  C A B
B
A B  BC  A C
D E  D F  FE
C
E
F
Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo )
169. Dos trazos o segmentos.
170. Dos rectángulos
171. Dos cuadrados
172. Dos circunferencias
Responde , EN EL CUADERNO ,las siguientes preguntas ( Justifica tus respuestas )
173. ¿Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares?
174. ¿Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más
estricto sentido matemático ?
175. Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. ¿ Son los
cuadrados necesariamente congruentes ?
176. Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. ¿ Son los cubos
congruentes ?
En los casos siguientes demuestra lo que se indique :
177. Hipótesis : 1 =  2 ;  3 =  4
Tesis
:  RZS
R

178. Hipótesis : 3 =  4 = 90º
RS  RT
 RZT
Tesis
: RZS
  RZT
T
1 2
3
R
4
Z
3 4
T
179.
Z
S
S
Hipótesis : D =  Y
Hipótesis :
180.
D Z  FY
Tesis
D E  E F ; XY  XZ
Tesis
: DEF
D
F
Tesis
A
Y
Hipótesis : BD  A C
B es punto medio de A C
: 1=2
D
E
B
182. Hipótesis :  ABC es isósceles, A C= B C
D y F puntos medios de A C y B C
: A F  BD y  1 =  2
Tesis
D
C
D
A
  EBC
X
Z
181.
C D C E
:  ACD
C
  XYZ
E
A C BC
1
2
B
F
C
A
B
Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los
paralelógramos :
183. Los lados opuestos de los
paralelógramos son iguales.
A B= C D y A D = B C
D
184. Los ángulos opuestos de los
paralelógramos son iguales.
 ABC =  ADC y
 DAC =  BCD
C
D
C
E
A
B
A
B
Las diagonales de un
paralelógramo se dimidian :
185.
Hipótesis : A D
186.
Tesis
A E = E C y BE = DE
D
BC y A B

:  ACD
 ACB
D
C
DC
C
E
A
A
B
187. Hipótesis : A B = D C y 2 = 4
Tesis
:  ACD   ACB y
A D = BC
D
B
188. Las diagonales de un rombo son
perpendiculares entre sí.
Hipótesis : ABCD es rombo
Tesis
C
:
A C D B
D
4
C
2
A
189.
A
B
Las diagonales de un rectángulo
son iguales.
Hipótesis : ABCD es rectángulo
A C= D B
Tesis
:
B
D
C
A
B
CONTROL FORMATIVO 5
1. Divide el segmento AB dado en 3 partes iguales.
A
B
2. Dibuja un segmento A B = 4cm y determina, en él, un punto D tal que D divida al
segmento A B en la razón
y D B.
3 : 5.
Además indica la medida de los segmentos A D
3. Divide el trazo AB en partes proporcionales a
de los segmentos obtenidos ?
1 : 4 : 5 . ¿ Cuánto mide cada uno
A
B
4. Divide armónicamente el segmento dado en la razón
son los segmento que se indican.
m: n ,
si “m” y “n”
m
n
5. Dibuja la circunferencia de Apolonio que se obtiene al dividir armónicamente el
segmento dado P Q en la razón
3: 1
P
Q
L3
6. En la figura , L3 // L4 // L5
A C = 2x
L1
A
L4
C E = x+7
BD = 3
L2
C
L5
B
E
DF = 5
D
Determina
- el valor de x
F
D
el valor del segmento A E
-
B
7. En la figura
C
A B // D E ; A B = x + 2 , D E = 3x+10
3
Determina los valores de los segmentos A B y D E
A
12
E
8. El perímetro de un triángulo es 30 cm . Los lados del ángulo  miden 12 cm y
13 cm , calcular la longitud de los segmentos que forma la bisectriz del ángulo 
sobre el lado opuesto.
D
Congruencia:
9. Demuestra que: “Los lados opuestos de un
paralelogramo son iguales”.
Hipótesis: ABCD paralelogramo
A B // C D
A D// C B
A C diagonal
Tesis
C
A
B
C
: AB = CD
AD = CB
10.
Demuestra que: “En todo triángulo isósceles los ángulos
basales son iguales”
Hipótesis: ABC isósceles
Tesis
tc
C D= tc
: =
A


D
B
PARECIDOS,
-
PERO .... NO IGUALES.
Dos figuras son semejantes si tienen la misma
forma, no necesariamente el mismo tamaño.
-
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente
congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. ( lados homólogos
son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir :
C
C’
b
a
a’
b’
A
 ABC
ssi :
B
c

 A’B’C’
i)
B’
c’
( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ )
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
ii)
Ejemplo :
A’
a
b
c
=
=
a'
b'
c'
B
Los triángulos siguientes son semejantes :
10
En efecto :
6
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
C
B’
a
b
c
=
= =2
a'
b'
c'
5
3
C
C’
4
A
8
A’
Postulado : en el triángulo ABC :
A 'B ' // A B , entonces :
Si
AB
BC
AC
=
=
A 'B ' B ' C ' A 'C '
A’
B’
A
B
W
Ejemplo :
En el triángulo GAW , Q K // GA
K
A K = 4 , KW= 8 , GQ = 5
Encuentra
Q
WQ =
A
G
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
C
CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A )
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a
dos ángulos de un segundo triángulo, entonces
estos dos triángulos son semejantes.
Es decir , en los triángulos ABC y DEF : A = D
y B=E
Entonces  ABC

 DEF
F
D
Ejemplo :
 ABC
¿ es

B
 DCE ?
Si A B // D E , entonces
 D=  B
( alternos internos entre paralelas )
y
B
A
A B // D E ,
Según la figura, si
A
E
C
 E =  A ( alternos internos entre paralelas)
 ABC
por lo tanto :

D
E
 DCE
A
CRITERIO lado - ángulo - lado ( L .A .L )
Dos triángulos son semejantes si tienen
dos lados proporcionales y congruentes
el ángulo comprendido entre ellos.
decir , en los triángulos ABC y DEF ,
Si
AC
A=D y
Entonces
DF

 ABC

B
C
D
AB
DE
 DEF
E
F
Ejemplo : ¿ Son semejantes los triángulos ?
como
15 12

10 8
y ademas
 R =  B=35º
B
15

 LBQ
R
12
J
A
B
Es decir , en los triángulos ABC y DEF :
Si
DE

Entonces
BC
EF

Q
35º
L
35º
CRITERIO lado - lado - lado ( L . L . L . )
Dos triángulos son semejantes si tienen sus
tres lados respectivamente proporcionales.
AB
8
10
 CRJ
entonces
C
C
D
AC
DF
 ABC

 DEF
E
F
Ejemplo :
¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ?
18 12 15


12 8
10
como
 ABC
entonces

T
18
12
10
8
C
15
Q
 DEF
J
M
X
12
E J E R C I C I O S.
190. Encuentra el valor de A D, A C = 25
191. Se sabe que
P Q= P R
biseca  Q P R .
A

Demostrar que  QPX
 QPR
P
D
15
y que P X
3
B
C
E
Q
¿Para cuáles de los siguientes ángulos , el
 RNQ es semejante al  VBX ?
Q
192.  R = 62º
;
 N = 73º
 V = 62º
;
 B = 73º
193.
 Q = 80º
 V = 71º
;
;
R
X
X
R
 R = 71º
 X = 70º
N
V
194. Dado que
 T =  NGV
Demostrar que
 NGV
B
195. Dado que
  NTX
R=W
Demostrar que  JYW
N
R
  JMR
N
J
V
G
X
T
196. Dado que L K
Y
CB .
Demostrar que:  LKM
  BCM
197.
W
J
Según la fig.
N K JL ; M L  JL
N K= 4 , M L = 6 ,
C
J M = 15 , J N =?
L
K
M
K
L
B
N
M
199.
Hipótesis : WZ = XY ; WX = ZY
198.

Tesis :  WTZ
 VWX
Hipótesis : C F  A B;
Tesis :  FBE
Z
W
BD  A C
  DEC
C
D
X
¿ En qué casos el
200.
201.
AB
DE
AB
BC


Y
V
BC
EF

DE
EF
 ABC

E
T
 DEF
B
?
F
A
C
CA
FD
;
E
B=E
D
A
202.
BC
EF

AC
DF
203.  A =  D
,
,
B
B=D
F
C=E
204. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un
triángulo dado es semejante al triángulo dado.
206. Según la figura,
RQ  P Q ; P Q  P T y ST  P R
205. En el triángulo GHK ,
G K = H K ; P R  GK y P Q  H K
Demostrar que G R  P Q = P R  H Q
Demostrar que : S T  RQ = P S  P Q
T
K
R
Q
R
S
G
H
P
P
Q
homotecia
La proyección de una diapositiva es un buen modelo físico del concepto de
homotecia.
La homotecia puede usarse para realizar copias de dibujos y hacerlos más grandes
o más pequeños:
La figura se construyó de modo que A B// A' B' ; BC // B' C' ; C D// C' D' ; DE // D' E' ;
E F // E' F' ; FG // F' G' ; GH // G' H' ; H J // H' J' ; JK // J' K' ; A K // A' K' .
O
G
J H’ F E
D
K
’ A’ B’ C ’
’
’
’ ’ ’
G
H
J
K
A
F
B
E
D
C
Por lo tanto  OAK   O’A’K’;  OKJ   O’K’J’ , ¿Qué otras parejas de triángulos son
semejantes?.
Al ser los triángulos semejantes se tiene que sus lados homólogos son
proporcionales, luego todos los lados correspondientes se encuentran en una misma
razón.
Como los segmentos de cada polígono son paralelos a los segmentos
correspondientes del otro polígono, los ángulos correspondientes son congruentes.
Por lo tanto las figuras son semejantes
Una homotecia es una transformación en el plano que permite obtener un polígono
semejante a un polígono conocido. Esta depende de un punto O, llamado centro de
homotecia y de una constante k, llamada escala o factor de conversión.
Ejercicio:
207. Encuentra el centro de homotecia O y el factor de conversión k =
C
A
O A'
OA

A' B'
AB
C’
B
A’
208. Copia en tu cuaderno la figura y el punto H y realízale una homotecia (H,5).
H

209. Dibuja una figura y realízale una homotecia de factor de conversión 3,6
210. Una homotecia con factor de conversión menor que uno y mayor que cero nos
permite obtener una figura más pequeña. Dibuja una figura y realízale una
1

homotecia  O , 
3

B’
III.
PITAGORAS
&
EUCLIDES.
Teorema 1 :
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura
correspondiente a la hipotenusa , se verifica que
los triángulos así formados son semejantes, es
decir :
C
hc
dado  ABC , rectángulo en C y C D = hc ,
altura correspondiente sobre la hipotenusa
c , entonces se cumple que :
 ABC

 ADC

A
B
D
 BDC
Teorema de Euclides . ( Referente a la Hipotenusa )
En todo triángulo rectángulo, la altura
correspondiente a la hipotenusa es media
proporcional entre los segmentos que determina
sobre la hipotenusa , es decir :
dado
con
 ABC
A D= p
p
h
 c
hc
q
C
hc
, rectángulo en C , C D= hc ,
,

B D= q
, entonces :
A
2
hc = p  q
p
Ejemplo :
En el triángulo ABC, rectángulo en C,
determinar la medida de BD .
C
Solución :
12
hc2 = A D  B D
144
= 5  BD
B D = 28,8
Así :
B
q
D
A
5
B
x
D
Teorema de Euclides . ( Referente al cateto ).
En todo triángulo rectángulo, cada cateto es
media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella , es decir :
C
dado  ABC , recto en C , C D = hc
c a
=
a q

c b
=
b p

a2 = c  q
b2 = c  p
hc
A
p
D
c
q
B
Ejemplo :
 ABC rectángulo en C , con las medidas
C
indicadas, determinar los valores de A C y B C
b
Solución :
a
hc
1) b = 6  13
2
b2 = 78
b = 8,83
A
2) a2 = 7  13
6
D
B
7
a = 9,54
Aplicaciones de los Teoremas de Euclides :
C
211. En el triángulo ABC , rectángulo en C :
a)
p = 8 cm
y
b)
hc = 6 m
y
hc = 12 cm
, calcula
q = 0,9 m ,
q.
hc
calcula p.
A
212. En un  ABC , “p”
hc = 12 cm.
p
B
q
D
mide 7 cm más que “q” . Determina la medida de
“q” si
213. Las medidas de los catetos de un triángulo  ABC , rectángulo en C , son a =
9cm,
y b = 12 cm . Calcula las medidas de las proyecciones de “a” y “b” sobre
la hipotenusa.
214. En un triángulo
ABC , rectángulo en C , la proyección del cateto “b” sobre la
25
hipotenusa mide 2 cm menos que él . Si la hipotenusa mide
cm , entonces
3
calcula la medida de “b”.
C
Teorema de Pitágoras .
En todo triángulo rectángulo, la suma de los
cuadrados construidos sobre los catetos es igual al
cuadrado construido sobre la hipotenusa, es decir :
Si
 ABC es rectángulo y a ,b = catetos
c = hipotenusa
a
b
A
c
c 2 = a2 + b 2
NOTA :
Vale tener presente que , en un triángulo en que c es el lado mayor, y a,
b son los otros dos lados , se tiene que :
a) si
b) si
c) si
c 2 = a 2 + b2
c 2 > a 2 + b2
c 2 < a 2 + b2
, entonces el triángulo es rectángulo
, entonces el triángulo es obtusángulo
, entonces el triángulo es acutángulo.
B
Aplicaciones del Teorema de pitágoras :
215.
Clasifica los triángulos para los lados que se dan :
6
a)
;
c)
0,3 ;
e)
10
216.
;
8
;
10
b)
15 ;
36
;
36
0,4
;
0,5
d)
6
4
;
7
13
f)
12
;
;
2
;
2,1
Calcula la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son
;
15
2,9
y
8 m.
217. Calcula el área de un rectángulo si la base mide 15 cm y una diagonal miden 36
cm.
218. Una de las diagonales de un rombo mide 20 m de largo . Un lado mide 26 m .
Encuentra la medida de la longitud de la otra diagonal.
219. En un  ABC rectángulo en C , se conocen las medidas de “p” y “q” . Calcula ,
en cada caso , la altura hc del triángulo :
a)
p = 5 cm
;
q = 20 cm
b)
p  8 2 cm
;
q= 2 cm
220. Comprobar que las expresiones a = 2x , b = x 2 - 1
y c = x2 + 1
corresponden a las medidas de los lados de un  ABC rectángulo en C , si x>1.
221. En un  ABC rectángulo en C , la proyección del cateto “a” mide 12 cm más
que la proyección del cateto “b” sobre la hipotenusa. Calcula la altura h c si mide
el doble que la menor de las proyecciones de los catetos.
222. Calcula la medida de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide :
2
a) 5 cm
b) 6 3 cm
c)
3 cm
3
223. Calcula la medida del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide :
2 3
cm
a) h = 3 3 cm
b)
h = 6 cm
c)
h=
3
224. En un triángulo rectángulo tal que la hipotenusa mide 20 y un cateto mide 16 ,
calcula el perímetro de cada uno de los triángulos en que la altura divide al
triángulo dado.
225. En un triángulo equilátero la altura mide
perímetro del triángulo.
226.
Dado : J H  X B
Demostrar :
( X J )2 + ( H B )2 = ( X H )2 + ( J B )2
J
3 3
. Determina cuánto mide el
227. Dado : T C  C N ; T C  T Q
Demostrar :
( T N)2 - ( C N)2 = ( C Q)2 - ( T Q)2
C
X
W
B
T
H
N
Q
CONTROL FORMATIVO 6
En cada caso , encuentra el valor que se indique :
1.
Sea ABC triángulo rectángulo en C.
Determina los valores de p y hc
2.
Sea ABCD rombo, A C = 12 ; B D =
16 . Determina el valor de A B
C
D
C
a
16
hc
p
A
3.
c
12,8
D
A
ABCD es cuadrado de perímetro 24
cm. Determina el valor de D E
A
B
B
B
4.
ABC triángulo rectángulo en C.
Determina los valore de p, q, hc y c.
A
P
D
E
C
5.
3
D
C
q
hc
4
B
Clasifica el triángulo si la medida de sus lados son 45 cm , 51 cm y 24 cm
Resuelve los problemas :
6.
El  ABC rectángulo en C , la hipotenusa mide 10 cm . Calcular el perímetro
del
triángulo si los otros lados son números pares consecutivos.
7.
En un triángulo rectángulo que tiene un cateto igual a 16 cm , la proyección de
éste sobre la hipotenusa tiene 5,6 cm más que la proyección del otro cateto
sobre la hipotenusa. Hallar el cateto que falta y la hipotenusa del triángulo
dado.
“SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS“
1. Enuncia algunos elementos que
conoces sobre la circunferencia.
2. ¿ Qué tipos de ángulos se
Antes de
podrían formar con estos
comenzar la
elementos ?
unidad deseo
proponerte lo 3. ¿ Cuáles son sus posibles
combinaciones de tal modo que
siguiente...
se puedan formar ángulos ?
4. ¿Dónde se ubicarán los vértices
de éstos ángulos?
“ BUSQUEMOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA “
Se ve interesante el tema... Ahora
voy a investigar de que se trata
esto para luego aplicar lo que haya
aprendido.
ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN :
228. Imagina un cono recto en el que se hacen diversos cortes ;analiza qué condiciones
debe satisfacer un corte para que genere un círculo. Supone que un cono se
coloca dentro de una caja (ojalá de paredes
transparentes ) en la que se va poniendo agua.
Grafica la relación entre la altura del nivel del agua
y el radio de los círculos correspondientes. Te
recomiendo que esto lo hagas con regla y compás,
si es necesario, y toma las medidas de los radios y
r
altura como se ve en la figura que se muestra.
h
Varía los radios y sus respectivas alturas y anota los
valores en una tabla.
R
229. ¿ Qué formas se obtienen si se hicieran diversos
cortes a un cilindro recto? Supone, en forma similar
al ejemplo anterior, que se coloca este cilindro en una caja que se va llenando con
agua : ¿ qué forma se genera por la intersección de la superficie del agua con las
paredes del cilindro ? , ¿ cuál es el gráfico que relaciones en nivel de agua con el
radio del círculo correspondiente a cada corte ?
230. Hace cortes imaginarios, en diversos sentidos, en una esfera. Se puede utilizar
esferas de plumavit. Si se colocan dos alfileres en puntos cualesquiera de la esfera
y se unen por medio de un elástico se marca un arco que es parte de un círculo
mayor. Caracteriza el corte que permite obtener el círculo de mayor radio ( círculo
máximo). Traza cortes que generen círculos menores. Determina el rango de
variación de los radios de los diversos círculos que se pueden obtener.
231. Traza, en un mismo dibujo, los círculos que se generan al hacer cortes
equidistantes, paralelos a la base de un cono recto. Describe el dibujo e
interprétalo.
H
232. Dibuja las curvas de nivel de una semiesfera, de una pirámide recta de base
cuadrada o de otros cuerpos geométricos.
I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA :
A
L2
C
O
D
L1 O = centro de la circunferencia
OA = OB = OC = radio de la circunferencia
AB = diámetro de la circunferencia
L1 = recta tangente a la circunferencia
L2 = recta secante a la circunferencia
DE = cuerda de la circunferencia
B
E
Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy
importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman:
a) Angulo formado por dos radios.
b) Angulo formado por dos cuerdas
B
Ox
B

C

Ox
A
A
Relación entre el ángulo y el arco :
Relación entre el ángulo y el arco :


= AB


AC
2
c) Los dos ángulos anteriores en una misma e) Varios ángulos inscritos formando el
circunferencia :
B
mismo arco
C


Ox


x
O
A
Relación entre los ángulos:
d)
 = 2
Angulo formado por dos cuerdas
C
Relación entre los ángulos:
f)
==
Angulo formado por dos secantes
A
B
D

Ox
Ox

D
A
Medida del ángulo 

B
C
Medida del ángulo 

P
BC + A D
2
g) Angulo formado por dos tangentes
A
=
C

D
Ox
A C- BD
2
h) Angulo formado por una cuerda y una
tangente
A
=
P

Ox
B
B
Medida del ángulo
 
:
A C B- A D B
2
=
=
i) Angulos que forma una

AB
2
j) Angulo formado por una secante y una
semicircunferencia :
tangente :
C
A
:
Medida del ángulo
A


Ox
Ox
P
B
C
B
Medida del ángulo
=
:
90°
=
k) Arcos formados por rectas paralelas que
cortan a una circunferencia

A C-
AB
2
l) Angulos opuestos de un cuadrilátero
inscrito :
A
D
:
Medida del ángulo
D

A
Ox
Ox
C

B
C
B
Relación entre arcos
Relación entre ángulos :

AB = 
CD
 +  = 180°
ejercicios
233. Hallar  BAC
234.  y = 112º
x=
A
C
A
B
O x46º
yx
O
x
B
C
235.  x = 75º
y=
236.
60º
A
x=
y=
D
y
65º
A
y
Ox
D
x
C
Ox
C
x
B
B
237.  = 72º
x=
y=
238.
C
A
x
Ox
y = 140º
 BDC =
A
y

Ox
B
B
D
y
C
239.  y = 115º
x=
240.  x = 40º
y=
C
Oxx
A
D
200º
y B
Ox
E
x
y
B
A
C
241.  x = 61º
y=
242.
A
y
Ox
x
B
A
C
E
x=
y=
D
25º
x
C
70º
Ox
y
B
243. x =
y=
2x
D
244. x =
y=
y
A
E
y
D
2x
x
C
A
Ox
C
Ox
3x+10º
B
245. Dado: AB diámetro del círculo O, BC
es un diámetro del círculo O’, círculo O
es tangente al círculo O’ en B.
Demuestra que  x =  y
A
y
3x+6
3x
x
O
x
O’
x
B
246. AC bisectriz  BAD
 BAC =
 AEB =
 BDC =
 ADB =
B
C
E
C
Ox
80º
B
A
160º
D
CONTROL FORMATIVO 7
Realiza, la autoevaluación de la página 286, del libro del ministerio. Gonzalo Riera Lira
IV.
SEGMENTANDO
EL
CÍRCULO .
Teorema 1 :
Los dos segmentos tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior son congruentes y
determinan ángulos iguales con el segmento que
une el punto exterior al centro.
A
OX
A P , B P segmentos tangentes :
A P = BP
,
P
B
 OPA =  OPB
A
B
Teorema 2 :
Si se trazan dos rectas secantes desde un punto
exterior a una circunferencia , entonces :
OX
P
C
A P  BP = P D  P C
D
A
Teorema 3 :
Si desde un punto exterior a una circunferencia
se traza una recta tangente y una recta secante,
entonces :
OX
P
B
A P2 = P C  B P
C
Teorema 4 :
Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una
circunferencia , entonces :
D
A
OX
A E  BE = C E  DE
E
C
B
EJERCICIOS
247. Según la figura :
248. Según la figura :
Si A P = 6 ; B P = 15 y P C = 8 ,
Si
BP = 5
determinar P D .
determina A P
y
P C = 20
B
A
A
OX
P
OX
C
C
P
B
D
249. En la figura :
D E = 5 ; E B = 2 A E ; C D = 15 ;
Determina A E
250. En la figura :
O D= 10 ; O E = 8 ;
Determina A B
C
B
D
A
E
OX
OX
E
A
C
D
B
252. En la figura:
A B = 12 , A C = 18 ,
251. En la figura:
A B= 6
, AD= 3
Determina
,
Determina C D
AC
A
B
D
OX
OX
C
C
A
D
B
253. En la figura:
A D = D B , E C = 14 , A E = 4
,
254. En la figura :
O C = 5 , A E= 6 , B D = 4 ,
Determina A D
Determina A D
B
B
D
C
OX
D
O
X
A
E
E
A
C
255.
En la figura:
256.
PT = 4 6 , AO = 5 ,
B P = 5 , A B = 3 B P ,
Determina P T
Determina B P
T
B
O
X
OX
B
En la figura:
A
P
B
P
257. Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan. Las longitudes de los segmentos
de una cuerda son 4 y 6 . Si la longitud de un segmento de la otra cuerda es 3.
¿ Cuál es la longitud del otro segmento ?
258. Dos cuerdas
AB y
E F se cortan en H . Calcular la medida del segmento E H
sabiendo que A B , E F y A H miden 146 , 142 y 90 cm , respectivamente.
259.
En la figura:
1
CD =
D P , B P = 4 , C P = 21 ,
2
Determina A P
P
260.
En la figura:
A P = 90, A B : B P = 7 : 8, D P = 16
Determina C P
C
B
A
D
OX
D
OX
P
A
B
C
LA
SECCIÓN
AUREA
O
DIVINA
Una aplicación del teorema de la tangente y la secante a una circunferencia es
la construcción geométrica que nos permite encontrar un punto interior de un trazo, de
modo que entre el trazo completo y sus segmentos se puede establecer una proporción
especial llamada sección áurea o divina.
La razón entre el segmento completo y el trazo mayor es la misma que hay
entre los segmentos mayor y menor determinados por el punto interior.
Desde el renacimiento (1500 d. de C.) se consideraba que la sección áurea
estaba presente en muchas manifestaciones de la naturaleza, como sello de armonía
que Dios imprimía a sus creaturas. De allí derivaría su nombre : proporción áurea o
divina.
Sea PQ el segmento dado y D el punto de división interior del mismo.
PQ
PD

PD
DQ
P
D
Q
P D representa los términos medios de la proporción.
Sea P Q = a , P D = x , entonces al reemplazar ocurre que :
a
x

 x2 + ax - a2  0 
x
ax
x =
-aa
2
5
descartamos el valor negativo de la raíz y queda :
x=
-1+ 5 
- a+ a 5

 a


2
2


5 1
 a  0 ,6 1 8 0 3 39a
2
Entonces el segmento mayor , llamado áureo o divino mide aproximadamente
0,6180339 veces la longitud de “a” .
Así, el cálculo de la medida “x” del segmento áureo se reduce al producto
Ahora, la razón áurea P Q : P D
está dada por
PQ
PD

a
0,6 1 8a

0,618 a.
1,6180338
Ejemplo : Calcular la medida del segmento áureo que se obtiene al dividir un trazo
que
mide 3,24 cm.
Sea P D = x
P Q = 3,24 cm
y
entonces P D = x = 0,618 3,24 = 2 cm.
,
EJERCICIOS
261. Realiza geométricamente la división o sección áurea del segmento A B dado en
cada caso :
a) A B = 40 cm
b) A B = 30 cm
c) A B = 15 cm
262. Encuentra algebraicamente un punto D que divida en sección áurea o divina
al trazo A B :
a) A B = 12 cm
b) A B = 8 cm
c) A B = 32 cm
CONTROL FORMATIVO 8
1.
Desde un punto A situado fuera de la circunferencia, se traza un segmento
secante
de 16 cm que determina una cuerda de 5 cm . Si el radio de la
circunferencia
es 7 cm . ¿ Cuál es la distancia de A al centro de la
circunferencia ?
2.
El radio de una circunferencia es de 15 cm . Hallar :
a) la distancia del centro a una cuerda cuya longitud es de 18 cm.
b) la longitud de una cuerda que dista 9 cm del centro.
3.
En una circunferencia, una cuerda que mide 16 cm está a la distancia de 6 cm
del centro. Hallar la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es de 8 cm.
4.
En
la
centro
E
circunferencia de
O, A E 6 c m ;
BE  8 c m
;
D
BC  9 c m ;
C D 1 0 c m. ¿Cuánto mide
DE ?
x
O
A
En la circunferencia de centro O,
BQ  E F  8 c m ; E Q  6 c m ;
A
C D  4 c m ; A D  D G  6 c m.
C
B
C
D
¿Cuánto mide A B ?
G
x
O
F
B
E
Q
5.
Realiza geométricamente la división o sección áurea del segmento A B dado en
cada caso :
b) A B = 20 cm
I.
b) A B = 12 cm
PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.:
Perímetro de una figura plana es la medida de la longitud del contorno que conforma
la figura.
Area de una figura es la medida de la superficie que encierra dicha figura.
RESUMEN DE FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS.
POLÍGONO
DIBUJO
PERÍMETRO
ÁREA
C
P = AB + BC + CA
h
TRIÁNGULO
D c
A
A=
B
a
CUADRADO
P = 4a
hc
2
A = a2
a
b
RECTÁNGULO
P = 2a + 2b
A=ab
a
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
a
a
A=
P = 3a
a
a
h
ROMBO
a
a
P = 4a
D
a2
3
4
A = ah
C
A B e
BD  f
2
P = 2 e  f
2
A=
ef
2
B
A
b
ROMBOIDE
a
h
a
P = 2(a + b)
A=bh
b
c
TRAPECIO
a
d
h
P=a+b+c+d
b
A=
(a + c )  h
2
CIRCUNFERENCIA
P = 2
O
SECTOR
CIRCULAR
A=
  r2
A=
  r2  
3 6 0º
r
r
O
r
P = 2r +

 r  
1 8 0º
r
A
r
SEGMENTO
CIRCULAR
O
P = AB +

  r 
1 8 0º
A=
  r2  
3 6 0º
AABC
r
B
ejercicios :
Calcula el área y el perímetro de la parte sombreada de las siguientes figuras :
263.
A
24 cm
B
264.
10 cm
10
D
4
C
265.
266.
6
O
267.
16
6
8
268.
8
269.
270.
4
4
5
4
12
271.
272.
16
0x
3
9
x0’
5
8
x
273.
274.
x
16
16
12
275.
276.
12
x4
277.
A
10
B
4
D
3
E
C
III. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS.
CUERPO
FIGURA
ÁREA
VOLUMEN
A = 6a2
V = a3
A= 2ab+2bc+2ac
V = a·b·c
a
CUBO
a
a
PARALELEPIPEDO
RECTO
a
c
b
TETRAEDRO
REGULAR
A = a2 3
a
a
a
0x
AB =
2
a
3
1
AB · h
3
V=
4
r
Alateral= 2··r·h
CILINDRO
RECTO
V = ·r2·h
h
Atotal= 2··r·(h+r)
CONO
RECTO
g
Atotal= ·r·(g+r)
h
ESFERA
Alateral= ·r·g
V=
1
  r2  h
3
r
r
A = 4 ·  · r2
V=
4
 · r3
3
ejercicios
Resuelve ahora los siguientes problemas :
278. Un estanque de agua mide 6 cm de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad.
Se deja caer una esfera de 50 cm de radio que flota a la mitad. ¿ Cuánto sube el
nivel del agua ?
279. Calcula el volumen y el área de la superficie esférica de un globo cuyo círculo
máximo tiene un radio de 3,2 cm.
280. En una cilindro recto de altura 8 m se ha inscrito una esfera :
a) ¿ Cuál es el volumen del cilindro ?
b) ¿ Cuál es el volumen de la esfera ?
c) ¿ Cuál es la diferencia entre los dos volúmenes ?
d) ¿ Cuál es la razón entre el volumen de la esfera y el del cilindro ?
e) ¿ Cuál es el volumen de aire contenido en un globo de 45 cm de diámetro ?
281. Un macetero tiene forma de semiesfera, cuyo diámetro interior es de 30 cm.¿
cuál es la cantidad de tierra que se necesita para llenar el macetero ?
282. Un cilindro , una semiesfera y un cono tiene el mismo radio 6 cm . La altura del
cilindro y del cono vale 10 cm. :
a) Calcula el volumen de cada uno
b) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen del cono en el volumen del cilindro ?
c) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen del cono en el volumen de la
semiesfera?
d) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen de la semiesfera en el volumen del
cilindro ?
283. Calcula el volumen del prisma
2cm
6cm
4cm
2cm
12cm
18cm
a) Averigua con un mecánico cómo y por qué se puede distorsionar la medida del
kilometraje y velocidad de un auto al cambiar el tamaño de los neumáticos.
b) Si el radio de los neumáticos aumenta en un 25% , ¿en cuánto se altera la
velocidad y el kilometraje?
c) ¿Qué velocidad marca el velocímetro cuando éste alcanza una velocidad de 100
km
km
? , ¿ y cuando va a 60
?.
h
h
d) Si los neumáticos de un auto se van desgastando de modo que el radio ha
disminuido en un 1 % ¿Cómo de expresa la variación de la velocidad y el
kilometraje en sus instrumentos?. ¿Qué velocidad real tiene cuando el velocímetro
km
marca 100
?
h
e) ¿Por qué no es bueno alterar el tamaño de las ruedas ?. Establece y redacta tus
conclusiones.
CONTROL FORMATIVO 9
Calcula el área y el perímetro de la parte sombreada en las siguientes figuras:
1.
ABCD cuadrado de lado 18 cm.
E, F, G, H puntos medios.
G
D
2. ABC triángulo equilátero de lado 6 cm,
QRST
cuadrado
circunscrito
a
la
circunferencia.
C
Q
T
C
F
H
A
A
B
E
3.
R
B
S
C
D
AB = 30 cm
B
4. O, O’, O’’, O’’’ centro de circunferencias
tangentes de radio 3 cm
O’’
x
x
O
x
O’
10 cm
O’’’
x
5. ABC triángulo rectángulo
C
A
Calcula el área total y el volumen de la
5 cm
6.
4 cm
10 cm
siguiente figura:
B