EJERCICIO 7 TRANSFERENCIA DE CALOR POR

Ejercicio 7: Transferencia de Calor por Conducción Ley de Fourier.
Objetivo
Al finalizar este ejercicio los estudiantes serán capaces de realizar las siguientes tareas.

Estimar el calor especifico de un alimento utilizando el modelo de Siebel.

Realizar balances de energía en sistemas abiertos.

Calcular la conductividad térmica de un material experimentalmente utilizando la
ley de Fourier.
Introducción
La transferencia de calor es el proceso por el
que se intercambia energía en forma de calor
entre distintos cuerpos, o entre diferentes
partes de un mismo cuerpo que están a
distinta temperatura.
En términos generales el calor se transfiere
mediante cualquiera de tres mecanismos:
convección, radiación o conducción. Aunque
estos tres procesos pueden tener lugar
simultáneamente, puede ocurrir que uno de los mecanismos predomine sobre los otros
dos. En los sólidos, la principal forma de transferencia de calor es la conducción. Si se
calienta un extremo de una varilla metálica, de forma que aumente su temperatura, el calor
se transmite hasta el extremo más frío por conducción. No se comprende en su totalidad el
mecanismo exacto de la conducción de calor en los sólidos, pero se cree que se debe, en
parte, al movimiento de los electrones libres que transportan energía cuando existe una
diferencia de temperatura. Esta teoría explica por qué los buenos conductores eléctricos
también tienden a ser buenos conductores del calor.
En 1822, el matemático francés Joseph Fourier dio una expresión matemática precisa de la
conducción del calor que hoy se conoce como ley de Fourier. Esta ley afirma que la
velocidad de conducción de calor a través de un cuerpo, por unidad de sección transversal,
es proporcional al gradiente de temperatura que existe en el cuerpo (con el signo
cambiado).
q x  kA
Conducción lineal
El principio de conducción de calor en forma
lineal permite predecir la conductividad
térmica de un material (k) a partir de la
razón de cambio de la temperatura con la
posición (dT/dx) , el área de transferencia
(A) y el calor suministrado (qx). El equipo a
dT
dx
utilizado para tales efectos es similar al que se muestra en la figura.
La muestra a ser evaluada se coloca en el centro del tubo de conducción lineal. Este tubo
es de forma cilíndrica y su área seccional (A) equivale al área de un circulo de diámetro D.
A
D2
4
El equipo tiene varios termopares (elementos que proveen una señal eléctrica proporcional
a la temperatura a la que están expuestos) que se utilizan para medir el gradiente de
temperatura en función de la distancia lineal (dT/dx o T). Finalmente, la energía (o calor)
aplicada se puede estimar con el voltaje (V) y la corriente (I) suministrada al elemento
.
térmico del equipo y retirada en el otro extremo por un flujo de agua (m ).
 C P TW
q x  VI  m
Con estos datos, es posible encontrar la conductividad térmica del material al despejar la
ecuación de Fourier para k.
k
 C P TW
VI  m
AT
Conducción Radial
De manera similar se pueden establecer ecuaciones para transferencia de calor de forma
radial. Este sería el caso, por ejemplo, del tubo de retención donde hay que aguantar los
fluidos luego de la pasteurización. Estos tubos no pueden ser calentados, pero transfieren
el calor que reciben del líquido que transportar hacia el ambiente exterior. Esta conducción
es radial debido a que ocurre a lo largo del radio del tubo y atraviesa el área de superficie
del tubo.
A  2rL
Donde r es el radio y L es el largo del tubo.
Asumamos que el radio interno del tubo es rI y el radio externo rO. El fluido en el interior, y
por ende la superficie interna del tubo, está a temperatura T I, mientras que la temperatura
en el exterior del tubo es T O. Se puede demostrar que, para este caso, el diferencial
(dT/dr) en la ecuación de Fourrier resulta en una ecuación de primer orden.
T  C1 lnr   C 2
C1 
T I  TO
r
ln O
 rI
C 2  TI 



T I  TO
r
ln O
 rI



lnrI 
Entonces, podemos estimar k de la siguiente forma.
k
 rO 

 rI 
VI  m C P TW  ln
2LT I  TO 
Ganancia o pérdida de calor
Cuando dos cuerpos a diferentes temperaturas entran en contacto habrá una transferencia
de calor entre ellos solamente porque existe tal gradiente térmico. En esto se basan
muchos de los procesos de cocción de alimentos. Veamos el caso mas simple en el que,
por ejemplo, cocinamos un trozo de carne en la plancha.
TF
qX
trozo de carne
TH
plancha caliente
Asumamos que la temperatura de la plancha se mantiene constante a una temperatura
(TH) mayor que la temperatura de la carne (TF). El hecho de que existe una diferencia en
temperatura entre la plancha y la carne (T=TH-TF) conlleva que ocurra la transferencia de
calor (qX) de un cuerpo al otro. La carne va a transferir el calor que recibe de la plancha de
su lado expuesto al calor hasta el lado opuesto. Esta transferencia depende del área
seccional (A) donde ocurre la transferencia (contacto entre los cuerpos o área que tiene el
cuerpo en su interior), la conductividad térmica de la carne (k), y el grosor de la carne (L)
que cambia de temperatura. En otras palabras
qx  
kAT
L
Nótese que el valor de qX está limitado por la conductividad térmica del material de la
plancha. Si qX que provee la plancha es excesivo y la conductividad térmica de la carne en
menor que la de la plancha (como típicamente es), o la carne es muy gruesa, y la carne no
podrá transferir apropiadamente todo el calor que recibe. Esto provocará que la carne se
queme por un lado mientras está crudo por el otro. De aquí que debemos bajarle el fuego
a la comida al cocinar.
En la ecuación anterior aparece el término kA/L. El inverso de este valor se conoce como
la resistencia térmica (R) del material y es muy utilizado para estimar pérdidas o ganancias
de calor por conducción en neveras o empaques refrigerados. Esta definición ayuda a
simplificar los problemas de transferencia de calor por conducción donde hay varios
materiales diferentes unos tras el otro (serie) o uno al lado del otro (paralelo).
R
kA
L
Materiales en Serie
Materiales en Paralelo
RTOTAL  Ri
RTOTAL 1  Ri 1
TF
L1
L2
TF
k1
qX
k2
L3
L1 = L2 = L3
qX
k3
TH
k3
TH
r1
k2
r3
TF
TH
TH
qX
r2
k1
k2
qX
k2
k1
r1
r2
TF
k1
qX
qX
TH
TH
Para tubos o conductos circulares, la resistencia térmica se define como sigue.
r
ln OUT
rIN
R 
2kL




Donde L es el largo del tubo o conducto, rOUT es el radio externo del tubo, y rIN es el radio
interno del tubo.
Calor especifico
Las propiedades térmicas de los alimentos resultan de interés durante las operaciones de
transformación y procesado, bien en condiciones de refrigeración, secado y esterilización.
El calor específico es el calor ganado o perdido por unidad de peso necesario para
establecer un incremento de temperatura sin que tenga lugar un cambio de estado.
El calor específico de un alimento se puede estimar a partir de la composición del producto
según las ecuaciones propuestas en el modelo de Siebel.
Modelos de siebel
Congelado
No congelado
Sin Grasa
1256*M+837.36
3349*M+837.36
Con grasa
1674.72*F + 837.365*SNF +2093.4*M
1674.72*F+837.36*SNF+4186.8*M
Cp (J/Kg*K)
Donde M es el contenido de humedad, F es el contenido de grasa y SNF es el contenido de
sólidos no grasos.
Conservación de energía
La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la termodinámica y afirma
que la cantidad total de energía en cualquier sistema aislado (sin interacción con ningún otro
sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra
forma de energía.
Temperatura y energía de calor no es lo mismo. La temperatura es una medida de la energía
cinética de las moléculas del material. La temperatura y la energía cinética de las moléculas
cambian cuando el objeto toca un material con una temperatura más baja o más alta. La energía
de calor tiene que ver con la naturaleza del material, la masa del material, y la temperatura del
material. Por ejemplo, 100 g de agua caliente tiene más energía que 100 g de agua fría por la
diferencia en temperatura. Se puede calcular el aumento o pérdida de energía de dos o más
sustancias cuando se mezclan usando la relación para cada una de las sustancias:
Q= m*Cp*Δt.
Procedimiento
Estimación del calor específico (Cp) de los alimentos
1) Prepare 3 soluciones de leche reconstituida (leche en polvo + agua).
Cada
solución debe tener una concentración diferente.
2) Estime el calor específico (Cp) de cada solución Utilizando el modelo de Siebel.
3) Encienda la estufa y espere a que se estabilice su temperatura.
4) En un envase de aluminio pese 200 ml de agua y anote su temperatura (Ti).
Calientela en la estufa anteriormente pre-calentada por 3 minutos. Anote la
temperatura final del agua (Tf).
5) Use los datos para estimar el calor entregado por la estufa (q = m*Cp*[Tf-Ti])
utilizando como calor especifico del agua Cp = 1BTU/lb.K = 4186.8J/kg.K.
Masa de agua (g)
Tinicial (K)
Tfinal (K)
q estufa
6) Adicione 200 mL de cada una de las muestras al envase de aluminio, pesar y
calentar por 3 minutos. Asegúrese de medir las temperaturas antes y después de
calentar cada solución.
7) Estimar Cp de las soluciones y comparar con el estimado de la ecuación de Siebel.
8) Hacer un gráfico x-y en Excel de Concentración (Leche) vs. Cp que incluya los
estimados (curva 1) y los valores experimentales (curva 2).
Solución #
°Brix
Masa (Kg)
Tinicial (K)
Tfinal (K)
Cp Estimado
Siebel
Cp
experimental
Balance de energía. Estimar la temperatura final de una mezcla de dos líquidos
1) Preparar 4 muestras de leche de 50, 100, 150 y 200 mL en beakers y refrigere y
mida la temperatura de cada una de estas.
2) Caliente 600 ml de agua hasta ebullición mida su temperatura.
3) Para cada muestra de leche, tomar un beaker limpio a temperatura ambiente y
mezclar la leche con agua hasta completar un volumen total de 250mL.
4) Inmediatamente, tomar la temperatura de la mezcla y registrarla.
5) Preparar un gráfico x-y en Excel que presente concentración de leche (en por
ciento del total) vs temperatura final. Esta debe tener dos curvas: datos
experimentales (curva 1) y datos teóricos (curva 2).
6) Asumiendo que vamos a mezclar leche y agua habiendo calentado uno de estos
hasta 85ºC y manteniendo esotro a 25ºC. ¿Cuál debemos calentar para que la
temperatura final sea mayor? ¿hace diferencia? Explique.
Muestra de
leche (ml)
50
100
150
200
Cantidad de agua
adicionada (ml)
TiLeche
Ti Agua
(K)
(K)
Tf mezcla
Teorico. (K)
Tf mezcla Exp.
(K)
Estimar la conductividad térmica
1) Encienda la estufa y determine el calor que entrega (Q) de forma similar a como se
realizó en el experimento 1. Mantener el fuego bajo o moderado.
Masa de agua (g)
Tinicial (K)
Tfinal (K)
q estufa
2) Usando sacabocado de 1cm, preparar cilindros del material (papa, manzana y
zanahoria) los cilindros para obtener muestras de 1.0, 2.0, y 3.0 cm de largo del
material.
3) Usando el termómetro laser medir la temperatura en el centro de cada muestra
cada 30 segundos por un total de 10 minutos. Repetir para cada material.
4) Para cada material, preparar un
gráfico x-y de grosor de muestra vs.
Temperatura. Estimar la temperatura promedio de la gráfica y la pendiente
correspondiente. Estime k para cada material de acuerdo a la primera ley de
Fourier q/A = -k(dT/dx).
5) Finalmente, hacer una gráfico x-y de temperatura-k con los datos obtenidos.
Material
Grosor
(cm)
Tf en el
centro (K)
Material
Grosor
(cm)
Tf en el
centro (K)
Material
Grosor
(cm)
Tf en el
centro (K)
Informe de Laboratorio
1) Someta los datos recopilados.
2) Un conducto lleva aire caliente a 300ºF hacia una secadora por atomización. El
mismo está cubierto con 2 pulgadas de material aislante de fibra de vidro (k =
0.025 BTU/(hr·ft·ºF). Calcule la pérdida de calor por pie cuadrado si la temperatura
exterior es 75ºF.
3) Se va a construir un horno de ladrillos.
Para el mismo se utilizan ladrillos de
construcción de 8 pulgadas de grueso (0.4 BTU/hr·ft·ºF) que forman la estructura
del horno. La parte interior del horno se cubre con ladrillos de barro de igual grosor
(0.9 BTU/hr·ft·ºF). La superficie interna del horno está a 1800ºF mientras que la
superficie externa está a 90ºF. Halle la pérdida en calor por unidad de área y la
temperatura de superficie en la interface de los ladrillos de barro y estructural.
4) La pared de un almacén refrigerado (3m * 6m) es de 0.15m de grueso y construida
en concreto (1.73 W/m·C). Para mantener la pérdida en calor por conducción bajo
los 100W es necesario instalar material aislante de corcho (0.04 W/m·C). calcule el
grosor de la cubierta de corcho si la temperatura dentro del almacén debe ser 5ºC
y afuera puede estar hasta a 38ºC en el peor de los casos.
5) Una tubería acero inoxidable (43 W/m·C ) de 0.02 m de grueso tiene diámetro
interior de 0.06 m. Esta se utiliza para llevar vapor a 115ºC de la caldera a un
proceso localizado a 6 metros de distancia. La tubería está cubierta por material
aislante (0.07 W/m·C) de 0.05m. ¿Cuánto es la pérdida en calor del vapor si la
temperatura en el exterior está a 24ºC?
6) Calcule la pérdida en calor por metro cuadrado de área de superficie de una pared
aislante para un almacén refrigerado de alimentos. La temperatura exterior es
299.9 ºK y la interior es 267.5 ºK. La pared esta construida de corcho (0.0433
W/m·K) con un grosor de 2504mm.
7) Durante un experimento para determinar la conductividad térmica de cierto
alimento se midieron las temperaturas a ambos lados de una placa del alimento de
25 mm de grosor. Las temperaturas fueron 318.4 y 303.2 ºK. El flujo de calor
medido fue 35.1 W/m2. Estime al conductivita térmica en W/m·K y BTU/ h·ft·F
8) Un almacén refrigerado está construido con una capa interna de 19.1 mm de pino
(0.151 W/m·K), una capa intermedia de corcho (0.0433 W/m·K), y una capa
exterior de 50.8 mm de concreto (0.762 W/m·K). La temperatura del almacén debe
mantenerse a -17.8ºC y se espera que la temperatura fuera este en los 29.4ºC. Si
el área de superficie del almacén es de unos 39 m 2, ¿cuál debe ser el grosor de la
capa de corcho para mantener la pérdida de calor por conducción en 586 W?
9) Un horno construido con un material cuya conductividad térmica es 1.30 W/m·K
tiene paredes de 0.244 m de grosor. Las paredes se vana aislar con otro material
cuya conductividad térmica es 0.346 W/m·K de forma tal que la pérdida de calor
por conducción no exceda 1830 W/m 2. ¿Cuál debe ser el grosor del aislante para
que la temperatura fuera sea de 299 K cuando la de adentro es de 1588 K?